(完整版)可逆矩阵教案.doc
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（完整版）可逆矩阵教案.doc§1.4可逆矩阵★ 教学内容：1.可逆矩阵的概念；2.可逆矩阵的判定；3.利用转置伴随矩阵求矩阵的逆；4.可逆矩阵的性质。
★教学课时： 100 分钟 /2 课时。
★教学目的：通过本节的学习，使学生1.理解可逆矩阵的概念；2.掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法；3.熟悉可逆矩阵的有关性质。
★教学重点和难点：本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。
★ 教学设计：一可逆矩阵的概念。
1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。
2.定义 1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵 B ，使得 AB BA E 则称 A 为可逆矩阵，简称 A 可逆，并称 B 为 A 的逆矩阵，或 A 的逆，记为A1。
3.可逆矩阵的例子：（ 1）例 1 单位矩阵是可逆矩阵；（ 2）例 21 0 1 0A ， B1，则 A 可逆；1 1 11 0 0（ 3）例 3 对角矩阵 A 0 2 0 可逆；0 0 31 1 1 1 1 0（ 4）例 4 A0 1 1 ， B 0 1 1 ，则A可逆。
0 0 1 0 0 14.可逆矩阵的特点：（1）可逆矩阵A都是方阵；（2）可逆矩阵A的逆唯一，且A1和A是同阶方阵；（ 3）可逆矩阵A 的逆 A 1 也是可逆矩阵，并且 A 和 A 1 互为逆矩阵；（ 4）若 A 、B 为方阵，则 ABEA 1B 。
二可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆1.方阵不可逆的例子：例 5例 61 1 A0 01 2 A24不可逆；不可逆；2.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法：（ 1）说明利用定义判定及求逆的方法，（2）说明这种方法的缺陷；3.转置伴随矩阵求逆（1）引入转置伴随矩阵1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论a i1A s1a i 2As2La inAsnD,is(i 1,2,L , n) ，0,isa 1 jA 1ta 2 jA2tLa njAntD, j t( j 1,2,L , n) ；0, j t2）写成矩阵乘法的形式有：a11a12La1nA11A21L An1A 0 L 0 a21 a22La2 nA12 A22LAn20 A LM M O M M M O MA EM M O M aan 2LannA1nA2nLAnn0 0 LA3）定义 1.4.2（转置伴随矩阵）设A ij 式是 A (a ij )n n 的行列式中 a ij 的代数余子式，则A 11 A 21 LA n1A *A 12A22L A n 2MM OMA1n2nLAnn称为 A 的转置伴随矩阵。
第三章 可逆矩阵(第一讲)
1 , 2
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于 是 X A CB
1 0 0
1
1
2 1 0
1 1 2 0 1 1
0 3 1 5 0
1 2
2 2 1
16 11 3
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§2 方阵可逆矩阵的充要条件与逆矩阵计算
2.1可逆矩阵的有关定理
定义2.1 设n阶方阵A=(aij)，元素aij在行列式| A|中的代 数余子式为Aij(i,j=1,2,…,n),则矩阵
A1 1 A1 2 A A1 n A21 A22 A2 n An 1 An 2 An n
1 0 0
0 1 0
0 2 1
1 0 0
2 1 0
1 1 0 0 0 1
0 1 0
0 0 1
1 0 0
2 1 0
1 2 . 1
A
1
1 0 0
2 1 0
1 2 . 1
2.3 逆矩阵的应用
1
A.
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定理2.4 方阵A可逆的充分必要条件是A可以经过有限 次初等变换化为单位矩阵. 证明 必要性.设A为n阶可逆矩阵，由于|A| ≠0，所以 A必可经过有限次的初等变换化为标准形，其标准形的主 对角线上的元素有n个1，故这个标准形只能是单位矩阵E.
充分性.已知方阵A可以经过初等变换化为单位矩阵E， 设这些初等变换所对应的初等方阵分别为P1, P2,…, Ps, Q1, Q2,…, Qt,使得 P1 P2… Ps A Q1 Q2…, Qt=E,
矩阵的逆矩阵教案
矩阵的逆矩阵教案一、引言矩阵是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
在矩阵的运算中，逆矩阵是一个关键概念。
本教案旨在通过清晰的解释与实例演示，帮助学生理解和掌握矩阵的逆矩阵。
二、基础知识回顾在开始学习矩阵的逆矩阵之前，我们首先需要回顾一些基础知识。
1. 矩阵的定义矩阵是由$m$行$n$列元素排列成的矩形数表，其中每个元素都有自己的位置。
我们通常用大写字母表示矩阵，如$A$。
2. 矩阵的运算矩阵可以进行加法、减法和数乘等运算。
两个矩阵必须具有相同的阶数才能进行加法和减法运算。
矩阵的数乘即是将矩阵的每一个元素与一个标量相乘。
3. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
我们通常用$A^T$表示矩阵$A$的转置。
4. 单位矩阵单位矩阵是一个主对角线上的元素都为1，其余元素都为0的方阵。
我们通常用$I$表示单位矩阵。
5. 方阵与可逆矩阵方阵指行数和列数相等的矩阵。
可逆矩阵是方阵中的一种特殊矩阵，存在一个相应的逆矩阵，其乘积为单位矩阵。
三、逆矩阵的定义与性质1. 逆矩阵的定义对于一个$n$阶方阵$A$，如果存在一个$n$阶方阵$B$，使得$AB=BA=I$，则称$A$是可逆的，并称$B$为$A$的逆矩阵。
逆矩阵的记号为$A^{-1}$。
2. 逆矩阵的唯一性如果$A$存在逆矩阵$A^{-1}$，那么$A^{-1}$是唯一的。
3. 矩阵与逆矩阵的相乘若$A$是一个可逆矩阵，$B$是任意一个与$A$行数相同的矩阵，则有$AB=I$和$BA=I$。
四、矩阵的逆矩阵求解方法1. 行列式法求解逆矩阵通过行列式法可以求解$n$阶方阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$，其中行列式$|A|\neq 0$。
2. 元素法求解逆矩阵通过增广矩阵的方法，可以将方阵$A$与单位矩阵$I$进行行初等变换，得到一个增广矩阵，其中方阵部分为单位矩阵，若能将$A$化为单位矩阵，则增广矩阵右侧部分即为$A^{-1}$。
3. 矩阵的初等行变换法求解逆矩阵通过将$n$阶方阵$[A|I]$进行一系列的初等行变换，可以将$A$化为单位矩阵，此时$[I|B]$即为$A^{-1}$。
可逆矩阵
解
经计算易得
所以
不可逆； 不可逆；
①
当
有为零的数时， 不可逆； 有为零的数时， 不可逆； 均不为零时， 可逆， 均不为零时， 可逆，据矩阵
② 当
的特点， 乘法的定义和矩阵 的特点，作 3 阶矩阵
则
10
， 所以
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
.
由于 ① 当
所以， ， 所以， 不可逆； 时， 不可逆； 可逆， 时， 可逆，
是可逆矩阵， 的逆矩阵唯一. 命题 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵唯一 若 均是 的逆矩阵，则 的逆矩阵，
可逆， 提醒 若 可逆，记其唯一的逆矩阵为
2
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
矩阵可逆的充要条件 定理 设 为 阶方阵 ，则 可逆
可逆时， 当 可逆时， 可逆， 证明 必要性 因 可逆，故存在 使得 故
证明 因
由前面定理推论 知
可逆且
推论 若 们的乘积
均为同阶可逆方阵， 均为同阶可逆方阵，则它 也可逆且
6
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
可逆矩阵的性质 性质4 性质4 若 均为可逆方阵， 均为可逆方阵，那么
也可逆且
注记
由性质4显然可得可逆对角矩阵的逆矩阵. 性质4显然可得可逆对角矩阵的逆矩阵
例题
设矩阵 其中
满足
求
解答 可逆 显然可见 可逆且 故
20
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大阵法求阶数较高 的矩阵的可逆矩阵是不现实的. 的矩阵的可逆矩阵是不现实的 伴随矩阵法主要用于理论推导和求 低阶矩阵以及特殊矩阵的逆矩阵. 低阶矩阵以及特殊矩阵的逆矩阵 但从伴随矩阵法可见， 但从伴随矩阵法可见，逆矩阵和伴随 矩阵关系紧密. 所以， 矩阵关系紧密 所以，我们来研究研 究伴随矩阵的性质. 究伴随矩阵的性质
高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵教案 苏教版选修42(1)
2.4 逆变换与逆矩阵2．4.1逆矩阵的概念课标解读1.理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件．2．会证明逆矩阵的惟一性和(AB )－1＝B －1A －1等简单性质．3．会从几何变换的角度求出AB 的逆矩阵.1．逆变换二阶矩阵A 对应着平面上的一个几何变换，它把点(x ，y )变换到点(x ′，y ′)．反过来，如果已知变换后的结果(x ′，y ′)，有的变换能“找到回家的路”，让它变回到原来的(x ，y )，我们称它为原变换的逆变换．2．逆矩阵对于二阶矩阵A ，B ，若AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记作：A －1＝B .3．逆矩阵的性质(1)若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是惟一的．(2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. (3)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .4．逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，当ad －bc ≠0，矩阵A 可逆，且它的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc.1．2.2节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？哪几个不存在？为什么？【提示】恒等、反射、伸压、旋转、切变变换存在逆变换，而投影变换不存在；因为只有一一映射的变换才存在逆变换，而恒等、反射、伸压、旋转、切变变换为一一映射、投影变换不是一一映射．2．是否每个二阶矩阵都可逆？【提示】不是，只有当⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d中ad－bc≠0时，才可逆，如当A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，因为1×0－0×0＝0，找不到二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E成立，故A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0不可逆．3．若二阶矩阵A，B，C都是可逆矩阵，如何求(ACB)－1?【提示】根据逆矩阵的性质及矩阵乘法的结合律得：(ACB)－1＝[]AC B－1＝B－1(AC)－1＝B－1C－1A－1.利用几何变换的观点研究矩阵的逆矩阵从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由．(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1；(3)C ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12；(4)D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 【思路探究】 矩阵→对应的几何变换→ 判断是否存在逆变换→若存在写出逆变换→逆矩阵【自主解答】 (1)矩阵A 对应的是伸压变换，它将平面内点的横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴方向压缩为原来的12，因此，它存在逆变换：将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴方向伸长为原来的2倍，所对应的变换矩阵记为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002.(2)矩阵B 对应的是切变变换，它将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x ，y )→(x －2y ，y )．它存在逆变换：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且(x ，y )→(x ＋2y ，y )，所对应的变换矩阵记为B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1. (3)矩阵C 对应的是投影变换，它将平面内的点垂直投影到直线y ＝x 上，它不是一一映射，在这个变换下，直线y ＝x 上的点有无穷多个原象，而平面上除直线y ＝x 外其他点没有原象，它的逆变换不存在，因此矩阵C 不存在逆矩阵．(4)矩阵D 对应的是绕原点逆时针方向旋转90°的旋转变换，因此它存在逆变换：绕原点顺时针旋转90°的旋转变换，所对应的变换矩阵记为D －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－1 0.用几何变换的观点判断矩阵的逆矩阵的存在及求解问题，一般思路是：(1)弄清矩阵所对应的几何变换；(2)根据逆变换的定义判断该变换是否具有逆变换；(3)若有逆变换，找到逆变换；(4)将逆变换写成逆矩阵．若将本例中矩阵变为下列矩阵，情况如何？(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －1212 32；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0；(3)C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101；(4)D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.【解】 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 30° －sin 30°sin 30° cos 30°，它表示的变换为将平面内的点绕原点逆时针旋转30°的旋转变换，其逆变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转30°的旋转变换，故A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 12－12 32. (2)矩阵B 表示的是将平面内所有点垂直投影到x 轴上的投影变换，它不是一一对应的变换，所以不存在逆变换，故不存在逆矩阵．(3)矩阵C 表示的是将平面内所有点的纵坐标不变，横坐标依纵坐标比例增加，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y y 的切变变换，其逆变换为将平面内所有点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标比例减少，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y y 的切变变换，故C －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1.(4)矩阵D 表示的是将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x 轴方向拉伸为原来2倍的伸压变换，其逆变换为将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x 轴方向压缩为原来的12的伸压变换，故D －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12.求矩阵A 的逆矩阵求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 356的逆矩阵． 【思路探究】 思路一：设出A －1，利用AA －1＝E ，构建方程组求解．思路二：利用公式A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc 求解．【自主解答】 法一 设矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 356⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 5x ＋6z 5y ＋6w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，2y ＋3w ＝0，5x ＋6z ＝0，5y ＋6w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，z ＝53，w ＝－23.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 153－23.法二 注意到2×6－3×5＝－3≠0，故A 存在逆矩阵A－1，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－3－3－3－5－32－3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 153－23.求一个矩阵A的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义AB＝BA＝E，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d：①若ad－bc＝0，则A的逆矩阵不存在．②若ad－bc≠0，则A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc.求下列矩阵的逆矩阵．(1)A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 3；(2)B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 34 5.【解】法一利用逆矩阵公式．(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A存在逆矩阵A－1，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31－11－2111＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.(2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B存在逆矩阵B－1，且B－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－2－3－2－4－22－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52322 －1.法二利用待定系数法．(1)设矩阵A的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a ＋c b ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，2a ＋3c ＝0，b ＋d ＝0，2b ＋3d ＝1.解得a ＝3，c ＝－2，b ＝－1，d ＝1. 从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.(2)设矩阵B 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy z w ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 4x ＋5z 4y ＋5w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，4x ＋5z ＝0，2y ＋3w ＝0，4y ＋5w ＝1.解得x ＝－52，z ＝2，y ＝32，w ＝－1.从而B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.求矩阵AB 的逆矩阵 已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101，求矩阵AB 的逆矩阵．【思路探究】 思路一：A ，B →A －1，B －1→(AB )－1＝B －1A －1思路二：A，B→AB→(AB)－1【自主解答】法一因为A＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012，且1×12－0＝12≠0，∴A－1＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤12121212112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，同理B－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1.因此(AB)－1＝B－1A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.法二因为A＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012，B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1，∴AB＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1.＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋0×01×1＋0×10×1＋12×00×1＋12×1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 112.且1×12－0×1＝12≠0，∴(AB)－1＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤1212－11212112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.已知矩阵A，B，求矩阵AB的逆矩阵的一般思路：先求A－1，B－1，再求(AB)－1＝B－1A－1或先求AB，再求(AB )－1.已知关于直线y ＝2x 的反射变换对应的矩阵为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－354545 35，切变变换对应的矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－21，试求出(AB )－1.【解】 反射变换和切变变换对应的矩阵都是可逆的，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3545 45 35，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1，(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 45 35＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45－25 115. (教材第65页习题2.4第5题)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4，试求A －1. (2013·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B .【命题意图】 考查逆矩阵、矩阵的乘法，以及考查运算求解能力．【解】 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12， 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3.1．对任意的二阶非零矩阵A ，B ，C ，考察下列说法： ①(AB )－1＝B －1A －1； ②A (BC )＝(AB )C ； ③若AB ＝AC ，则B ＝C . 其中正确的是________．【解析】 ①中只有当A ，B 都可逆方可，对任意的非零矩阵不一定成立，故①不正确． ②为矩阵乘法的结合律故正确．③中只有当A 存在逆矩阵方可，故③不正确． 【答案】 ② 2．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1b 0d 可逆的条件是________．【解析】 当1×d －0×b ＝d ≠0时可逆． 【答案】 d ≠03．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k1(k ≠0)，则A －1等于________． 【解析】 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a b ak ＋c bk ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0，k ＋c ＝0，d ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－k ，d ＝1.∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－k1. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－k14．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy 12，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 13－1 13，则x ＋y ＝________. 【解析】 ∵AA－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 1 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 13－1 13 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x －y 13x ＋13y 0 1＝E ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1，13x ＋13y ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－13.∴x ＋y ＝0. 【答案】 0 n1．已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转π4，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．【解】 这个变换的逆变换是作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转π4变换，其矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos －π4 －sin －π4sin －π4 cos －π4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －22－22 －22.2．求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1的逆矩阵． 【解】 法一 待定矩阵法：设矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 111的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ z w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝1，w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝1，w ＝0，故所求逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0.法二 A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 111中，0×1－1×1＝－1≠0，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1 －1－1－1－1 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0. 3．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵． 【证明】 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以B 是A 的逆矩阵．4．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，求矩阵MN 的逆矩阵． 【解】 因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，所以MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12. 设矩阵MN 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 2b c 2d 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，c 2＝0，d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝0，d ＝2.故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2. 5．已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，请说明理由．【解】 (1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－12. (2)变换矩阵A 是可逆的．设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ， 则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b1.若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1. 【解】 设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2， 则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1231，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以x 1＋2x 2＝1,3x 1＋x 2＝0，y 1＋2y 2＝0,3y 1＋y 2＝1，即x 1＝－15，y 1＝25，x 2＝35，y 2＝－15，故所求的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1525 35 －15. 7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .【解】 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1.因为AX ＝B ，所以A －1(AX )＝A －1B .又因为(A －1A )X ＝A －1(AX )，所以(A －1A )X ＝A －1B ，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1. 教师备选8．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程．【解】 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，从而M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12. (2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：2x ′－y ′＝4，所以2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.2．4.2二阶矩阵与二元一次方程组课标解读1.能用变换与映射的观点认识线性方程组的意义． 2．会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、惟一性．3．了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求解矩阵.1．二阶行列式将矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d两边的“[]”改为“||”，把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a bc d称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a bc d ＝ad－bc.2．二阶行列式与二元一次方程组关于x，y的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax＋by＝m，cx＋dy＝n，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪a bc d记为D，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪m bn d记为D x，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪a mc n记为D y，则当D≠0时方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x＝D x Dy＝D yD.3．二元一次方程组与逆矩阵及几何变换关于x，y的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax＋by＝m，cx＋dy＝n.(1)逆矩阵与二元一次方程组令A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d为系数矩阵，X＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy为待求向量，B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mn是经A将X变换后的向量，则上述二元一次方程组可记为以下矩阵方程：AX ＝B ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n . 当A 是可逆矩阵时，上式两边同时左乘A －1，则有X ＝A －1B ，其中A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－bad －bc－c ad －bc a ad －bc . (2)二元一次方程组与几何变换从几何变换的角度看，解这个方程组实际上就是已知变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 和变换后的象⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，去求在这个变换的作用下的原象．1．二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 与二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的主要区别是什么？【提示】 二阶矩阵对应的是变换，是4个数构成的数的方阵，而行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc 则是一个数．写法上也不同，二阶矩阵是用括号，二阶行列式用绝对值号或两竖线表示．二阶矩阵反应的是变换，二阶行列式是用来判断矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 是否可逆的．2．二元一次方程组的系数矩阵满足什么条件时，方程组有惟一解？【提示】 当关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝mcx ＋dy ＝n 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 是可逆的，则方程组有惟一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n .3．结合上一节试总结求逆矩阵的常用方法有哪几种？【提示】 (1)待定矩阵法：利用AA －1＝E 得到方程组，再用行列式法解方程组即可． (2)行列式法：若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ， 且det(A )≠0，则A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d det A －b det A－c det Aadet A.利用行列式解方程组利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，3x ＋4y －1＝0.【思路探究】 将方程化成一般形式→求出D ，D x 、D y →求解 【自主解答】 先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 234＝－2≠0，此方程组存在惟一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 14＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4， 所以x ＝D x D＝3，y ＝D yD＝－2.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.利用行列式解方程组的一般思路：先将方程组化成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n .再分别求出D ，D x，D y然后用求解公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝DxDy ＝DyD求解．利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y －1＝0，－x ＋4y －3＝0.【解】 先将方程组写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －3－1 4＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组有惟一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －33 4＝1×4－(－3)×3＝13，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 1－1 3＝3×3－1×(－1)＝10.所以x ＝D x D ＝139，y ＝D y D ＝109. 故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.利用行列式知识求矩阵的逆矩阵利用行列式知识求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －11 2的逆矩阵A －1.【思路探究】 思路一：(待定矩阵法)设待求矩阵→ 利用AA －1＝E 构建二元一次方程组→用行列式解方程组 →A －1思路二：(用行列式法)计算Det(A )→A －1【自主解答】 法一 (待定矩阵法)设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a －c 4b －d a ＋2c b ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故⎩⎪⎨⎪⎧4a －c ＝1，a ＋2c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧4b －d ＝0，b ＋2d ＝1.先将a ，c 看成未知数，则D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4 －11 2＝9≠0.D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －10 2＝2，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4110＝－1，所以a ＝29，c ＝－19，同理可得：b ＝19，d ＝49，故A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2919－19 49. 法二 (用行列式法求逆矩阵)∵det(A )＝4×2－1×(－1)＝9≠0，∴A 可逆，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2919－19 49.利用行列式知识求逆矩阵，有两种情况，其一，是利用待定矩阵法时，对构建的方程组求解时用行列式知识；其二是计算det(A )时用．判断下列矩阵是否有逆矩阵，若有，求出逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 3；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a311.【解】 (1)∵det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2143＝2×3－4×1＝2，∴A 存在逆矩阵，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－42 22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－2 1.(2)∵det(B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 311＝a －3，当a ＝3时，B 不存在逆矩阵； 当a ≠3时，B 存在逆矩阵，其逆矩阵B－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a －3－3a －3－1a －3 a a －3.利用逆矩阵的知识解方程组利用逆矩阵知识求解例1中的方程组．【思路探究】 找到A ，X ，B →对应矩阵方程AX ＝B →A －1→X ＝A －1B →得解【自主解答】 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，AX ＝B ，因为： A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2－2－2－3－2 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12， 所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.利用逆矩阵的知识解方程组一般思路；先由方程组找到A ，X ，B ，找到其对应的矩阵方程AX ＝B ，再求出A －1然后由X ＝A －1B ，求出x ，y 即可．利用逆矩阵知识解变式1中的方程组． 【解】 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －3－1 4，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，AX ＝B ，因为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤49 1319 13， 所以X ＝A－1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤49 1319 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤139109.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.从几何变换的角度研究方程组解的情况已知二元一次方程组AX ＝B ，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试从几何变换的角度研究方程组解的情况．【思路探究】 找到矩阵A 对应的几何变换→ 判断几何变换的逆变换情况→方程组解的存在情况【自主解答】 对方程AX ＝B ，由于A 对应的是将平面上的点(向量)保持纵坐标不变，而将横坐标依纵坐标的比例增加，且(x ，y )→(x ＋2y ，y )的切变变换，2分因此，它存在惟一的逆变换：将平面上的点(向量)保持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x ，y )→(x －2y ，y )的切变变换，即A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1，于是原方程组的解X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32在变换矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1对应的变换作用之后的向量，即X ＝A －1B .由于矩阵A －1是惟一存在的，因此⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.从几何变换的角度研究方程组解的情况，关键是找到系数矩阵A 对应的几何变换，将方程组解的情况转化为判断几何变换的逆变换的存在情况研究．若将本例中A 变为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12，情况如何？ 【解】 矩阵A 对应的是投影变换，它把平面上的点垂直投影到直线y ＝x 上．于是，该方程组的求解就转化为已知投影变换的象B ，试求它的原象，注意到当B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32时，它不在直线y ＝x 上，故它没有原象，也即方程组无解．(教材第61页例7)利用逆矩阵的知识解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，4x ＋5y －6＝0.(2013·徐州模拟)利用矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2，4x ＋2y ＝3.【命题意图】 本题主要考查逆矩阵的求法及运算求解能力．【解】 方程组可写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3142⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23， 系数行列式为3×2－4×1＝2≠0，方程组有惟一解．利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3142－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－2 32，因此原方程组的解为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－232⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12.1．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －13x 1＝－5，则x 的值为________．【解析】 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －13x 1＝2x －(－3x )＝5x ＝－5， ∴x ＝－1. 【答案】 －12．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝32x －y ＝1的解是________．【解析】 二元一次方程组改写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －32 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －32 －1.则det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －32 －1＝5，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1535－25 15. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－15 35－25 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1. ∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＝3，2x －y ＝1的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－13．若二阶矩阵X ，满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 1X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 2－1 1则X ＝________.【解析】 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 1X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2－1 1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 1＝7≠0，所以X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 1－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 2－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 27－37 17⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 47－107 －57. 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1747－107 －57 4．已知某点在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的变换作用下得到点(2,1)，则该点坐标为________． 【解析】 设该点的坐标为(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪1002＝2≠0，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002可逆，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝错误!)，所以所求点的坐标为错误!.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，121．利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，2x ＋3y －4＝0.【解】 先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋3y ＝4.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪122 3＝1×3－2×2＝－1，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 243＝1×3－2×4＝－5， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 124＝1×4－2×1＝2，所以x ＝D x D ＝－5－1＝5，y ＝D y D ＝2－1＝－2，故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－2.2．利用行列式知识求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤235 6的逆矩阵．【解】 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则由AA －1＝E 得 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 35 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋3c 2b ＋3d 5a ＋6c 5b ＋6d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3c ＝1，5a ＋6c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋3d ＝0，5b ＋6d ＝1.先将a ，c 看成未知数，则D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2356＝－3，D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1306＝6，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2150＝－5，所以a ＝D aD ＝－2，c ＝D c D ＝53， 同理可得b ＝1，d ＝－23，故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 53－23.3．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋my ＝x－2x ＋4y ＝y 有惟一解，求m 的取值范围．【解】 该二元一次方程组的一般形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＝0，2x －3y ＝0，其用矩阵形式表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 m 2 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.因为该方程组有惟一解，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 m2 －3≠0，解得m ≠－32. 4．利用逆矩阵解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，3x ＋4y ＝1；(2)⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2x ＋3y ＝5. 【解】 (1)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝4－6＝－2≠0，则矩阵A 存在逆矩阵A －1，且 A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2 －2－2－3－2 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32 －12， 这样，Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.(2)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11 2 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05. 同(1)，可以计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11 23的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 1525 15， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 15 25 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤05＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.5．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －2－1 4，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，试解方程组AZ ＝B .【解】 ∵det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝12－(－1)×(－2)＝10≠0，所以矩阵A 存在逆矩阵A－1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110 310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310， ∴Z ＝A－1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 6．已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.【证明】 因为A 是可逆矩阵，则原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，因A －1是惟一存在的，所以Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00是原方程组的解且是惟一的．7．试从几何变换的角度分析方程组AZ ＝B 解的情况，这里A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35. 【解】 由于A 对应的是沿y 轴的切变变换，它有逆变换，且其对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－1 1，即A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1，于是原方程组的解Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35在A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1作用之后的向量， 即Z ＝A －1B .因为A －1是惟一存在的，因此⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且有Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤35＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.故原方程组有惟一解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.教师备选8．试从几何变换的角度说明方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝3，y ＝2，解的存在性和惟一性．【解】 设A ＝错误!)，X ＝错误!，B ＝错误!，则AX ＝B .因为矩阵A 对应的变换是切变变换，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 1，所以方程组的解X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32在变换矩阵A －1作用之后的向量，即X ＝A －1B .由于矩阵A －1是惟一存在的，因此，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.逆变换与逆矩阵初等变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵二阶行列式与逆矩阵可逆矩阵与二元一次方程组综合应用一、求逆矩阵求逆矩阵是逆变换与逆矩阵的重点内容，其方法有两种： 方法一：用代数方法：即待定矩阵法和行列式法求解； 方法二：从几何变换的角度求解．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45－13，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 3 1，求 (AB )－1.【解】 法一 ∵AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 5－13⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 3 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －1×4＋5×3 2×4＋5×1－1×－1＋3×3 －1×2＋3×1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 1310 1， ∴det(AB )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11 1310 1＝11－130＝－119.∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1119 13119 10119 －11119.法二 ∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45－13，∴det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪45－1 3＝12＋5＝17， A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤317 －517117 417； 又∵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 3 1，∴det(B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12 3 1＝－1－6＝－7.∴B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1727 37 17. ∴(AB )－1＝B －1A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1727 37 17⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤317 －517117 417 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－17×317＋27×117 －17×－517＋27×417 37×317＋17×117 37×－517＋17×417 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1119 1311910119 －11119. 二、二元一次方程组的解的情况的判定及求解方法 1．二元一次方程组的解的情况的判定．常用两种方法：法一：利用Det(A )与0的大小情况判定．法二：从几何变换的角度判定．2．二元一次方程组的求解常用两种方法： (1)用行列式法求解记D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪mb nd ，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪am cn ，于是方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D x D，y ＝DyD .(2)用逆矩阵法求解写出系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则det(A )＝ad －bc ，若det(A )＝0，判定方程组解的情况；若det(A )≠0，方程组有惟一解，求出A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d det A －b det A－c det Aadet A，令⎣⎢⎡⎦⎥⎤αβ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α，y ＝β.即为方程组的解．解二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，2x ＋3y ＝6.【解】 法一 方程组可写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤112 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤76. 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 123＝1×3－1×2＝1≠0，所以方程组有惟一解．利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤112 3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1－2 1. 所以原方程组的解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1－2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤76＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3×7－1×6－2×7＋1×6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤15－8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝－8.法二 记D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 12 3＝1×3－1×2＝1≠0， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 163＝7×3－6×1＝15， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 726＝1×6－2×7＝－8.∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝－8.三、函数方程思想本章中求矩阵的逆矩阵及解二元一次方程体现了函数方程思想的广泛应用．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1，求A －1.【解】 法一 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －z y －w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，故⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝1，y －w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1.解得x ＝12，y ＝12，z ＝－12，w ＝12，故A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1212－12 12. 法二 矩阵A 表示的变换为线性变换，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －y ，y ′＝x ＋y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′＋12y ′，y ＝－12x ′＋12y ′，所以逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1212－12 12. 综合检测(四)1．求下列矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 123；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2345.【解】 法一 (1)∵|A |＝1×3－2＝1，∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.(2)∵|B |＝2×5－4×3＝－2，∴B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5232 2 －1. 法二 (1)设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则AA －1＝E ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a ＋c b ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝1，b ＋d ＝0，2a ＋3c ＝0，2b ＋3d ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，c ＝－2，d ＝1.∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.同理求出B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.2．试从代数和几何角度分别求矩阵的乘积⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0的逆矩阵． 【解】 代数角度：⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 110，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 110＝－1，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤211 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －2， ∴(⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －2. 几何角度：矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201对应的变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例增加，即(x ，y )→(x ＋2y ，y )，又切变变换的逆变换为切变变换．∴该切变变换的逆变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例减小，即(x ，y )→(x －2y ，y )，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1.矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0对应的变换为关于直线y ＝x 的反射变换，其逆变换为其本身，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0.∴(⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －2. 3．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－3232 12，求A －1.【解】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－32 12，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－32 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 121＋32－32 1－32.4．用矩阵方法求二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －5y ＝4，3x ＋y ＝6的解．【解】 方程组可写为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －53 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤46， 令M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －53 1，则det(M )＝2×1－3×(－5)＝17，∴M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 117517－317 217，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤46＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.5．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1224.(1)计算det(A )，det(B )；(2)判断矩阵AB 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵，若不可逆，说明理由． 【解】(1)det(A )＝1×3－2×(－2)＝7， det(B )＝1×4－2×2＝0. (2)矩阵AB 不可逆．理由如下：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1224＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 104 8，det(AB )＝0， ∴AB 不可逆．6．利用行列式求M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221的逆矩阵． 【解】 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 1的逆矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，由MN ＝E 得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2c b ＋2d 2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，2a ＋c ＝0.⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2d ＝0，2b ＋d ＝1.先将a ，c 看成未知数， 则D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 22 1＝－3， D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 20 1＝1，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1120＝－2，所以a ＝－13，c ＝23，同理可得b ＝23，d ＝－13，故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2323 －13.7．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．【解】 依题意，得det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －31 －1＝2×(－1)－1×(－3)＝1，故M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3－12，从而由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤135，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤135 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤135＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．8．m 为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 7－2 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有惟一解？ 【解】 二元一次方程组即为⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋7y ＝2mx ＋my ，－2x ＋3y ＝－my ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－2m x ＋7－m y ＝0，－2x ＋m ＋3y ＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2m 7－m －2 m ＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00. ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－2m 7－m －2 m ＋3 ＝(－1－2m )(m ＋3)＋2(7－m ) ＝－2m 2－9m ＋11， 令－2m 2－9m ＋11＝0， 得m ＝1或m ＝－112，。
5.2可逆矩阵(一)
0
...
0
a21
0 ...
... ...
0 ...
b11 ... b1n ... bn1 ... bnn
...
b11 ... b1n a c11 12 ... ... ... ... cn1 b ... b
n1 nn
b11 ... b1n bn1 ... bnn
b11 ... b1n a11a22 ... bn1 ... bnn
b11 ... b1n ... ... bn1 ... bnn
... a12 a21 ...
a11 a21
a12 a22
b11 ... b1n ... ... ... bn1 ... bnn
17
数学与计算机科学学院高等代数课件
一般地，利用数学归纳法可以证明：
(1)引理1
a11 ... c11 ... cn1 ... ... ... ... ... a1m ... c1m ... cnm 0 ... 0 ... ... ... ... ... 0 ... 0 ...
an 2 ... ann 1 ...
... b1n ... ...
AB
b21 b22 ... b2 n
1 bn1 bn 2 ... bnn
25
数学与计算机科学学院高等代数课件
现在把行列式D的第n+1行乘以a11加到第一行，
0 a21 ... D an1 1 0 ... 0 a12 a22 ... 0 ... 0 ... a1n ... a2 n ... ... ... ... ... 0 0 ... 1 a11b11 a11b12 ... a11b1n 0 ... 0 b11 b21 ... bn1 0 ... 0 b12 b22 ... bn 2 ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 0 b1n b2 n ... bnn
第三章 可逆矩阵 (第二讲)
0 1 0 0 0 0
0 1 0
0 1 0 2 1 1
2 a 2
1 2 3
2 3 2
0 1 3
1 2 2
0 0 1
1 2 1
即 R(AB)≥R(A)+R(B)-n.
显然，在上式中当AB=O时，有公式 R(A)+R(B) n.
例4 设A为n阶方阵( n ≥2)，A*是A的伴随矩阵，试证 1）当R(A)=n时，R(A*)=n. 2）当R(A)=n-1时，R(A*)=1. 3）当R(A)<n-1时，R(A*)=0. 证明 1）当R(A)=n时,记A为满秩矩阵,所以| A*|=| A|n-1 ≠0,从而R(A*)=n. 2）当R(A)=n-1时，|A|=0，所以A A*= |A|E=O.由
1 A 0 0 2 1 0 3 2 , 1
1 B 0 0
2 1 2
3 2 . 4
显然， A为满秩矩阵，而B则为降秩矩阵.
例1 求下列矩阵的秩．
1 A 2 4 2 3 7 3 5 . 1
解 在A中，容易看出：一个2阶子式
定理3.2 对行满秩矩阵Am×n，必有列满秩矩阵B n ×m， 使AB=E. 证明 当m= n时，定理显然成立.所以只需考虑m< n 的情况.由R(A)=m，知A中存在m个列，由它们构成的m阶 子式| A1| ≠0. A经过适当的列的换法变换可使A1位于A的前 m列.即有n阶的可逆矩阵P，使 AP=(A1,A2) 其中A1为m阶的可逆矩阵.令
求矩阵A及矩阵B=（A | b）的秩.
解 对矩阵B施以初等行变换
1 2 B 2 3 2 4 4 6 2 8 2 0 1 0 3 6 1 2 3 4
第3周第2次课_可逆矩阵
阵(inverse matrix). A的逆矩阵记为A1.
问 如果 B是A的逆矩阵， 那么 A是不是B的逆 矩 阵？ -1不要写成 1 注 A A (A-1) -1 = A
A ≠ O => 请找出一个 可逆矩阵 A 可逆？
第二章 矩阵
§2.2逆矩阵
2. 逆矩阵的唯一性 若AB = BA = E, AC = CA = E, 则B = BE =B(AC) = (BA)C = EC= C. 结论. A可逆 A的逆矩阵唯一.
0 0 -2
第二章 矩阵
§2.2逆矩阵
引理2.1. 设A为方阵(n ≥ 2), A*为其伴随矩阵. 则AA* = A*A = |A|E.
证明引理2.1: 推论1.3 n阶行列式的任一行（列）的元素与另 一行（列）对应元素的代数余子式的乘 积之和等于零， 即当 i ≠ j 时， ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + · · ain Ajn =0, (1.8) ·+ a1i A1j + a2i A2j + · · ani Anj =0. (1.9) ·+
(A+B)(A-B) = A2 – B2
未必成立 。
第二章 矩阵
§2.1 矩阵的基本运算
结合律的妙用 1 设A = BC, 其中B = 2 , C = [1 2 3], 3 1 2 3 则A = 2 4 6 , A100 = ? 3 6 9
第二章 矩阵
§2.1 矩阵的基本运算
5. 方阵的多项式 A ——方阵 f(x) ——多项式 注意!!!
几何与代数
主讲: 王小 六
请学号最后两位数字除3余1的同学在作业 本的右上角标“A”
可逆矩阵的教学设计
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１可逆矩阵的教学设计可逆矩阵的教学设计Һ周倩楠㊀卢㊀勇㊀（江苏师范大学数学与统计学院，江苏㊀徐州㊀２２１１１６）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文主要探究了可逆矩阵的教学设计．首先，从数的四种基本运算这一简单问题出发，引出可逆矩阵的定义；其次，给出可逆矩阵的相关性质；最后，运用依行依列展开定理给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法，并在课堂教学中融入思政教育，真正做到教书育人．ʌ关键词ɔ矩阵；逆矩阵；教学设计ʌ基金项目ɔ国家自然科学基金青年基金（１１９０１２５３），江苏省高校自然科学基金面上项目（１９ＫＪＢ１１０００９）．一㊁引㊀言逆 在‘现代汉语词典（第７版）“中的解释为：向着相反的方向（跟 顺 相对）．在数学学科中，我们也经常遇到这个字．如高等数学中映射的逆映射㊁初等数学中一个命题的逆命题等．当然，我们也学过一些与逆有关的运算．在数的运算中，加法㊁减法㊁乘法和除法是四种基本运算，其中，数的减法可以看成加法的逆运算，数的除法可以看成乘法的逆运算．可以看出，逆运算使得数的运算更加完善，有助于我们更深入地研究数的相关性质．在我们学习数学知识的过程中，数的加法㊁减法㊁乘法和除法无处不在，每个研究方向都离不开数的四种运算．同样，对于其他理工学科来说，数的四种基本运算也是基本运算，起着不可或缺的作用．所以说，逆运算不仅在数学中占有重要地位，在其他学科中也具有广泛的应用．本次课程涉及的知识点主要来源于线性代数．线性代数是数学的一个重要分支，它的研究对象是向量和向量空间（或称线性空间）．线性代数作为高等教育，尤其是高等数学中的一门重要学科，是理工科包括部分文科学生需要学习的一门专业必修课．在线性代数这一学科中也有许多逆运算．矩阵作为线性代数中的重要知识点和常见的工具之一，其运算中是否存在相应的逆运算？这是一个值得我们思考的问题．本文主要是分析关于可逆矩阵知识点的教学设计．首先，通过简单问题的引入 数的四种基本运算，引出矩阵的逆矩阵问题．其次，通过与学生互动，不断引导学生思考，并给出可逆矩阵的相关性质，如唯一性等．最后，给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法 伴随矩阵法，并结合具体例题，运用伴随矩阵法求解可逆矩阵的逆矩阵．本文结尾结合本节课知识点的特点融入课堂思政，结合目前在校大学生遇到的实际问题和困难传递正能量，引导学生不断努力拼搏，克服逆境和困难，真正做到教书育人，从而使得本次教学内容更加丰富，并具有启发性．二㊁教学过程（一）问题引入我们知道，关于数有加法㊁减法㊁乘法和除法四种基本运算，其中数的减法可以看成加法的逆运算．在数的乘法运算中，给定一个非零数ａ，存在唯一的非零数ｂ，使得ａｂ＝ｂａ＝１，我们称数ｂ为ａ的倒数，记为ａ－１．利用非零数的倒数，数的除法可以转化为乘法，如ａｂ＝ａｂ－１，其中ｂʂ０．因此，我们可以说，数的除法运算可以看成乘法运算的逆运算．矩阵作为学习线性代数课程的重要知识点和工具，贯串整个线性代数的学习．矩阵的运算也是我们首先需要考虑的问题．在前面，我们已经学习了矩阵的加法㊁减法及乘法等运算．其中，矩阵的减法是利用矩阵的加法和负矩阵定义的，因此，可以看成矩阵加法的逆运算．对于矩阵乘法，我们思考：是否可以像数的乘法那样定义它的逆运算（即除法运算）？这一问题值得我们研究，而这就是矩阵的逆矩阵问题．我们可以注意到，在矩阵乘法运算中，单位阵Ｅ所起的作用与数的乘法运算中的１相当．因此，类似数的倒数，我们提出问题：对于一个矩阵Ａ，是否存在矩阵Ｂ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ？在不引起歧义的情况下，我们不具体给出单位阵的阶数．由矩阵乘法的定义我们知道，要想讨论这一问题，首先必须确保这一式子是有意义的．由ＡＢ有意义，我们可以得出Ａ的列数必须等于Ｂ的行数．同时由ＢＡ有意义，我们可以得出Ｂ的列数必须等于Ａ的行数．再由ＡＢ＝ＢＡ，我们可以得出Ａ与Ｂ必须是同阶方阵．因此，这类问题只能针对方阵来研究，这是我们研究可逆矩阵的前提和基础．（二）研究问题下面，我们具体给出可逆矩阵的概念．定义１㊀设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅｎ，则称矩阵Ａ是可逆矩阵，简称Ａ可逆（或非退化），而Ｂ就称为Ａ的一个逆矩阵，否则就称矩阵Ａ不可逆（或退化）．根据可逆矩阵的定义，我们知道，要想判断给定的ｎ阶方阵Ａ是否可逆，就要看是否存在一个ｎ阶方阵Ｂ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅｎ，如果存在，则矩阵Ａ可逆；如果不存在，则矩阵Ａ不可逆．接下来我们思考：类似非零数的倒数，对一个可逆矩阵Ａ而言，它的逆矩阵Ｂ是否可以写成Ａ－１这一问题将在后㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１面的讨论中解决．首先，由可逆矩阵的定义我们知道：零矩阵一定是不可逆的．因为，对于任意零矩阵而言，它乘以任意与其同阶的方阵都为零矩阵，不为单位阵．同时，由逆矩阵的定义可以看出，单位矩阵的逆矩阵就是其本身．因为单位阵乘以其本身还是单位阵．下面，我们再看这样一个例子：设Ａ＝００１２æèçöø÷，对于任意一个二阶方阵Ｂ＝ａｂｃｄæèçöø÷，由Ａ的第一行元素全为０可知，ＡＢʂＥ，因此，矩阵Ａ一定不可逆．那么，我们就需要思考：什么样的方阵一定可逆？如果可逆，其逆矩阵是否唯一？我们该如何求出可逆矩阵的逆矩阵？下面我们将围绕这三个问题进行讨论，并分别给出回答．首先，我们看唯一性．性质１㊀设Ａ是可逆矩阵，则其逆矩阵唯一．证明思路：假设矩阵Ａ可逆，且Ｂ，Ｃ是Ａ的任意两个逆矩阵，则有ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ及ＡＣ＝ＣＡ＝Ｅ．为了与矩阵Ｃ相联系，我们可得Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）．注意到矩阵乘法满足结合律，所以Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ．因此，我们知道可逆矩阵的逆矩阵是唯一确定的．因为可逆矩阵的逆矩阵具有唯一性，为了方便起见，我们将可逆矩阵Ａ的逆矩阵用Ａ加上上标 －１ 表示，记作Ａ－１，读作Ａ逆（这一写法类似非零数的倒数）．由可逆矩阵的定义，我们还能得到如下一些性质．性质２㊀若方阵Ａ可逆，则Ａ－１可逆，且有（Ａ－１）－１＝Ａ．性质３㊀若方阵Ａ可逆，ａ是一个非零常数，则矩阵ａＡ可逆，且（ａＡ）－１＝１ａＡ－１．性质４㊀若方阵Ａ和Ｂ具有相同阶数且均可逆，则ＡＢ可逆，且（ＡＢ）－１＝Ｂ－１Ａ－１．性质２，３和４可以由可逆矩阵的定义得出，其证明可作为课后作业留给学生．下面，我们将具体讨论如何求一个可逆矩阵的逆矩阵．我们做如下分析：设Ａ＝（ａｉｊ）ｎˑｎ是一个可逆矩阵，如何求出矩阵Ｂ＝（ｂｉｊ）ｎˑｎ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ？目前，我们只能从可逆矩阵的定义出发．由矩阵乘积的定义，我们知道，ＡＢ＝Ｅ可写成ａｉ１ｂ１ｊ＋ａｉ２ｂ２ｊ＋ ＋ａｉｎｂｎｊ＝１，ｊ＝ｉ，０，ｊʂｉ．{（１）其中ｉ，ｊ＝１，２， ，ｎ．根据上式特点，要想通过这样一组式子求出矩阵Ｂ是有困难的，因为通过公式（１），我们还是求不出矩阵Ｂ的元素ｂｉｊ．但是，我们发现，公式（１）与我们之前学过的一个定理类似：依行展开定理．当我们结合依行展开定理ａｉ１Ａｊ１＋ａｉ２Ａｊ２＋ ＋ａｉｎＡｊｎ＝Ａ，ｊ＝ｉ，０，ｊʂｉ．{（２）其中ｉ，ｊ＝１，２， ，ｎ，即把（１）式中的ｂｉｊ换成矩阵Ａ的元素ａｊｉ的代数余子式Ａｊｉ．通过观察公式（２），我们可以将等号左边看成两个矩阵乘积的（ｉ，ｊ）元，其中ａｉ１，ａｉ２， ，ａｉｎ就是矩阵Ａ的第ｉ行元素．而Ａｊ１，Ａｊ２， ，Ａｊｎ可以看成一个矩阵的第ｊ列元素．为了方便起见，我们将这个矩阵用Ａ加上上标 ∗ 来表示，记作Ａ∗，读作Ａ的伴随矩阵．具体写出来就是Ａ∗＝Ａ１１Ａ２１ Ａｎ１Ａ１２Ａ２２Ａｎ２︙︙ ︙Ａ１ｎＡ２ｎＡｎｎæèççççöø÷÷÷÷．这里需要注意的是，Ａｉｊ位于Ａ∗的第ｊ行第ｉ列．与之对应，等号右边可以看成以Ａ为主对角元的主对角阵．所以，公式（２）可以写成ＡＡ∗＝ＡＥ．利用依列展开定理，可得Ａ∗Ａ＝ＡＥ，结合起来就有ＡＡ∗＝Ａ∗Ａ＝ＡＥ．当Ａʂ０时，该式两边同时乘以１Ａ，可得Ａ１ＡＡ∗()＝１ＡＡ∗()Ａ＝Ｅ．由可逆矩阵的定义，我们知道，矩阵Ａ可逆，并且其逆矩阵就是Ａ－１＝１ＡＡ∗．另外，当矩阵Ａ可逆时，有ＡＡ－１＝Ｅ，两边同时取行列式，可得ＡＡ－１＝１，所以Ａʂ０．结合上述分析就有下面的定理：定理１㊀设Ａ是ｎ阶方阵，则Ａ可逆的充要条件是Ａʂ０，且此时Ａ－１＝１ＡＡ∗．定理１不仅给出了可逆矩阵的一个充要条件，同时给出了求可逆矩阵的逆矩阵的方法，我们将这一方法称为伴随矩阵法．伴随矩阵法是我们求一个可逆矩阵的逆矩阵的有效方法，它区别于逆矩阵的定义．当需要求可逆矩阵Ａ的逆矩阵时，不需要找到矩阵Ｂ，而通过矩阵Ａ自身即可，即求出矩阵Ａ的行列式及伴随矩阵．因此，对于伴随矩阵法，学生需要结合具体例题不断练习，从而真正掌握这一方法，进而计算可逆矩阵的逆矩阵．下面，我们结合一个例题具体应用伴随矩阵法．例１㊀判别矩阵Ａ是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵．其中Ａ＝１１０２１０１－１１æèççöø÷÷．分析㊀要想判别矩阵Ａ是否可逆，结合定理１，需要看其行列式是否不等于０．㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１设Ａ＝１１０２１０１－１１，通过计算，可得Ａ＝－１ʂ０，所以Ａ可逆．接下来，我们运用伴随矩阵法求Ａ的逆矩阵．计算Ａ的伴随矩阵为Ａ∗，得Ａ∗＝１－１０－２１０－３２－１æèççöø÷÷，因此Ａ－１＝１ＡＡ∗＝－１１０２－１０３－２１æèççöø÷÷．课后思考：结合例题及求逆矩阵的伴随矩阵法，我们容易看出，对于一个ｎ阶可逆矩阵Ａ，当ｎ比较小时，如例１中的矩阵Ａ，因为Ａ是３阶方阵，因此，计算其行列式从而判定其是否可逆的难度不大，同样，计算Ａ的伴随矩阵难度也不大，大多数学生都能计算出来．但是，我们在之前学习计算行列式时能够知道，对于一个给定的ｎ阶方阵，当ｎ比较大时，比如一个６阶方阵Ａ，用伴随矩阵法求逆矩阵是比较困难和复杂的．因为我们首先要计算这个６阶方阵的行列式，判定其是否为０，如果不为０，我们还需要计算一些５阶方阵的行列式，从而得到其对应的伴随矩阵，这一计算过程比较烦琐，且计算量较大，很多学生在计算过程中会出现错误．因此，我们发现，用伴随矩阵法计算一个可逆矩阵的逆矩阵要根据给定矩阵的阶数来看，如果阶数较小，可以考虑使用伴随矩阵法，如果阶数较大，那么就需要运用其他方法进行求解．是否还有其他求可逆矩阵的逆矩阵的方法呢？我们将在下节课与大家一起探讨和学习另一种计算可逆矩阵的逆矩阵的方法 初等变换法，建议做好相应的预习和复习工作．（三）内容小结本次课程主要讲解的知识点是可逆矩阵．首先，通过数的加法㊁减法㊁乘法和除法四种基本运算，以及倒数引入了主要问题 可逆矩阵．其次，我们给出了矩阵的逆矩阵的概念，并通过部分特殊矩阵分析了矩阵可逆的相关性质．再次，通过问题引入引导学生得到了可逆矩阵的几种性质．最后，结合可逆矩阵的定义及依行依列展开定理得到了伴随矩阵的概念以及求可逆矩阵的逆矩阵的方法 伴随矩阵法，并结合具体例题运用伴随矩阵法计算给定矩阵的逆矩阵．在本次课程的最后，我们还留下相关问题，就是当给定矩阵的阶数比较大时，运用伴随矩阵法是否还能求出其逆矩阵，计算量大不大，同时引出下次课程需要学习的内容 初等变换法．本次课程从简单问题入手，通过一步步引导，让学生思考一些常见的问题，并结合学生之前所学知识（数的加法㊁减法㊁乘法㊁除法㊁倒数问题，以及矩阵的加法㊁减法和乘法运算）一步步达到教学目的．本次课堂的内容由浅入深，主要目的是启发学生在学习过程中不断发现问题㊁思考问题，从而解决问题．希望通过本次课程的学习，学生能够掌握可逆矩阵的相关性质，以及求解可逆矩阵的逆矩阵的方法 伴随矩阵法．三㊁课堂思政本次课程我们主要教学了可逆矩阵和可逆矩阵的逆矩阵的求法 伴随矩阵法．通过可逆矩阵，我们可以研究类似数的除法的问题．通过学习可逆矩阵，我们能够发现，逆运算能够使数学更加完美．学习数学知识能够锻炼我们的思维能力，培养我们发现问题㊁思考问题及解决问题的能力．同时，我们要学会总结学过的知识．在数学中有逆运算，我们在人生的道路上也会遇到种种逆境与不顺． 逆 字也经常出现在我们的生活中，对于很多人来说，人的一生不一定是一帆风顺的，生活往往会给我们出一些难题．比如，作为一名大学生，在大学学习和生活中，我们离开了父母，很多事都需要自己去面对，要学习如何和老师与同学相处，还要学习如何不断适应社会，从而走入社会．很多学生都经历了线上学习，而线上学习的效果在一定程度上不如线下学习，部分学生在学习过程中产生了抱怨㊁烦躁的心理．他们会担心知识点掌握不牢，不能跟老师和同学近距离讨论问题，等等，学习的效率和效果都达不到预期目标．这些在一定程度上对于学生来说就是逆境．再如，受疫情的影响，很多毕业生不能正常出去找工作，心理上承受了很大的压力．但是，这些在逆境中成长的学生会更快适应身边不断变化的环境，更快地投入学习，能够通过回看授课视频重复学习，查漏补缺，更好地掌握知识点．当学生走向社会，可能会面临生活和工作中的其他问题，然而，这些困难和逆境往往能使他们的人生更加完美，因为他们在克服困难的过程中得到了知识，获得了成长．相信临近毕业的大学生在回首大学四年的学习生活时，每个人都会有不同的感悟，每个人都有不同的成长．我们也许该感谢这些困难和逆境，因为它磨炼了我们的意志，给予了我们更多的勇气去面对困难，挑战困难．所以，不管我们是在求学过程中还是在工作中，遇到困难和逆境都不要气馁，只要我们坚定信心，勇往直前，不断克服它们，就终将实现人生的理想和目标，真正成为一个对国家和社会有用的人．ʌ参考文献ɔ［１］蒋永泉，贾志刚，黄建红．线性代数［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１６．［２］同济大学数学系．工程数学线性代数：第六版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４．［３］潘璐璐，徐根玖，张莹，等．函数在一点处的极限教学设计［Ｊ］．高等数学研究，２０２０（２）．。
第三节 可逆矩阵
例5 （选择题） B C 均为ｎ阶方阵，且 ABC = E 均为ｎ阶方阵， 选择题） A 则：下列矩阵为单位矩阵的是
( 4)
(1) ACB (2)CBA (3)BAC (4)BCA
-13-
例6
设 A 为 n阶 方阵 , 证明
(1)
证
A = 0 ⇒ A∗ = 0
( 2)
A∗ = A
n −1
(1) 如果 A=O, 则结论显然成立 如果 则结论显然成立.如果 如果A≠O, 反证 反证:
线性方程组
(1)
记 A = (a ij ) n×n ，称为 的系数矩阵。 称为(1)的系数矩阵。 记
b1 b= M , bn
称为(1)的常数项向量或右端项(向量 称为 的常数项向量或右端项 向量 。 的常数项向量或右端项 向量)。
x1 x= M 记 xn
AB = BA = E
则称矩阵A是可逆的 并把矩阵B称为 称为A的逆矩阵. 则称矩阵 是可逆的, 并把矩阵 称为 的逆矩阵 易知,如果 可逆 则其逆矩阵是唯一的,记作 易知 如果A可逆 则其逆矩阵是唯一的 记作 A −1 . 如果 可逆,则其逆矩阵是唯一的
-7-
定理 证 (⇒ ) ⇒
A 可逆 ⇔ A ≠ 0
n
n −1
-14-
例7 设列矩阵 α = (a 0 L 0 a )T ,
a<0
其中A的逆矩阵为 其中 的逆矩阵为B, 则a= ? 的逆矩阵为 1 T 1 T T T 解: Q AB = E ⇒ E + αα − αα − αα αα = E
a
1 T E是n阶的单位矩阵 A = E − αα , B = E + αα 阶的单位矩阵, 是 阶的单位矩阵 a
2.2 可逆矩阵
A1
注：1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始终，不能 夹杂任何列变换. 2. 若作初等行变换时, A化不成E说明矩阵不可逆! 3. 利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于
A 1 B . 求矩阵
A 1 ( A B ) ( E A 1 B )
即
( A B)
初等行变换
E A1 B
例5
2012
定理2.3 n阶方阵A可逆的充要条件是A可以经过有限
次初等行变换化成n阶单位矩阵。
推论2.1
(1)方阵可逆的充分必要条件是可以分解为有限个初等 矩阵的乘积； (2)方阵A可逆的充分必要条件齐次线性方程组 AX O 只有零解； (3)方阵A可逆的充分必要条件非齐次线性方程组 AX B
例如：
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
r1 r3
E ( 0 0
1 0 0 kr3 0 1 0 0 0 k E ( 3( k ))
1 0 0 r3 kr1 0 1 0 k 0 1 E ( 3,1( k ))
性质 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是
同一种初等矩阵。
Eij Eij
1
1 E i (k ) 1 E i ( k )
E ij ( k ) 1 E ij ( k )
Pl P2 P1 A E Pl P2 P1 A Pl P2 P1 E
E
A 1
例4
1 设 A 2 3
2 2 4
3 1 , 求 A 1 . 3
1 2 3 1 0 0 解： A E 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1
第三章 可逆矩阵
§2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算
定理2.3 方阵A可逆 存在方阵B，使AB=E.
A-1=B.
证 ) 由定义知. ) AB =AB =E=1， A≠0， A可逆， 且 A-1=A-1E=A-1(AB)=(A-1A)B=EB=B. #
推论2.1 设A,B均为n阶方阵， 若AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B, B-1=A. 推论作用：论证方阵可逆性，及逆阵形式。
§2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算
例2 设方阵A，使E+A可逆，且B=(E+A)-1(E-A),
求 (E+B)-1.
解 由B=(E+A)-1(E-A)，得(E+A)B=E-A, 从而E+A+(E+A)B=2E, 即(E+A)(E+B)=2E
1 ( E A)( E B) E , 2 1 1 ( E B ) ( E A). 2
不用除法，解方程 2x=4
解
1 是2的 倒 数 2
1 1 1 2 x 4 , 得x 2. 注 意 到 2 1. 2 2 2
§1 可逆矩阵的定义及性质
定义1.1设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得 AB=BA=E 则称方阵A为可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵，简称 A的逆。 注:可逆矩阵与逆矩阵是同阶方阵，非方阵不论 及可逆性，方阵不一定可逆。 1 0 对任意B b11 b21 例 A , b 0 0 b22 12 b11 b21 1 0 b11 0 1 0 . BA 0 1 , A不 可 逆 b 0 0 b 12 0 12 b22
第三章-可逆阵
一、可逆矩阵的定义二、伴随矩阵及矩阵可逆的条件三、逆矩阵的性质四、求逆矩阵的初等行变换五矩阵方程五、矩阵方程一、可逆矩阵的定义定义1设A 是一个n 阶方阵，如果存在n 阶方阵B , 使得A B B A EA B = B A = E ,则称B 为A 的逆矩阵，此时也称A 可逆.由定义1 可知，若B 是A 的逆矩阵，则A 也是B 逆矩阵，即A 与B 是互逆的.定理1若矩阵A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的.设B 、C 均为 A 的逆矩阵，则C =C E =C A B )=(C A )B =E B =B ,证 C C E C (A B ) (C A ) B E B B ,故 A 的逆矩阵是唯一的.的逆矩阵的唯性由矩阵A 的逆矩阵的唯一性，记 A 的逆矩阵为A 1.例1设a 11a 22… a nn ≠0 , 则由定义可直接验证对角矩11 22 nn ,阵的逆矩阵111-⎤⎡a 111⎤⎡-a 22⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢a.1122⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢=--a⎦⎣nn a ⎦⎣nn a 例2若方阵A 1 , A 2 , …, A m 均可逆，则分块对角矩阵与对角矩阵有类似的逆矩阵11-⎥⎤⎢⎡A A 111⎥⎤⎢⎡--A A 2⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣m A.12⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣=-m A上一页当时对~二、伴随矩阵及二、伴随矩阵及矩阵可逆的条件矩阵可逆的条件定义2n >1时，对n 阶方阵,称为矩阵A 的代数余子式余子式阵阵，称为矩阵A 的伴随伴随阵阵。
n n ij a A ⨯=)(n n ij a A ⨯=)~(T A A ~*=例如⎪⎪⎫ ⎛--=⎪⎪⎫ ⎛--=⎪⎪⎫ ⎛=24,34~,321*A A A 非常重要⎭⎝⎭⎝⎭⎝13124定理2则d t(**设，则n n ij a A ⨯=)(EA A A AA )det(==矩阵i j *证由行列式性质2与性质7，矩阵的(i,j )元素为A A *det(),,0TTT T T A i j A A AA A A =⎧====⎨e e e e e e aa ()()()()()0,.i j i j i j i j i j ≠⎩E A A A )det(*=AA d (同可得因此。
第4节 可逆矩阵
甲 乙 200 350
A2
240 300
总价值 600 870
总利润 68 95
解 设矩阵 A 为产品的销售量,矩阵 B 为甲,乙两 种产品销往两地产品的总价值与总利润,矩阵 C 为销往两地产品的单位价值与单位利润,则
广 东 金 融 学 院
200 240 A= 350 300
600 68 B= AC = B 870 95 1 1 * 80 100 A 1 = 所以 A = 1 A 7 120 480 1 1 80 100 600 68 1.2 0.1 1 C = A B = = 7 1 870 95 1.5 0.2 120 480
A1 n A2 n = M A nn
A 0 M 0
0 L A L M 0 L
0 0 = AE M A
A* A = A E . 同理,由行列式按列展开性质,可得
AA* = A* A = A E 即 A 与其伴随矩阵 A 满足关系
*
1 * 1 * 当 A ≠ 0 时,则有 A A = A A = E A A 由此可得如下定理.
证 由 A, B 为同阶方阵,且 AB = E ,可得
AB = A B = E = 1≠ 0
所以 A ≠ 0 , B ≠ 0 由定理 1 知 A, B 可逆.
1 1 AB = E 两边左乘 A1 ,有 A ( AB) = A E ,得 在
B = A1 .
1 1 AB = E 两边右乘 B1 ,有 ( AB)B = EB , 在
12
广 东 金 融 学 院
2 6 4 得 A = 3 6 5 2 2 2
∴A
1
1 = A A
4 2 6 4 1 3 2 1 = 3 6 5 = 3 2 3 5 2. 2 2 2 2 1 1 1
可逆矩阵6学时
第四节 可逆矩阵（6学时）教学内容1、可逆矩阵的定义；可逆矩阵的性质；矩阵可逆的条件。
2、伴随矩阵的定义与性质。
3、可逆矩阵的逆矩阵的求法。
目的要求1、理解可逆矩阵的概念，理解伴随矩阵的概念。
2、掌握可逆矩阵的性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件，掌握伴随矩阵的性质。
3、会用伴随矩阵法求可逆矩阵的逆矩阵，能熟练运用矩阵的初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，能解矩阵方程。
教学重点1、可逆矩阵的概念，可逆矩阵的性质，矩阵可逆的充分必要条件。
2、伴随矩阵的定义与性质，求可逆矩阵的逆矩阵。
教学难点1、伴随矩阵法求可逆矩阵的逆矩阵。
2、用定义证明抽象矩阵是可逆矩阵。
教学设计介绍可逆矩阵的定义，并介绍有关例题（30分钟）；介绍可逆矩阵的性质（15分钟）；介绍矩阵可逆的充分必要条件，并介绍有关例题（45分钟）．介绍伴随矩阵的定义与性质（45分钟），介绍伴随矩阵法求可逆矩阵的逆矩阵（45分钟），介绍求可逆矩阵的逆矩阵的初等变换法，并介绍有关例题（90分钟）．讲授内容在本章第一节里，我们定义了矩阵的加法、减法和乘法三种运算．在矩阵乘法运算中，单位矩阵E 的作用类似于数1在数的乘法中的作用，即对于任意n 阶矩阵A ，有A A E AE n n ==． 在数的乘法运算中，对于非零数a ，存在唯一的数b ，使得1==ba ab ．我们自然要问：非零矩阵是否也有类似这样的性质？为了回答这个问题，我们先看下面引例． 引例 设矩阵1112A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2111B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0001C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，a b D c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则2E BA AB ==，2E CD ≠．引例说明对于非零矩阵A ，存在矩阵B ，使得E BA AB ==．此时，我们就称A 为可逆矩阵，而称B 为A 的逆矩阵．而对于非零矩阵C ，不存在矩阵D ，使得2E DC CD ==．可逆矩阵是一类重要的矩阵，它不仅在矩阵的运算中起着重要作用，尤其是可逆矩阵及其逆矩阵在矩阵的乘法运算中起着至关重要的作用，而且可逆矩阵在线性代数的理论和应用中都起着非常重要的作用．本节首先介绍可逆矩阵的定义，其次介绍可逆矩阵的性质，然后介绍矩阵是可逆矩阵的条件，最后介绍一种求可逆矩阵的逆矩阵的常用方法．一、可逆矩阵的定义定义1 对于数域F 上的矩阵A ，如果存在数域F 上的矩阵B ，使得E BA AB ==，那么称A 为可逆矩阵(invertible matrix)，简称A 可逆，并称B 为A 的逆矩阵(inverse matrix)．例如，单位矩阵是可逆矩阵，其逆矩阵为自身，而零矩阵不是可逆矩阵． 根据可逆矩阵的定义，我们得到：（1）可逆矩阵及其逆矩阵都是方阵，且它们的阶数相同． （2）可逆矩阵与其逆矩阵可交换．（3）如果A 是可逆矩阵，那么A 的逆矩阵是唯一的，记为1-A ． 事实上，设B 和C 都是A 的逆矩阵，则根据矩阵乘法的结合律，得C EC C BA AC B BE B =====)()(． （4）如果A 是可逆矩阵，那么1-A 也是可逆矩阵，且A A =--11)(． 事实上，由E A A AA==--11知，1-A 可逆，且A A =--11)(．（5）如果A 是可逆矩阵，那么0≠A ，且11--=A A ．事实上，由E AA=-1知，111A A AA E --===，从而0≠A ，11--=AA ．在本章第一节例4中，矩阵B 和C 都是矩阵方程AC AX =的解，这说明矩阵方程的解不一定唯一．但是我们有（Ⅰ）如果A 是可逆矩阵，那么矩阵方程B AX =有唯一解B A X 1-=；（Ⅱ）如果A 是可逆矩阵，那么矩阵方程C XA =有唯一解1-=CA X ；（Ⅲ）如果A 和B 是可逆矩阵，那么矩阵方程C AXB =有唯一解11--=CB A X ． 例1 证明：初等矩阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是初等矩阵． 证明 根据初等矩阵的定义和矩阵乘法的定义，得()()()()E i j E i j E i j E i j E ==，，，，，11(())(())(())(())E i k E i k E i k E i k E --==，(())(())(())(())E i j k E i j k E i j k E i j k E -=-=，，，，．根据可逆矩阵的定义，初等矩阵)(j i E ，，))((k i E 和))((k j i E ，都是可逆矩阵，且 1()()E i j E i j -=，，， 11(())(())E i k E i k --=， 1(())(())E i j k E i j k -=-，，．这就证明了初等矩阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是初等矩阵．定理1 设nm FA ⨯∈，mm FP ⨯∈，nn FQ ⨯∈，且P 和Q 都可逆矩阵，则)()()()(A R PAQ R AQ R PA R ===．证明 显然，)()(A R PA R ≤．因为[])()()()(1PA R PA P R EA R A R ≤==-，所以)()(A R PA R =．同理可证，)()(A R AQ R =．这就证明了)()()(A R AQ R PAQ R ==．二、可逆矩阵的性质性质1 设A 是可逆矩阵，k 是非零数，则kA 也是可逆矩阵，且111)(---=A k kA ．事实上，E kA A k A k kA ==----))(())((1111．性质2 如果A 是可逆矩阵，那么TA 也是可逆矩阵，且T T A A )()(11--=．事实上，E A A AA T T ==--)()(11，E A A A A T T T T ==--)()(11． 性质3 设A 和B 都是n 阶可逆矩阵，则AB 也是可逆矩阵，且111)(---=A B AB ．事实上，111111()()()n n AB B A A BB A AE A AA E ------====，111111()()()n n B A AB B A A B B E B B B E ------====．一般地，设1A ，2A ，…，k A 都是数域F 上的n 阶可逆矩阵，则k A A A 21也可逆矩阵，且11111121)(-----=A A A A A A k k k ．根据例1，数域F 上的有限个n 阶初等矩阵之积是可逆矩阵．三、矩阵可逆的条件定理2 设A 是n 阶矩阵，则下列命题彼此等价：（1）A 是可逆矩阵；（2）存在n 阶矩阵B ，满足n E AB =或n E BA =； （3）0≠A ；（4）A 是满秩矩阵；（5）A 可以表示为有限个初等矩阵的积；（6）A 可以经过一系列初等行变换化为单位矩阵．证明 如果A 是可逆矩阵，那么存在n 阶矩阵B ，满足n E BA AB ==； 如果n E AB =或n E BA =，那么1=B A ，从而0≠A ； 如果0≠A ，那么n A R =)(，从而A 是满秩矩阵；如果A 是满秩矩阵，那么根据本章上一节定理3，A 可以表示为有限个初等矩阵的积； 如果A 可以表示为有限个初等矩阵的积，那么存在数域F 上的n 阶初等矩阵1P ，2P ，…，k P ，使得21kA P P P =，从而11112k P P P A E ---=．根据例1，11P -，12P -，，1k P -是初等矩阵．这说明A 可以经过一系列初等行变换化为单位矩阵．如果A 可以经过一系列初等行变换化为单位矩阵，那么存在数域F 上的n 阶初等矩阵1Q ，2Q ，…，m Q ，使得21mQ Q Q A E =，从而11112m A Q Q Q ---=．这说明A 是可逆矩阵．根据定理2，如果n 阶矩阵A 和B 满足n E AB =或n E BA =，那么A 和B 都是可逆矩阵，且B 是A 的逆矩阵，A 也是B 的逆矩阵．例如，如果1A ，2A ，…，k A 都是可逆矩阵，那么准对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k A A A A000021， 是可逆矩阵，且⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----112111000000k A A A A ． 例2 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11334221a A ，B 是三阶非零矩阵，且0=AB ，求a 和B ．解 如果A 是可逆矩阵，那么111()()00B EB A A B A AB A ---=====，这与题设矛盾．这说明A 不是可逆矩阵，从而0=A ．因为)3(71333420111334221+=+-=--a a a， 所以3-=a ．如果0≠B ，那么B 是可逆矩阵，从而0)()(11====--B AB BB A AE A ，矛盾．这说明B 不是可逆矩阵，从而0=B ．四、可逆矩阵的逆矩阵的求法下面要解决的问题是：如果A 是可逆矩阵，那么如何求1-A ？如果n n ij a A ⨯=)(是可逆矩阵，那么根据定理1，0≠A ．根据本章第三节定理1和定理2，得⎩⎨⎧≠===+++∑=，，，，j i j i A A a A a A a A a nk jk ik jn in j i j i 012211⎩⎨⎧≠===+++∑=，，，，j i j i A a A a A a A a A nk kj ki nj ni j i j i 012211其中i ，1=j ，2，…，n ．设ji ij A Ab 1-=（i ，1=j ，2，…，n ），则⎩⎨⎧≠===+++∑=，，，，j i j i b a b a b a b a nk kj ik nj in j i j i 0112211 1122110ni j i j in nj ik kj k i j b a b a b a b a i j ==⎧+++==⎨≠⎩∑，，，，其中i ，1=j ，2，…，n ．设n n ij b B ⨯=)(，则n E BA AB ==，即n n ij b B ⨯=)(是可逆矩阵n n ij a A ⨯=)(的逆矩阵．为此，我们引入定义2 设n n ij a A ⨯=)(，ij A 为A 中元素ij a 的代数余子式，则称矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A 212221212111 为A 的伴随矩阵(adjoint matrix)，记为*A ．根据前面讨论，方阵A 的伴随矩阵*A 与A 有如下重要关系定理3 设A 为n 阶方阵，则n E A A A AA ==**．推论 设A 是可逆矩阵，则*--=A AA11，A AA 11*)(--=．证明 根据定理2，0≠A ．根据定理3，得E A AA =-)(*1，E A AA =-)(1*．根据定理2，得*--=A A A 11，A AA 11*)(--=．推论给出了求可逆矩阵的逆矩阵的公式，从而提供了一种求可逆矩阵的逆矩阵的方法伴随矩阵法．例3 设2345A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求1-A ． 解 因为2-=A ，511=A ，412-=A ，321-=A ，222=A ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==*-24352111A A A ． 利用伴随矩阵法求一个n 阶矩阵的逆矩阵，要计算一个n 阶行列式和2n 个1-n 阶行列式，计算量非常大．因此，推论提供的求逆矩阵的公式主要是具有理论上的意义． 定理4 设A 是数域F 上的n 阶可逆矩阵，mn FB ⨯∈，则用初等行变换可以将分块矩阵[]B A化为分块矩阵[]B A E n1-．证明 因为A 是可逆矩阵，所以1A -是可逆矩阵．根据定理2，存在数域F 上的n 阶初等矩阵1P ，2P ，…，k P ，使得121P P P A k =-．根据分块矩阵的乘法运算法则，得[]1111n A A B A AA B E A B ----⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦，即[]121knP P P A B E A B -⎡⎤=⎣⎦．这表明用初等行变换可以将分块矩阵[]B A化为分块矩阵[]B A E n1-．特别，如果A 是可逆矩阵，那么可以用初等行变换将分块矩阵[]n E A化为[]1-A E n．定理4提供了一种实用的求可逆矩阵的逆矩阵的方法初等变换法．初等变换法是求可逆矩阵的逆矩阵是最常用的方法，而且运用这种方法容易编制计算机程序，从而可以利用计算机来求逆矩阵．例4 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=221101111A ，且矩阵X 满足X A XA 2-=，求X ．解 显然，A E A X =+)2(3．对分块矩阵[]332E E A +作初等行变换如下： []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+101110011210001111100021010121001111233E E A103210012110001011--⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→110100211010322001． 这说明32A E +可以经过一系列初等行变换化为单位矩阵．根据定理2，32A E +是可逆矩阵．根据定理4，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-110211322)2(13E A ．根据A E A X =+)2(3，以及矩阵乘法的定义，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+=-320432643)2(13E A A X ． 例5 解矩阵方程B AX X +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=232131110A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=7115224B ． 解 显然，B X A E =-)(3．对分块矩阵[]B AE -3作初等行变换如下：[]31114211142121250102323311701133E A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦101611001101023010230015000150--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 这说明3E A -可以经过一系列初等行变换化为单位矩阵．根据定理2，3E A -是可逆矩阵．根据B X A E =-)(3和定理4，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=-053211)(13B A E X ．求出可逆矩阵A 的逆矩阵1-A 后，可以通过E AA =-1来验证计算是否正确．上面例题说明，解简单矩阵方程的一般方法是先利用相关的矩阵理论进行符号运算，将原矩阵方程化为矩阵方程C AXB =，其中A 、B 和C 均为已知矩阵．如果A 、B 均为可逆矩阵，那么11--=CB A X ．然后将已知矩阵代入此表达式进行数值计算即得未知矩阵X ．例6 设A 是n 阶矩阵，且43230n A A A E +--=，求n A E -的逆矩阵．解 由43230n A A A E +--=知，32()(22)3n n A E A A A E -++=．根据定理2，得1321()(22)3n A E A A A --=++．例7 设148032021A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且133()()B E A E A -=+-，求132A E -+和13()E B -+．解 因为148032341021A -==-=-， 32480422(84)8022E A -+==-=， 3381620743(2116)15043E A -+==-= 所以A 和3E A +都是可逆矩阵．根据矩阵和行列式的运算法则，得1113332(2)215A E A E A A E A ---+=+=+=-，111333333()()()()2()E B E A E A E A E A E A ---+=++++-=+，1331241()()0212011E B E A --⎡⎤⎢⎥+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．例8 设A 是3阶矩阵，2-=A ，计算行列式*-+⎪⎭⎫ ⎝⎛A A 2211．解 显然，112--*-==A A A A ．根据矩阵和行列式的运算法则，得4)2(4222113111=-=-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛---*-A A A A A ． 例9 设A ，B 和B A +都是n 阶可逆矩阵，证明：（1）11--+B A 可逆，且A B A B B B A A 11)()(--+=+；（2）1111111()()A B A A A B A -------+=-+，且1111111()()A B B B A B B -------+=-+．证明 （1）根据矩阵的运算法则，得11111111)(--------+=+=+A B A B AA B BA B B A ．根据可逆矩阵的性质，11--+B A 是可逆矩阵，且1111111()()()A B B A B A A A B B -------⎡⎤+=+=+⎣⎦．同理可证，A B A B B A 1111)()(----+=+，从而A B A B B B A A 11)()(--+=+．（2）根据矩阵的运算法则，得[]111111)()(------+-+A B A A A B A111111)()()(------++-+=A B A A B A A B A 111111()()n n E BA E BA A B A ------=+-++1111111()()n E BA B B A A B A -------=+-++ 11n n E BA BA E --=+-=，这就证明了1111111)()(-------+-=+A B A A A B A ．由A 和B 的对称性得另外一个等式．例10 设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，BA AB =，B A -可逆，且1))((--+=B A B A C ，证明：E CC T =．证明 因为BA AB =，所以()()()()A B A B A B A B +-=-+． 根据矩阵运算法则，以及TA A =，B B T-=，得[]T TT B A B A B A B A CC )()())((11+--+=--[]T TB A B A B A B A )()())((11+--+=--11()()()()A B A B A B A B --=+-+-[])())(()(1B A B A B A B A --++=-[]1()()()()A B A B A B A B -=+-+-11()()()()n A B A B A B A B E --=++--=．例11 设nn FA ⨯∈，2≥n ，证明：⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*.1)(01)(1)()(n A R n A R n A R n A R ，，，，，证明 当n A R =)(时，0≠A ．由n E A AA =*知，01≠=-*n AA ，从而n A R =*)(．当1)(-=n A R 时，0=A ．由n E A AA =*知，0=*AA ．根据本章第四节的定理1，1)(≤*A R ．由矩阵的秩的定义，A 有一个1-n 阶子式不等于零，从而A 中至少有一个元素的代数余子式不等于零，即0≠*A ，1)(≥*A R ．这就证明了1)(=*A R ．当1)(-<n A R 时，由矩阵的秩的定义，A 的所有1-n 阶子式等于零，从而A 中每一个元素的代数余子式等于零，即0=*A ，0)(=*A R ．与伴随矩阵有关的问题，一般涉及伴随矩阵的行列式、秩、逆矩阵以及包含伴随矩阵的矩阵方程等．在相关的计算或证明中，常常利用定理3来进行化简和分析论证．。
第09节-可逆矩阵
2 1
3 2 1 1 且 A 3 2 3 5 2 , 1 1 1
1
B
1
3 1 , 5 2
1 1
又由 AXB C A AXBB A CB E 1 1 X A CB . 于是 X A1CB 1
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
1
1
AA1 E ,
推广
A1 A2 Am1 Am1 A21 A1.1
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
证明
A
T
A A A
1 T 1
T
ET E,
A
T 1
A
1 T
.
2a c 1, 2b d 0, a 0, b 1,
a 0, b 1, c 1, d 2.
又因为
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
B是A的一个逆矩阵.
AB BA E ,
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E , AC CA E ,
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§1.4可逆矩阵
★ 教学内容：
1.可逆矩阵的概念；
2.可逆矩阵的判定；
3.利用转置伴随矩阵求矩阵的逆；
4.可逆矩阵的性质。
★教学课时： 100 分钟 /2 课时。
★教学目的：
通过本节的学习，使学生
1.理解可逆矩阵的概念；
2.掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法；
3.熟悉可逆矩阵的有关性质。
★教学重点和难点：
本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求
逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。
★ 教学设计：
一可逆矩阵的概念。
1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。
2.定义 1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵 B ，使得 AB BA E 则称 A 为可逆矩阵，简称 A 可逆，并称 B 为 A 的逆矩阵，或 A 的逆，记为A1。
3.可逆矩阵的例子：
（ 1）例 1 单位矩阵是可逆矩阵；
（ 2）例 2
1 0 1 0
A ， B
1
，则 A 可逆；
1 1 1
1 0 0
（ 3）例 3 对角矩阵 A 0 2 0 可逆；
0 0 3
1 1 1 1 1 0
（ 4）例 4 A0 1 1 ， B 0 1 1 ，则A可逆。
0 0 1 0 0 1
4.可逆矩阵的特点：
（1）可逆矩阵A都是方阵；
（2）可逆矩阵A的逆唯一，且A1和A是同阶方阵；
（ 3）可逆矩阵
A 的逆 A 1 也是可逆矩阵，并且 A 和 A 1 互为逆矩阵；
（ 4）若 A 、 B 为方阵，则 AB
E
A 1
B 。
二 可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆
1.方阵不可逆的例子：
例 5
例 6
1 1 A
0 0
1 2 A
2
4
不可逆；
不可逆；
2.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法：
（ 1）说明利用定义判定及求逆的方法，
（ 2）说明这种方法的缺陷； 3.转置伴随矩阵求逆 （ 1）引入转置伴随矩阵
1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论
a i1
A s1
a i 2
A
s2
L
a in
A
sn
D,i
s
(i 1,2,L , n) ，
0,i
s
a 1 j
A 1t
a 2 j
A
2t
L
a nj
A
nt
D, j t
( j 1,2,L , n) ；
0, j t
2）写成矩阵乘法的形式有：
a
11
a
12
L
a
1n
A
11
A
21
L A
n1
A 0 L 0 a
21 a
22
L
a
2 n
A
12 A
22
L
A
n2
0 A L
M M O M M M O M
A E
M M O M a
n1
a
n 2
L
a
nn
A
1n
A
2n
L
A
nn
0 0 L
A
3）定义 1.4.2（转置伴随矩阵）设
A ij 式是 A (a ij )n n 的行列式中 a ij 的代数余
子式，则
A 11 A 21 L
A n1
A *
A 12
A
22
L A n 2
M
M O
M
A
1n
A
2n
L
A
nn
称为 A 的转置伴随矩阵。
（ 2）转置伴随矩阵求逆：
1） AA *
A E ；
2）定理 1.4.1
A 可逆的充分必要条件是 A 0 （或 A 非奇异），且
A 1 1 A*；
A
3）例 7 判断矩阵 A 1 2
是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。
3 5
2 2 3
4）例 8 设 A1 1 0 ，判断 A 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。
1 2 1
三可逆矩阵的性质
1.性质 1 ( A 1) 1 A ；
2.性质 2 ( AB) 1 B 1 A 1 ；
3.性质 3 ( A )1 ( A 1 ) ；
4.性质 4 (kA) 1 1 A 1；
k
5.性质 5 A 1 1 ；
A
6.性质 6 A*
n 1
A ；
7. ( A B)1 A 1 B 1。
例 9 设A，B均为三阶方阵，且 A 1 ， B 3 ，求 (2B A) 1。
2
四可逆的应用——解矩阵方程
例 10设方程A2 A 2E O ，证明：A2E 可逆，并求其逆。