2019年福建省漳州市诏安县“新华杯”初中数学竞赛试卷(含精品解析)

2019学年福建省漳州市诏安县“新华杯”初中数学竞赛试卷
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．已知，且a+b+c＝2001k，那么k的值为（）
A．B．4C．D．﹣4
2．若x2﹣3x+1＝0，则3x+等于（）
A．﹣9B．9C．3D．﹣3
3．如图所示，△ABC中，AB＝AC，过AC上一点作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE＝140°，则∠DEF＝（）
A．55°B．60°C．65°D．70°
4．运算符号△的含义是，则方程（1+x）△（1﹣2x）＝5的所有根之和为（）
A．﹣2B．0C．2D．4
5．篆刻是中国独特的传统艺术，篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中的镂空部分）（）
A．B．C．D．
6．已知：2x×3y＝576，则等于（）
A．1B．2C．3D．4
7．如图，MN是圆柱底面的直径，MP是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P有一条绕了四周的路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿MP剪开，所得的侧面展开图可以是（）
A．B．
C．D．
8．若不等式组的解集是x＞2，则整数m的最小值是（）
A．2B．3C．4D．5
9．已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞H，相应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB＝6cm，则下列四个结论中正确的个数有（）
①图1中的BC长是8cm，②图2中的M点表示第4秒时y的值为24cm2，
③图1中的CD长是4cm，④图2中的N点表示第12秒时y的值为18cm2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝60°，AD＝4，CD＝10，则BD的长等于（）
A．B．C．12D．
二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）
11．中华人民共和国国旗上的五角星的每一个角的度数是．
12．当﹣1≤x≤2时，式子2+|x﹣2|的最大值为．
13．已知函数y＝与y＝k2x图象的交点是（﹣2，5），则它们的另一交点是．
14．如图，D，E是等边△ABC两边上的两个点，且AE＝CD，连接BE，与AD交于点P，过点B作BQ⊥AD于Q，那么BP：PQ＝．
15．如图，把一个长26cm，宽14cm的长方形分成五块，其中两个大正方形和两个长方形分别全等．那么中间小正方形的面积是cm．
16．如图，长方形ABCD内的每个圆的面积是9π，那么长方形ABCD的面积是．
17．某班学生共有60人，会游泳的有27人，会体操的有28人，游泳、体操都不会的有15人，那么既会游泳又会体操的有人．
18．如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD 与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BC＝m，则电线杆AB的长为m．
19．汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0.8元．若某车一
年的养路费是1440元，百公里耗油8升，在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图中的l1、l2所示，则l1与l2的交点的横坐标m＝（不考虑除养路费和燃油费以外的其它费用）．
20．在一列数x1，x2，x3，…中，已知x1＝1，且当k≥2时，
（符号[a]表示不超过实数a的最大整数，例如[2.6]＝2，[0.2]＝0），则x2010等于．
三、解答题（共5小题，满分50分）
21．某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱一共100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：
（1）冰箱厂有哪几种生产方案？
（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？
22．在某市中学生篮球赛中，小方共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y，前5场比赛的平均得分x．
（1）用含x的代数式表示y；并求y的最小值．
（2）当y＞x时，小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？
23．恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50km，A、B到直线x的距离分别为10km 和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝P A+PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝P A+PB．（1）求S1、S2，并比较它们的大小；
（2）请你说明S2＝P A+PB的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
24．已知A（﹣1，m）与B（2，m+3）是反比例函数图象上的两个点．
（1）求k的值；
（2）若点C（﹣1，0），则在反比例函数图象上是否存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于A（3，0），B（0，）两点．（1）求直线AB的解析式；
（2）在第一象限内是否存在点P，使得以P、O、B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请画出所有符合条件的点P，并求其中一个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．【解答】解：由，得
，
三式相加，得
a+b+c＝4×2001
∵a+b+c＝2001k，
∴k＝4．
故选：B．
2．【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2+1＝3x，
∴3x+，
＝，
＝，
＝9．
故选：B．
3．【解答】解：∵DE⊥AC，∠BDE＝140°，∴∠A＝50°，
又∵AB＝AC，
∴∠C＝＝65°，
∵EF⊥BC，
∴∠DEF＝∠C＝65°．
所以A错，B错，C对，D错．故选C．
4．【解答】解：当x≥0时，1+x≥1﹣2x，
∴1+x＝5，解得x＝4；
当x＜0时，1+x＜1﹣2x，
∴1﹣2x＝5，解得x＝﹣2．
所以方程（1+x）△（1﹣2x）＝5的所有根之和为4+（﹣2）＝2．
故选：C．
5．【解答】解：易得“望”字应在左边，字以外的部分为镂空部分，故选D．
6．【解答】解：∵2x×3y＝576＝26×32，
∴x＝6，y＝2，
∴＝+＝2．
故选：B．
7．【解答】解：根据两点之间线段最短，剪开后所得的侧面展开图中的金属丝是线段，且从P点开始到M 点为止，
故选：D．
8．【解答】解：解不等式组得：
（1）当2m﹣5≥m﹣1时，解得m≥4，
∴此时2m﹣5＞3，m﹣1＞3
∴此时愿不等式组的解集不可能是x＞2；
（2）当2m﹣5＜m﹣1时，
此时m﹣1＝2，
解得m＝3．
故选：B．
9．【解答】解：根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了4cm，因而CG＝4cm，BC＝8cm；
P在CD段时，底边AB不变，高不变，因而面积不变，由图象可知CD＝4cm，面积y＝＝24cm2．图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点，△ABP的面积是18cm2．四个结论都正确．
故选：D．
10．【解答】解：延长AD、BC，两条延长线相交于点E，
∵在Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，
∴∠E＝90°﹣60°＝30°．
∴在Rt△DCE中，∠E＝30°，CD＝10，
∴DE＝2CD＝20，
∴AE＝AD+DE＝20+4＝24．
∴在Rt△ABE中，AB＝AE•tan∠E＝AE•tan30°＝×24＝8，
∴在Rt△ABD中，
BD＝＝＝＝4．
故选：A．
二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）
11．【解答】
解：∠AFD＝∠C+∠D，∠AGB＝∠B+∠E，
∵∠A+∠AFD+∠AGB＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝×180°＝36°．
故答案为：36°．
12．【解答】解：∵﹣1≤x≤2，
∴当x＝﹣1时，|x﹣2|＝|﹣1﹣2|＝|﹣3|＝3，
当x＝2时，|x﹣2|＝|2﹣2|＝0，
∴2+|x﹣2|的最大值为2+3＝5．
故答案为：5．
13．【解答】解：∵反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴它们的另一交点是（2，﹣5）．
14．【解答】解：在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD，（SAS）
∴∠CAD＝∠ABE，
∵∠CAD+∠P AB＝60°，
∴∠BPQ＝∠BAP+∠ABE＝∠CAD+∠P AB＝60°，
∴在直角△BPQ中，PQ：BP＝sin30°＝1：2，
∴BP：PQ＝2：1．
故答案为2：1．
15．【解答】解：设大正方形的边长为xcm，设小正方形的边长为ycm，根据题意得：
，
解得：，
故小正方形的面积＝6×6＝36（cm2）．
答案填：36．
16．【解答】解：设圆的半径是r，
∵圆的面积是9π，
∴πr2＝9π，
解得：r＝3，
∴长方形ABCD的长BC＝6×3＝18，AB＝2×3＝6，
∴长方形ABCD的面积是18×6＝108．
故答案为：108．
17．【解答】解：不会游泳的人数是：60﹣27＝33人；
不会体操的人数是：60﹣28＝32人；
则游泳和体操有一项不会的人数是：33+32﹣15＝50人．
∴既会游泳又会体操的有：60﹣50＝10人．
故答案是：10．
18．【解答】解：如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE于F．∵∠DCF＝45°，∠A＝60°，CD＝4m，
∴CF＝DF＝m，EF＝DF tan60°＝（m）．
∵，
∴（m）．
19．【解答】解：设每升汽油的价格为a元，
由题意可知l1＝（×a）x+1440，
l2＝（a+0.8）×x，
令l1＝l2，
解得x＝22500．
故l1与l2的交点的横坐标m为22500．
20．【解答】解：∵x1＝1，且当k≥2时，
∴x2＝1+1﹣0＝2，
x3＝2+1﹣0＝3，
x4＝3+1﹣0＝4，
x5＝4+1﹣4×（1﹣0）＝1，
x6＝1+1﹣4×（1﹣1）＝2，
x7＝2+1﹣4×（1﹣1）＝3，
x8＝3+1﹣4×（1﹣1）＝4，
∴可得规律：每4个一循环，
∵2010÷4＝502…2，余数为2，
∴x2010＝2．
故答案为：2．
三、解答题（共5小题，满分50分）
21．【解答】解：（1）设生产A型冰箱x台，则B型冰箱为（100﹣x）台，由题意得：47500≤（2800﹣2200）x+（3000﹣2600）×（100﹣x）≤48000
解得：37.5≤x≤40
∵x是正整数
∴x取38，39或40．
有以下三种生产方案：
（2）设投入成本为y元，由题意有：y＝2200x+2600（100﹣x）＝﹣400x+260000
当x＝40时，y有最小值．
即生产A型冰箱40台，B型冰箱60台，该厂投入成本最少244000
22．【解答】解：（1），（2分）
y随x的增大而增大，y最小值12，此时x的最小值8；（2分）
（2）由题意有，解得x＜17，（2分）
所以小方在前5场比赛中总分的最大值应为17×5﹣1＝84．（4分）（2分）
23．【解答】解：（1）图（1）中过B作BC⊥X于C，垂足为C；AD⊥BC于D，垂足为D，则BC＝40，
又∵AP＝10，
∴BD＝BC﹣CD＝40﹣10＝30．
在△ABD中，AD＝＝40，
在Rt△PBC中，
∴BP＝，
S1＝．
图（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50，
又∵BC＝40，
∴BA'＝，
由轴对称知：P A＝P A'，
∴S2＝BA'＝，
∴S1＞S2．
（2）如图（2），在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA＝MA'，∴MB+MA＝MB+MA'＞A'B，
∴S2＝BA'为最小．
（3）过A作关于X轴的对称点A'，过B作关于Y轴的对称点B'，
连接A'B'，交X轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求．
过A'、B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G，
B′G＝40+10＝50，A′G＝30+30+40＝100，
A'B'＝，
∴AB+AP+BQ+QP＝AB+A′P+PQ+B′Q＝50+50，
∴所求四边形的周长为．
24．【解答】解：（1）将A（﹣1，m）与B（2，m+3）代入反比例函数中，得：m＝﹣k，m+3＝，
∴（﹣1）•m＝2•（m+3），解得：m＝﹣2，
则k＝2；
（2）如图1，作BE⊥x轴，E为垂足，
则CE＝3，BE＝，BC＝2，
∵Rt△CBE中，BE＝BC，
∴∠BCE＝30°，
又点C与点A的横坐标相同，
∴CA⊥x轴，
∴∠ACB＝120°，
当AC为底时，由于过点B且平行于AC的直线与双曲线只有一个公共点B，故不符题意；当BC为底时，过点A作BC的平行线，交双曲线于点D，
过点A，D分别作x轴，y轴的平行线，交于点F，
由于∠DAF＝30°，设DF＝m1（m1＞0），则AF＝m1，AD＝2m1，
由点A（﹣1，﹣2），得点D（﹣1+m1，﹣2+m1），
因此（﹣1+m1）•（﹣2+m1）＝2，
解之得（m1＝0舍去），
因此点，
此时，与BC的长度不等，故四边形ADBC是梯形，
如图2，当AB为底时，过点C作AB的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D，
由于AC＝BC，因此∠CAB＝30°，从而∠ACD＝150°，作DH⊥x轴，H为垂足，
则∠DCH＝60°，设CH＝m 2（m2＞0），则，CD＝2m2，
由点C（﹣1，0），得点，
因此，
解之得m2＝2（m2＝﹣1舍去），因此点D（1，2，
此时CD＝4，与AB的长度不相等，故四边形ABDC是梯形，
如图3，当过点C作AB的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为D时，
同理可得，点D（﹣2，﹣），四边形ABCD是梯形，
综上所述，函数图象上存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为梯形，点D的坐标为：或D（1，2或D（﹣2，﹣）．
25．【解答】解：（1）设函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，
解得，
∴．
（2）由题可得OA＝3，OB＝，AB＝2，∠OAB＝30°．
当∠OBP＝90°时，如图，
①若△BOP∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO＝30°，BP＝OB＝3，
∴P1（3，）；
②若△BPO∽△OAB，则∠BOP＝∠BAO＝30°，OP＝OB＝1，
∴P2（1，）；
当∠OPB＝90°时，
③过点P作OP⊥BC于点P（如图），此时△PBO∽△OAB，
∠BOP＝∠BAO＝30°，过点P作PM⊥OA，
在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝，
∵在Rt△PMO中，∠OPM＝60°，
∴OM＝OP＝，PM＝OM＝，
∴P3（，）；
④若△POB∽△OBA，则∠OBP＝∠BAO＝30°，∠P4OM＝90°﹣（90°﹣30°）＝30°，∴P4M＝OM＝，
∴P4（，）．
当∠OPB＝90°时，点P在x轴上，不符合要求．
故符合条件的点有四个：P1（3，），P2（1，），P3（，），P4（，）．。