学2019-2020学年高一数学5月开学考试试题(含解析)

学2019-2020学年高一数学5月开学考试试题
（含解析）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.角的终边落在（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角的定义判断即可
【详解】，故为第一象限角，故选A．
【点睛】判断角象限，将大角转化为一个周期内的角即可．
2.若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为，半径为1，
∴
故选B
3.已知tan θ＝3，则cos＝
A. －
B. －
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简得sin 2，再利用，可得sin 2，分子分母同时除以即可得解.
【详解】∵tanθ＝3，∴cos＝sin 2
，
故选C
【点睛】本题主要考查了诱导公式及同角三角函数的关系的应用，巧用解题，属于基础题.
4.设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是
A. f(x)的一个周期为−2π
B. y=f(x)的图像关于直线x=对称
C. f(x+π)的一个零点为x=
D. f(x)在(,π)单调递减
【答案】D
【解析】
f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；
f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；
∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；
由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．
故选D.
5.已知是实数，则函数的图象不可能是（）
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题知，．若，，选项C满足；若，，，其中，，
函数周期，选项A满足；若，，
，其中，，函数周期，选项B满足；若,则，且周期为．而选项D不满足以上四种情况，故图象不可能是D．
故本题正确答案为D．
6.在中，，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：利用两角和的正切公式，求出的三角函数值，求出的大小，然后求出的值即可．
详解：由，
则，
因为位三角形的内角，所以，所以，故选C．点睛：本题主要考查了两角和的正切函数的应用，解答中注意公式的灵活运用以及三角形内角定理的应用，着重考查了推理与计算能力．
7.要得到函数y＝sin（2x）的图象，只需将函数y＝cos2x 的图象（）
A. 向左平移个单位
B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位
D. 向右平移个单位
【答案】C
【解析】
【分析】
先转化y＝sin（2x）=cos（2x）==cos[2(x，再根据平移的规律求解.
【详解】因为y＝sin（2x）=cos（2x）==cos[2(x ，
所以只需将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位得到.
故选：C
【点睛】本题主要考查了诱导公式及三角函数的图象变换，还考查了转化问题和理解辨析的能力，属于基础题.
8.已知都是锐角，则( )
A. B. C. 或 D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件求出，然后确定出的范围，进而求得
的值．
【详解】∵，都是锐角，
∴sin，
∴．
又都是锐角，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】解答给值求解问题的一般思路：①求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；②确定角的范围，此时注意范围越精确越好；③根据角的范围写出所求的角．
9.设，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题设，根据两角差余弦公式，得
，
根据二倍角公式，得，又，
因为，所以，故正确答案为A.
10.已知函数图象的一条对称轴是，则
的值为（）
A. 5
B.
C. 3
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简函数f（x）＝acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对
称，就是时，函数取得最值，求出a即可．
【详解】函数f（x）＝acosx+sinx sin（x+θ），其中tanθ＝a，，
其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a ，
故答案为D
【点睛】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．
11.函数f（x）=sin（x+）+cos（x-）的最大值是（）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用三角恒等变化公式将函数化成的形式，然后直接得出最值.
【详解】
整理得，利用辅助角公式得，所以函数的最大值为，故选A.
【点睛】三角函数求最值或者求值域一定要先将函数化成
的形函数.
12.已知函数在区间上单调递增，则
的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
根据正弦函数的单调性，结合在区间上单调递增，建立不等关系式，即可求解.
【详解】函数在区间上单调递增，
解得，
，
时，可得.
故选：B.
【点睛】本题考查了由正弦型函数的单调性求参数范围的问题，考查了计算能力.熟练掌握正弦函数的单调区间是关键.属于中档题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.【答案】
【解析】
试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或），
所以.
【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则
，若与的终边关于轴对称，则
，若与的终边关于原点对称，则.
14.已知，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
设,再换元得,再利用和差角公式求解即可.【详解】设,则,所以,
又
故答案为
【点睛】本题主要考查换元法,将已知角设成,再反解求出所求三角函数的角,再利用和差角公式化简计算.
15.若，则__________．
【答案】
【解析】
分析：利用三角函数基本关系式化简即可.
详解：
故答案为.
点睛：本题考查利用三角函数基本关系式化简求值，属基础题.
16.已知函数，若对任意实数，恒有
，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由函数取得最值的条件，可求得，再由三角恒等变换求的值.
【详解】对任意实数，恒有，则为最小值，为最大值.
因为，而，
所以当时，取得最小值；当时，取得最大值.
所以.所以.
所以.
【点睛】本题考查三角函数的最值和三角恒等变换，解题的突破口是由不等式恒成立得出函数的最值.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数.
（1）若函数的增区间是，求实数；
（2）若函数在区间和上分别各有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用二次函数对称轴与-2的关系列式即可
（2）若函数f（x）在区间和（1，3）上各有一个零点，
故有，解不等式组求出a的取值范围．
【详解】（1）二次函数，对称轴，由题意
（2）
所以：
【点睛】本题考查二次函数零点分布，二次函数单调性，熟记
二次函数性质是关键，属于中档题．
18.已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在上单调递增区间.
【答案】(1)；（2）递增区间为，
【解析】
【分析】
（1）由三角恒等变换的公式，化简，再利用周期的公式，即可求解；
（2）令，，求得，，又由由，即可求解函数的单调递增区间．
【详解】（1）由题意，函数
所以的最小正周期为．
（2）令，，得，，由，得在上单调递增区间为，．
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考
查了推理与运算能力，属于基础题．
19.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角
，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B 的横坐标分别为
（1）求的值；（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得与的值，进而可得出与的值，从而可求与的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出的值，再根据的取值范围，可得出的取值范围，进而可得出的值.
由条件得cosα＝，cosβ＝.
∵α，β为锐角，
∴sinα＝＝，sinβ＝＝.
因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.
(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2) ∵tan2β＝＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.
∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝
20.已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围．【答案】（1）增区间为；减区间为；（2）．【解析】
【详解】试题分析：
（1）当时，，由可得函数的定义域为，结合图象可得函数的减区间为，增区间为
．（2）令，分两种情况考虑．当时，若满足题意则在上单调递减，且；当时，若满足题意则在上单调递增，且
．由此得到关于a的不等式组，分别解不等式组可得所求范围．
试题解析：
（1）当时，，
由，得，
解得或，
所以函数的定义域为，
利用复合函数单调性可得函数的增区间为，减区间为．
（2）令，则函数的图象为开口向上，对称轴为的抛物线，
①当时，
要使函数在区间上是增函数，则在上单调递减，且，
即，此不等式组无解．
②当时，
要使函数在区间上是增函数，则在上单调递增，且，
即，解得，
又，
∴，
综上可得．
所以实数取值范围为．
点睛：
求函数的单调区间时容易忽视函数定义域的限制，对数型函数的单调性满足“同增异减”的性质．对于本题中的（2），同样容易忽视的限制条件，解题时要考虑全面，不要漏掉条件．
21.已知函数是定义域为上的奇函数，且
（1）求的解析式；
（2）若实数t满足，求实数t的范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由函数是定义在上的奇函数，可得，
再根据可求出的值.
（2）利用函数是奇函数以及在上是增函数，解不等式可求出实数t的范围.
【详解】（1）函数是定义域为上的奇函数，，，
又，，
.
（2）由，
设，则，
于是，
又因，
则、、
，即
所以在上单调递增，
又，
，
又由函数在上是奇函数，
，
在上单调递增，
所以，解不等式组可得，
综上可得：
【点睛】本题考查了函数的奇偶性求参数值，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于基础题.
22.如图，在中，，且，若，求的长.
【答案】2
【解析】
【分析】
令，则.在中，根据锐角三角函数可知，，又在中，同理可得
.则可将表示成.根据二倍角公式和同角三角函数间的关系，将其化简，即可得到结果.
【详解】解析：令，则，
，，
.
【点睛】本题考查了直角三角形中的三角函数问题，二倍角公式和同角三角函数间的关系的应用，属于中档题.
学2019-2020学年高一数学5月开学考试试题
（含解析）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.角的终边落在（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角的定义判断即可
【详解】，故为第一象限角，故选A．
【点睛】判断角象限，将大角转化为一个周期内的角即可．
2.若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为，半径为1，
∴
故选B
3.已知tan θ＝3，则cos＝
A. －
B. －
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简得sin 2，再利用，可得sin 2，分子分母同时除以即可得解.
【详解】∵tanθ＝3，∴cos＝sin 2，
故选C
【点睛】本题主要考查了诱导公式及同角三角函数的关系的应用，巧用解题，属于基础题.
4.设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是
A. f(x)的一个周期为−2π
B. y=f(x)的图像关于直线x=对称
C. f(x+π)的一个零点为x=
D. f(x)在(,π)单调递减
【答案】D
【解析】
f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；
∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C 正确；
由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D 错误．
故选D.
5.已知是实数，则函数的图象不可能是（）
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题知，．若，，选项C满足；若，
，，其中，，函数周期，选项A满足；若，，，其中，，
函数周期，选项B满足；若,则，且周期为．而选项D不满足以上四种情况，故图象不可能是D．
故本题正确答案为D．
6.在中，，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
分析：利用两角和的正切公式，求出的三角函数值，求出的大小，然后求出的值即可．
详解：由，
则，
因为位三角形的内角，所以，所以，故选C．
点睛：本题主要考查了两角和的正切函数的应用，解答中注意公式的灵活运用以及三角形内角定理的应用，着重考查了推理与计算能力．
7.要得到函数y＝sin（2x）的图象，只需将函数y＝cos2x的图象（）
A. 向左平移个单位
B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位
D. 向右平移个单位
【答案】C
【解析】
【分析】
先转化y＝sin（2x）=cos（2x）==cos[2(x，再根据平移的规律求解.【详解】因为y＝sin（2x）=cos（2x）==cos[2(x，
所以只需将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位得到.
故选：C
【点睛】本题主要考查了诱导公式及三角函数的图象变换，还考查了转化问题和理解辨析的能力，属于基础题.
8.已知都是锐角，则( )
A. B. C. 或 D. 不能确定
【答案】B
【分析】
根据条件求出，然后确定出的范围，进而求得的值．
【详解】∵，都是锐角，
∴sin，
∴．
又都是锐角，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】解答给值求解问题的一般思路：①求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；②确定角的范围，此时注意范围越精确越好；③根据角的范围写出所求的角．
9.设，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题设，根据两角差余弦公式，得，
根据二倍角公式，得，又，
因为，所以，故正确答案为A.
10.已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（）
A. 5
B.
C. 3
D.
【答案】D
【解析】
化简函数f（x）＝acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对称，就是时，函数取得最值，求出a即可．
【详解】函数f（x）＝acosx+sinx sin（x+θ），其中tanθ＝a，，
其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a，
故答案为D
【点睛】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．
11.函数f（x）=sin（x+）+cos（x-）的最大值是（）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用三角恒等变化公式将函数化成的形式，然后直接得出最值.
【详解】
整理得，利用辅助角公式得，所以函数的最大值为，故选A.
【点睛】三角函数求最值或者求值域一定要先将函数化成的形函数.
12.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为
（）
A. B. C. D.
【解析】
分析】
根据正弦函数的单调性，结合在区间上单调递增，建立不等关系式，即可求解.【详解】函数在区间上单调递增，
解得，
，
时，可得.
故选：B.
【点睛】本题考查了由正弦型函数的单调性求参数范围的问题，考查了计算能力.熟练掌握正弦函数的单调区间是关键.属于中档题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若
，则=___________.
【答案】
【解析】
试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或），
所以.
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于轴对称，则
，若与的终边关于原点对称，则.
14.已知，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
设,再换元得,再利用和差角公式求解即可.
【详解】设,则,所以,
又
故答案为
【点睛】本题主要考查换元法,将已知角设成,再反解求出所求三角函数的角,再利用和差角公式化简计算.
15.若，则__________．
【答案】
【解析】
分析：利用三角函数基本关系式化简即可.
详解：
点睛：本题考查利用三角函数基本关系式化简求值，属基础题.
16.已知函数，若对任意实数，恒有，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】
由函数取得最值的条件，可求得，再由三角恒等变换求
的值.
【详解】对任意实数，恒有，则为最小值，为最大值.因为，而，
所以当时，取得最小值；当时，取得最大值.
所以.所以.
所以.
【点睛】本题考查三角函数的最值和三角恒等变换，解题的突破口是由不等式恒成立得出函数的最值.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数.
（1）若函数的增区间是，求实数；
（2）若函数在区间和上分别各有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（2）若函数f（x）在区间和（1，3）上各有一个零点，故有，解不等式组求出a的取值范围．
【详解】（1）二次函数，对称轴，由题意
（2）
所以：
【点睛】本题考查二次函数零点分布，二次函数单调性，熟记二次函数性质是关键，属于中档题．
18.已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在上单调递增区间.
【答案】(1)；（2）递增区间为，
【解析】
【分析】
（1）由三角恒等变换的公式，化简，再利用周期的公式，即可求解；
（2）令，，求得，，又由由，即可求解函数的单调递增区间．
【详解】（1）由题意，函数
所以的最小正周期为．
（2）令，，得，，
由，得在上单调递增区间为，．
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
19.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为
（1）求的值；（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得与的值，进而可得出与的值，从而可求与的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出的值，再根据的取值范围，可得出的取值范围，进而可得出的值.
由条件得cosα＝，cosβ＝.
∵α，β为锐角，
因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.
(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2) ∵tan2β＝＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.
∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝
20.已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）增区间为；减区间为；（2）．
【解析】
【详解】试题分析：
（1）当时，，由可得函数的定义域为
，结合图象可得函数的减区间为，增区间为．（2）令
，分两种情况考虑．当时，若满足题意则在上单调递减，且；当时，若满足题意则在上单调递增，且．由此得到关于a的不等式组，分别解不等式组可得所求范围．
试题解析：
（1）当时，，
由，得，
解得或，
所以函数的定义域为，
利用复合函数单调性可得函数的增区间为，减区间为．
（2）令，则函数的图象为开口向上，对称轴为的抛物线，
①当时，
要使函数在区间上是增函数，则在上单调递减，且
，
即，此不等式组无解．
②当时，
要使函数在区间上是增函数，则在上单调递增，且
，
即，解得，
又，
∴，
综上可得．
所以实数取值范围为．
点睛：
求函数的单调区间时容易忽视函数定义域的限制，对数型函数的单调性满足“同增异减”的性质．对于本题中的（2），同样容易忽视的限制条件，解题时要考虑全面，不要漏掉条件．
21.已知函数是定义域为上的奇函数，且
（1）求的解析式；
（2）若实数t满足，求实数t的范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由函数是定义在上的奇函数，可得，
再根据可求出的值.
（2）利用函数是奇函数以及在上是增函数，解不等式可求出实数t的范围.【详解】（1）函数是定义域为上的奇函数，
，，
又，，
.
（2）由，
设，则，
于是，
又因，
则、、
，即
所以在上单调递增，
又，
，
又由函数在上是奇函数，
，
在上单调递增，
所以，解不等式组可得，
综上可得：
【点睛】本题考查了函数的奇偶性求参数值，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于基础题.
22.如图，在中，，且，若，求的长.
【答案】2
【解析】
【分析】
令，则.在中，根据锐角三角函数可知，，又在中，同理可得.则可将表示成
.根据二倍角公式和同角三角函数间的关系，将其化简，即可得到结果.
【详解】解析：令，则，
，，
.
【点睛】本题考查了直角三角形中的三角函数问题，二倍角公式和同角三角函数间的关系的应用，属于中档题.。