2021年中考数学专题复习专题17函数中动点与三角形的存在性问题

九年级数学
专题函数中动点与三角形的存在性问题
本节内容中均为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、方程及分类讨论思想等知识，其共同点是都涉及有特殊要求的三角形的存在性问题.
能力训练：
1.如图,抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴交于点A(-1,0),B(3,0),C(0,3),点D是抛物线的顶点,E是线段AB 的中点.
(1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标;
(2)F(x,y)是抛物线上的动点:
①当x>1,y>0时,求△BDF的面积的最大值;
②当∠AEF=∠DBE时,求点F的坐标.
2.如图1,图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m(k<0)与y2=ax2+b(a>0)的部分图像围成的封闭图形,已知A(1,0),B(0,1),D(0,-3)。

(1)直接写出这两个二次函数的表达式;
(2)判断图形ABCD是否存在内接正方形(正方形的四个顶点在图形ABCD上),并说明理由;
(3)如图2,连接BC,CD,AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似(其中点C与点E是对应顶点)的点E 的坐标.
3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx-1经过点A(-2,1)和点B(-1,-1),抛物线C2:y=2x2+x+1,动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M.
(1)求抛物线C1的表达式.
(2)直接用含t的代数式表示线段MN的长.
(3)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,求t的值.
(4)在(3)的条件下,设抛物线C1与y轴交于点P,点M在y轴右侧抛物线C2上,连接AM交y轴于点K,连接KN,在平面内有一点Q,连接KQ和QN,当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时,请直接写出点Q的坐标.
4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.且直线y=x-6过点B,与y轴交于点D,点C与点D关于x轴对称,点P是线段OB上一动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,交直线BD于点N.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)当△MDB的面积最大时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点Q,使得以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
5.如图,在平面直角坐标系中,函数y=-ax2+2ax+3a(a>0)的图像交x轴于点A、B,交y轴于点C,它的对称轴交x轴于点E.过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,连接DE并延长交y轴于点F,交抛物线于点G.直线AF交CD于点H,交抛物线于点K,连接HE、GK.
(1)点E的坐标为 ;
(2)当△HEF是直角三角形时,求a的值;
(3)判断HE与GK有怎样的位置关系?请说明理由.
6.将抛物线C:y=(x-2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1,再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2.
(1)直接写出抛物线C1,C2的解析式;
(2)如图1,点A在抛物线C1(对称轴l右侧)上,点B在对称轴l上,△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形,求点A的坐标;
x与抛物线(3)如图2,直线y=kx(k≠0,k为常数)与抛物线C2交于E,F两点,M为线段EF的中点;直线y=-4
k
C2交于G,H两点,N为线段GH的中点.求证:直线MN经过一个定点.
7.如图,抛物线y=ax 2+94x+c 经过点A(-1,0)和点C(0,3)与x 轴的另一交点为点B,点M 是直线BC 上一动点,过点M 作MP∥y 轴,交抛物线于点P.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在一点Q,使得△QCO 是等边三角形?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)以M 为圆心,MP 为半径作⊙M,当⊙M 与坐标轴相切时,求出⊙M 的半径.
8.如图,抛物线y=12x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左边),与y 轴交于点C.直线y=1
2x-2经过B 、C 两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P 是抛物线上的动点,过点P 且垂直于x 轴的直线与直线BC 及x 轴分别交于点D 、M.PN⊥BC,垂足为N.设M(m,0).
①点P 在抛物线上运动,若P 、D 、M 三点中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外).请直接写出符合条件的m 的值;
②当点P 在直线BC 下方的抛物线上运动时,是否存在一点P ，使△PNC 与△AOC 相似.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
9.如图,抛物线y=ax2+bx+8(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)和点B(8,0),与y轴交于点C,顶点为D,连接AC,BC,BC与抛物线的对称轴l交于点E.
(1)求抛物线的表达式;
S△ABC时,求点P的坐标;
(2)点P是第一象限内抛物线上的动点,连接PB,PC,当S△PBC=3
5
(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点,在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.
10.如图所示,抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点M为抛物线的顶点.
(1)求点C及顶点M的坐标;
(2)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点,连接BN、CN,求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标;
(3)若点D是抛物线对称轴上的动点,点G是抛物线上的动点,是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点G的坐标;若不存在,试说明理由;
(4)直线CM交x轴于点E,若点P是线段EM上的一个动点,是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC 相似若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
11.如图,抛物线经过点A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P(m,n)是抛物线上的动点,当-3<m<0时,试确定m的值,使得△PAC的面积最大;
(3)抛物线上是否存在不同于点B的点D,满足DA2-DC2=6,若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.。