四川省宜宾市高一数学3月月考试题

四川省宜宾市2016-2017学年高一数学3月月考试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设向量=,1x （）a , (4,)x =b ,且，a b 方向相反,则x 的值是 （A ）2
（B ）-2
（C ）2±
（D ）0
2.在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .
若2sin ,a B A =则角等于 （A ）
3
π
（B ）
4
π （C ）
6
π （D ）
12
π 3. 设D 为ABC 所在平面内一点CD BC 3=，则
（A ）AC AB AD 34
31+-= （B ）AC AB AD 34
31-=
（C ）3
1
34+=
（D ）3
1
34-=
4.如图，M 是以AB 为直径的圆上一点，且AM =3，则=⋅
（A ）23
3 （B ）3 （C ）
2
315 （D ）9
5.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若1c =，45B ∠=︒，3
cos 5
A =
，则b =
（A ）
53
（B ）
107
（C ）
57
（D
）
14
6.已知向量的夹角为与则若,5)(,5||),6,3(),2,1(=⋅+=--== （A ）30°
（B ）60°
（C ）120°
（D ）150°
7.已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角． 若()3,4-a =， ()0,2b =，则⨯a b 的值为 （A ）-8
（B ）-6
（C ）8
（D ）6
8.在ABC ∆中，222
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-⋅，则角A 的取值范围是
（A ）(0,
]3
π
（B ）[
,)3
π
π （C ）(0,
]6
π
（D ）[
,)6
π
π
9.△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，如果2b=a+c ，B=30°，△ABC 的面积为2
3
，那么b= （A ）
2
3
1+ （B ）31+
（C ）
2
3
2+ （D ）32+
10.已知O 是ABC ∆所在平面内的一点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫
⎪=++ ⎪⎝⎭
，R ∈λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的
（A ）垂心
（B ）重心
（C ）内心
（D ）外心
11.对于向量i PA (n i ,2,1=)，把能够使得||||||21n PA PA +++ 取到最小值的点P 称为
i A (n i ,2,1=)的“平衡点”. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，延长BC 至E ,使
得CE BC =，联结AE ，分别交BD 、CD 于F 、G 两点.下列结论中，正确的是
（A ）A 、C 的“平衡点”必为O
（B ）D 、C 、E 的“平衡点”为D 、E 的中点 （C ）A 、F 、G 、E 的“平衡点”存在且唯一 （D ）A 、B 、E 、D 的“平衡点”必为F
12.在△ABC 中，,E F 分别是AC ,AB 的中点，且32AB AC =，若BE
t CF
<恒成立，则t 的最小值为 （A ）
4
3 （B ）
78
（C ）1 （D ）
4
5 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13.在平面直角坐标系xOy 中,已知(1,)OA t =-,(2,2)OB =,若90o ABO ∠=,则实数t 的值为______.
14.已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=A+C=2B,则
∠C=________.
15.设21,e e 为单位向量，且21,e e 的夹角为
3
π
，若213e e +=，12e =，则向量a 在b 方向上的
投影为 ___________.
16.在ABC ∆中，D 为AC 中点，AE AB 4=，直线BD 交CE 于点M ，过M 的动直线l 分别交线段
CD 、BE 于P 、Q 两点，若y x ==,，则xy 的最大值为______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分10分）
已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、. （I ）若5=c ，求sin ∠A 的值； （II ）若∠A 是钝角，求c 的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边，且满足A c C a b cos cos )2(⋅=⋅-. （I ）求角C 的大小；
（II ）求B A sin sin +的最大值，并判断此时ABC ∆的形状.
19.（本小题满分12分）
如图，
甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，
此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？(结论保留根号形式)
1
A
2A
120
105
20.（本小题满分12分）
设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9
B =. （I ）求,a c 的值； （II ）求sin()A B -的值.
21.（本小题满分12分）
设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知C ＝3
π
，acosA=bcosB ． （I ）求角B 的大小；
（II ）如图，在△ABC 内取一点P ，使得PB ＝2.过点P 分别作直线BA 、BC 的垂线PM 、PN ，垂足分别是M 、N ．设∠PBA ＝α，求PM ＋PN 的最大值及此时α的取值．
M
N
22.（本小题满分12分） 在ABC ∆中，33 (cos , sin )22x x AB =-， (cos , sin )22x x AC =，其中⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈3,6ππx ． （I ）若6
π=
x ，求| |BC ；
（II ）记ABC ∆的边BC 上的高为h ，若函数2
()| |f x BC h λ=+⋅的最大值是5，求常数λ的值．
高2016级高一下期3月月考
数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）． 13. 5； 14.
2π； 15. 5
2
16. 1249.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．）
17. 解：（I ）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5， 则(2,4)AC =-，………2分 ∴cos cos ,A AC AB ∠=<>=
=，………4分
又π<<A 0. ∴sin ∠A .………5分 （II ）若∠A 为钝角，则0<⋅AC AB 且AB 与AC 不共线，即39160
c c -++<⎧
⎨≠⎩
，
解得253c >，∴c 的取值范围是25
(,)3
+∞. ………10分
18.解：（1）由正弦定理得，A C C A B cos sin cos )sin sin 2(⋅=⋅-， 即B C A A C C A C B sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=-=， 又0sin ≠B ，则2
1
cos =C ，………4分 ∵),0(π∈C ，∴3
π
=
C . ………6分
（2）由（1）可知，23
B A π
=
- 23sin sin sin sin()sin 322)
6
A B A A A A A ππ
∴+=+-=+=+ ………10分
203
sin sin 3
3
A A A
B A B
C ABC ππ
π
<<∴=
+===
∆当时，此时，，为正三角形。

………12分
19.
解：由已知22A B =
1220
60
A A ==1222A A A
B ∴=, 又12218012060A A B =-=∠，122A
A B ∴△是等边三角形.
1212A B A A ∴==.…………6分
由已知,1120A B =,1121056045B A B =-=∠.
在
121A B B △中,由余弦定理,
22212111212122cos 45B B A B A B A B A B
=+-⋅
⋅22202202
=+-⨯
⨯200= 12B B ∴= (10)
分
因此,
乙船的速度的大小为
6020
=海里
/小时) 答:乙船每小时航行海里. …………12分
20. 解:(Ⅰ)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得()2
22(1cos )b a c ac B =+-+, 又6a c +=,2b =,7
cos 9
B =
,所以9ac =,解得3a =,3c =. (6)
分 (Ⅱ)在△ABC 中
,sin B ==
, (7)
分 由正弦定理得 sin sin 3
a B A
b =
=
, …………9分 A
A
120 105
因为a c =,所以A 为锐角,
所以1
cos 3
A ==
…………10分 因此
sin()sin cos cos sin 27
A B A B A B -=-=
…………12分 21.解：（1）由acosA ＝bcosB 及正弦定理可得sinAcosA ＝sinBcosB ， 即sin2A ＝sin2B ，又A ∈（0，π），B ∈（0，π），
所以有A ＝B 或A ＋B ＝
2π
．…………4分 又因为C ＝3π，得A ＋B ＝23π，与A ＋B ＝2π
矛盾，
所以A ＝B ，因此B ＝3
π
．…………6分
（2）由题设，得在Rt △PMB 中，PM ＝PB ·sin ∠PBM ＝2sin α； 在Rt △PNB 中，PN ＝PB ·sin ∠PBN ＝PB ·sin （3
π
－∠PBA ） ＝2sin （
3π－α），α∈（0，3
π）．…………8分 所以，PM ＋PN ＝2sin α＋2sin （3π－α）＝sin α
α＝2sin （α＋3
π
）．…9分
因为α∈（0，
3π），所以α＋3π∈（3π，23π），从而有sin （α＋3
π
）∈（2，1]，
即2sin （α＋3π）∈
2]．于是，当α＋3π＝2π，即α＝6
π
时，PM ＋PN 取得最大值2. …………12分
22.解：（I ）33 (cos
cos , sin sin )2222
x x x x
BC AC AB =-=-+ 22233| |(cos cos )(sin sin )2222x x x x
BC =-++
23322(sin sin cos cos )22cos 24sin 2222
x x x x
x x =+-=-=…………3分
所以6
π=
x 时，| |BC =1.…………4分
（II ）因为| |||1AB AC ==，ABC ∆是等腰三角形，
所以cos h x ==…………6分
M
N
2
22
2
()| |4cos cos 44(cos )4816
f x BC h x x x λ
λλλ=+⋅=-++=--++…………8分
因为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈3,6ππx ，所以2
3cos 21≤≤x . ①当
218
<
λ
，即4<λ时，在21cos =x 时，()f x 取得最大值32+λ，依题意532
=+λ，解得4λ=，与4<λ矛盾，舍去.
②当23821≤≤λ，即344≤≤λ时，在8
cos λ
=x 时，()f x 取得最大值2416λ+，依题意
2
4516
λ+
=，解得4λ=.
③当
238
>
λ
，即34>λ时，在23cos =x 时，()f x 取得最大值
123+λ，依题意5123=+λ
，解得343
3
8<=
λ，舍去. 综上所述，4λ=．…………12分。