中考冲刺分式化简求值

题型16 分式化简求值
考点解析
1．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
2．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．五年中考
1．（2019•成都）先化简，再求值：（1−
4
x+3）÷
x2−2x+1
2x+6，其中x=√2+1．
原式=(x+3
x+3
−4x+3)×2(x+3)
(x−1)2
=x−1
x+3
×2(x+3)
(x−1)2
=
2
x−1
将x=√2+1代入原式=
2
2+1−1
=√2
2．（2018•成都）化简：（1−
1
x+1）÷
x
x2−1
【点拨】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解析】解：原式=x+1−1
x+1
×(x+1)(x−1)
x
=x x+1×(x+1)(x−1)
x
＝x﹣1
3．（2017•成都）化简求值：x−1
x+2x+1
÷（1−2x+1），其中x=√3−1．
【点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知代入计算即可求出值．
【解析】解：x−1
x2+2x+1÷（1−2x+1）=x−1
(x+1)2
•
x+1
x−1
=
1
x+1
，
∵x=√3−1，
∴原式=
3−1+1
=√33．
4．（2016•成都）化简：（x−1
x）÷
x2−2x+1
2
．
【点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解析】解：原式=x2−1
x•
x2−x
x−2x+1
=
(x+1)(x−1)
x
•
x(x−1)
(x−1)
=x+1．
5．（2015•成都）化简：（a
a+2+
1
a2−4
）÷
a−1
a+2．
【解析】解：原式=
a(a−2)+1
(a+2)(a−2)•
a+2
a−1
=
(a−1)2
(a+2)(a−2)
•
a+2
a−1
=
a−1
a−2
．
一年模拟
1．（2019•成华二诊）先化简，再求值：8
x−4x+4÷（
x2
x−2
−x﹣2），其中|x|＝2．
【点拨】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据|x|＝2即可解答本题．
【解析】解：8
x2−4x+4÷（
x2
x−2
−x﹣2）
=8 (x−2)2÷x
2−(x+2)(x−2)
x−2=
8
(x−2)2
⋅x−2
x2−x2+4
=
8
x−2
⋅14=2x−2，∵|x|＝2，x﹣2≠0，
解得，x＝﹣2，
∴原式=
2
−2−2
=−12．
2．（2019•青羊二诊）先化简，再求值：2x−6x−2÷(5x−2−x −2)，其中x ＝﹣1．
【点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．
【解析】解：原式=2(x−3)x−2÷
5−(x+2)(x−2)x−2=2(x−3)x−2•x−2−(x+3)(x−3)=−2x+3
， 当x ＝﹣1时，原式＝﹣1．
3．（2019•锦江二诊）化简求值：(x+2x−2+4x 2−4x+4)÷x x−2，其中x =−12． 【点拨】首先把括号内的式子进行通分相加，然后把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后把x 的值代入求解即可．
【解析】解：原式=[
x 2−4(x−2)2+4(x−2)2]•(x−2)x =
x 2(x−2)2•(x−2)x
=x x−2 当x =−12时，原式=−12−12−2=15
． 4．（2019•武侯二诊）化简：m 2+2m+1m+2÷(m −2+3m+2)
【点拨】首先进行通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解析】解：原式=(m+1)2m+2÷(m+2)(m−2)+3m+2 =(m+1)2m+2×m+2(m+1)(m−1) =m+1m−1．
5．（2019•双流二诊）先化简，再求值：（1x+2+4x2−4）÷1x2−4x+4，其中x ＝2+√7． 【点拨】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解析】解：原式＝[（
x−2(x+2)(x−2)+4(x+2)(x−2)）]•（x ﹣2）2 =x+2(x+2)(x−2)
•（x ﹣2）2 ＝x ﹣2
将x ＝2+√7代入，得x ﹣2＝2+√7−2=√7
6．（2019•金牛二诊）化简：（a ﹣2+42−a ）÷a 2−16a−2
． 【点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解析】解：原式=(a−2)2−4a−2•a−2(a+4)(a−4)=a(a−4)a−2•a−2(a+4)(a−4)=a a+4
． 7．（2019•郫都二诊）化简：m 2+2m+1
m +2m ÷(1−1m+2)
【点拨】首先进行通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解析】解：原式=(m+1)2m(m+2)÷[m+2m+2−1m+2
] =(m+1)2m(m+2)⋅m+2m+1 =m+1m ．
8．（2019•郫都一诊化简：(m −1−8m+1)÷m 2−6m+9m 2+m 【点拨】直接将括号里面通分，进而分解因式化简即可．
【解析】解：原式=[(m−1)(m+1)(m+1)−8m+1]×m 2+m m 2−6m+9 =
(m+3)(m−3)(m+1)⋅m(m+1)(m−3)2 =m(m+3)m−3
． 9．（2019•高新一诊）化简：(1−1a+2)÷a 2+2a+1a 2−4
【点拨】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解析】解：原式＝（a+2a+2−1a+2
）÷(a+1)2(a+2)(a−2) =a+1a+2•(a+2)(a−2)(a+1)2 =a−2a+1．
10．（2019•龙泉二诊）化简：(3a a−1−a a+1)÷a
a 2−1 【点拨】直接去括号，进而分解因式化简即可．
【解析】解：原式=3a a−1×
(a+1)(a−1)a −a a+1×(a+1)(a−1)a ＝3（a +1）﹣（a ﹣1）
＝2a +4．
精准预测
1．先化简，再求值：（x ﹣2−12x+2）÷x−4x+2，其中x ＝2√3−4．
【点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x 的值代入计算即可求出值．
【解析】解：（x ﹣2−12x+2）÷x−4x+2
=x 2−4−12x+2÷x−4x+2 =(x+4)(x−4)x+2•x+2x−4
＝x +4，
当x ＝2√3−4时，
原式＝2√3−4+4＝2√3．
2．化简求值：(2x−1x+1−x +1)÷x−2x 2+2x+1，其中x =√2．
【点拨】根据分式的混合运算先将分式化简，再代入求值即可．
【解析】解：原式=2x−1−x 2+1x+1•(x+1)2x−2 =x(2−x)1
⋅x+1x−2 ＝﹣x （x +1）
＝﹣x 2﹣x
当x =√2时，原式＝﹣2−√2．
3．化简：（a−2a+2+8a
a −4）÷a+2a 2−2a
【点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解析】解：原式=(a−2)2+8a (a+2)(a−2)•a(a−2)a+2=(a+2)2(a+2)(a−2)•a(a−2)a+2
＝a ． 4．化简：ab a+b ⋅(a b −b a )． 【点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解析】解：原式=ab a+b •
(a+b)(a−b)ab
=a ﹣b ．
5．先化简，再求值：(2a−1−1a )÷(a 2+a a 2−2a+1
)，其中a 2+a ﹣1＝0． 【点拨】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由等式得出a 2＝1﹣a ，代入计算可得．
【解析】解：原式＝[2a a(a−1)−a−1a(a−1)]÷a(a+1)
(a−1)2=a+1a(a−1)•(a−1)2a(a+1) =a−1a 2， 当a 2+a ﹣1＝0时，a 2＝1﹣a ，则原式=
a−11−a =−1． 6．化简：（1−n m+n ）÷m
m 2−n 2． 【点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解析】解：原式＝（
m+n m+n −n m+n ）•(m+n)(m−n)m =m m+n •(m+n)(m−n)m =m ﹣n ． 7．计算：1x +x−2x +x ÷x 2−4x+4x+1 【点拨】原式先计算除法运算，再计算加减运算即可求出值．
【解析】解：原式=1x +x−2x(x+1)•x+1(x−2)=1x +1x(x−2)=x−2x(x−2)+1x(x−2)=x−1x(x−2)
． 8．先化简，再求值：1−x−2y x+y ÷x 2−4xy+4y 2x 2−y 2
，其中x ＝﹣2，y =12． 【点拨】原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．
【解析】解：原式＝1−
x−2y x+y •(x+y)(x−y)(x−2y)2=1−x−y x−2y =−y x−2y ， 当x ＝﹣2，y =12时，原式=16．
9．计算：
（1）2
m −1+3−m
1−m ；
（2）(ab −b 2)÷a−b ab ⋅(−a 2b )2．
【点拨】（1）直接利用分式的加减运算法则化简得出答案；
（2）直接利用分式的混合运算法则化简得出答案．
【解析】解：（1）原式=2(m+1)(m−1)−3−m (m+1)(m−1)=−1+m (m+1)(m−1) =1m+1；
（2）原式＝b （a ﹣b ）•
ab a−b •
10．计算：（8x+1−x +1）÷x 2−6x+9x 2+x 【点拨】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解析】解：原式＝（
8x+1−x 2−1x+1）•x(x+1)(x−3)2 =−(x+3)(x−3)x+1•x(x+1)(x−3)2
=−x 2+3x x−3．
11．计算：（2−x−1x+1）÷x 2+6x+9x 2−1
【点拨】首先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案．
【解析】解：原式=
2(x+1)−(x−1)x+1×(x+1)(x−1)(x+3)2 =x+3x+1×
(x+1)(x−1)(x+3)2 =x−1x+3
． 12．先化简，再求值：（m +2+
52−m ）÷3−m 2m−4，其中m ＝﹣1． 【点拨】把m +2看成
m+21，先计算括号里面的，再算乘法，化简后代入求值． 【解析】解：（m +2+
52−m ）÷3−m 2m−4， ＝（
m+21−5m−2）⋅2(m−2)3−m ， =
m 2−4−5m−2⋅2(m−2)3−m ， =(m−3)(m+3)m−2⋅2(m−2)3−m
， ＝﹣2（m +3），
＝﹣2m ﹣6，
当m ＝﹣1时，原式＝﹣2×（﹣1）﹣6＝2﹣6＝﹣4．
13．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，则x+1x−1是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 ①③④ （填序号）；
①x+1x ；②2+x 2；③x+2x+1；④y 2+1
y 2
（2）将“和谐分式”
a 2−2a+3a−1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： a 2−2a+3a−1= a ﹣1+2a−1
（要写出变形过程）； （3）应用：先化简3x+6x+1−x−1x ÷x 2−1
x 2+2x ，并求x 取什么整数时，该式的值为整数．
【点拨】（1）由“和谐分式”的定义对①③④变形即可得；
（2）由原式=(a−1)2+2a−1=(a−1)2a−1+2a−1=a ﹣1+2a−1可得； （3）将原式变形为=2x+4x+1=2+2x+1
，据此得出x +1＝±1或x +1＝±2，即x ＝0或﹣2或1或﹣3，又x ≠0、1、﹣1、﹣2，据此可得答案．
【解析】解：（1）①
x+1x =1+1x ，是和谐分式； ②
2+x 2=1+x 2，不是和谐分式； ③
x+2x+1=x+1+1x+1=1+1x+1，是和谐分式； ④y 2+1y 2=1+1y 2
，是和谐分式； 故答案为：①③④．
（2）a 2−2a+3a−1=(a−1)2+2a−1
=(a−1)2a−1+2a−1=a ﹣1+2a−1， 故答案为：a ﹣1+
2a−1． （3）原式=3x+6x+1−x−1x •x(x+2)(x+1)(x−1)
=3x+6x+1−x+2x+1
=2x+4x+1
=2(x+1)+2x+1
＝2+
2x+1， ∴当x +1＝±1或x +1＝±2时，分式的值为整数，
此时x ＝0或﹣2或1或﹣3，
又∵分式有意义时x ≠0、1、﹣1、﹣2，
∴x ＝﹣3．
14．先化简，再求值：a−3a−2÷（52−a +a +2），其中a 满足等式|a +1|＝0．
【点拨】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由绝对值的性质得出a 的值，代入计算可得．
【解析】解：原式=a−3a−2÷（a 2−4a−2−5a−2
） =a−3a−2÷a 2−9a−2
=a−3a−2•
a−2(a+3)(a−3) =1a+3
， ∵|a +1|＝0，
∴a +1＝0，
则a ＝﹣1，
所以原式=1−1+3=12
． 15．计算：(a 2a−2+42−a )÷a+22a ．
【点拨】先计算括号内分式的加法、将除法转化为乘法，再约分即可得．
【解析】解：原式=
(a+2)(a−2)a−2•2a a+2 ＝2a ．。