阳光辅导中心初三数学二次函数与圆知识点总结

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初三数学知识点总结
1. 一元二次方程的一般形式：a 工0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有 关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的 a 、b 、c ；其中a 、b,、c 可能 是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式
2. 一元二次方程的解法：一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适
用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计 算简便，是
首选方法；配方法使用较少
3. 一元二次方程根的判别式 ：当ax 2+bx+c=0 （a 丰0）时，△ =b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式 .请注意以
下等价命题：
△ > 0 <=>有两个不等的实根; △ v 0 <=>无实根；
4. 一元二次方程的根系关系：
△ =0 <=>有两个相等的实根； △ > 0 <=>有两个实根（等或不等）
丰0）时口 △》0,
，
c
有两个正根
> 0, a
（10）有两个负根 -> 0,
a
6.
求根法因式分解二次三项式公
式:
b -一 > 0且△》0二a 、
c 同号，
a v 0且△》0 = a 、c 同号，
a
7. 求一元二次方程的公式:
⑴ x i,2 4 bj
2a (2) x i X 2 二-b X 1X 2
2
探 5 .当 ax +bx+c=0 (a 丰 0) （以下等价关系要求会用公式 时，有以下等价命题： b -,Xg a
x^-x 2 △ =b 2-4ac 分析，不要求背记）
：=--=0 且△》0 二 b = 0 a （2
）两根互为倒数
c =1 且△》0 =c 且厶>0;
(3) 只有一个零根
c =0且一 b
工0 u c = :0 且b 工0;
a a
(4) 有两个零根
c =0 且—b = 0 =
c =
:0 且 b=0;
a a
(5) 至少有一个零根
c =0 ：= c=0 ; a
(6
) 两根异号 = c v 0 ：=a 、c 异号；
两根互为相反数
(1) a 正根绝对值大于负根绝对值 (7) 两根异号, (8) 两根异号, 负根绝对值大于正根绝对值 £ v 0 且—b > 0二 a a -v 0 且-b v 0二 a a
c 异号且a 、b 异号; c 异号且a 、b 同号;
2
ax +bx+c=a(x-x i )(x-x 2)
或
ax 2
当 ax 2+bx+c=0 (a
有下列公式:
(9)
注意：当△< 0时，二次三项式在实数范围内不能分解
X 2 - (X 1+X 2) x + x 1X 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数
&平均增长率问题 ------- 应用题的类型题之一 (设增长率为X )：
(1) 第一年为a , 第二年为a(1+X ), 第三年为a(1+X )2. (2 )常利用以下相等关系列方程：
第三年=第三年
或 第一年+第二年+第三年=总和.
9 •分式方程的解法：
二元二次方程组的解法:
10.
(1)代入消元 法——方程组中含有一个二元一次方
程;
(1) 分类为3 /和卫二上
X 2 3 X 2
3
(2) 两边平方一般不用，因为增加次数
(4)女口 x 1 =sinA, x 2 =sin B 且 _A ： _B =90 时，由公式 sin 2 A cos 2 A = 1, cosA =sinB
可推出x f x 2 =1.
注意隐含条件：x 1 >0, x 2 >0.
⑸x 1 ,x 2若为几何图形中线段长 时,可利用图形中的相等关 系(例如几何定理，相似形，面积 等式,公式)
推导出含有 X 1, X 2的关系式.注意隐含条件：X 1・0, X 2 0. (6)如题目中给出特殊的直 角三角形、三角函数、
比例式、等积式等条件，可把它们转化为某
注意：丿 7 1 )( 2 ) =0 ' 八 丿
应分组为
(1 )=0 )=0 \1 )=0
'(2)=0
(3 )( 4 )=0
(3)=0
J4 )=0
、(4)=0 、(3)=0
)(
)0的方程; (3) 探11.几个常见转化:
(1)去分母法 两边同乘最简 公分母
验增根代入最简公分母
(或原方程的每个分母 ，值=0.
(2)换元法
凑元，设元,
换元. 验增根代入原方程每个 分母，值--0 .
(2)分解降次法——方程组中含有能分解为(
(1) x j X
2 =(X 1
X 2
)2
-2X 1X 2
;
2
2
(x 1 -x 2) (x 1 x 2)
-4x 1x 2 ; x 2
=(X -)2
X
-2;
或X 2 丄
x 2
1 2 =(x ) 2
； X 1
X
Q (X 1 -X 2)2 = J (X 1 +X 2)2 - 4X 1X 2 =<
_______
-(x
(X 1 ZX 2)；
=—(X 1 ■' X 2 ) - 4x 1X 2 (X 1 ：：： X
)
X 1
_X 2
1.分类为
x 1 -x 2 =2 禾口 X 1 -x 2
2.两边平方为)x 1 -x 2)2 =4
X 1 X 2
些线段的比，并且引入“辅助未知元k”.
(7)方程个数等于未知数个数时，一般可求出未知数的值；方程个数比未知数个数少一个时, 般求不出未知数的值，但总可求出任何两个未知数的关系.
X2 - (X1+X2) x + x 1X2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数
几何B级概念：(要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题) 一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高
三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、
切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内 公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 多边形的中心角. 定理： 不在一直线上的三个点确定一个圆 .弦
（外）
正 2 O
3 B
A
（如
(5) =2 四 1 2 3
4 5 的方法加辅助
已知直径构造直角
n rh 弓形面积 S 弓形=扇形面积S AOB ±
A AO
B 的面积 已知弦构造Rt A
I LR
2
1.有关的计算：（1）圆的周长
（r:底面半径；h:圆柱高）
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 正n 边形的半径和边心距把正
n 边形分为2n 个全等的直角三角形 公式： （2）圆锥的侧面积： S 圆锥侧
（L=2 n r , R 是圆锥母线长；r 是底面半径）
= 三角形的外接圆的圆心； 二三角形的内切圆的圆心• d 表示圆心到直线的距离；其中 r 表示圆的半径） 直线与圆相切 二d=r ； 直线与圆相离 二d >r.
d 表示圆心到圆心的距离，其中 R 、r 表示两个圆的半径且 R > r ）
两圆外切 = d=R+r ； 两圆相交 = R-r v d v R+r 两圆内含 =d v R-r. '已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径 C=2n R ； (2)弧长 L=n ^R ； ( 3)圆的面积 S=n R 2 180
（4）扇形面积 S 扇形=^^ =」LR
360 2 2.圆柱与圆锥的侧面展开图：
（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 常识： 圆是轴对称和中心对称图形 . 圆心角的度数等于它所对弧的度数
.
三角形的外心二两边中垂线的交点 三角
形的内心二两内角平分线的交点 直线与圆的位置关系：（其中 直线与圆相交d v r ； 圆与圆的位置关系：（其中 两圆外离 =d > R+r ； 两圆内切 =d=R-r ； 6•证直线与圆相切，常利用： 线.
o.
A 0
1 .
C
C
A
B
B
o
B
A
B
A
C
7.关于圆的常见辅助线
已知弦构造弦心距.
已知切线连半径，出
两圆内切，构造外公
切线与垂直.
两圆内切，构造外公切
线与平行.
两圆外切，构造内公
切线与垂直.
N
两圆外切，构造内公
切线与平行.
圆外角转化为圆周角.
01
圆内角转化为圆周角
01
构造垂径定理构造相似形
°% °1 02
°1
A
02
B
°rr
A
C°
D
A
仁
A
C°
B
两圆相交构造公共弦,
连结圆心构造中垂线
两圆同心，作弦心距,
可证得AC=DB.
PA PB是切线，构造双
垂图形和全等.
相交弦出相似
A
°
C
B
一切一割出相似，并且
构造弦切角.
圆的外切四边形对边
和相等.
B
A
C
E °
两割出相似，并且构造圆
周角.
B C
若AD // BC都是切线，连
结°A、OB可证/
A°B=180，即A O B
°P
双垂出相似，并且构造
直角.
等腰三角形底边上的的
高必过内切圆的圆心和
切点，并构造相
E
B F C
规则图形折叠出一
对全等，一对相似
Rt △ ABC的内切圆
半径：r=a"—c.
2
三点一线.似形.
补全半圆.
B
C
02
01
AB= 0i02 -(R -r)2 .
PC过圆心，PA是切线，构造双
垂、Rt △.
0是圆心，等弧出平行和相似
AB= 0i。

2—(R r)2
作AN^ BC可证出
GF _ AM BC 一
AN .。