数学人教A版必修4自主训练：2.5平面向量应用举例 含解析 精品

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1.已知A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5),则△ABC 的形状是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
思路解析：∵A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5),∴AB =(1,1),BC=(-4,2),AC =(-3,3). ∵·=1×(-3)+1×3=0,∴⊥,即∠A=90°.∴△ABC 为直角三角形. 答案：A
2.以原点和点A(4,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,∠B=90°,则向量AB 的坐标为_____________.
思路解析：利用长度公式和垂直条件列出关于向量坐标的方程,然后求解. 设=(x,y),则=(x-4,y-2).
由已知⎩⎨⎧==⇒⎩
⎨⎧-+-=+=-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⊥3,1)2()4(0)2()4(||||2
222y x y x y x y y x x AB OB AB
OB 或⎩⎨⎧-==.1,3y x 故B(1,3)或B(3,-1).∴ =(-3,1)或(-1,-3).
答案：(-3,1)或(-1,-3)
3.已知两恒力F 1(3,4)、F 1(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求： (1)F 1、F 2分别对质点所做的功； (2)F 1、F 2的合力F 对质点所做的功.
思路分析：设物体在力F 作用下位移为S ,则所做的功为W=F ·S . 解：=(7,0)-(20,15)=(-13,-15). (1)W 1=F 1·AB =(3,4)·(-13,-15)=-99(焦耳). W 2=F 2·AB =(6,-5)(-13,-15)=-3（焦耳）.
（2）W=F ·=(F 1+F 2)·=［(3,4)+(6,-5)］·(-13,-15)=(9,-1)·(-13.-15)=-102（焦耳）. 4.如图2-5-9，在△ABC 中,D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 的中点,G 是它的重心,已知D 点的坐标是(1,2),E 点坐标是(3,5),F 点坐标是(2,7),求A 、B 、C 、G 的坐标
.
图2-5-9
思路分析：根据D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 的中点,得=.从而求出A 点坐标,B 、
C 、G 点的坐标求法与此类似.
解：设A(x 1,y 1),由已知得EF 平行且等于AD. ∴DA =EF ,
∴(x 1-1,y 1-2)=(2-3,7-5)=(-1,2),
∴⎩⎨⎧=--=-,22,1111y x 解得⎩⎨⎧==.4,01
1y x
∴A(0,4).同理，可得B(2,0),C(4,10).连结AE,则AE 过点G. 设G(x 2,y 2),由=2,得(x 2,y 2-4)=2(3-x 2,5-y 2).
∴⎪⎩
⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-=--=.314
,2,2104,262222
22y x y y x x ∴G(2,314). 5.设a 、b 、c 是两两不共线的三个向量.
(1)如果a +b +c =0,求证以a 、b 、c 的模为边,必构成一个三角形； (2)如果向量a 、b 、c 能构成一个三角形,问它们应该有怎样的关系? 思路分析：运用向量加法的三角形法则及多边形法则即可解答. 解：(1)如下图,作=a ,=b ,=c .按向量加法的多边形法则有
BD =BC +CA +AD =a +b +c =0.
∴B 与D 重合,故向量a 、b 、c 能构成一个三角形.
(2)设向量a 、b 、c 能构成一个三角形ABC,根据向量加法的三角形法则,有AB +BC =AC ,即AB +BC +CA =0. ∵a =-,b =-,c =-，
∴a 、b 、c 有下列四种关系之一即可：
①a +b -c =0;②a +b +c =0;③a -b -c =0;④a -b +c =0.
6.如图2-5-10所示，△ABC 三边长为a 、b 、c ,以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径,试判断P 、Q 在什么位置时, BP ·有最大值
?
图2-5-10
思路分析：先构造向量表示和,然后运用向量的运算建立目标函数,再利用向量的数量积a ·b ≤|a ||b |求解.
解：∵AB +BP =AP ,AC +CQ =AQ =-AP ,
∴BP ·=(AP -AB )·(-AP -)=-2AP +AB ·AP +AB ·-AP ·-r 2+AB ·+AP ·(AB -AC )=AB ·AC +AP ·CB -r 2 =cbcos ∠BCA+AP ·CB -r 2.
∵r 、a 、b 、c,∠BAC 均为定值,故当且仅当AP ·CB 有最大值时，BP ·有最大值. 而当与同向共线时，其夹角为0°，有·=ra.
∴当∥,且与反向时,·有最大值bccos ∠BAC+ar-r 2.
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7.在四边形ABCD 中,·=0,且=,则四边形ABCD 是（ ） A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 思路解析：由·=0,得AB ⊥BC,又=,
∴AB 与DC 平行且相等.从而四边形ABCD 是矩形. 答案：C
8.平面上有两个向量e 1=(1,0),e 2=(0,1),今有动点P 从P 0(-1,2)开始沿着与向量e 1+e 2相同的方向作匀速直线运动,速度大小为|e 1+e 2|.另一点Q 从Q 0(-2,1)出发，沿着与向量3e 1+2e 2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|3e 1+2e 2|.设P 、Q 在t=0秒时分别在P 0、Q 0处，则当PQ ⊥P 0Q 0时，t=____________.
思路解析：应用垂直的条件列方程即可.∵P 0(-1,2),Q 0(-2,1), ∴00Q P =(-1,-3).又∵e 1+e 2=(1,1),∴|e 1+e 2|=2.∵3e 1+2e 2=(3,2), ∴|3e 1+2e 2|=
13.∴当t 时刻时,点P 的位置为(-1+t,2+t),点Q 的位置为
(-2+3t,-1+2t).∴=(-1+2t,-3+t),∵PQ ⊥P 0Q 0, ∴(-1)·(-1+2t)+(-3)·(-3+t)=0.∴t=2. 答案：2
9.如图2-5-11,已知A 、B 、C 是不共线的三点,O 是△ABC 内的一点,若++=0,求证：O 是△ABC 的重心.
图2-5-11
思路分析：以、为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-,从而得||=2||，即O 为△ABC 的重心. 证明：由于OA +OB +OC =0, ∴=-（+）,
即+是的相反向量,以、为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-.在平行四边形BOCD 中,设与交于E 点,则=，=,∴AE 是△ABC 的中线,且|OA |=2|OE |,故O 是△ABC 的重心.
10.在△ABC 内求一点P,使2AP +22CP BP +的值最小.
思路分析：根据已知条件,可设CA =a , CB =b ,再把2AP +22CP BP +表示成关于向量CP=x 的函数,进而求出该函数的最小值.
解：如下图,设CA =a , CB =b ,CP=x ，则AP =x -a , BP =x -b ,
∴2AP +22CP BP +=(x-a )2f(x-b )2+x 2=3x 2-2(a +b )x+b 2
=3［x-31 (a +b )］2+a 2+b 2-3
1
(a +b )2. 根据向量运算的意义知,当x=3
1
(a +b )时,2AP +22CP BP +有最小值.
设M 为AB 的中点,易知a +b =2CM . 当x=
31(a +b )时,=3
2
,也即P 为△ABC 的重心时, 222CP BP AP ++的值最小,为a 2+b 2-3
1
(a +b )2.
11.如图2-5-12(1),有两条相交成60°的直线xx 1、yy 1,交点为O.甲,乙分别在Ox 、Oy 1上,起初甲位于离O 点3 km 的A 处,乙位于离O 点1 km 的B 处.后来两个人同时用每小时4 km 的速度,甲沿xx 1的方向,乙沿yy 1的方向运动.
图2-5-12
(1)起初两个人的距离是多少?
(2)什么时候两人的距离最近?［如图2-5-12(2),在三角形中有如下结论：b 2=a 2+c 2-2accosB ］. 思路分析：以甲、乙两人t 时刻的位置和O 三点形成三角形,通过对三角形有关量的求解便可实现解题的目的.
解：(1)起初两人分别在A 、B 两点,则|OA |=3,|OB |=1. ∴|AB |=||2+||2-2||||cos60°=9+1-2×3×1×2
1
=7. ∴|AB |=7km,即起初两人相距7公里.
(2)设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q 则|AP |=4t,|BQ |=4t, 又∵甲沿xx 1的方向,乙沿yy 1的方向运动. ∴当0≤t≤
4
3时, |PQ |2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t 2-24t+7;
当t ＞
4
3
时,||2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos120°=48t 2-24t+7(t ＞0). 综上||2=48t 2-24t+7=48(t-4
1
)2+4,t ∈［0,+∞),
∴当t=4
1
时,即在第15分钟末时,PQ 最短,两人最近,最近距离为2 km.
12.在静水中划船的速度是每分钟40米,水流的速度是每分钟20米.如果从岸边O 处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,试问小船的行进方向应指向哪里?
思路分析：速度是向量,根据本题的已知和所求,可以用向量加法运算予以解决.
解：用向量OA 的长度和方向分别表示水流的速度和方向,用OB 表示船行进的方向,它的长度表示船的速度.以、为邻边作平行四边形OACB,连结OC.
依题意OC ⊥OA,BC=OA=20,OB=40, ∴∠BOC=30°,船应沿上游与河岸夹角为30°的方向行进.
13.不顾国际社会的强烈反对,美国于2001年7月14日进行导弹防御系统拦截技术的第四次实验,军方先从加利福尼亚州的危登堡空军基地发射一枚作为标靶的洲际弹道导弹和诱弹,再从马绍尔群岛的夸贾林环礁发射另一枚导弹对前一枚导弹进行拦截,实施拦截时必须准确计
算标靶的飞行速度、瞬时位置.现假设标靶与拦截导弹的飞行轨迹均在同一平面内,标靶飞行速度为|v |=10nmk/h.令v =λ1e 1+λ2e 2,基底e 1、e 2是平面内的单位向量.若标靶的飞行方向为北偏东30°,e 1方向正东,e 2方向为北偏东60°,试求λ1、λ2的值. 思路分析：本题实质就是利用平面内的一组基底表示向量v. 解：建立如图所示的直角坐标系,则e 1=(1,0),e 2=(
23,2
1
),v =(5n,35
n).
∵e 1、e 2不共线, ∴v=λ1e 1+λ2e 2=λ1(1,0)+λ2(
23,2
1). (5n,35n)=(λ1+
2
3λ2,21λ2). ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+.352
,523
221n n λλλ ∴λ1=-10n,λ2=103n.。