2021年九年级数学中考一轮复习知识点中考演练：与圆有关的综合题(附答案)

2021年九年级数学中考一轮复习中考真题演练：与圆有关的综合题（附答案）
1．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：
①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△
CEF≌△BED，其中一定成立的是（）
A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤
2．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结P A、PB．则△P AB面积的最大值是（）
A．8B．12C．D．
3．如图，四边形ABCD为菱形，AB＝BD，点B、C、D、G四个点在同一个圆⊙O上，连接BG并延长交AD于点F，连接DG并延长交AB于点E，BD与CG交于点H，连接FH，下列结论：
①AE＝DF；②FH∥AB；③△DGH∽△BGE；④当CG为⊙O的直径时，DF＝AF．
其中正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
4．一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：
（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）．
（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）．（3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）．（4）连结AE、AF、BE、BF，如图（5）．
经过以上操作，小芳得到了以下结论：
①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④S四边形AEBF：S扇形BEMF
＝3：π．以上结论正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M 的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE＝5，CE＝3，则DF的长是（）
A．3B．4C．4.8D．5
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，连结CD，延长AC，BD，相交于点F．现给出下列结论：
①若AD＝5，BD＝2，则DE＝；
②∠ACB＝∠DCF；
③△FDA∽△FCB；
④若直径AG⊥BD交BD于点H，AC＝FC＝4，DF＝3，则cos F＝；
则正确的结论是（）
A．①③B．②③④C．③④D．①②④
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA于D，若直线GH 与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，则下列结论：①AG＝CH；②GH＝；③直线GH的函数关系式y＝﹣；④梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，⊙P的半径为．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）
A．5﹣4B．﹣1C．6﹣2D．
9．如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上的一点，MN⊥AB，垂足为N，P，Q分别为、上一点（不与端点重合）如果∠MNP＝∠MNQ，给出下列结论：
①∠1＝∠2；②∠P+∠Q＝180°；③∠Q＝∠PMN；④MN2＝PN•QN；⑤PM＝QM
其中结论正确的序号是（）
A．①②③B．①③④C．①③⑤D．④⑤
10．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连结BE，BE＝7．下列四个结论：①AC平分∠DAB；②PF2＝PB•P A；③若BC＝OP，则阴影部分的面积为π﹣；④若PC＝24，则tan∠PCB＝．其中正确的是（）
A．①②B．③④C．①②④D．①②③
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y＝kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（）
A．22B．24C．10D．12
12．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．则下列结论正确的有（）
①∠CBD＝∠CEB；②＝；③点F是BC的中点；④若＝，tan E＝．
A．①②B．③④C．①②④D．①②③
13．如图，在锐角△ABC中，以BC为直径的圆分别交AB，AC于点D，F．若E，D关于BC对称，连接EF交BC于点G，AG⊥BC，AG与CD相交于点P，则点P一定为△DFG 的（）
A．外心B．内心
C．垂心D．以上答案都不对
14．如图，等边△ABC边长为2，射线AM∥BC，P是射线AM上一动点（P不与A点重合），△APC的外接圆交BP于Q，则AQ长的最小值为（）
A．1B．C．D．
15．如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，，四边形ABCD为矩形，且AB＝2BC，OF⊥CD于F，OD，EF相交于P点，下列结论：①；②PD＝PE；③OE ⊥OD；④PD＝4PO，其中正确的结论的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
16．对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣3交x轴于点M，⊙M的半径为2，矩形ABCD 沿直线运动（BD在直线l上），BD＝2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”
时，点C的坐标为．
17．如图，边长为4的正方形ABCD内接于圆O，点E是上的一动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下结论：
①＝；
②△OGH是等腰三角形；
③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；
④△GBH周长的最小值为4+．
其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）．
18．如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1．点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0），设点M转过的路程为m（0＜m＜1）．
（1）当m＝时，n＝；
（2）随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路径长为．
19．如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ，给出如下结论：①DQ＝1；②＝；③S△PDQ＝；④cos∠ADQ＝，其中正确结论是（填写序号）
20．如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1，点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0）．设点M转过的路程为m（0＜m＜1），随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路径长为．
21．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE ＝CF；②线段EF的最小值为2；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在上，则AD＝2；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是16．其中正确结论的序号是．
22．如图2是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆OA，OB，OC抽象为线段，有OA＝OB＝OC，且∠AOB＝120°，折线NG﹣GH﹣HE﹣EF表示楼梯，GH，EF是水平线，NG，HE是铅垂线，半径相等的小轮子⊙A，⊙B与楼梯两边都相切，且AO∥GH．
（1）如图2①，若点H在线段OB时，则的值是；
（2）如果一级楼梯的高度HE＝（8+2）cm，点H到线段OB的距离d满足条件d≤3cm，那么小轮子半径r的取值范围是．
23．如图，△ABC是⊙O内接正三角形，将△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，DE
分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，则有以下结论：①∠DQN＝30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周长等于AC的长；④NQ＝QC．其中正确的结论是．（把所有正确的结论的序号都填上）
24．如图，两个半圆外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上，并都与直线y＝x相切．若半圆O1的半径为1，则半圆O2的半径R＝．
25．如图：已知菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，动点P在边AB上运动，以点O为圆心，OP为半径作⊙O，CQ切⊙O于点Q．则在点P运动过程中，切线CQ的长的最大值为．
26．如图，⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是优弧BC上一动点（不包括端点），△ABC 的高BD、CE相交于点F，连结ED．下列四个结论：
①∠A始终为60°；
②当∠ABC＝45°时，AE＝EF；
③当△ABC为锐角三角形时，ED＝；
④线段ED的垂直平分线必平分弦BC．
其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点M是边AB的中点，连结CM，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿CB运动到点B停止，以PC为边作正方形PCDE，点D落在线段AC上．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当t＝时，点E落在△MBC的边上；
（2）以E为圆心，1cm为半径作圆E，则当t＝时，圆E与直线AB或直线CM 相切．
28．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．则线段EF的最小值为．
29．如图，点A（2，0），以OA为半径在第一象限内作圆弧AB，使∠AOB＝60°，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一动点（不与点O，A重合），点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则点E的坐标为；若点E落在半径OB上，则点E的坐标为．
30．如图，点P（t，0）（t＞0）是x轴正半轴上的一点，是以原点为圆心，半径为1的圆，且A（﹣1，0），B（0，1），点M是上的一个动点，连结PM，作直角△MPM1，并使得∠MPM1＝90°，∠PMM1＝60°，我们称点M1为点M的对应点．
（1）设点A和点B的对应点为A1和B1，当t＝1时，求A1的坐标；B1的坐标．
（2）当P是x轴正半轴上的任意一点时，点M从点A运动至点B，求M1的运动路径长．
31．如图，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°．O是AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G．则∠CDG＝，若AB＝，则BG＝．
32．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝4，∠CBA＝30°，点D在AO上运动，点E与点D关于AC对称：DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论：
①CE＝CF；
②线段EF的最小值为；
③当AD＝1时，EF与半圆相切；
④当点D从点A运动到点O时，线段EF扫过的面积是4．
其中正确的序号是．
33．如图，已知⊙O经过点A（2，0）、C（0，2）．直线y＝kx（k≠0）与⊙O分别交于点B、D，则四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为．
34．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC 中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB
上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．BD＝6，sin C＝．则下面结论正确的有（填序号）
（1）AC与⊙O相切；
（2）EF＝EG；
（3）⊙O的直径等于8；
（4）AB2＝AC AE．
35．如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．（1）求OP+OQ的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形OPCQ的面积．
36．某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）
（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；
（2）求证：，且其比值k＝；
（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．
37．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；
（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．
②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tan B的值．
38．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4，求线段EF的长；
（3）在（2）的条件下，求EDC部分的面积．
39．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：H为CE的中点；
（3）若BC＝10，cos C＝，求AE的长．
40．在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．
（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC 中，D，E分别是AB，AC的中点．
①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；
②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，
直接写出t的取值范围．
41．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．
（1）求证：DO∥AC；
（2）求证：DE•DA＝DC2；
（3）若tan∠CAD＝，求sin∠CDA的值．
42．探究活动一：
如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB上的三点A（1，3）、B（2，5）、C（4，9），有k AB＝＝2，k AC＝＝2，发现k AB＝k AC，兴趣小组提出猜想：若直线y＝kx+b（k≠0）上任意两点坐
标P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2），则k PQ＝是定值．通过多次验证和查阅资
料得知，猜想成立，k PQ是定值，并且是直线y＝kx+b（k≠0）中的k，叫做这条直线的斜率．
请你应用以上规律直接写出过S（﹣2，﹣2）、T（4，2）两点的直线ST的斜率k ST＝．探究活动二
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．
如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，D（2，2），E（1，4），F（4，3）．请求出直线DE与直线DF的斜率之积．
综合应用
如图3，⊙M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆，M（1，2），N（4，5），请结合探究活动二的结论，求出过点N的⊙M的切线的解析式．
43．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接OC交⊙O于点D，连接BD并延长交线段AC于点E，∠CDE＝∠CAD．
（1）求证：CD2＝AC•EC；
（2）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若AE＝EC，求tan B的值．
44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
（1）求证：BD＝BF；
（2）填空：
①若⊙O的半径为5，tan B＝，则CF＝；
②若⊙O与BF相交于点H，当∠B的度数为时，四边形OBHE为菱形．
45．已知：△ABC为等边三角形．
（1）求作：△ABC的外接圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）射线AO交BC于点D，交⊙O于点E，过E作⊙O的切线EF，与AB的延长线交于点F．
①根据题意，将（1）中图形补全；
②求证：EF∥BC；
③若DE＝2，求EF的长．
46．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝6，BO＝6，以点O为圆心，以2为半径作优弧，交AO于点D，交BO于点E．点M在优弧上从点D开始移动，到达点E 时停止，连接AM．
（1）当AM＝4时，判断AM与优弧的位置关系，并加以证明；
（2）当MO∥AB时，求点M在优弧上移动的路线长及线段AM的长；
（3）连接BM，设△ABM的面积为S，直接写出S的取值范围．
47．已知：图1为一锐角是30°的直角三角尺，其边框为透明塑料制成（内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等）．
操作：将三角尺移向直径为4cm的⊙O，它的内Rt△ABC的斜边AB恰好等于⊙O的直径，它的外Rt△A′B′C′的直角边A′C′恰好与⊙O相切（如图2）．
思考：
（1）求直角三角尺边框的宽．
（2）求证：∠BB′C′+∠CC′B′＝75°．
（3）求边B′C′的长．
48．问题探究：
（1）如图1，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，请在四边形ABCD内找一点P，使∠BPD ＝90°，
（2）如图2，AB为⊙O的直径，AC＝BC，D为上一点，连接CD、BD、AD，若CD ＝2，BD＝1，求AD的值．
问题解决：
（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，过B作射线BE，与AD边或CD边交于点E，过D作DF⊥BE于点F，△ABF的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在请说明理由．
49．已知△ABC内接于⊙O，点D在弦AB上，设∠CAB＝α，∠ACD＝β．
（1）如图1，当⊙O的半径OB＝3，α＝30°时，求的长；
（2）如图1，试用含α的代数式表示∠OBC的大小；
（3）如图2，点P是DC延长线上的一点，连接PB．若∠ABC＝β，且PD＝PB，求证：PB是⊙O的切线．
50．如图，AB为⊙O的直径，D是的中点，BC与AD，OD分别交于点E，F．（1）求证：OD∥AC；
（2）求证：DC2＝DE•DA；
（3）若⊙O的直径AB＝10，AC＝6，求BF的长．
参考答案1．解：①、∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
②假设∠AOC＝∠AEC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠A＝∠ABC，
∴，
∵OC∥BD
∴∠C＝∠CBD，
∴∠ABC＝∠DBC，
即：
∴C，D是半圆的三等分点，
而与“C，D是⊙O上的点”矛盾，
∴∠AOC≠∠AEC，
③、∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴BC平分∠ABD，
④、∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵OC∥BD，
∴∠AFO＝90°，
∵点O为圆心，
∴AF＝DF，
⑤、由④有，AF＝DF，
∵点O为AB中点，
∴OF是△ABD的中位线，
∴BD＝2OF，
⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，
∴△CEF与△BED不全等，
故选：D．
2．解：∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），3x﹣4y﹣12＝0，即OA＝4，OB＝3，由勾股定理得：AB＝5，
过C作CM⊥AB于M，连接AC，
则由三角形面积公式得：×AB×CM＝×OA×OC+×OA×OB，
∴5×CM＝4×1+3×4，
∴CM＝，
∴圆C上点到直线y＝x﹣3的最大距离是1+＝，
∴△P AB面积的最大值是×5×＝，
故选：C．
3．解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝DC＝AD，
又∵AB＝BD，
∴△ABD和△BCD是等边三角形，
∴∠A＝∠ABD＝∠DBC＝∠BCD＝∠CDB＝∠BDA＝60°，
又∵B、C、D、G四个点在同一个圆上，
∴∠DCH＝∠DBF，∠GDH＝∠BCH，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠GDH＝60°﹣∠EDB，∠DCH＝∠BCD﹣∠BCH＝60°﹣∠BCH，∴∠ADE＝∠DCH，
∴∠ADE＝∠DBF，
在△ADE和△DBF中，
∴△ADE≌△DBF（ASA）
∴AE＝DF
故①正确，
②由①中证得∠ADE＝∠DBF，
∴∠EDB＝∠FBA，
∵B、C、D、G四个点在同一个圆上，∠BDC＝60°，∠DBC＝60°，∴∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°，
∴∠BGE＝180°﹣∠BGC﹣∠DGC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠FGD＝60°，
∴∠FGH＝120°，
又∵∠ADB＝60°，
∴F、G、H、D四个点在同一个圆上，
∴∠EDB＝∠HFB，
∴∠FBA＝∠HFB，
∴FH∥AB，
故②正确，
③∵B、C、D、G四个点在同一个圆上，∠DBC＝60°，
∴∠DGH＝∠DBC＝60°，
∵∠EGB＝60°，
∴∠DGH＝∠EGB，
由①中证得∠ADE＝∠DBF，
∴∠EDB＝∠FBA，
∴△DGH∽△BGE，
故③正确，
④如下图
∵CG为⊙O的直径，点B、C、D、G四个点在同一个圆⊙O上，∴∠GBC＝∠GDC＝90°，
∴∠ABF＝120°﹣90°＝30°，
∵∠A＝60°，
∴∠AFB＝90°，
∵AB＝BD，
∴DF＝AF，
故④正确，
正确的有①②③④；
故选：D．
4．解：∵纸片上下折叠A、B两点重合，
∴∠BMD＝90°，
∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴∠BNF＝90°，
∴∠BMD＝∠BNF＝90°，
∴CD∥EF，故①正确；
根据垂径定理，BM垂直平分EF，
又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴BN＝MN，
∴BM、EF互相垂直平分，
∴四边形MEBF是菱形，故②正确；
∵ME＝MB＝2MN，
∴∠MEN＝30°，
∴∠EMN＝90°﹣30°＝60°，
又∵AM＝ME（都是半径），
∴∠AEM＝∠EAM，
∴∠AEM＝∠EMN＝×60°＝30°，
∴∠AEF＝∠AEM+∠MEN＝30°+30°＝60°，同理可求∠AFE＝60°，
∴∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，故③正确；
设圆的半径为r，则EN＝r，
∴EF＝2EN＝r，
∴S四边形AEBF：S扇形BEMF＝（×r×2r）：（πr2）＝3：π，故④正确；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：D．
5．解：延长EF，过点B作直线平行AC和EF相交于P，
∵AE＝5，EC＝3，
∴AC＝AE+CE＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝4，AC⊥BD，
∴OE＝OC﹣CE＝4﹣3＝1，
∵以OB为直径画圆M，
∴AC是⊙M的切线，
∵DN是⊙M的切线，
∴EN＝OE＝1，MN⊥AN，
∴∠DNM＝∠DOE＝90°，
∵∠MDN＝∠EDO，
∴△DMN∽△DEO，
∴DM：MN＝DE：OE，
∵MN＝BM＝OM＝OB，
∴DM＝OD+OM＝3MN，
∴DE＝3OE＝3，
∵OE∥BP，
∴OD：OB＝DE：EP，
∵OD＝OB，
∴DE＝EP＝3，
∴BP＝2OE＝2，
∵OE∥BP，
∴△EFC∽△PFB，
∴EF：PF＝EC：BP＝3：2，∴EF：EP＝3：5，
∴EF＝EP×＝1.8，
∴DF＝DE+EF＝3+1.8＝4.8．故选：C．
6．解：①如图1，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD，
∵∠BDE＝∠BDE，
∴△BDE∽△ADB，
∴，
由AD＝5，BD＝2，可求DE＝，
①不正确；
②如图2，
连接CD，
∠FCD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠FCD＝∠ABD，
若∠ACB＝∠DCF，因为∠ACB＝∠ADB，
则有：∠ABD＝∠ADB，与已知不符，
故②不正确；
③如图3，
∵∠F＝∠F，∠F AD＝∠FBC，
∴△FDA∽△FCB；
故③正确；
④如图4，
连接CD，由②知：∠FCD＝∠ABD，
又∵∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FBA，
∴，
由AC＝FC＝4，DF＝3，可求：AF＝8，FB＝，
∴BD＝BF﹣DF＝，
∵直径AG⊥BD，
∴DH＝，
∴FH＝，
∴cos F＝＝，
故④正确；
故选：C．
7．解：①∵四边形OABC是矩形，
∴OE＝BE，BC∥OA，OA＝BC，
∴∠HBE＝∠GOE，
∵在△BHE和△OGE中，∠HBE＝∠GOE，OE＝BE，∠HEB＝∠GEO，∴△BHE≌△OGE（ASA），
∴BH＝OG，
∴AG＝CH．
②如图1，连接DE并延长DE交CB于M，连接AC，则由矩形的性质，点E在AC上．∵DD＝OC＝1＝OA，
∴D是OA的中点，
∵在△CME和△ADE中，
∠MCE＝∠DAE，CE＝AE，∠MEC＝∠DEA，
∴△CME≌△ADE（ASA），
∴CM＝AD＝2﹣1＝1，
∵BC∥OA，∠COD＝90°，
∴四边形CMDO是矩形，
∴MD⊥OD，MD⊥CB，
∴MD切⊙O于D，
∵HG切⊙O于F，E（1，），
∴可设CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME，
在Rt△MHE中，有MH2+ME2＝HE2，
即（1﹣x）2+（）2＝（+x）2，解得x＝．
∴H（，1），OG＝2﹣＝，
∴G（，0）．
∴GH2＝（﹣）2+（0﹣1）2＝，
∴GH＝，
③设直线GH的解析式是：y＝kx+b，
把G、H的坐标代入得，解得：，∴直线GH的函数关系式为y＝﹣x+，
④如图2，连接BG，
∵在△OCH和△BAG中，
CH＝AG，∠HCO＝∠GAB，OC＝AB，
∴△OCH≌△BAG（SAS）．
∴∠CHO＝∠AGB．
∵∠HCO＝90°，
∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F．
∴OH平分∠CHF．
∴∠CHO＝∠FHO＝∠BGA．
∵△CHE≌△AGE，
∴HE＝GE．
∵在△HOE和△GBE中，HE＝GE，∠HEO＝∠GEB，OE＝BE，
∴△HOE≌△GBE（SAS）．
∴∠OHE＝∠BGE．
∵∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，
∴∠BGA＝∠BGE，即BG平分∠FGA．
∵⊙P与HG、GA、AB都相切，
∴圆心P必在BG上．
过P做PN⊥GA，垂足为N，则△GPN∽△GBA．
∴＝，
设半径为r，则，解得r＝．
故选：D．
8．解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，
则此时PM+PN最小，
∵点A坐标（2，3），
∴点A′坐标（2，﹣3），
∵点B（3，4），
∴A′B＝＝5，
∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝5﹣3﹣1＝5﹣4，∴PM+PN的最小值为5﹣4．
故选：A．
9．解：延长QN交圆O于C，延长MN交圆O于D，如图∵MN⊥AB，∠MNP＝∠MNQ，
则∠1＝∠2，故①正确；
∵AB是⊙O的直径，MN⊥AB，＝，
∵∠1＝∠2，∠ANC＝∠2，
∴∠1＝∠ANC，
∴P，C关于AB对称，
则＝，＝，
∴∠Q＝∠PMN，故③正确；
∵∠P+∠PMN＜180°，∠Q＝∠PMN，∴∠P+∠Q＜180°，
故②错误；
∵∠MNP＝∠MNQ，∠Q＝∠PMN，
∴△PMN∽△MQN，
∴MN2＝PN•QN，PM不一定等于MQ；
故④正确，⑤错误．
故选：B．
10．解：①连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，
∴∠OCP＝∠D＝90°，
∴OC∥AD．
∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC．
即AC平分∠DAB．故正确；
②∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠PCB+∠ACD＝90°，
又∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠CAB＝∠CAD＝∠PCB．
又∵∠ACE＝∠BCE，∠PFC＝∠CAB+∠ACE，∠PCF＝∠PCB+∠BCE．∴∠PFC＝∠PCF．
∴PC＝PF，
∵∠P是公共角，
∴△PCB∽△P AC，
∴PC：P A＝PB：PC，
∴PC2＝PB•P A，
即PF2＝PB•P A；故正确；
③连接AE．
∵∠ACE＝∠BCE，
∴＝，
∴AE＝BE．
又∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°．
∴AB＝BE＝×7＝14，
∴OB＝OC＝7，
∵PD是切线，
∴∠OCP＝90°，
∵BC＝OP，
∴BC是Rt△OCP的中线，
∴BC＝OB＝OC，
即△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴S△BOC＝，S扇形BOC＝×π×72＝π，∴阴影部分的面积为π﹣；故错误；
④∵△PCB∽△P AC，
∴，
∴tan∠PCB＝tan∠P AC＝＝，
设PB＝x，则P A＝x+14，
∵PC2＝PB•P A，
∴242＝x（x+14），
解得：x1＝18，x2＝﹣32，
∴PB＝18，
∴tan∠PCB＝＝＝；故正确．
故选：C．
11．解：对于直线y＝kx﹣3k+4＝k（x﹣3）+4，当x＝3时，y＝4，故直线y＝kx﹣3k+4恒经过点（3，4），记为点D．
过点D作DH⊥x轴于点H，
则有OH＝3，DH＝4，OD＝＝5．
∵点A（13，0），
∴OA＝13，
∴OB＝OA＝13．
由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图所示，因此运用垂径定理及勾股定理可得：
BC的最小值为2BD＝2＝2×＝2×12＝24．故选：B．
12．证明（1）∵BC⊥AB于点B，
∴∠CBD+∠ABD＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°
∴∠CBD＝∠BAD，
∵∠BAD＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠CBD，
故①正确．
（2）∵∠C＝∠C，∠CEB＝∠CBD，
∴△EBC∽△BDC，
∴＝，
故②正确，
（3）∵∠EBD＝∠BDF＝90°，
∴DF∥BE，
假设点F是BC的中点，则点D是EC的中点，
∴ED＝DC，
∵ED是直径，长度不变，而DC的长度是不定的，∴DC不一定等于ED，
故③是错误的．
（4）∵＝，
设BC＝3x，AB＝2x，
∴OB＝OD＝x，
∴在RT△CBO中，OC＝x，
∴CD＝（﹣1）x
∵由（2）知，＝
∴＝＝＝，∵tan E＝
∴tan E＝，
故④正确，
故选：C．
13．解：∵B、D、F、E四点共圆，∴∠BDF+∠BEF＝180°．
∵∠BDF+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠BEF．
∵E、D关于BC对称，
∴∠BDG＝∠BEG，
∴∠BDG＝∠ADF，
∵BC为直径，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴∠FDC＝∠GDC，
∴CD为∠FDG的角平分线；
∵E、D关于BC对称，BC为直径，
∴＝，
∴∠EFC＝∠DBC，
∵所对的角为∠BCF、∠BEF，
∴∠BCF＝∠BEF，
∵∠BDG＝∠BEG，
∴∠BCF＝∠BDG，
在△BDG和△FCG中，
∵∠BDG＝∠FCG，∠DBG＝∠CFG，∴△BDG∽△FCG，
∴∠BGD＝∠CGF，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB＝∠AGC＝90°，
∴∠DGA＝∠FGA，
∴GA为∠DGF的角平分线，
∵CD、AP交于点P，
∴点P为△DFG的内心．
故选：B．
14．解：过点B作BD⊥直线AP，垂足为D，过点C作CE⊥直线AP，垂足为E，连接QC，如图，
则有BD∥CE．
∵AP∥BC，∠BDE＝90°，
∴四边形BCED是矩形，
∴∠DBC＝∠ECB＝90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝2，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBA＝∠ECA＝30°，
∴AD＝1，AE＝1，
∴BD＝，CE＝．
设AP＝x，则DP＝x+1，EP＝．
在Rt△BDP中，BP2＝BD2+DP2＝3+（x+1）2＝x2+2x+4．
在Rt△CEP中，CP2＝CE2+EP2＝3+（x﹣1）2＝x2﹣2x+4．
∵AM∥BC，
∴∠APB＝∠CBP．
∵∠APB＝∠ACQ，
∴∠ACQ＝∠CBP．
∵∠QAC＝∠CPB，
∴△AQC∽△PCB，
∴＝，
∴AQ＝2×，
∴AQ2＝4×＝4×
＝4×（1﹣）
＝4×（1﹣）
＝4﹣，
当＝0即x＝2时，AQ2取到最小值为，此时AQ＝．故选D．
方法二：如图，
易知∠PQC＝∠P AC＝∠ACB＝60°，
∴∠BQC＝120°，
∴点Q的运动轨迹是，
∴当AQ⊥BC时，AQ的长最小，设AQ交BC于G，此时AG＝，OG＝BQ＝AQ，∴AQ的最小值为，
故选：D．
15．解：
过E作EN垂直DC交AB于点M，设圆的半径为R，
∵AB为⊙O的直径，，
∴∠AOE＝60°，
∵EN⊥DC，四边形ABCD为矩形，
∴EN⊥AB，
在Rt△EMO中，∠AOE＝60°，则∠OEM＝30°，
∴OM＝R，EM＝R，
易得四边形OMNF为矩形，则MN＝OF＝BC＝AB＝R，∴NF＝OF＝R，
∵△EMH∽△ENF，
∴＝，即＝，
解得：MH＝R，则OH＝OM﹣MH＝（2﹣）R，在Rt△OHF中，HF＝＝（﹣）R，
∵△OPH∽△DPF，
∴＝＝2﹣，
∵HP+PF＝HF＝（﹣）R，
∴HP＝（﹣）R，PF＝R，
∴＝，故①正确；
同理可得：OP＝R，PD＝R，
在Rt△EMH中，EH＝＝＝，则EP＝EH+HP＝DP＝R，故②正确；
∠AOE+∠AOD＝60°+45°＝105°，故③错误；
＝＝2﹣≠，故④错误．
综上可得①②正确，共2个．
故选：B．
16．解：如图所示，矩形在这两个位置时就是⊙M的“伴侣矩形”，根据直线l：y＝x﹣3得：OM＝，ON＝3，
由勾股定理得：MN＝＝2，
①矩形在x轴下方时，分别过A、D作两轴的垂线AH、DG，
由cos∠ABD＝cos∠ONM＝＝，
∴＝，AB＝，则AD＝1，
∵DG∥y轴，
∴△MDG∽△MNO，
∴，
∴，
∴DG＝，。