授课--追及问题

匀速追 匀加速 匀减速 追匀加 速
（易错题）经检测汽车A的制动性能：以标准速度 20m/s在平直公路上行驶时，制动后40s停下来。现A 在平直公路上以20m/s的速度行驶发现前方180m处有 一货车B以6m/s的速度同向匀速行驶，司机立即制动， 能否发生撞车事故？
追及、相遇类问题的求解 练习1 (2011年广东押题卷)在水平轨道上有两列
如何处理追及和相遇问题
一、“追及和相遇”问题的特点： （1）有两个相关联的物体同时在运动。 （2）“追上”或“相遇”时两物体同时到达空间同一 位置。 二、“追及和相遇”问题解题的关键是： 准确分析两个物体的运动过程，找出两个物体运动的 三个关系和一个条件： （1）时间关系（大多数情况下，两个物体的运动时间 相同，有时运动时间也有先后）。 （2）位移关系。 （3）速度关系。（4）条件：速度相等为临界条件
2 2 s1＝(v 0－v )/(2a)＝36.4
m，
此时间内 B 车位移为 s2＝vt＝16.8 m， Δs＝s1－s2＝19.6 m>18 m，说明 A 车在减为与 B 车速度相同之前就已与 B 车相遇，所以会发 生撞车事故．
答案：2.8 s
会
为了测定某辆轿车在平直路上起动时的加速度(轿车 启动时的运动可近似看做匀加速运动)．某人拍摄了 一张在同一底片上多次曝光的照片．如果拍摄时每隔 2s曝光一次，轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车 的加速度约为 ( )
【解析】 法一：(物理分析法)A、B 车的运动 过程如图 1－3－4，利用位移公式、速度公式 求解． 1 2 对 A 车有 sA＝v0t＋ ×(－2a)×t 2
vA＝v0＋(－2a)×t 1 2 对 B 车有 sB＝ at ， 2 vB＝at 对两车有 s＝sA－sB 追上时，两车不相撞的临界条件是 vA＝vB 联立以上各式解得 v0＝ 6as 故要使两车不相撞，A 车的初速度 v0 应满足的 条件是 v0≤ 6as.
1.速度小者追速度大者
类型 匀加速追 匀速
图象
说明 ①t=t0以前，后面物体 与前面物体间距离增大 ②t=t0时，两物体相距 最远为x0+Δ x ③t=t0以后，后面物体 与前面物体间距离减小 ④能追及且只能相遇一 次
匀速追匀 减速
匀加速追 匀减速
二、例题分析
例1：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽 车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自 行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求： 汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间 两车相距最远？此时距离是多少？
x自
那么，汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度 是多大?汽车运动的位移又是多大？
2v自 1 2 v自T aT t 4s 2 a
v汽 aT 12 m / s

1 2 s汽 aT ＝24 m 2
方法二：图象法
v/ms-1
汽车
V-t图像的斜率表示物体的加速度
6
6 tan 3 t0
法二： (极值法)利用判别式求解， 由解法一可知 1 1 2 2 sA＝s＋sB，即 v0t＋ ×(－2a)×t ＝s＋ at 2 2 整理得 3at2－2v0t＋2s＝0 这是一个关于时间 t 的一元二次方程，当根的 2 判别式 Δ＝(－2v0) －4×3a×2s＜0，即 v0＜ 6as时，t 无实数解，即两车不相撞，所以要使 两车不相撞，A 车的初速度 v0 应满足的条件是 v0≤ 6as.
t0 2s
o
α
自 行 车
t0
t/s
当t=2s时两车的距离最大
1 xm 2 6m 6m 2
方法三：数学分析法
动态分析随着时间的推移,矩 形面积(自行车的位移)与三角形面 积(汽车的位移)的差的变化规律
2.速度大者追速度小者 匀减速 追匀速 开始追及时，后面物体与前 面物体间的距离在减小，当 两物体速度相等时，即t=t0 时刻： ①若Δ x=x0,则恰能追及，两 物体只能相遇一次，这也是 避免相撞的临界条件 ②若Δ x<x0,则不能追及，此 时两物体最小距离为x0-Δ x ③若Δ x>x0,则相遇两次，设 t1时刻Δ x1=x0,两物体第一 次相遇，则t2时刻两物体第 二次相遇
练习：某时刻，甲车从静止开始以0.5m/s2的加 速度匀加速行驶，乙车此时恰好以10m/s的速 度从甲车旁匀速驶过。 （1）甲车能追到乙车吗？ （2）如果能追到，在追到之前，两车间距离最 大是多少？ （3）什么时候追到？
归纳：解题思路
讨论追及问题，其实质就是分析讨论两 物体在相同时间内能否到达相同的空间位置 的问题。 1、两个关系：时间关系和位移关系 2、一个条件：两者速度相等 两者速度相等，往往是物体间能否追上， 或两者距离最大、最小的临界条件，是分析判 断的切入点。
火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加 速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做 初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两 车运动方向相同．使两车不相撞，求A车的初速 度v0满足的条件．
【 思 路 点 拨 】
分析两车运动过 程，画运动示意图
由示意图找两 根据物体运动性质列 → 物体位移关系 → 含有时间的位移方程
x汽
△x
x自
方法一：公式法
当汽车的速度与自行车的速度 相等时，两车之间的距离最大。设 经时间t两车之间的距离最大。则
x汽
△x
v汽 at v自
v自
1 xm x自 x汽 v自t at 6 2m 3 22 m 6m 2 2
2
6 t s 2s a 3 1
专题：追及问题
第四节 匀变速直线运动与汽车行驶安全
【例题】甲汽车以72 km/h的速度在平直公路上运动， 因前方有乙车在同车道同方向匀速行驶，立即刹车， 作匀减速运动，加速度大小为2 m/s2，求： ⑴甲车刹车后通过64 m位移需多长的时间？
⑵甲车刹车后经20 s的位移多大？
⑶若前方乙车的速度为10 m/s，甲驾驶员刹车时， 二车的距离为40 m，问两车是否会相撞？ ⑷若甲车驾驶员的反应时间为0.5 s，则两车是否会 相撞？
【答案】 v0≤ 6as
如图所示是甲、乙两物体从同一地点，沿同一方向 做直线运动的υ－t图象，由图象可以看出（ ） A．这两个物体两次相遇的时刻分别是1s末和4s末 B．这两个物体两次相遇的时刻分别是2s末和6s末 C．两物体相距最远的时刻是2s末 D．4s末以后甲在乙的前面
【解析】从图象可知两图线 相交点1s末和4s末是两物速度 相等时刻，从0→2s，乙追赶 甲到2s末追上，从2s开始是甲 去追乙，在4s末两物相距最 远，到6s末追上乙．故选B．
A．1m/s2 B．2m/s2 C．3m/s2
D.4 m/s2
【答案】 ⑴4 s
⑵100 m
⑶不会相撞。
法三：(图象法)利用速度－时间图象求解，先作 A、B两车的速度－时间图象，其图象如图1－3 －5所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A 车有vA＝v＝v0－2at，对B车有vB＝v＝at
v0 以上两式联立解得 t＝ 3a 经 t 时间两车发生的位移之差，即为原来两车 间的距离 s，它可用图中的阴影面积表示，由图 v0 v2 1 1 0 象可知 s＝ v0· v0 · ＝ t＝ 2 2 3a 6a 所以要使两车不相撞，A 车的初速度 v0 应满足 的条件是 v0≤ 6as.
经检测，汽车A的制动性能：以标准速度20 m/s在
平直公路上行驶时，制动后4 s停下来．现汽车A在
平直公路上以20 m/s的速度行驶时，发现前方18 m
处有一货车B以6 m/s的速度同向匀速行驶，司机立
即制动，问：当A车速度减为与B车速度相同时所用
时间为多少？是否会发生撞车事故？
解析：汽车 A 以 v0＝20 m/s 的初速度做匀减速 直线运动，经 t0＝4 s 停下来． 则 A 车的加速度大小为 a＝v0/t0＝5 m/s2， 当 A 车减为与 B 车速度相同时所用的时间为 t＝(v0－v)/a＝2.8 s. 据 v2－v2＝2as1 可求出 A 车减速为与 B 车同速 0 时的位移