2020年四川省成都市双流中学高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(含解析)
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2020年四川省成都市双流中学高考数学模拟试卷
(文科)(5月份)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求.
1.已知集合A ={x||x|<2},集合B ={−1, 0, 1, 2, 3},则A ∩B =( ) A.{0, 1} B.{0, 1, 2} C.{−1, 0, 1} D.{−1, 0, 1, 2}
2.设复数z 满足(1−i)z =3+i ,则|z|=( ) A.√2 B.√3 C.√5 D.√6
3.已知a →,b →
均为单位向量,若|2a →
−b →
|=√3,则a →
与b →
的夹角为( ) A.π
6 B.π
3
C.π
2
D.2π
3
4.若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=−1,a 4=b 4=8,a
2b 2
=()
A.−4
B.−1
C.1
D.4
5.命题“若△ABC 的三个内角构成等差数列,则△ABC 必有一内角为π
3”的否命题( )
A.与原命题真假相异
B.与原命题真假相同
C.与原命题的逆否命题的真假不同 D .与原命题的逆命题真假相异
6.已知实数x ,y 满足线性约束条件{x ≥1
x +y ≥0x −y +2≥0 ,则z =2x +y 的最小值为
( ) A.−1 B.1
C.−5
D.5
7.中华文化博大精深,我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法.古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币(如图1)做统计,现将其抽象成如图2所示的图形,其中圆的半径为2cm ,正方形
的边长为1cm ,在圆内随机取点,若统计得到此点取自阴影部分的概率是P ,则圆周率π的近似值为( )
A.1
4(1−p) B.1
1−p
C.1
1−4p
D.4
1−p
8.将函数y =sinωx (其中ω>0)的图象向右平移π
4个单位长度,所得图象经过点(3π
4,0),则ω的最小值是( ) A.1
3 B.1
C.5
3
D.2
9.在△ABC 中,AB =4,BC =6,∠ABC =π
2,D 是AC 的中点,E 在BC 上,且AE ⊥BD ,则AE →
⋅BC →
=() A.16 B.12
C.8
D.−4
10.直线l 是圆x 2+y 2=4在(−1, −√3)处的切线,点P 是圆x 2−4x +y 2+3=0上的动点,则P 到l 的距离的最小值等于( ) A.√3 B.2
C.3
D.4
11.如图,正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E 是棱AB 的中点,F 是侧面AA 1D 1D 内一点,若EF // 平面BB 1D 1D ,则EF 长度的范围为( )
A.[√2,√3]
B.[√2,√5]
C.[√2,√6]
D.[√2,√7]
12.已知点F 1,F 2分别是双曲线C:x 2
−y 2
b 2=1(b >0)的左、右焦点,O 为坐标原点,点P 在双曲线C 的右支上,且满足|F 1F 2|=2|OP|,tan∠PF 2F 1≥3,则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A.(1, √10
2
] B.[
√10
2
,+∞) C.(1,
√10
2
) D.(
√10
2
, 2]
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,把答案填在答题卡上的相应位置.
13.设曲线y =ax +e x 在点(0, 1)处的切线方程为3x −y +1=0,则a =________.
14.若4sinα−3cosα=0,则sin2α+2cos 2α=________.
15.若椭圆C:x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)与圆C 1:x 2+y 2=9和圆C 2:x 2+y 2=8均有且只有两个公共点,则椭圆C 的标准方程是________.
16.已知三棱锥S −ABC 的各顶点都在同一个球面上,△ABC 所在截面圆的圆心O 在AB 上,SO ⊥面ABC ,AC =1,BC =√3,若三棱锥的体积是√3
3,则该球体的球心到棱AC 的距离是________.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,a 2⋅a 4=8,S 5=15;等比数列{b n }的前n 项和T n =2n −1. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;
(2)当{a n }各项为正时,设c n =a n ⋅b n ,求数列{c n }的前n 项和.
18.如图,在四棱锥P−ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形AB // CD,∠ABC=∠BCD=90∘,BC=CD=AB
2
=2.
(1)证明:BD⊥PD;
(2)若△PAD为正三角形,求C点到平面PBD的距离.
19.为了了解居民的家庭收人情况,某社区组织工作人员从该社区的居民中
随机抽取了n户家庭进行问卷调查.经调查发现,这些家庭的月收人在5000
元到8000元之间,根据统计数据作出如图所示的频率分布直方图.已知图
中从左至右第一、三、四小组的频率之比为1:3:6,且第四小组的频数为18.
(1)求n;
(2)求这n户家庭月收人的众数与中位数(结果精确到0.1);
(3)这n户家庭月收入在第一、二、三小组的家庭中,用分层抽样的方法
任意抽取6户家庭,并从这6户家庭中随机抽取2户家庭进行慰问,求这2户
家庭月收入都不超过6000元的概率.
20.已知椭圆C:x 2
a +y2
b
=1(a>b>0)的短轴顶点分别为A,B,且短轴长为
2,T为椭圆上异于A,B的任意一点,直线TA,TB的斜率之积为−1
3
.(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为坐标原点,圆O:x2+y2=3
4
的切线l与椭圆C相交于P,Q两点,求△POQ面积的最大值.
21.函数f(x)=a2lnx−a2+a
2
x2+ax(a≠0).
(1)当a=−1时,求f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
选考题:请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分.
22.平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为{x=1+2cosα
y=√3+2sinα
(α为参
数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ
(1)写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)若射线OM:θ=α0(ρ≥0)平分曲线C1,且与曲线C2交于点A,曲线C2上的点B满足∠AOB=π
2
,求|AB|.
23.已知a>0,b>0,且a2+b2=1.
(1)证明:(1
a +1
b
)(a5+b5)≥1;
(2)若1
a2+4
b2
≥|2x−1|−|x−1|恒成立,求x的取值范围.
2020年四川省成都市双流中学高考数学模拟试卷
(文科)(5月份)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求.
1.已知集合A ={x||x|<2},集合B ={−1, 0, 1, 2, 3},则A ∩B =() A.{0, 1} B.{0, 1, 2} C.{−1, 0, 1} D.{−1, 0, 1, 2}
【解答】
解:∵集合A ={x||x|<2}={x|−2<x <2}, B ={−1, 0, 1, 2, 3}, ∴A ∩B ={−1, 0, 1}. 故选C .
2.设复数z 满足(1−i)z =3+i ,则|z|=( ) A.√2 B.√3 C.√5 D.√6
【解答】
由(1−i)z =3+i , 得z =3+i
1−i =(3+i)(1+i)
(1−i)(1+i)=
2+4i 2
=1+2i ,
则|z|=√1+22=√5.
3.已知a →,b →
均为单位向量,若|2a →
−b →
|=√3,则a →
与b →
的夹角为( ) A.π
6 B.π
3
C.π
2
D.2π
3
【解答】
由a →,b →
为单位向量,且|2a →
−b →
|=√3, 所以(2a →
−b →
)2=3, 即4a →2
−4a →
⋅b →
+b →
2=3; 设a →
与b →的夹角为θ, 则4−4cosθ+1=3, 解得cosθ=1
2; 又θ∈[0, π], 所以θ=π
3.
4.若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=−1,a4=b4=8,a2
b2
=() A.−4 B.−1 C.1 D.4
【解答】
等差数列{a n}的公差设为d和等比数列{b n}的公比设为q,
由a1=b1=−1,a4=b4=8,
可得−1+3d=−q3=8,
可得d=3,q=−2,
则a2
b2=−1+3
−(−2)
=1,
5.命题“若△ABC的三个内角构成等差数列,则△ABC必有一内角为π
3
”的否命题()
A.与原命题真假相异
B.与原命题真假相同
C.与原命题的逆否命题的真假不同
D.与原命题的逆命题真假相异
【解答】
原命题“若△ABC的三个内角构成等差数列,则△ABC必有一内角为π
3
”;
若A,B,C成等差数列,则A+C=2B,又A+C+B=3B=π;解得B=π
3
;故其为真命题;
否命题:“若△ABC的三个内角不能构成等差数列,则△ABC任意内角均不
为π
3
”
根据互为逆否命题的两命题同真假,否命题与逆命题互为逆否命题,即可
以研究其逆命题的真假;
逆命题为:若△ABC有一内角为π
3
,则△ABC的三个内角构成等差数列”;
若△ABC有一内角为π
3,不妨设B=π
3
,则A+C=π−B=2π
3
=2B;所以
A+C=2B;即△ABC的三个内角构成等差数列;所以其逆命题为真;
则否命题为真;
6.已知实数x,y满足线性约束条件{
x≥1
x+y≥0
x−y+2≥0
,则z=2x+y的最小值为
()
A.−1
B.1
C.−5
D.5
【解答】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示,
目标函数即:z=2x+y,其中z取得最小值时,其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小,
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值,
联立直线方程:{
x=1
x+y=1,可得点的坐标为:A(1, −1),
据此可知目标函数的最小值为:z=2x+y=2−1=1.
7.中华文化博大精深,我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到
圆周率π的近似值的方法.古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币(如图1)做统计,现将其抽象成如图2所示的图形,其中圆的半径为2cm,正方形的边长为1cm,在圆内随机取点,若统计得到此点取自阴影部分的概率是P,则圆周率π的近似值为()
A.1
4(1−p)B.1
1−p
C.1
1−4p
D.4
1−p
【解答】
圆形钱币的半径为2cm,面积为S
圆
=π⋅22=4π;
正方形边长为1cm,面积为S
正方形
=12=1.
在圆形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率是
P=S−S
S =1−1
4π
,
则π=1
4(1−p)
.
8.将函数y=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移π
4
个单位长度,所得图象经
过点(3π
4,0),则ω的最小值是( ) A.1
3 B.1
C.5
3
D.2
【解答】
将函数y =sinωx (其中ω>0)的图象向右平移π
4个单位长度,所得图象对应的函数为y =sinω(x −π
4).
再由所得图象经过点(3π
4,0)可得sinω(3π
4−π
4)=sin(ωπ
2)=0,∴ω⋅π
2=kπ,k ∈z .
故ω的最小值是2,
9.在△ABC 中,AB =4,BC =6,∠ABC =π
2,D 是AC 的中点,E 在BC 上,且AE ⊥BD ,则AE →
⋅BC →
=() A.16 B.12
C.8
D.−4
【解答】
建立平面直角坐标系,如图所示;
则A(0, 4),B(0, 0),C(6, 0),D(3, 2), 设E(x, 0),则AE →
=(x, −4),BD →
=(3, 2), 由AE ⊥BD ,得AE →
⋅BD →
=3x −8=0,解得x =8
3, ∴AE →
=(8
3, −4); 又BC →=(6, 0),
∴AE →
⋅BC →
=8
3×6−4×0=16.
10.直线l 是圆x 2+y 2=4在(−1, −√3)处的切线,点P 是圆x 2−4x +y 2+3=0上的动点,则P 到l 的距离的最小值等于( ) A.√3
B.2
C.3
D.4
【解答】
根据题意,直线l 是圆x 2+y 2=4在(−1, −√3)处的切线,则直线l 的方程为−x −√3y =4,变形可得x +√3y +4=0,
圆x 2−4x +y 2+3=0,即(x −2)2+y 2=1,其圆心为(2, 0),半径r =1, 点P 是圆x 2−4x +y 2+3=0上的动点,则圆心到直线l 的距离d =√1+3
=
3,
则P 到l 的距离的最小值d −r =3−1=2;
11.如图,正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E 是棱AB 的中点,F 是侧面AA 1D 1D 内一点,若EF // 平面BB 1D 1D ,则EF 长度的范围为( )
A.[√2,√3]
B.[√2,√5]
C.[√2,√6]
D.[√2,√7]
【解答】
取AD 的中点N ,A 1D 1的中点M ,连结MN ,NE ,ME , 则NE // BD ,MN // DD 1, ∴平面MNE // 平面BDD 1B 1,
∴当F 在线段MN 上时,EF 始终与平面BB 1D 1D 平行, 故EF 的最小值为NE =√2,最大值为ME =√4+2=√6.
12.已知点F 1,F 2分别是双曲线C:x 2
−y 2
b =1(b >0)的左、右焦点,O 为坐标原点,点P 在双曲线C 的右支上,且满足|F 1F 2|=2|OP|,tan∠PF 2F 1≥3,则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A.(1,
√10
2
] B.[
√10
2
,+∞) C.(1,
√10
2
) D.(
√10
2
, 2] 【解答】
∵|F 1F 2|=2|OP|,
∴|OP|=c ,根据三角形的性质可知,△PF 1F 2为直角三角形,则PF 1⊥PF 2, ∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2,①
由双曲线的定义可得:|PF1|−|PF2|=2a,即|PF1|=|PF2|+2a,②
将②代入①得:(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,
整理可得|PF2|2+2a|PF2|=2c2−2a2,配方可得(|PF2|+a)2=2c2−a2,又tan∠PF2F1=|PF1|
|PF2|
≥3,③,
则|PF1|≥3|PF2|,结合②得0<|PF2|≤a,
则两边同时加上a得:a<|PF2|+a≤2a,即有a2<(|PF2|+a)2≤4a2,所以a2<2c2−a2≤4a2,
解得a<c≤√10
2
a
即1<e≤√10
2
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,把答案填在答题卡上的相应位置.
13.设曲线y=ax+e x在点(0, 1)处的切线方程为3x−y+1=0,则a=
________.
【解答】
由已知得f′(x)=a+e x,
∴f′(0)=a+1.因为切线斜率为3.
∴a+1=3,所以a=2.
14.若4sinα−3cosα=0,则sin2α+2cos2α=________.
【解答】
∵4sinα−3cosα=0,
∴可得tanα=sinα
cosα=3
4
,
∴sin2α+2cos2α=2sinαcosα+2cos2α
sin2α+cos2α=2tanα+2
tan2α+1
=2×
3
4
+2
9
16
+1
=56
25
.
15.若椭圆C:x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)与圆C1:x2+y2=9和圆C2:x2+y2=8均
有且只有两个公共点,则椭圆C的标准方程是________x 2
9+y2
8
=1.
【解答】
椭圆C:x 2
a +y2
b
=1(a>b>0)与圆C1:x2+y2=9和圆C2:x2+y2=8均有且
只有两个公共点,所以a=3,b=2√2,所以椭圆方程为:x 2
9+y2
8
=1,
16.已知三棱锥S−ABC的各顶点都在同一个球面上,△ABC所在截面圆的圆
心O在AB上,SO⊥面ABC,AC=1,BC=√3,若三棱锥的体积是√3
3
,则该球体的球心到棱AC的距离是________.
【解答】
∵,△ABC所在截面圆的圆心O在AB上,SO⊥面ABC,AC=1,BC=√3,
若三棱锥的体积是√3
3
,
∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90∘,△ABC外接圆的半径为1
2
AB=
1
2
×√1+3=1,
设球心为O1,半径为R,过O作OD⊥AC于点D,连接O1D,
∵SO⊥面ABC,AD在平面ABC内,
∴SO⊥AD,
又OD⊥AD,OD在平面SOD内,SO在平面SOD内,SO∩OD=O,
∴AD⊥平面SOD,
∵O1D在平面SOD内,
∴AD⊥O1D,
则O1D为球心到棱AC的距离,依题意可得OD=1
2BC=√3
2
,
∴1
3×1
2
×√3×1×SO=√3
3
,
∴SO=2,则R=√1+(2−R)2,
∴R=5
4
,
∴OO1=SO−R=2−5
4=3
4
,O1D=√OO12+OD2=√21
4
.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列{a n}中,S n为其前n项和,a2⋅a4=8,S5=15;等比数列{b n}的前n项和T n=2n−1.
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;
(2)当{a n}各项为正时,设c n=a n⋅b n,求数列{c n}的前n项和.
【解答】
由题意,设等差数列{a n}的公差为d,则
{(a1+d)(a1+3d)=8
5a1+5×4
2
⋅d=15
,解得{a1=1
d=1
,或{a1=5
d=−1
.
∴数列{a n}的通项公式为a n=n,或a n=6−n.
对于等比数列{b n},当n=1时,b1=21−1=1,
当n≥2时,b n=T n−T n−1=2n−1−2n−1−1=2n−1.
∴数列{b n}的通项公式为b n=2n−1.
由题意即(1)知,a n=n,
则c n=a n⋅b n=n⋅2n−1.
设数列{c n}的前n项和为X n,则
X n=c1+c2+...+c n=1⋅1+2⋅2+3⋅22+...+n⋅2n−1.
2X n=1⋅2+2⋅22+...+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n
两式相减,可得
−n⋅2n=(1−n)⋅2n−1,
−X n=1+2+22+...+2n−1−n⋅2n=1−2n
1−2
∴X n=(n−1)⋅2n+1.
18.如图,在四棱锥P−ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形
=2.
AB // CD,∠ABC=∠BCD=90∘,BC=CD=AB
2
(1)证明:BD⊥PD;
(2)若△PAD为正三角形,求C点到平面PBD的距离.
【解答】
证明:因为BC=CD=2,AB=4,又底面ABCD为直角梯形,
∴AD=2√2,BD=2√2,AD2+BD2=AB2,
∴BD⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD,
∴BD⊥平面PAD,
又PD在平面PAD内,
∴BD⊥PD;
因为侧面PAD⊥底面ABCD,△PAD为等边三角形,取AD的中点M,连接PM,
∴PM⊥平面ABCD,PM=√6,
∴V P−BCD=1
3PM⋅S△BCD=1
3
×√6×1
2
×2×2=2√6
3
,
设C点到面PBD的距离为为d,
则V P−BCD=1
3dS△PBD=1
3
d⋅1
2
⋅2√2⋅2√2=2√6
3
,
∴d=√6
2
.
19.为了了解居民的家庭收人情况,某社区组织工作人员从该社区的居民中
随机抽取了n户家庭进行问卷调查.经调查发现,这些家庭的月收人在5000
元到8000元之间,根据统计数据作出如图所示的频率分布直方图.已知图
中从左至右第一、三、四小组的频率之比为1:3:6,且第四小组的频数为18.
(1)求n;
(2)求这n户家庭月收人的众数与中位数(结果精确到0.1);
(3)这n户家庭月收入在第一、二、三小组的家庭中,用分层抽样的方法
任意抽取6户家庭,并从这6户家庭中随机抽取2户家庭进行慰问,求这2户
家庭月收入都不超过6000元的概率.
【解答】
设从左至右第一、三、四小组的频率分别为p1,p2,p3,则由题意可知:
{
p2=3p1
p3=6p1
p1+p2+p3+(0.02+0.04+0.04)×5=1
,解得:{
p1=0.05
p2=0.15
p3=0.3
,
从而n=18
0.3
=60;
由于第四小组的频率最大,故这n户家庭月收入的众数为65+70
2
=67.5,由于前4组的频率之和为:0.05+0.1+0.15+0.3=0.6>0.5,
故这n户家庭月收入的中位数应落在第四小组,设中位数为x,
则0.05+0.1+0.15+x−65
2
×0.3=0.5,解得:x=66.3;
因为家庭月收入在第一、二、三小组的家庭分别有3,6,9户,按照分层抽样的方法分别抽取1,2,3户,
第一组记为a ,第二组记为b ,c ,第三组记为d ,e ,f ,
从中随机抽取2户家庭的方法共有(a, b),(a, c),(a, d),(a, e),(a, f),(b, c),(b, d),(b, e),(b, f),(c, d),(c, e),(c, f),(d, e),(d, f),(e, f)共有15种,
其中这2户家庭月收入都不超过6000元的有:(a, b),(a, c),(a, d),(a, e),(a, f),(b, c),(b, d),(b, e),(b, f),(c, d),(c, e),(c, f),共12种, 所以这2户家庭月收入都不超过6000元的概率为P =1215=4
5.
20.已知椭圆C:x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的短轴顶点分别为A ,B ,且短轴长为2,T 为椭圆上异于A ,B 的任意一点,直线TA ,TB 的斜率之积为−1
3. (1)求椭圆C 的方程;
(2)设O 为坐标原点,圆O:x 2+y 2=3
4的切线l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点,求△POQ 面积的最大值. 【解答】
由题意可知2b =2,b =1,A(0, 1),B(0, −1),
设T(x 0, y 0),满足x 0
2a 2+y 02
=1,
由k TA ⋅k TB =
y 0−1x 0
⋅
y 0+1x 0=
y 02−1x 0
2=−1a 2=−1
3,则a 2=3,
所以椭圆C 的方程:x 2
3+y 2=1;
设直线PQ 的方程:x =my +t ,P(x 1, y 1),Q(x 2, y 2), 由O 到直线PQ 的距离d =√
2
=
√3
2
,即t 2=3
4(1+m 2),
联立方程组{x =my +t
x 2
3
+y 2
=1
,消去x ,整理得(m 2+3)y 2+2mty +t 2−3=0,
则△=(2mt)2−4(m 2+3)(t 2−3)=12(m 2−t 2+3)=3(m 2+9)>0, y 1+y 2=−2mt
m 2+3,y 1y 2=t 2−3
m 2+3, 则|PQ|=√1+m 2√(y 1
+y 2
)2
−4y 1y 2=√3×√(1+m 2)(m 2+9)
(m 2+3)2
,
由
(1+m 2)(m 2+9)
(m 2+3)2
=1
3×
(3+3m 2)(m 2+9)
(m 2+3)2
≤1
3×
(
3+3m 2+m 2+92
)
2
(m 2+3)2
=4
3,当且仅当3+3m 2
=m 2+9,即m 2=3,m =±√3时取等号,
所以|PQ|=√3×√
(1+m 2)(m 2+9)
(m 2+3)2≤√3×
√3
=2,
所以△POQ 面积S =1
2×|PQ|×√32
≤1
2×2×
√32
=
√32
, 所以△POQ 面积的最大值√3
2. 21.函数f(x)=a 2
lnx −
a 2+a 2x 2+ax(a ≠0).
(1)当a =−1时,求f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在x =1处取得极大值,求实数a 的取值范围. 【解答】
f(x)的定义域是(0, +∞), a =−1时,f(x)=lnx −x ,f′(x)=
1−x x
,
令f′(x)>0,解得:x <1,令f′(x)<0,解得:x >1, 故f(x)在(0, 1)递增,在(1, +∞)递减; f′(x)=
a 2x
−(a 2+a)x +a =−
a(x−1)[(a+1)x+a]
x
,
①a >0时,(a +1)x +a >0,
令f′(x)>0,解得:0<x <1,令f′(x)<0,解得:x >1, 故f(x)在x =1处取极大值; ②a ≤−1时,(a +1)x +a <0, f′(x)=−
a(x−1)[(a+1)x+a]
x
,
令f′(x)>0,解得:0<x <1,令f′(x)<0,解得:x >1, 故f(x)在x =1处取极大值; ③a =−1
2时,f′(x)=(x−1)24x
≥0,则f(x)无极值;
④−1<a <−1
2时,
令f′(x)>0,解得:0<x <1或x >−a
a+1, 令f′(x)<0,解得:1<x <−a
a+1, 故f(x)在x =1处取极大值; ⑤−1
2<a <0时,
令f′(x)>0,解得:0<x <−a
a+1或x >1, 令f′(x)<0,解得:−a
a+1<x <1,
故f(x)在x =1处取极小值;
综上,a 的范围是(−∞, −1
2)∪(0, +∞).
选考题:请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分.
22.平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{
x =1+2cosα
y =√3+2sinα
(α为参
数),以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ=4sinθ
(1)写出曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程;
(2)若射线OM:θ=α0(ρ≥0)平分曲线C 1,且与曲线C 2交于点A ,曲线C 2上的点B 满足∠AOB =π
2,求|AB|. 【解答】
由曲线C 1的参数方程为{x =1+2cosαy =√3+2sinα (α为参数),得(x −1)2+(y −
√3)2=4,
整理得:x 2+y 2−2x −2√3y =0,
∴ρ2−2ρcosθ−2√3ρsinθ=0,即ρ−2cosθ−2√3sinθ=0; 由ρcos 2θ=4sinθ,得ρ2cos 2θ=4ρsinθ, 即x 2=4y ;
曲线C 1是圆,射线OM 过圆心,∴射线OM 方程是θ=π
3(ρ≥0), 代入ρcos 2θ=4sinθ,得ρA =4sin
π3cos 2π3
=8√3,
又∠AOB =π
2,∴ρB =
4sin
5π6cos 2
5π6
=8
3.
∴|AB|=√ρA 2+ρB 2=√(8√3)2+(8
3)2=16√7
3
. 23.已知a >0,b >0,且a 2+b 2=1. (1)证明:(1
a +1
b )(a 5+b 5)≥1;
(2)若1a 2+4
b 2≥|2x −1|−|x −1|恒成立,求x 的取值范围. 【解答】
证明:(1
a +1
b )(a 5+b 5)=a 4+b 4+
b 5a
+
a 5b
≥a 4+b 4+2√a 4b 4=(a 2+
b 2)2=1;
由a 2
+b 2
=1得1
a 2+4
b 2=(1
a 2+4
b 2)(a 2
+b 2
)=5+b 2
a 2+4a 2
b 2
≥9,当且仅当
“2a 2=b 2”时取等号,
∴|2x −1|−|x −1|≤9恒成立,
当x ≥1时,|2x −1|−|x −1|=x ≤9,解得1≤x ≤9; 当1
2≤x <1时,|2x −1|−|x −1|=3x −2≤9,解得1
2≤x <1; 当x <1
2时,|2x −1|−|x −1|=−x ≤9,解得−9≤x <1
2; 综上,x 的取值范围[−9, 9].。