江西省九江一中2012届高三数学第一次月考 文

九江一中2011—2012学年度上学期高三月考试卷数学（文）
全卷满分150分，考试时间120分钟；考试结束后本试卷不交，只交答题纸．
第Ⅰ卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数3
2
(1)i i +=（ ）
A ．2
B ．2-
C ．2i
D ．2i - 2．设全集U R =，集合{}{
}2
9,14M x x N x x =>-<<，则()U M N 等于（ ）
A ．{}3x x <-
B ．{}34x x x <-≥或
C ．{}4x x ≥
D ． {}34x x -≤<
3．已知向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma b +与2a b -平行，则实数m 等于（ ）
A ．2-
B ．
2 C ． 12 D ．1
2
-
4．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，已知342332,32S a S a =-=-，则公比q =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ． 6
5．设变量x 、y 满足约束条件2
252
x y x y y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则目标函数x y z x +=的最大值为（ ）
A ．
43 B ．2 C ．3 D ．52
6．在△ABC 中，sin 2cos cos cos 2sin sin A C A
A C A
+=
-是角A 、B 、C 成等差数列的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知奇函数)(x f 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且对任意正实数)(,,2121x x x x ≠恒有
0)
()(2
121>--x x x f x f ，则一定有（ ）
A ．)2(log )600(cos 3
2
1
f f o
>
B ．)2log ()600(cos 3
2
1
->f f o
C ．)2(log )600cos (3
2
1
f f o >-
D ．)2log ()600cos (3
2
1
->-f f o
8．已知03,02a b ≤≤≤≤，设事件A 为“关于x 的方程2
2
20x ax b ++=有实根”，则事件A 发生的概率为 （ ）
A ．
1
3
B ．
12 C ．23 D ．56
9．已知定义域为R 的函数()y f x =，它的图像关于直线2x =成轴对称，又关于点
(3,0)成中心对称，且()21f =-，则()0f 的值等于（ ）
A ．0
B ．1
C ．1-
D ．2
10．已知()21
ln(1),()()2
x
f x x
g x m =+=-，若12[0,3],[1,2]x x ∀∈∃∈，使得12()()f x g x ≥，
则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[
14，＋∞） B ．（－∞，14] C ．[12，＋∞） D ．（－∞，－12
] 第Ⅱ卷
二．填空题（本大题共5小题，第小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）
11．不等式
(2)
03
x x x +<-的解集为________________ ．
12．若ABC ∆的内角A B C 、、所对的边a b c 、、满足22()4a b c +-=，且60C =，则ab
的值为____________．
13．观察下列等式:11,358,791127,1315171964,=+=++=+++=则第n 个等式
是 ．
14．如图，在平面斜坐标系xoy 中，︒=∠60xoy ，平面
上任一点P 在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若
21e y e x OP +=（12,e e 分别为x 轴，y 轴方向相同 的单位向量）。

则P 点的斜坐标为),(y x ，若点P 的斜
坐标为)1,1(-．则=||OP ____________． 15．有下列命题：
①函数4cos 2,[10,10]y x x ππ=∈-不是周期函数；
②函数4cos 2y x =的图象可由4sin 2y x =的图象向右平移4
个单位得到； ③函数4cos(2)y x θ=+的图象关于点(
,0)6
π
对称的一个必要不充分条件是
()26
k k Z ππ
θ=
+∈； ④函数26sin 2sin x
y x
+=-的最小值为4-
其中正确命题的序号是________．
九江一中2011—2012学年度上学期高三月考试卷
二、填空（5分×5=25分）
11． 12． 13． 14． 15．
三．解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）
设函数.cos )
cos(2)
23
cos()2cos 1()(2ααπαπαα++-+=
f （I ）设ABC A ∆∠是的内角，且为钝角，求)(A f 的最小值；
（II ）设B A ∠∠,是锐角ABC ∆的内角，且,2,1)(,12
7===∠+∠BC A f B A π
求ABC ∆
的三个内角的大小和AC 边的长。

17．（本小题满分12分）
“五·一”放假期间，某旅行社共组织1000名游客，分三批到北京、香港两地旅游，为了做（I ）现用分层抽样的方法在所有游客中抽取50名游客，协助旅途后勤工作，问应在第三批参加旅游的游客中抽取多少名游客？
（II ）已知136,133y z ≥≥，求第三批参加旅游的游客中到北京旅游人数比到香港旅游人数多的概率．
18．（本小题满分12分）
下列三个图分别是四棱锥A BCEF -的直观图、侧视图和俯视图。

直观图中，侧面ABC ⊥底面BCEF ，M 为AC 的中点，侧视图是等边三角形，俯视图是直角梯形，尺寸如图所示。

（I ）求证：//BM AEF 平面 （II ）求证；AE BM ⊥
（III ）求该四棱锥A BCEF -的体积．
19．（本小题满分12分）
若数列{}n a 满足前n 项之和22),(4211*
=+=∈-=+b b a b N n a S n
n n n n 且，求：
（1）求数列{}n b 的通项n b ； (2) 求数列{}n b 的前n 项和n T ．
20．(本小题满分13分)
已知函数()ln k
f x e x x
=+
（其中e 是自然对数的底数，k 为正数） （I ）若()f x 在0x 处取得极值，且0x 是()f x 的一个零点，求k 的值；
（II ）若[]1,k e ∈，求()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值；
（III ）设函数()()g x f x kx =-在区间1,e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上是减函数，求k 的取值范围．
21．（本小题满分14分）
椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>左、右焦点分别为12,F F ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线(0)y kx t t =+>与以12F F 为直径的圆相切，并与椭圆C 交于,A B 量
AB AB
在向量12
F F 方向上的投影是p ，且2
()OA OB p m ⋅=（O 为坐标原点），求m k 的关系式；
（3）在（2）的情形下，当11[,]42
m ∈时，求ABO ∆面积的取值范围．
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二、填空（5分×5=25分） 11．(,2)
(0,3)-∞- 12．
4
3
13．2
2
23(1)(3)[(21)]n n n n n n n n -++-++
+-+-=
14． 1 15． ①③
三．解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）
设函数.cos )
cos(2)
23
cos()2cos 1()(2ααπαπαα++-+=
f （I ）设ABC A ∆∠是的内角，且为钝角，求)(A f 的最小值；
（II ）设B A ∠∠,是锐角ABC ∆的内角，且,2,1)(,12
7===∠+∠BC A f B A π
求ABC ∆
的三个内角的大小和AC 边的长。

解：（1）2223
(cos 21)cos()
cos sin 2()cos cos 2cos()cos A A A A f A A A A A
ππ+-=
+=++ .2
1
)42sin(22)12cos 2(sin 21cos 2sin 212++=++=+=
πA A A A A ………3分 ∵角A 为钝角，
.4
94245,
2π
ππππ
<+<<<∴
A A ………………4分
)(,2342A f A 时当π
π=+∴取值最小值，
其最小值为.22
1-……………………6分 （2）由.22)42sin(,121)42sin(221)(=+∴=++=ππA A A f 得………………8分 524A A πππ∴<+<为锐角，44, .12
5.3,127.4,4342π
πππππ=∴=∴=+==+∴C B B A A A 又…………10分
在△ABC 中，由正弦定理得：sin .sin sin sin BC AC BC B
AC A B A
=∴== ……12分
17．（本小题满分12分）
“五·一”放假期间，某旅行社共组织1000名游客，分三批到北京、香港两地旅游，为了做
好游客的行程安排，旅行社对参加两地旅游的游客人数进行了统计，列表如下： 第一批 第二批 第三批
北京 200
x y 香港 150 160 z
已知在参加北京、香港两地旅游的1000名游客中，第二批参加北京游的频率是0．21． （I ）现用分层抽样的方法在所有游客中抽取50名游客，协助旅途后勤工作，问应在第三批参加旅游的游客中抽取多少名游客？
（II ）已知136,133y z ≥≥，求第三批参加旅游的游客中到北京旅游人数比到香港旅游人数多的概率．
解：（I ）
0.21,2101000
x
x =∴= 第三批旅游人数为()1000150200160210280y z +=-+++=
现用分层抽样的方法在所有游客中抽取50名游客，应在第三批参加旅游的游客中抽取的人数为
50
280141000
⨯=（人） （II ）设“第三批参加旅游的游客中到北京游的人数比到香港游的人数多”为事件A ，第三批参加旅游的游客中到北京游的人数、到香港游的人数记为(),y z
由（I ）知280y z +=，且,y z N *
∈ 则基本事件空间包含的基本事件有 （136，144）（137，143）（138，142）（139，141）（140，140）（141，139）（142，138） （143，137）（144，136）（145，135）（146，134）（147，133） 共12个。

事件A 包含的基本事件有 （141，139）（142，138）（143，137）（144，136）（145，135）（146，134）（147，133）共7个
()712
P A ∴=
答：第三批参加旅游的游客中到北京游的人数比到香港游的人数多的概率为
712
18．（本小题满分12分）
下列三个图分别是四棱锥A BCEF -的直观图、侧视图和俯视图。

直观图中，侧面ABC ⊥底面BCEF ，M 为AC 的中点，侧视图是等边三角形，俯视图是直角梯形，尺寸如图所示。

（I ）求证：//BM AEF 平面 （II ）求证；AE BM ⊥
（III ）求该四棱锥A BCEF -的体积。

解：（I ）取AE 的中点N ，连结,MN FN
在ACE ∆中，
M 为AC 的中点
1
//1,
21
//1,2
//MN CE MN CE BF CE BF CE MN BF MN BF
∴====∴=且又且且
∴四边形BMNF 为平行四边形 ////FN BM FN AEF BM AEF
BM AEF ∴⊂⊄∴又平面平面平面
（II ）90BCE ∠=︒
侧面ABC ∆⊥底面BCEF ，CE ∴⊥平面ABC ,CE BM ∴⊥
又ABC ∆是正三角形，M 为AC 的中点，BM AC ∴⊥ ,AC CE C BM ACE
AE BM
⋂=∴⊥∴⊥又平面
（III ）取BC 的中点O ，连结AO ,ABC ∆是边长为2的正三角形， ,3AO BC AO ∴⊥=且 又侧面ABC ⊥底面BCEF ()111
12233
332
A BCEF BCEF AO BCEF
V S AO -∴⊥∴=⋅=⨯+⨯⨯=梯形底面 19．（本小题满分12分）
若数列{}n a 满足前n 项之和22),(4211*
=+=∈-=+b b a b N n a S n
n n n n 且，求：
（1）求数列{}n b 的通项n b ； (2) 求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解：①当n=1时，1a =4a 4a 2S 111=⇒-=
当2n ≥时，4a 24a 2S S a 1n n 1n n n +--=-=-- 即1n n a 2a -= ∴
2a a 1
n n
=- ∴1n n 2a += n 1n 1n b 22b +=++ ∴12b 2b n n 1n
1n =-++ 又
12b 11
= ∴n 11n 12
b n
n =⋅-+=)( ∴n n 2n b ⋅= *N n ∈ ②n
2
n 2n 2221T ⋅+⋯⋯+⨯+⨯= 1
n n
2
n 2n 21n 21T 2+⋅+⋅-+⋯⋯+⨯=)(
两式相减得 221n T 1
n n +⋅-=+)( *N n ∈
20．(本小题满分13分) 已知函数()ln k
f x e x x
=+
（其中e 是自然对数的底数，k 为正数）
（I ）若()f x 在0x 处取得极值，且0x 是()f x 的一个零点，求k 的值；
（II ）若[]1,k e ∈，求()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值； （III ）设函数()()g x f x kx =-在区间1,e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上是减函数，求k 的取值范围．
解法一：
（I ）由已知()0200
0,0e k
f x x x '=-=即
()00,0,0k k
x f x eIn e e e ∴==+=又即
1k ∴=
（II ）()22k e x e k e f x x x x ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭'=-= 111k
k e e e <≤∴≤≤
由此得1,k x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减；,1k x e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增
()()()max 1,1,
1,1f x f f e f ek e f k
e ⎧⎫
⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
故又
当ek e k -<，即1e k e e <<-时，()max 1f x f ek e e ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
当ek e k -≤，即11e
k e <<-时，()()max 1f x f k ==
（III ）()()2,e k
g x f x k k x x
''=-=--
()g x 在1,e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
在是减函数，
()0g x '∴≤在x ∈1,e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立
即20e k k x x --≤在x ∈1,e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立 1e k x x ∴≥
+在x ∈1,e e ⎛⎫
⎪⎝⎭上恒成立
又12x x +≥=当且仅当1x =时等号成立。

12e e x x
∴≤+
,2e k ⎡⎫∴∈+∞⎪⎢⎣⎭
解法二；（I ）,(II)同解法一
（III ）()()2
,e k g x f x k k x x ''=-=-- ()g x 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在是减函数， ()0g x '∴≤在x ∈1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恒成立 即20e k k x x --≤在x ∈1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恒成立 2111,,,10,e t t e t t t e x e k e ⎛⎫⎛⎫=∈-+≥∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
令则从而在上恒成立 不妨设()211 ,,e h t t t t e k e ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭ 210,22e e k k e <≤≥当即时，有22
222,,2211110,1e e k k e h k e e
k e ⎧⎧≥≥⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎛⎫⎪⎪=+-≥≥ ⎪⎪⎪+⎝⎭⎩⎩则 2
2
e k ∴≥ 211,222e e e k e k <≤≤<当即时，有22211,,222240,2e e k k e e k k ⎧⎧≤<≤<⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎛⎫⎪⎪≥-≤ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭
⎩则 2
22
e e k ∴≤≤ 1,022e e k k ><<当即时，有()2222110,0,2210,1k k e e h e e k k e ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=+-≥≥⎪⎪+⎩⎩
则 由于22112
e k e >∴+无解。

综上所述，得出2e k ≥，即k 的取值范围是,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
21．（本小题满分14分） 椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
的离心率为3
左、右焦点分别为12,F F ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线(0)y kx t t =+>与以12F F 为直径的圆相切，并与椭圆C 交于,A B 两点，向
量AB
AB
在向量
12
F F方向上的投影是p，且2
()
OA OB P m
⋅=（O为坐标原点），求m与
k的关系式；
（3）在（2）的情形下，当
11
[,]
42
m∈时，求ABO
∆面积的取值范围．。