江西省重点中学协作体20高三第二次联考.docx

高中数学学习材料
唐玲出品
江西省重点中学协作体2015届高三第二次联考
数学试卷（理）
命题人：抚州一中 万曲 孙明宇 九江一中 梅宋军
第I 卷
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{}
042>-=x x x M ，{}8<<=x m x N ，若{}
n x x N M <<=6 ，则
=+n m ( )
A.10
B.12
C.14
D.16 2.设i 是虚数单位，则=-
+i
i 2
)1(( ) A.2 B.22 C.3 D.10 3.已知等比数列}{n a 的各项都是正数，且2312,2
1
,
3a a a 成等差数列，
则=++17181920a a a a ( ) A.1 B.3 C.6 D.9
4.给出下列结论：①命题“1sin ,≠∈∀x R x ”的否定是“1sin ,=∈∃x R x ”；
②命题“6
π
α=
”是“2
1
sin =
α”的充分不必要条件； ③数列}{n a 满足“n n a a 31=+”是“数列}{n a 为等比数列”的充分必要条件. 其中正确的是( ) A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
5.已知函数42)(2
+-=x x x f ，数列}{n a 是公差为d 的等差数列，若)1(1-=d f a ，
)1(3+=d f a ，则}{n a 的通项公式为( )
A.12-n
B.12+n
C.32+n
D.2+n 6.若实数y x ,满足⎩⎨
⎧≤+-≤0
12y x y ，则2
-+=
x y
x z 的最小值为（ ） A.2- B.3- C.4- D.5-
7.已知直角ABC ∆中，斜边6=AB ，D 为线段AB 的中点，P 为线段CD 上任意一点，则
PC PB PA ⋅+)(的最小值为( )
A.29
-
B.2
9 C.2- D.2 8.甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩(环数)如下面的频数条形统计图所示，则甲、乙、
丙三人训练成绩的方差2
S 甲、2
S 乙、2
S 丙的大小关系是( )
A.222S S S >>乙丙甲
B.222
S S S >>乙甲丙 C 222S S S >>乙丙甲 D.222
S S S >>乙丙甲
9.如图所示程序框图,则满足2≤+y x 的输出的有序实数对
),(y x 的概率为( )
环数
频数
2
4 6 8 10
6 6 6 6 6 6 6
3 4 5 6 7 8 9
甲
环数
频数 2
4 6 8 10 8
5 3
10
3
5 8 3 4 5
6
7
8 9
丙
环数
频数
2
4 6 8 10 3
5 8 10
8 5 3
3 4 5 6 7 8 9
乙
A.161
B.323
C.41
D.2
1
10.已知圆42
2=+y x ，点)0,3(A ，动点M 在圆上运动，O 为坐标原点，则OMA ∠的最大值为( ) A.
6π B.4π C.3π D.
2π 11.已知点)1,0(A ，曲线x a y C ln :=恒过定点B ，P 为曲线C 上的动点且AB AP ⋅的最小值为2，则=a ( )
A.2-
B.-1
C.2
D.1
12.已知圆16)2(:2
2
1=+-y x C 及圆2
2
2
2:r y x C =+ )20(<<r ，动圆M 与两圆都相切.动圆的圆心M 的轨迹是两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为21,e e )(21e e >，则
212e e +的最小值为( )
A ．
42
23+ B.2
3 C. 2 D.
8
3
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分． 13.多项式6)12(x
x -
的展开式中常数项是 ．
14.已知数列}{n a 满足n
n
n a a a -+=
+111 )(+∈N n ，若
2
1
1=
a ，则=2015a . 15.已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为 ．
16.若集合{}{
}4,3,2,1,,,=d c b a ，且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是 ．
第II 卷
三、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数12cos cos sin 32)(+-=x x x x f . (1)求)(x f 的单调递增区间；
(2)角C B A ,,为ABC ∆的三个内角，且13
23
)32(,511)122(=
+=+ππB f A f ，求C sin 的值.
18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，平面⊥APC 平面ABC ，且4===PC PB PA ，2==BC AB . (1)求三棱锥ABC P -的体积ABC P V -；
(2)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.
19. （本小题满分12分）4月15日，亚投行意向创始成员国已经截止，意向创始成员国敲定57个，其中，亚洲国家34个，欧洲国家18个，非洲和大洋洲各2个；南美洲1个．18个欧洲国家中G8国家有5个（英法德意俄）.亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管理架构.假设理事会由9人组成,其中3人由欧洲国家等可能产生． (1)这3人中恰有2人来自于G8国家的概率；
(2)设X 表示这3人来自于G8国家的人数，求X 的分布列和期望．
20.（本小题满分12分）已知点)0,3(F ，圆E ：16)3(2
2=++y x ，点P 是圆E 上任
意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ． (1)求动点Q 的轨迹方程；
(2)若直线l 与圆O :12
2
=+y x 相切，并与(1)中轨迹交于不同的两点B A 、．当
λ=⋅OB OA ，且满足
3
2
21≤≤λ时，求AOB ∆面积S 的取值范围． A
P
B C
21．（本小题满分12分）已知函数x
ae x x f -=)( （a 为实常数）. (1)若函数)(x f 在0=x 的切线与x 轴平行，求a 的值； (2)若)(x f 有两个零点21,x x ，求证：221>+x x .
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致. 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，半径OP OB ⊥，AB 交PO 于点C . (1)求证：PC PA =；
(2)若圆O 的半径为3，5=PO ，求线段AC 的长度．
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为)(2
2622
2为参数t t y t
x ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+=-=.在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 10=．
(1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)设圆C 与直线l 交于点B A 、，若点P 的坐标为)6,2(，求||||PB PA +．
C
A
B
P
O
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|21||23|.f x x x =++- (1)求不等式6)(≤x f 的解集；
(2)若关于x 的不等式()1f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围．
z
y
x
O A P
C B
江西省重点中学协作体2015届高三第二次联考
数学（理）答案
一、选择题：1-5: C D DAB 6-10：BACDC 11-12: DA 二、填空题：13．160- 14．2- 15. π5 16. 6 三、解答题：
17.解：由题意可得1)6
2sin(2)(+-=π
x x f
（1）2
26
22
2π
ππ
π
π+≤-
≤-
k x k
所以增区间为： ]3
,6[π
πππ+
-
k k Z k ∈.………………………………………6分
（2）由511)122(=+πA f 得5
3
sin =A ；………………………………………7分
1323)32(=+πB f 得13
12
sin ,135cos ==B B ；………………………………………8分
由于，＜simB simA 131253==则5
4
,=ℑ⇒∠A CO b a ……………………………10分
所以65
63
)sin(sin =
+=B A C .……………………………………………………12分 18.解：（1）取AC 中点O ，连结BO PO ,， PC PA =，BC AB =，
∴AC OB AC OP ⊥⊥,，
又 平面⊥APC 平面ABC ，∴ABC OP 面⊥………2分，
OB OP ⊥，∴222PB OB OP =+，
即1641622=-+-OC OC ，得2=
OC ，则14,2,2===OP OB OA ，
22=AC ，………4分
∴22222
1
21=⋅⋅=⋅⋅=
∆OB AC S ABC . ∴3
1421423131=⋅⋅=⋅⋅=
∆-OP S V ABC ABC P .……………………6分 （2）方法一 ：分别以OP OC OB 、、为z y x 、、轴，建立空间直角坐标系. 得)14,0,0(),0,2,0(),0,0,2(),0,2,0(),0,0,0(P C B A O -，………8分
∴)0,2,2(-=BC ，)14,0,2(-=BP ，设平面PBC 的法向量),,(z y x n =.
由0,0=⋅=⋅n BP n BC 得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-01420
22z x y x ，取1=z ，得)1,7,7(=n .10分
)0,2,2(=AB ，∴15210
15
2142|
|||,cos ==
⋅⋅>=
<n AB n AB n AB .
故直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为
15
210
.……………………12分 方法二 ：设点A 到平面PBC 的距离为d ，作H BC BC PH 于点交⊥， 则15142222=-=-=
HC PC PH ，
151522
1
21=⨯⨯=⋅=
∆PH BC S PBC ∴15
14
23142153131
=
⇒=
⋅⋅=⋅⋅⇒=∆--d d d S V V PBC PBC A ABC P ∴直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为
15
210
152142=
=AB d . 19.解：(1)40865
3
18
1
1325==C C C P …………………………5分 (2)X 可能的取值为0、1、2、3
408143
)0(318313===C C X P 408195)1(3
182
1315===C C C X P 40865)2(31811325===C C C X P 408
5
)3(3183
5===C C X P X
0 1
2 3 P
408143 408195 40865 408
5
………10分
6
5
=EX ……………………………………………………12分
20.解：(1)连接QF ，∵|QE |＋|QF |=|QE |＋|QP |=|PE |=4>|EF |=32， ∴动点Q 的轨迹是以)0,3(-E 、)0,3(F 为焦点，长轴长42=a 的椭圆，
即动点Q 的轨迹方程为:14
22
=+y x ；…………………4分
(2)依题结合图形知直线l 的斜率不为零，所以设直线l 的方程为n my x +=(R m ∈)． ∵直线l 即0=--n my x 与圆O :12
2
=+y x 相切，∴
11
||2=+m n 得122+=m n ．
(5分) 又∵点B A ,的坐标),(),,(2211y x y x 满足：⎩
⎨⎧=-++=0442
2y x n my x ， 消去x 整理得042)4(2
2
2
=-+++n mny y m ，
由韦达定理得4
2221+-=+m mn
y y ，442221+-=m n y y ．…………………6分
又 ||1||
212y y m AB -⋅+=，点O 到直线l 的距离11||2
=+=
m
n d ，
∴||||2
1
||121||2121212y y n y y m AB d S AOB -⋅=-⋅+⋅=⋅=
∆ 222222)4(1
32)4(32++⋅=+⋅=m m m n
………8分
∵21212121))((y y n my n my y y x x OB OA +++=+=⋅=λ
4
14445)()1(222
222
21212
++=+--=++++=m m m m n n y y mn y y m ． ∵3221≤≤λ，令12+=m t ，则]6,3[]3
2
,21[3∈⇒∈+=t t t λ ∴
69
3
26932)3(32)4(1322
2222++=++⋅=+⋅=++⋅=∆t
t t
t t t t m m S AOB
，…………………10分 ∵
]
121
,272[69
1]2
27,12[69]227,12[69]215,6[9∈++⇒∈++⇒∈++⇒∈+t
t t t t t t t ∴]1,322[
∈∆AOB S ，∴AOB S ∆的取值范围为：]1,3
2
2[.…………………12分
21.解：(1)x ae x f -=1)('，由题意知01)0('=-=a f 1=∴a .…………3分
(2)由题意知：1
1x ae x = ① 2
2x ae x = ② 不妨设21x x <
①-②得 )(21
21x x e e
a x x -=- 2
12
1x x e
e x x a --=
∴ ③ …………5分 又)(21
21x x e e
a x x +=+，欲证221>+x x 只需证2)(21>+x x e e a ④
联立③④得2)
)((2
12121>--+x x x x e e x x e e
…………7分 即21)
)(1(2
12121>--+--x x x x e x x e ，令21x x t -= （0<t ） 则上式等价于21
)1(>-+t
t e t
e ，即02)2(>++-t t e t ⑤…………9分 令2)2()(++-=t t e t t
ϕ （0<t ） 1)1()('+-=t e t t ϕ，
0)(''<=t te t ϕ )('t ϕ∴在)0,(-∞上单调递减，从而0)0(')('=>ϕϕt )(t ϕ∴在)0,(-∞上单调递增，从而0)0()(=<ϕϕt
即⑤式成立，221>+∴x x ……………………………………………………12分 22.解：(1)证明：连接OA ， OB OA =，∴OBA OAB ∠=∠. PA 与圆O 相切于点A ，
∴ 90=∠OAP . ∴OAB PAC ∠-=∠ 90. OP OB ⊥， ∴OBA BCO ∠-=∠ 90. ∴PAC BCO ∠=∠.
又
PCA
BCO ∠=∠，
∴PCA PAC ∠=∠.∴PC PA =.…………………5分
(2)假设PO 与圆O 相交于点M ，延长PO 交圆O 于点N .
PA 与圆O 相切于点A ，PMN 是圆O 的割线， ∴)()(2ON PO OM PO PN PM PA +⋅-=⋅=．
5
=PO ，
3
==ON OM ，
∴16)35()35(2=+⨯-=PA . ∴4=PA .
∴由(1)知4==PA PC . ∴1=OC .在OAP Rt ∆中，5
3
cos ==
∠OP OA AOP . N
C A
B
P
M
O
精心制作仅供参考唐玲出品 ∴5325313219cos 2222=⨯
⨯⨯-+=∠⋅⋅⋅-+=AOP OC OA OC OA AC . ∴5
104532==AC .…………………10分 23.解：(1)由θρcos 10=得01022=-+x y x ，即25)5(22=+-y x .…………4分
(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得25)226()223(22=++-
-t t . 即020292=++t t ，…………6分 由于082204)29(2>=⨯-=∆，可设21,t t 是上述方程的两个实根. 所以⎩⎨⎧=⋅-=+20
292121t t t t ，又直线l 过点)6,2(P ， 可得：29)()()(||||||||212121=+-=-+-=+=+t t t t t t PB PA .…………10分
24．解：(1)原不等式等价于
313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6
x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ 解得322
x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<- 即不等式的解集为}21|{≤≤-x x …………………5分
(2)4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x
4|1|>-∴a 3a ∴<-或5a > …………………10分。