考点21 平行四边形-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)

考点21 平行四边形
平行四边形的性质与判定是初中数学中四边形知识的开端和基础，正是在平行四边形的基础之上才能逐渐延伸特殊平行四边形的知识和规律。

中考数学中，对平行四边形的单独考察难度一般不大，但题型较为广泛，选择、填空、解答题都有可能；但是，该考点的学习隐含了比较多的思想方法，需要学生在整体复习该考点的过程中注重反证法、转化、类比归纳等思想方法的提升。

一、多
边
形
二、平
行
四
边
形
的
性
质
三、平
行
四
边
形
的
判
定
四、平行四边形的存在性
考向一：多边形
多边形与正多边形
任意多边形的外角和为360°
正多边形都是轴对称图形，变数为偶数的正多边形还是中心对称图形
1．若一个n 边形从一个顶点最多能引出6条对角线，则n 是（ ）A ．5
B ．8
C ．9
D ．10
【分析】可根据n 边形从一个顶点引出的对角线与边的关系n ﹣3，列方程求解．【解答】解：∵多边形从一个顶点引出的对角线与边的关系n ﹣3，∴n ﹣3＝6，解得n ＝9．故选：C ．
2．我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（ ）
A ．54
B ．44
C ．35
D ．27
【分析】根据n 边形从一个顶点出发可引出（n ﹣3）条对角线．从n 个顶点出发引出（n ﹣3
）条，而每条重复一次，所以
n 边形对角线的总条数为
（n ≥3，且n 为整数）可得答案．
【解答】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线……一个十边形共有＝35条对角线．
故选：C ．
3．一个多边形的内角和为1080°，它为（ ）边形．
A．10B．6C．8D．12
【分析】根据多边形的内角和公式，可得方程，解方程，可得答案．
【解答】解：设多边形是n边形，由内角和公式，
得（n﹣2）×180°＝1080°．
解得n＝8，
故选：C．
4．如果一个多边形的内角和等于其外角和的2倍，那么这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【分析】根据多边形的内角和的计算公式与外角和是360°列出方程，解方程即可．
【解答】解：设这个多边形边数是n，
根据题意得：（n﹣2）×180°＝2×360°，
解得：n＝6，
即这个多边形是六边形，故D正确．
故选：D．
考向二：平行四边形的性质
1.平行四边形的性质定理∶
（1）平行四边形的对边平行且相等.
（2）平行四边形的对角相等，邻角互补.
（3）平行四边形的对角线互相平分.
2.利用平行四边形的性质证明边、角关系时，一定要找准那些对解题有帮助的性质，有时也可以根据结
论逆向推理看是否符合那些性质.
3.平行四边形的问题经常转化为三角形全等的判定与性质类问题应用。

1．关于平行四边形的性质，下列描述错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．平行四边形的对角相等
C．平行四边形的对角线互相平分
D．平行四边形的对边平行且相等
【分析】根据平行四边形的性质进行逐一判断即可．
【解答】解：∵平行四边形的性质是：对边相等且平行；对角相等，邻角互补；对角线互相平分．∴B、C、D正确，A错误，
故选：A．
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝50°，则∠A的度数是（ ）
A．130°B．115°C．65°D．50°
【分析】利用平行四边形的邻角互补和已知∠A﹣∠B＝50°，就可建立方程求出未知角．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，
又有∠A﹣∠B＝50°，
把这两个式子相加即可求出∠A＝115°，
故选：B．
3．在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD 的周长为（ ）
A．13或14B．26或28C．13D．无法确定
【分析】设∠A的平分线交BC于点E，可证明AB＝EB，再分两种情况讨论，一是EB＝5，EC＝4，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9；二是EB＝4，EC＝5时，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，分别求出平行四边形ABCD的周长即可．
【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝EB，
当EB＝5，EC＝4时，如图1，
则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，
∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；
当EB＝4，EC＝5时，如图2，
则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，
∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，
∴平行四边形ABCD的周长为26或28，
故选：B．
4．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，若AB＝6，AD＝8，则EF的长度为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】先证明AB＝AE＝6，DC＝DF，再根据EF＝AF+DE﹣AD即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD，AD∥BC，
∵BF平分∠ABC交AD于E，CE平分∠BCD交AD于F，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，∠BCE＝∠DCE＝∠CED，
∴AB＝AF＝6，DC＝DE＝6，
∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣AD＝4．
故选：A．
5．如图，在▱ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE．若△ADE的面积为2，则▱ABCD的面积为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】首先根据平行四边形的性质和面积公式，平行四边形和△ADE的高相等，即可得出平行四边形的面积．
【解答】解：设E点到AD的距离为h，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，A点到BE的距离为h．
∵△ADE的面积为2，
∴AD×h＝2，即AD×h＝4．
∴▱ABCD面积＝AD×h＝4．
故选：B．
6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：
①S▱ABCD＝AB•AC；②AD＝4OE；③EF⊥AC；④S△BOE＝．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】通过判定△ABE为等边三角形求得∠BAE＝60°，利用等腰三角形的性质求得∠EAC＝30°，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
【解答】解：∵点E为BC的中点，
∴BC＝2BE＝2CE，
又∵BC＝2AB，
∴AB＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠BEA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，
即AB⊥AC，故①正确；
在平行四边形ABCD中，AD//BC，AD＝BC，AO＝CO，∴∠CAD＝∠ACB，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≅△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AB⊥AC，点E为BC的中点，
∴AE＝CE，
∴平行四边形AECF是菱形；
∴AC⊥EF，故③正确，
在Rt△COE中，∠ACE＝30°，
∴，故②正确；
在平行四边形ABCD中，OA＝OC，
又∵点E为BC的中点，
∴，故④正确；
综上所述：正确的结论有4个，
故选：A．
考向三：平行四边形的判定
1. 平行四边形的判定方法：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。

(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

2. 将平行四边形问题化为三角形问题来解决，这是问题化为三角形问题来解决，这是解决平行四边形问题的常用方法。

3.在解决平行四边形的判定问题时，要结合题判定问题时，要结合题目条件选择恰当的方法进行证明。

证明过程中的推理步骤要严谨，几何证明过程中的推理步骤要严谨，几何语言书写要规范。

1．下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（ ）
A．两个等腰三角形B．两个全等三角形
C．两个锐角三角形D．两个直角三角形
【分析】因在拼组平行四边形时，平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，所以只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形．据此解答．
【解答】解：∵平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，
∴只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形．
故选：B．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，﹣1），B（4，2），C（0，3），下列坐标不能与A、B、C构成平
行四边形的是（ ）
A．（﹣3，0）B．（5，﹣2）C．（3，6）D．（﹣3，﹣2）
【分析】根据平行四边形的判定分别求出第四个顶点的坐标即可．
【解答】解：若A、B、C、D四点可以构成平行四边形，分以下三种情况分别求出D点的坐标：
①如图1，
当AC∥DB，AD∥CB时，D点的坐标为（5，﹣2）；
②如图2，
当AB∥CD，AC∥BD时，D点的坐标为（3，6）；
③如图3，
当AB∥DC，AD∥BC时，D点的坐标为（﹣3，0）．
故选：D．
3．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD∥BC
【分析】利用平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、由AB∥DC，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项A符合题意；
B、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
故选：A．
4．在8×8的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，其中点A，B，C均在格点上，若点A的坐标为（0，0），请在给定的网格中找出格点E，使以点A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形，则点E 的坐标为　（﹣1，﹣1）或（1，1）或（5，﹣1）　．
【分析】建立平面直角坐标系，画出以点A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形，即可求解．【解答】解：如图，以点A为原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立平面直角坐标系，
∴点E（﹣1，﹣1）或（1，1）或（5，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）或（1，1）或（5，﹣1）．
5．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作CD ∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
求证：四边形DBEC是平行四边形．
【分析】先证明△EBF≌△DCF，可得DC＝BE，可证四边形BECD是平行四边形
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△DCF和△EBF中，
，
∴△EBF≌△DCF（AAS），
∴DC＝BE，
∴四边形BECD是平行四边形．
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P 以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）AP＝　t　，BQ＝　15﹣3t　，（分别用含有t的式子表示）；
（2）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值．
（3）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
【分析】（1）由路程＝速度×时间，可求解；
（2）由面积关系可求解；
（3）分四种情况讨论，由平行四边形的性质列出方程可求解．
【解答】解：（1）∵点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，
∴AP＝tcm，CQ＝3tcm，
∴BQ＝（15﹣3t）cm，
故答案为：t，15﹣3t；
（2）设点A到BC的距离为h，
∵四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍，
∴×（12﹣t+3t）×h＝2××（t+15﹣3t）×h，
∴t＝3；
（3）若四边形APQB是平行四边形，
∴AP＝BQ，
∴t＝15﹣3t，
∴t＝；
若四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD＝CQ，
∴12﹣t＝3t，
∴t＝3，
若四边形APCQ是平行四边形，
∴AP＝CQ，
∴t＝3t，
∴t＝0（不合题意舍去），
若四边形PDQB是平行四边形，
∴PD＝BQ，
∴12﹣t＝15﹣3t，
∴t＝，
综上所述：当t＝或3或时，点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形．
考向四：平行四边形的存在性问题
1.知识储备：①平行四边形是中心对称图形
②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心
对称图形的面积被平分
③中点公式：
2.方法策略：
（1）有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：
①设第4个点的坐标
②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论
③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解
例，如图所示，平面直角坐标系内有A 、B 、C 三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；
（2）有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同上。

1．已知O 、A 、B 的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），在平面内找一点M ，使得以点O 、A 、B 、M 为顶点的四边形是平行四边形，则点M 的坐标为 （﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）　．
【分析】分三种情况，根据题意画出图形，由平行四边形的判定与性质以及平移的性质来确定点M 的坐标即可．
【解答】解：分三种情况：
①当四边形OABM 为平行四边形时，如图1
所示：
则BM∥AO，BM＝AO，
∵O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），
∴把点O向左平移3﹣（﹣1）＝4（个）单位，再向上平移1个单位得M的坐标，∴M（﹣4，1）；
②当四边形OAMB为平行四边形时，如图2所示：
则BM∥AO，BM＝AO，
∵O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），
∴把点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得M的坐标，
∴M（2，3）；
③当四边形OBAMM为平行四边形时，如图3所示：
则AB∥MO，AB＝MO，
∵O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），
∴把点A向右平移1个单位，再向下平移2个单位得M的坐标，
∴M（4，﹣1）；
综上所述，点M的坐标为（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）；
故答案为：（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）．
2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18 cm，BC＝15 cm，点P在AD边上以每秒2 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1 cm的速度从点C向点B运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为　5或6　秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形．
【分析】由题意可得AD∥BC，分BQ＝AP或CQ＝PD两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设点P运动了t秒，
∴CQ＝tcm，AP＝2tcm，BQ＝（15﹣t）cm，PD＝（18﹣2t）cm，
①当BQ＝AP时，且AD∥BC，则四边形APQB是平行四边形，
即15﹣t＝2t，
∴t＝5；
②当CQ＝PD时，且AD∥BC，则四边形CQPD是平行四边形，
即t＝18﹣2t，
∴t＝6，
综上所述：当直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形时，点P运动了5秒或6秒，
故答案为：5或6．
3．在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（﹣3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t＝　1或3或13　时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．
【分析】利用A、B、C的坐标可得到OA＝4，BC＝3，BC∥x轴，根据平行四边形的判定，当PC＝AQ
时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，讨论：若0＜t＜时，3﹣2t＝t；若＜t＜4时，2t
﹣3＝t；若4＜t＜时，2t﹣3＝4﹣3（t﹣4）；若t＞时，2t﹣3＝3（t﹣4）﹣4，然后分别解方程可确定满足条件的t的值．
【解答】解：∵A（4，0），B（﹣3，2），C（0，2），
∴OA＝4，BC＝3，BC∥x轴，
∵PC∥AQ，
∴当PC＝AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，
若0＜t＜时，BP＝2t，PC＝3﹣2t，AQ＝t，此时3﹣2t＝t，解得t＝1；
若＜t＜4时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，AQ＝t，此时2t﹣3＝t，解得t＝3；
若4＜t＜时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝4﹣3（t﹣4），此时2t﹣3＝4﹣3（t﹣4），解得t＝（舍去）；
若t＞时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝3（t﹣4）﹣4，此时2t﹣3＝3（t﹣4）﹣4，解得t＝13；
综上所述，当t为1或3或13秒时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．
故答案为1或3或13．
4．如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．
（1）若动点M，N同时出发，t秒时，N走过　t　cm，M走过　2t　cm；
（2）若动点M，N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
（3）若点E在线段BC上，且BE＝3cm，若动点M，N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A，E，M，N组成平行四边形？
【分析】（1）根据路程＝时间×速度的等量关系，可直接写出N和M的路程
（2）根据相遇问题的等量关系列出方程求解即可，M的路程+N的路程＝矩形的周长；
（3）分点M在点E的左边和右边两种情况，根据平行四边形对边相等，利用AN＝ME列出方程求解即可．
【解答】解：（1）路程＝时间×速度，时间为t，N的速度为1cm/s，所以其路程为t，M的速度2cm/s，所以其路程为2t；
故答案为：t，2t；
（2）设t秒时两点相遇，
根据题意得t+2t＝2×（4+8）＝24，
解得t＝8，
即经过8秒钟两点第一次相遇；
（3）
①如图1，点M在BC上且在E点右侧时，当AN＝ME时，四边形AEMN为平行四边形，
得8﹣t＝9﹣2t，
解得t＝1，
此时点M在DC，所以舍去；
②如图2，点M在BC上且在E点左侧时，当AN＝ME时，四边形AEMN为平行四边形，
得8﹣t＝2t﹣9，
解得，符合题意，
所以经过秒钟，点A，E，M，N组成平行四边形．
1．（2022•湘西州）一个正六边形的内角和的度数为（ ）
A．1080°B．720°C．540°D．360°
【分析】利用多边形的内角和定理解答即可．
【解答】解：一个正六边形的内角和的度数为：（6﹣2）×180°＝720°，
故选：B．
2．（2022•河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ）
A．α﹣β＝0B．α﹣β＜0
C．α﹣β＞0D．无法比较α与β的大小
【分析】利用多边形的外角和都等于360°，即可得出结论．
【解答】解：∵任意多边形的外角和为360°，
∴α＝β＝360°．
∴α﹣β＝0．
故选：A．
3．（2022•西宁）若正n边形的一个外角是36°，则n＝　10　．
【分析】利用多边形的外角和即可解决问题．
【解答】解：n＝360°÷36°＝10．
故答案为：10．
4．（2022•通辽）正多边形的每个内角为108°，则它的边数是（ ）
A．4B．6C．7D．5
【分析】方法一：根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解；
方法二：设多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列方程求解即可．
【解答】解：方法一：∵正多边形的每个内角等于108°，
∴每一个外角的度数为180°﹣108°＝72°，
∴边数＝360°÷72°＝5，
方法二：设多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2）•180°＝108°•n，
解得n＝5，
所以，这个多边形的边数为5．
故选：D．
5．（2022•资阳）小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是　4答案不唯一　．（填一种即可）
【分析】分别求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【解答】解：正三角形的每个内角是60°，正四边形的每个内角是90°，
∵3×60°+2×90°＝360°，
∴正四边形可以，
正六边形的每个内角是120°，
∵2×60°+2×120°＝360°，
∴正六边形可以，
正十二边形的每个内角是150°，
∵1×60°+2×150°＝360°，
∴正十二边形可以，
故答案为：4答案不唯一．
6．（2022•广东）如图，在▱ABCD中，一定正确的是（ ）
A．AD＝CD B．AC＝BD C．AB＝CD D．CD＝BC
【分析】根据平行四边形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
故选：C．
7．（2022•大庆）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处．若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为（ ）
A．108°B．109°C．110°D．111°
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，再由三角形的外角性质得∠ABD ＝∠CDB＝28°，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
由折叠的性质得：∠EBD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，
∵∠1＝∠CDB+∠EBD＝56°，
∴∠ABD＝∠CDB＝28°，
∴∠A＝180°﹣∠2﹣∠ABD＝180°﹣42°﹣28°＝110°，
故选：C．
8．（2022•无锡）如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由等腰三角形的性质可求∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，由直角三角形的性质和勾股定理可求CD，DE的长，即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，
设∠ADB＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝∠ADB＝x，
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠DAB＝，
∴x+＝105°，
∴x＝30°，
∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，
∵BH⊥AD，
∴BD＝2BH，DH＝BH，
∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，
∴∠AEB＝45°，
∴∠AEB＝∠EBH＝45°，
∴EH＝BH，
∴DE＝BH﹣BH＝（﹣1）BH，
∵AB＝＝＝（﹣）BH＝CD，
∴＝，
故选：D．
9．（2022•达州）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF
【分析】利用三角形中位线定理得到DE∥AC，DE＝AC，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
A、当∠B＝∠F，不能判定AD∥CF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、∵DE＝EF，
∴DE＝DF，
∴AC＝DF，
∵AC∥DF，
∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；
C、根据AC＝CF，不能判定AC＝DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵AD＝CF，AD＝BD，
∴BD＝CF，
由BD＝CF，∠BED＝∠CEF，BE＝CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF∥AB，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：B．
10．（2022•毕节市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为 ．
【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，证明△CAB∽△CP′O，利用相似三角形的性质得出，求出OP'，即可求出PQ的最小值．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝＝＝4，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO＝2，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴，
∴，
∴OP′＝，
∴则PQ的最小值为2OP′＝，
故答案为：．
11．（2022•益阳）如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，已知AE＝3，则BE＝5，再判定四边形DEFC是平行四边形，则DC＝EF＝8，BF＝EF﹣BE，即可求出BF．
【解答】解：在▱ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故选：C．
12．（2022•邵阳）如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，顶点B在▱ODEF的边DE上，已知∠1＝40°，则∠2＝　110°　．
【分析】根据等腰三角形的性质和平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵等腰△ABC中，∠A＝120°，
∴∠ABC＝30°，
∵∠1＝40°，
∴∠ABE＝∠1+∠ABC＝70°，
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴OF∥DE，
∴∠2＝180°﹣∠ABE＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
13．（2022•常德）如图，已知F是△ABC内的一点，FD∥BC，FE∥AB，若▱BDFE的面积为2，BD＝
BA，BE＝BC，则△ABC的面积是　12　．
【分析】连接DE，CD，由平行四边形的性质可求S△BDE＝1，结合BE＝BC可求解S△BDC＝4，再利
用BD＝BA可求解△ABC的面积．
【解答】解：连接DE，CD，
∵四边形BEFD为平行四边形，▱BDFE的面积为2，
∴S△BDE＝S▱BDFE＝1，
∵BE＝BC，
∴S△BDC＝4S△BDE＝4，
∵BD＝BA，
∴S△ABC＝3S△BDC＝12，
故答案为：12．
14．（2022•广西）如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线．
（1）求证：△ABD≌△CDB；
（2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）连接BE，若∠DBE＝25°，求∠AEB的度数．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，再由BD＝BD，即可证明△ABD≌△CDB；
（2）利用线段垂直平分线的作法进行作图即可；
（3）由垂直平分线的性质得出EB＝ED，进而得出∠DBE＝∠BDE＝25°，再由三角形外角的性质即可求出∠AEB的度数．
【解答】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵BD＝BD，
∴△ABD≌△CDB（SSS）；
（2）如图所示，
（3）解：如图3，
∵EF垂直平分BD，∠DBE＝25°，
∴EB＝ED，
∴∠DBE＝∠BDE＝25°，
∵∠AEB是△BED的外角，
∴∠AEB＝∠DBE+∠BDE＝25°+25°＝50°．
15．（2022•内蒙古）如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接BD，AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若BD＝CD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．
【分析】（1）证△ABO≌△DEO（AAS），得OB＝OE，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AB＝CD，再证AB＝BD，然后由菱形的判定即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABO＝∠DEO，
∵点O是边AD的中点，
∴AO＝DO，
在△ABO和△DEO中，
，
∴△ABO≌△DEO（AAS），
∴OB＝OE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：四边形ABDE是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵BD＝CD，
∴AB＝BD，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴平行四边形ABDE是菱形．
16．（2022•扬州）如图，在▱ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G．（1）求证：BE∥DG，BE＝DG；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若▱ABCD的周长为56，EF＝6，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD，由角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠DGE＝∠BEG，进而可证明BE∥DG；利用ASA证明△ADG≌△CBE可得BE＝DG；
（2）过E点作EH⊥BC于H，由角平分线的性质可求解EH＝EF＝6，根据平行四边形的性质可求解AB+BC＝28，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD，
∵BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠ADG＝∠CBE，
∵∠DGE＝∠DAC+∠ADG，∠BEG＝∠BCA+∠CBE，
∴∠DGE＝∠BEG，
∴BE∥DG；
在△ADG和△CBE中，
，
∴△ADG≌△CBE（ASA），
∴BE＝DG；
（2）解：过E点作EH⊥BC于H，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EH＝EF＝6，
∵▱ABCD的周长为56，
∴AB+BC＝28，
∴S△ABC＝
＝
＝
＝84．
17．（2022•温州）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO 的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．
（2）当AD＝5，tan∠EDC＝时，求FG的长．
【分析】（1）由三角形中位线定理得EF∥BC，则∠EFO＝∠GDO，再证△OEF≌△OGD（ASA），得EF ＝GD，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得DE＝AC＝CE，则∠C＝∠EDC，再由锐角三角函数定义得CD ＝2，然后由勾股定理得AC＝，则DE＝AC＝，进而由平行四边形的性质即可得出结论．【解答】（1）证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠EFO＝∠GDO，
∵O是DF的中点，
∴OF＝OD，
在△OEF和△OGD中，
，
∴△OEF≌△OGD（ASA），
∴EF＝GD，
∴四边形DEFG是平行四边形．
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴DE＝AC＝CE，
∴∠C＝∠EDC，
∴tan C＝＝tan∠EDC＝，
即＝，
∴CD＝2，
∴AC＝＝＝，
∴DE＝AC＝，
由（1）可知，四边形DEFG是平行四边形，
∴FG＝DE＝．
1．（2022•怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形
【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°列出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：设多边形的边数为n，
（n﹣2）•180°＝900°，
解得：n＝7．
故选：A．
2．（2022•烟台）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）
A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十边形
【分析】设这个外角是x°，则内角是3x°，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．
【解答】解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，
∴设这个外角是x°，则内角是3x°，
根据题意得：x+3x＝180，
解得：x＝45，
360°÷45°＝8（边），
故选：C．
3．（2022•福建）四边形的外角和度数是　360°　．
【分析】根据多边形的外角和都是360°即可得出答案．
【解答】解：四边形的外角和度数是360°，
故答案为：360°．
4．（2022•株洲）如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝　48　度．
【分析】根据正五边形的性质求出∠EAB，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB＝＝108°，
∵∠EAB是△AEO的外角，
∴∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°，
故答案为：48．
5．（2022•遂宁）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为　4　．
【分析】根据正多边形的性质和直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半可以求得AF的长．【解答】解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝120°，
∴∠HAF＝60°，
∵∠AHF＝90°，
∴∠AFH＝30°，
∴AF＝2AH，
∴x＝2（6﹣x），
解得x＝4，
∴AB＝4，
即正六边形ABCDEF的边长为4，
故答案为：4．
6．（2022•湘潭）在▱ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝（ ）
A．80°B．100°C．120°D．140°
【分析】根据平行线的性质可求得∠ACD，即可求出∠BCD．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝40°，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝40°，
∵∠ACB＝80°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°，
故选：C．
7．（2022•内江）如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM 的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】由平行四边形的得CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，再证∠CBM＝∠CMB，则MC＝BC＝8，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CMB，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠CBM＝∠CMB，
∴MC＝BC＝8，
∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，
故选：B．
8．（2022•朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（ ）
A．100°B．80°C．70°D．60°
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥DC，再根据三角形内角和定理，即可得到∠GEF的度数，依据平行线的性质，即可得到∠EGC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠AEG＝∠EGC，。