高考数学复习讲义 参数方程、极坐标

卜人入州八九几市潮王学校高考复习指导
讲义第十一章参数方程、极坐标
一、考纲要求
1.理解参数方程的概念，理解某些常用参数方程中参数的几何意义或者物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，根据条件建立参数方程.
2.理解极坐标的概念.会正确进展点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或者极坐标方程求两条曲线的交点.
二、知识构造
(1)HY 式过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是
⎩⎨
⎧+=+=a
t y y a
t x x sin cos 00(t 为参数) (2)一般式过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=
a
b
的直线的参数方程是 ⎩
⎨
⎧+=+=bt y y at
x x 00(t 不参数)② 在一般式②中，参数t 不具备HY 式中t 的几何意义，假设a 2
+b 2
=1,②即为HY 式，此时，｜t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的间隔；假设a 2
+b 2
≠1，那么动点P 到定点P 0的间隔是
2
2b a +｜t ｜.
直线参数方程的应用设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是
⎩
⎨
⎧+=+=a t y y a
t x x sin cos 00〔t 为参数〕 假设P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，那么 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是
(x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;
(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，那么
t=
2
2
1t t + 中点P 到定点P 0的间隔｜PP 0｜=｜t ｜=｜
2
2
1t t +｜
(4)假设P 0为线段P 1P 2的中点，那么 t 1+t 2=0.
(1)圆圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩
⎨⎧+=+=ϕϕ
sin cos r b y r a x (φ是参数)
φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)
(2)椭圆椭圆122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)的参数方程是
⎩⎨
⎧==ϕϕ
sin cos b y a x (φ为参数)
椭圆122
22=+b
y a y (a ＞b ＞0)的参数方程是
⎩⎨
⎧==ϕ
ϕ
sin cos a y b x (φ为参数)
极坐标系在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.
点的极坐标设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)
极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取一样的长度单位. (2)互化公式
三、知识点、才能点提示
(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化
例1在圆x 2
+y 2
-4x-2y-20=0上求两点A 和B ，使它们到直线4x+3y+19=0的间隔分别最短和最长.
解：将圆的方程化为参数方程：
⎩
⎨
⎧+=+=θθ
sin 51cos 52y x 〔θ为参数〕 那么圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之间隔d=
2
2
3
430
sin 15cos 120+++θθ
故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).
(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化
说明这局部内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.
例2极坐标方程ρ=
θ
θcos sin 321
++所确定的图形是〔〕
解：ρ=
)
6
sin(12
11)]cos 2
1
23(
1[21
π
θθ+
+⋅=
++
(三)综合例题赏析
例3椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨
⎧Φ
+-=Φ
+=y x 〔〕
A.(-3，5)，(-3，-3)
B.(3，3)，(3，-5)
C.(1，1)，(-7，1)
D.(7，-1)，(-1，-1)
解：化为普通方程得
125
)1(9)3(2
2=++-y x ∴a 2
=25,b 2
=9,得c 2
＝１６,c=4.
∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)
∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选B. 例4参数方程
A.双曲线的一支，这支过点(1，21
) B.抛物线的一局部，这局部过(1，
21) C.双曲线的一支，这支过(-1，2
1
)
D.抛物线的一局部，这局部过(-1，2
1
)
解：由参数式得x 2
=1+sin θ=2y(x ＞0)
即y=
2
1
x 2
(x ＞0). ∴应选B.
例5在方程⎩⎨
⎧==θ
θcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是()
A.(2,-7)
B.〔
31，3
2〕 C.(
21，2
1)
D.(1，0)
解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2
将x=
21代入，得y=2
1 ∴应选C.
例6以下参数方程(t 为参数)与普通方程x 2
-y=0表示同一曲线的方程是()
A.⎩⎨⎧==t y t x
B.⎩⎨⎧==t
y t x 2
cos cos
C.⎪⎩
⎪⎨⎧-+==t t y tgt x 2cos 12cos 1 D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y tgt x 2cos 12cos 1
解：普通方程x 2
-y 中的x ∈R ，y ≥0，A.中x=｜t ｜≥0，B.中x=cost ∈〔-1,1〕，故排除A.和B.
C.中y=t
t 22sin 2cos 2=ctg 2
t=
221
1x t tg ==，即x 2
y=1，故排除C.
∴应选D.
例7曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化成直角坐标方程为()
2
+(y+2)2=42+(y-2)2
=4
C.(x-2)2+y 2=4
D.(x+2)2+y 2
=4
解：将ρ=
2
2y x +，sin θ=
2
2y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2
+y 2
=4y ，即x 2
+(y-2)2
=4.
∴应选B. 例8极坐标ρ=cos(
θπ-4
)表示的曲线是()
解：原极坐标方程化为ρ=
2
1(cos θ+sin θ)⇒
22ρ=ρcos θ+ρsin θ，
∴普通方程为2(x 2
+y 2
)=x+y ，表示圆.
应选D.
例9在极坐标系中，与圆ρ=4sin θ相切的条直线的方程是() A.ρsin θ=2B.ρcos θ=2 C.ρcos θ=-2D.ρcos θ=-4
例9图
解：如图.
⊙C 的极坐标方程为ρ=4sin θ，CO ⊥OX,OA 为直径，｜OA ｜=4,l 和圆相切，
l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点，那么有
cos θ=
ρ
2
=
OP
OB ，得ρcos θ=2，
∴应选B.
例104ρsin 22θ
=5表示的曲线是()
解：4ρsin 2
2θ=5⇔4ρ·.5cos 222
1
cos -=⇔-θρρθ
把ρ=2
2y x +ρcos θ=x ，代入上式，得
2
2
2y x +=2x-5.
平方整理得y 2
=-5x+.4
25
.它表示抛物线. ∴应选D.
例11极坐标方程4sin 2
θ=3表示曲线是()
解：由4sin 2
θ=3,得4·2
2
2
y x y +＝3,即y 2=3x 2
，y=±
x 3,它表示两相交直线.
∴应选B. 四、才能训练 (一)选择题 ρcos θ=
3
4
表示() 2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ
⎩
⎨⎧==y x 的位置关系是()
3.假设(x ，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，那么以下各组曲线：
①θ=
6π和sin θ=21；②θ=6
π
和tg θ=33，③ρ2
-9=0和ρ=3；④
其中表示一样曲线的组数为()
A.1
B.2
4.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足以下关系：ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=0，那么M ，N 两点位置关系是()
θ=
2
π
ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是() 6.经过点M(1，5)且倾斜角为
3
π
的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是() A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 B.⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=-=t y t x 235211
C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211
D.⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=t x t y 215231 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+++⋅=+++⋅=2222222222m m m b y m m m m a x (m 是参数，ab ≠0)化为普通方程是() A.)(122
22
a x
b y a x ≠=+
B.)(122
22a x b y a x -≠=+ C.)(122
22a x b
y a x ≠=-
D.)(122
22a x b
y a x -≠=- ρ=2sin(θ+
6π
)，那么圆心的极坐标和半径分别为() A.(1,3π),r=2B.(1,6π),r=1 C.(1,3π),r=1 D.(1,-3π),r=2
⎪⎩⎪⎨
⎧
-=+
=2
1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是() ⎩⎨
⎧+=+-=θ
θ
sec 212y tg x (θ为参数)的渐近线方程为() A.y-1=)2(21+±
x B.y=x 2
1±
C.y-1=)2(2+±x
D.y+1=)2(2-±x
⎩⎨
⎧=+=bt
y at
x 4((t 为参数)与圆x 2
+y 2
-4x+1=0相切，那么直线的倾斜角为()
A.
3
π B.
32π C.
3
π
或者
32πD.
3
π
或者35π
⎩⎨
⎧==pt
y pt x 222
(t 为参数)上的点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1+t 2=0，那么M ，N 间的间隔为()
A.2p(t 1+t 2)
B.2p(t 21+t 2
2)
C.│2p(t 1-t 2)│
D.2p(t 1-t 2)2
13.假设点P(x ，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy ，y 2
-x 2
)也在单位圆上运动，其运动规律是()
ωω，逆时针方向 ωω，逆时针方向
14.抛物线y=x 2
-10xcos θ+25+3sin θ-25sin 2
θ与x 轴两个交点间隔的最大值是()
A.5
B.10 3
ρ=
θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=
4
π
(ρ∈R)对称，那么l 的方程是() A ．θ
θρsin cos 23
-=
B ．θ
θρ
cos cos 23
-=
C ．θ
θρsin 2cos 3
-=
D ．θ
θρsin 2cos 3
+=
(二)填空题
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+-=+=t
y t x 5325
43(t 为参数)，那么过点(4，-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为 .
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x 〔θ为参数〕化成普通方程为.
ρ=tg θsec θ表示的曲线是.
⎩⎨
⎧-=+-=t
y t
x 3231(t 为参数)的倾斜角为；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的间隔为. (三)解答题
⎩⎨
⎧==θ
θsin 32cos 4y x (θ为参数)上一点P ，假设点P 在第一象限，且∠xOP=3π
，求点P 的坐标.
⎩⎨
⎧==pt
y pt x 222
(p ＞0，t 为参数)，当t ∈［-1，2］时，曲线C 的端点为A ，B ，设F 是曲线C 的焦点，
且S △AFB =14，求P 的值.
22
2
y x +=1及点B(0，-2)，过点B 作直线BD ，与椭圆的左半局部交于C 、D 两点，又过椭圆的右焦点F
2作平行于BD 的直线，交椭圆于G ，H 两点.
(1)试判断满足│BC │·│BD │=3│GF 2
│·│F 2H │成立的直线BD 是否存在并说明理由.
(2)假设点M 为弦CD 的中点，S △BMF2=2，试求直线BD 的方程.
⎩⎨
⎧=+=θ
θtg y x 3sec 48(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的间隔为49
，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短间隔.
24.A ，B 为椭圆2
2
22b y a x +=1，(a ＞b ＞0)上的两点，且OA ⊥OB ，求△AOB 的面积的最大值和最小值.
16
242
2y x +=1，直线l ∶
8
12y x +=1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足
│OQ │·│OP │=│OR │2
，当点P 在l 上挪动时，求点Q 的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.
参考答案
２
=-2(x-
21),(x ≤2
1
°,|32t| (三)20.(
5
15
4,558)；21.
;3
3
2 22.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.51
(27-341
max
=2
ab
，s max
=2
222b a b a +; 25.
2
5)1(25)1(2
2-+-y x =1(x,y)不同时为零)。