普宁市城东中学高三文科数学综合测试题

普宁市城东中学2009届高三文科数学综合测试题
一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个符合题目要求．）
1. 与集合{}
1,3x x x ∈>≤N 且相等的集合是（ ）
A. {}2
B. {}123，，
C. {}3,2x x x ==或
D.{}
3,2x x x ==且 2. 若四边形ABCD 满足：AB DC = ，且||||AB AD =，则四边形ABCD 的形状是（ ）
A.矩形
B.正方形
C. 等腰梯形
D.菱形
3. 设22
1()1x f x x +=-，则11()()(2)(3)23
f f f f +++=（ ） A.
3512 B.3512
- C. 1 D.0 4. 已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积
之比是
A ．2∶π
B ．1∶π
C ．1∶2π
D ．4∶3π
5. 若,x y 满足约束条件11y x
x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值是 （ ）
A.3-
B.
32
C.2
D.3
6. 函数(1)||
x
xa y a x =>的图象的大致形状是（ ）
7. 设:431p x -≤，()()2
:2110q x a x a a -+++≤.若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实
数a 的取值范围是（ ）
A.1[0,]2
B.1(0,)2
C.(,0]-∞∪1[,)2+∞
D.(,0)-∞∪1(,)2
+∞
8. 若函数()2cos 2y x ϕ=+是奇函数，且在(0,
)4
π
上是增函数，则实数ϕ可能是（ ）
A.2π-
B.0
C.2
π
D.π 9. 数列{}n a 中,11
4
a =-
,111(2)n n a n a -=-≥,则2008a =（ ） A.2008 B.14-
C.4
5
D.5 10.下列说法中正确的是（ ）
①命题：“a 、b 都是奇数，则a +b 是偶数”的逆否命题是“a +b 不是偶数，则a 、b 不都是奇数”；
②若等式()sin sin sin αβαβ+=+对任意角β都成立，则角α可以是2π； ③若a <0，10b -<<，则ab >a >ab 2；
④椭圆22
12516x y +=上一点P 到左焦点的距离等于3，则P 到右准线的距离是5.
A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④
二、填空题(本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．)
11.
平行四边形两条邻边的长分别是
和4
π
，则平行四边形中较长的对角线的长是
12. 数列{}n a 中，()321n n a S n =-≥ , 则{}n a 的通项n a = 13. 当[
,]2
π
απ∈时，方程22sin cos 1x y αα-=表示的曲线可能是 .（填上你认为正
确的序号）
① 圆 ②两条平行直线 ③椭圆 ④双曲线 ⑤抛物线
14. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，圆2
2cos 30ρρθ+-=上的动点到直线
cos sin 70ρθρθ+-=的距离的最大值是 ．
15. (几何证明选讲选做题)如右图所示，AB 是圆O 的直径，
AD DE =，10AB =，8BD =，则cos BCE ∠= ．
三、解答题：(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16. （本题满分12分）已知锐角ABC ∆中，三个内角为A 、B 、C ，两向量
(22sin ,cos sin )p A A A =-+，(sin cos ,1sin )q A A A =-+。

若p 与q 是共线向量。

（1）求A ∠的大小； （2）求函数232sin cos(
)2
C B
y B -=+取最大值时，B ∠的大小。

17. （本小题满分12分）某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查。

若发现有次品，则当天的产品不能通过。

（1）求第一天通过检查的概率； （2）求前两天全部通过检查的概率；
（3）若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别
得1分、2分，求该车间在这两天内得分的数学期望。

18. （本小题满分14分）已知函数)0()(2
23>-+=a x a x b ax x f ，存在实数21,x x 满足下列
条件：①21x x <；②0)()(21='='x f x f ；③.2||||21=+x x
（1）证明：30≤<a ； （2）求b 的取值范围.
19. （本小题满分14分）如图，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB=2，AA 1=1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE ⊥BD 于E ，F 为A 1B 1的中点. （1）求异面直线AE 与BF 所成的角；
（2）求平面BDF 与平面AA 1B 1B 所成的二面角（锐角）的大小；
（3）求点A 到平面BDF 的距离.
20. （本题满分14分）某地正处于地震带上，预计20年后该地将发生地震.当地决定重新 选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为64a 2
m ,每年拆除的 数量相同；新城区计划用十年建成，第一年建设住房面积2a 2
m ，开始几年每年以100%的 增长率建设新住房，然后从第五年开始，每年都比上一年减少2a 2
m .
⑴ 若10年后该地新、旧城区的住房总面积正好比目前翻一番，则每年旧城区拆除的住房面积是多少2
m ？
⑵ 设第n (110n n ≤≤∈且N )年新城区的住房总面积为n S 2
m ，求n S .
21. （本小题满分14分）椭圆的中心是原点O ，
它的短轴长为相应于焦点F （c ，0）（0c >）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若0OP OQ ⋅=，求直线PQ 的方程；
（3）设AP AQ λ=(1)λ>，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明
FM FQ λ=-。

普宁市城东中学2009届高三文科数学综合测试题参考答案1．C 2．D 3．D 4．B 5．D 6．C 7．A 8．A 9．B 10．A
11
．12．1
1
()
2
n-
-13．①②③14
．215．
3
5
16.解：（1）∵//
p q∴22
2(1sin)(1sin)sin cos
A A A A
-+=-
∴2
2cos cos20
A A
+=∴12cos20
A
+=∴
1
cos2
2
A=-
∵02Aπ
<<∴2120
A=︒∴60
A=︒
（2）∵60
A=︒∴120
B C
+=︒
2
1
2sin cos(602)1cos2cos22
2
y B B B B B
=+︒-=-++
1
2cos21sin(2)1
226
B B B
π
=-+=-+∴当2
62
B
ππ
-=时，即
3
B
π
=
17.解:（1）∵随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品∴第一天通过检查的概
率为：
4
9
14
10
3
5
C
P
C
==
（2）同（1），第二天通过检查的概率是
4
8
24
10
1
3
C
P
C
==，∵第一天、第二天是否通过是相互独立的，∴两天全通过的概率是：
311
535
P=⨯=。

（3）设得分为ξ，则ξ的值为0，1，2，则
224
(0)
5315
Pξ==⨯=，
32128
(1)
533515
Pξ==⨯+⨯=，
311
(2)
535
Pξ==⨯=∴
48114
012
1515515
Eξ=⨯+⨯+⨯= 18.解：)
)(
(
3
2
3
)
(
2
1
2
2x
x
x
x
a
a
x b
ax
x
f-
-
=
-
+
=
'
2
1
2
1
2
1
,0
,
3
,
3
2
x
x
a
a
x
x
a
b
x
x<
<
>
-
=
-
=
+得
由, 2
,2
|
|
|
|
1
2
2
1
=
-
∴
=
+x
x
x
x
（1）0
3
2
2
2
1
=
+
-
∴
a
t
t
x
x是方程
和的两个实根，
∵方程有解，.3
,0
3
4
4≤
<
≥
-
=
∆
∴a
a
得
（2）由43434:,44)(2
21221=+=-+a
a b x x x x 得，
.
0,0,0,3,12,2.
]3,2[,0,32;
]2,0(,0,2030.
200,189.93)3(32232======∴≤'≤≤≥'≤<∴≤<==='+-='∴+-=-=∴b a b a b a b b a b b a a a a b a a b a a a a b 时时取最大值上单调递减在时上单调递增在时或得由
.120≤≤∴b
19.（1）连结B 1D 1，过F 作B 1D 1的垂线，垂足为K. ∵BB 1与两底面ABCD ，A 1B 1C 1D 1都垂直. FK ⊥BB 1
∴FK ⊥B 1D 1 ⇒ FK ⊥平面BDD 1B 1， B 1D 1∩BB 1=B 1 又AE ⊥BB 1
又AE ⊥BD ⇒AE ⊥平面BDD 1B 1 因此KF ∥AE. BB 1∩BD=B
∴∠BFK 为异面直线BF 与AE 所成的角，连结BK ，由FK ⊥面BDD 1B 1得FK ⊥BK ， 从而△BKF 为Rt △.
在Rt △B 1KF 和Rt △B 1D 1A 1中，由
1
1111D B D A F B FK
=得：
.21)33
2
(21
332
212
31
1111=+⨯=⋅
=
⋅=
BD
AB AD D B F
B D A FK
又BF=2. .4
2
cos ==
∠∴BF FK BFK ∴异面直线BF 与AE 所成的角为arccos
4
2
. （2）由于DA ⊥平面AA 1B 由A 作BF 的垂线AG ，垂足为G ，连结DG ，由三垂线定理 知BG ⊥DG . ∴∠AGD 即为平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角的平面角. 且∠DAG=90° 在平面AA 1B 1B 中，延长BF 与AA 1交于点S. ∵F 为A 1B 1的中点，A 1F 2
1
AB ，∴A 1、F 分别是SA 、SB 的中点. 即SA=2A 1A=2=AB. ∴Rt △BAS 为等腰直角三角形，垂足G 点实为斜边SB 的中点F ，即F 、G 重合.
易得AG=AF=
21SB=2，在Rt △BAS 中，AD=33
2 ∥
＝
∴tan ∠AGD=.3
6
arctan
.36
2
3
32=∠∴==AGD AG AD 即平面BDF 与平面AA 1B 1B 所成二面角（锐角）的大小为arctan
3
6. （3）由（2）知平面AFD 是平面BDF 与平面AA 1B 1B 所成二面角的平面角所在的平面. ∴面AFD ⊥面BDF.
在Rt △ADF 中，由A 作AH ⊥DF 于H ，则AH 即为点A 到平面BDF 的距离.
由AH ·DF=AD ·AF ，得.552)2()33
2
(2
332
2=+⨯=⋅=
DF
AF
AD AH 所以点A 到平面BDF 的距离为
.55
2 20．解：⑴10年后新城区的住房总面积为
24816141210864a a a a a a a a a a +++++++++84a =.
设每年旧城区拆除的数量是x ，则84(6410)264a a x a +-=⨯, 解得2x a =，即每年旧城区拆除的住房面积是2a 2
m .
⑵设第n 年新城区的住房建设面积为n a ，则2(14),
2(12)(510).
n n a n a n a n ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩ 所以
当14n ≤≤时，2(21)n
n S a =-；
当510n ≤≤时， 24816142(12)n S a a a a a n a =++++++-…
(4)(382)302
n n a
a --=+
2(2346)n n a =--.
故2
2(21)(14),
(2346)(510).
n
n a n S n n a n ⎧-≤≤⎪=⎨--≤≤⎪⎩ 21. （1）解：由题意，可设椭圆的方程为22
212
x y a +=
（a >
由已知得22222()a c a
c c c ⎧-=⎪⎨=-⎪
⎩
解得2a c ==，所以椭圆的方程为22
162x y +=，
离心率e = （2）解：由（1）可得A （3，0）
设直线PQ 的方程为(3)y k x =-，由方程组22
162
(3)x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
得2222(31)182760k x k x k +-+-=
依题意212(23)0k ∆=->
，得k < 设11(,)P x y ，Q （22,x y ），则2
1221831
k x x k +=+ ①
2122276
31
k x x k -=
+ ② 由直线PQ 的方程得11(3)y k x =-，22(3)y k x =- 于是2212121212(3)(3)[3()9]y y k x x k x x x x =--=-++ ③ ∵ 0OP OQ ⋅= ∴ 12120x x y y += ④ 由①②③④得251k =
，从而(k = 所以直线PQ
的方程为30x -=
或30x +-= （3）证明：11(3,)AP x y =-，22(3,)AQ x y =-
由已知得方程组121
222
1122
223(3)
1
6
21
6
2x x y y
x y x y λλ-=-⎧⎪=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪+=⎩ 注意1λ>，解得251
2x λλ
-=
因(2,0)F ，11(,)M x y -，故1121(2,)((3)1,)FM x y x y λ=--=-+-
1211
(,)(,)22y y λλλλ
--=-=-
而2221
(2,)(,)2FQ x y y λλ
-=-= 所以FM FQ λ=-。