2015年-全国高考数学文试题精品解析上海卷_高考试题1_2015年

2015年高考上海卷文数试题解析（精编版）（解析版）
一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）
1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 . 【答案】π
2.设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U . 【答案】}4,1{
【解析】因为}32|{<≤=x x B ，所以2|{<=x x B C U 或}3≥x ，又因为}4,3,2,1{=A ， 所以}4,1{)(=B C A U . 【考点定位】集合的运算.
3.若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z . 【答案】
i 2
141+ 【解析】设),(R ∈+=b a bi a z ，则bi a z -=，因为i z z +=+13，
所以i bi a bi a +=-++1)(3，即i bi a +=+124，所以⎩⎨⎧==1214b a ，即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==214
1b a ，
所以i z 2
1
41+=
.
【考点定位】复数的概念，复数的运算.
4.设)(1
x f
-为1
2)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1
f . 【答案】3
2-
5.若线性方程组的增广矩阵为 ⎝⎛02 13 ⎪⎪⎭
⎫21c c 解为⎩⎨⎧==53
y x ，则=-21c c .
【答案】16
6.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a . 【答案】4 【解析】依题意，
3162
3
21=⨯⨯⨯⨯a a a ，解得4=a . 【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.
7.抛物线)0(22
>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则
=p .
【答案】2
【解析】依题意，点Q 为坐标原点，所以12
=p
，即2=p . 【考点定位】抛物线的性质，最值.
8. 方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为 . 【答案】2
【考点定位】对数方程.
【名师点睛】利用24log 2=，)0,0(log log log >>=+n m mn n m a a a 将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于x 的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.
9.若y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为 .
【答案】3
【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.
10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 【答案】120
【考点定位】组合，分类计数原理.
11.在6
2)12(x
x +
的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）. 【答案】240
【解析】由r r r r
r
r r x C x
x C T 366626612)1(
)
2(---+⋅⋅=⋅⋅=，令036=-r ，所以2=r ，所以常数项为2402426=⋅C .
【考点定位】二项式定理.
【名师点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)．
12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为14
22
=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .
【答案】14
42
2=-y x
【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.
13.已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是 . 【答案】53+
【考点定位】平向量的模，向量垂直.
【名师点睛】本题考查分析转化能力.设向量a 、b 、c 的坐标，用坐标表示c b a ++，利用辅助角公式求三角函数的最值.即可求得||c b a ++的最大值.
14.已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且
12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为
. 【答案】8
二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.
15. 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（ ）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】A
【解析】设),(11111R ∈+=b a i b a z ，),(22222R ∈+=b a i b a z ，
若1z 、2z 均为实数，则021==b b ，所以21212121)(a a i b b a a z z -=-+-=-是实数；
【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.
16. 下列不等式中，与不等式
23
28
2<+++x x x 解集相同的是（ ）.
A. 2)32)(8(2
<+++x x x B. )32(282
++<+x x x
C. 823212+<++x x x
D.
2
1
8322>+++x x x 【答案】B
17. 已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转
3
π
至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）. A.
233 B. 2
3
5 C.
211 D. 2
13 【答案】D
因为491)34(2222=+=+n m ，所以49169
272
2
=+
n n ，所以213=n 或213-=n （舍去），
所以点B 的纵坐标为
2
13
. 【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.
18. 设),(n n n y x P 是直线
)(1
2*∈+=-N n n n
y x 与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞
→1
1
lim
n n n x y ( ).
A. 1-
B. 2
1-
C. 1
D. 2 【答案】A
三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点.已知2=PO ，1=OA ，求三棱锥AOC P -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角的大小.
【答案】10
10
arccos
【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.
20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数x
ax x f 1
)(2
+
=，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由； （2）若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由. 【答案】（1）)(x f 是非奇非偶函数；（2）函数)(x f 在]2,1[上单调递增.
【解析】（1）当0=a 时，x
x f 1
)(=
，显然是奇函数； 当0≠a 时，1)1(+=a f ，1)1(-=-a f ，)1()1(-≠f f 且0)1()1(≠-+f f ， 所以此时)(x f 是非奇非偶函数.
【考点定位】函数的奇偶性、单调性.
21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.
如图，C B A ,,三地有直道相通，5=AB 千米，3=AC 千米，4=BC 千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为)(t f （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与)(1t f 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11≤≤t t 时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在]1,[1t 上得最大值是否超过3？说明理由.
【答案】（1）h 83
，8
413千米；（2）超过了3千米. 【解析】（1）h v AC t 8
31==乙，设此时甲运动到点P ，则8151==t v AP 甲千米， 所以=⋅⋅-+==A AP AC AP AC PC t f cos 2)(2218
4135381532)815(322=⨯⨯⨯-+=千米.
【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.
【名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题， 分段函数的值域，先求各段函数的值域，再求并集.
22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，设AOC ∆的面积为S .
（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=；
（2）设kx y l =:1，)33,33(C ，3
1=S ，求k 的值； （3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.
【答案】（1）详见解析；（2）1-=k 或5
1-=k ；（3）21-=m .
由（1）得2111221216|1|3|3333|21||21k
k kx x y x y x S +-=-=-= 由题意知31216|
1|32=+-k k ，
解得1-=k 或5
1-=k . （3）设kx y l =:1，则x k m y l =
:2，设),(11y x A ，),(22y x C ， 由⎩⎨⎧=+=1
222y x kx y ，的221211k x +=， 同理222
2222)(211
m k k k m x +=+=，
由（1）知，||||||21||21||2121212111221x x k m k kx x k mx x y x y x S ⋅-⋅=⋅-⋅=-= 22222212|
|m
k k m k +⋅+-=， 整理得0)18()2164()18(2
2222242=-++++-m S k m m S S k S ，
由题意知S 与k 无关， 则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-021*********
m m S S S ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==21812m S . 所以2
1-=m . 【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.
23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++，*
∈N n .
（1）若53+=n b n ，且11=a ，求数列}{n a 的通项公式；
（2）设}{n a 的第0n 项是最大项，即)N (0*∈≥n a a n n ，求证：数列}{n b 的第0n 项是最大项；
（3）设130a λ=<，n n b λ=)N (*
∈n ，求λ的取值范围，使得对任意m ，*∈N n ，0n a ≠，且 1(,6)6m n
a a ∈. 【答案】（1）56-=n a n ；（2）详见解析；（3）)0,4
1(-.
（3）因为n n b λ=，所以)(211n n n n a a λλ-=-++，
当2≥n 时，112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=---
λλλλλλ
λ3)(2(2)(22211+-+⋅⋅⋅+-+-=---n n n n λλ+=n 2，
由指数函数的单调性知，}{n a 的最大值为0222<+=λλa ，最小值为λ31=a ， 由题意，n m a a 的最大值及最小值分别是12321+=λa a 及3
1212+=λa a ， 由
61312>+λ及6123<+λ，解得04
1<<-λ， 综上所述，λ的取值范围是)0,41(-. 【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调性.。