2014届高考数学一轮复习精品题集之立体几何

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2014届高考数学一轮复习第7章《立体几何》(第5课时)知识过关检测理新人教A版

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第7章《立体几何》（第5课时）（新人教A版）一、选择题1．(2013·北京海淀区期末)已知平面α、β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则( ) A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直解析：选D.对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错；易知D正确．2．(2012·高考浙江卷)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B.对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交，故选B.3．(2013·洛阳统考)已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β解析：选C.对于选项A，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n或m，n是异面直线，所以A 错误；对于选项B，n可能在平面α内，所以B错误；对于选项D，m与β的位置关系还可以是m⊂β，m∥β或m与β斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知C正确．4．(2012·高考浙江卷)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝ 2.将△ABD沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解析：选B.对于AB⊥CD，因为BC⊥CD，可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因为AB＝1，BC＝2，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某个位置，使得AB⊥CD.5．(2012·高考安徽卷)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，则根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又因为a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.二、填空题6.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AP.与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，AC AB7．已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b.其中正确命题的序号有________．解析：垂直于同一直线的两平面平行，①正确；α⊥β也有可能成立，②错；a、b也可以异面，③错；由面面平行性质知，a∥b，④正确．答案：①④8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)三、解答题9.(2011·高考课标全国卷)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高．解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD.所以BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，所以BD⊥PD.所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.(2)如图，作DE⊥PB，垂足为E.已知PD⊥底面ABCD，故PD⊥BC.由(1)知BD⊥AD，因为BC∥AD，所以BC⊥BD.所以BC⊥平面PBD，BC⊥DE.则DE⊥平面PBC，即DE为棱锥D－PBC的高．由PD＝AD＝1知BD＝3，PB＝2.由DE·PB＝PD·BD得DE＝32，所以棱锥D－PBC的高为32.10.(2012·高考安徽卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD 的中点，E是棱AA1上任意一点．(1)证明：BD⊥EC1；(2)如果AB＝2，AE＝2，OE⊥EC1，求AA1的长．解：(1)证明：如图，连接AC，A1C1，相交于点O.由底面是正方形知，BD⊥AC.因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD.又由AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面AA1C1C.再由EC1⊂平面AA1C1C知，BD⊥EC1.(2)设AA1的长为h，连接OC1.在Rt△OAE中，AE＝2，AO＝2，故OE2＝(2)2＋(2)2＝4.在Rt△EA1C1中，A1E＝h－2，A1C1＝22，故EC21＝(h－2)2＋(22)2.在Rt△OCC1中，OC＝2，CC1＝h，OC21＝h2＋(2)2.因为OE⊥EC1，所以OE2＋EC21＝OC21，即4＋(h－2)2＋(22)2＝h2＋(2)2，解得h＝32，所以AA1的长为3 2.一、选择题1．(2013·青岛质检)已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m⊂β，则α∥β是l ⊥m的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.充分性：若α∥β，∵l⊥α，∴l⊥β，又m⊂β，∴l⊥m，是充分条件；必要性：如图正方体ABCD－A1B1C1D1，取ABCD 为平面α，ADD1A1为平面β，直线l过点B，B1，直线m过点A，D，则符合条件，但不能推出α∥β，不是必要条件．2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段解析：选A.连接AC、CB1、AB1(图略)．易证BD1⊥平面AB1C.所以点P的轨迹是线段B1C.二、填空题3．(2013·桂林质检)已知l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题：①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.其中正确命题的序号为________．解析：由于垂直是直线与平面相交的特殊情况，故①正确；由于m、n不一定相交，故②不正确；根据平行线的传递性，故l∥n，又l⊥α，故n⊥α，从而③正确；由l∥m，m ⊥α，n⊥α知m∥n，故l∥n，故④正确．答案：①③④4.(2013·威海质检)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是________．解析：由于ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以A－A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；因为B1C⊥BC1，AB⊥B1C，且AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°.答案：①②③三、解答题5.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点，求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.证明：(1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，所以直线EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点，所以CF⊥BD.因为EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD⊥平面EFC.又因为BD⊂平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.。

《创新设计·高考一轮总复习》数学(理)第八篇立体几何第7讲

第7讲立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直
【2014年高考浙江会这样考】
1．通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算．
2．利用空间向量解决直线、平面的平行与垂直问题． 3．利用空间向量求空间距
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考点梳理 1．用向量证明空间中的平行和垂直关系 (1)直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意 → → 两点，则称AB为直线l的方向向量，与AB平行的任意
是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
[审题视点]
这是证明线面平行问题，可以利用三种方法证
→ 明：一是证明 MN 与平面A1BD的法向量垂直；二是在平面 → → A1BD内找一向量与 MN 共线；三是证明 MN 可以利用平面 A1BD中的两不共线向量线性表示．
量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结
果的几何意义来解释相关问题．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
两个结论 x1＋x2 y1＋y2 (1)P1(x1， y1， z1 ) ， P2(x2， y2 ， z2)， P1P2 的中点坐标为 2 ， 2 ， z1＋z2 2 . (2)已知△ABC 的三个顶点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3， x1＋x2＋x3 y1＋y2＋y3 y3，z3)，则△ABC 的重心 G 的坐标为（，， 3 3 z1＋z2＋z3 ）. 3

设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，则
x＋z＝0， → → n· DA1＝0且n· DB＝0，得 x＋y＝0.

2014年全国高考数学理科(立体几何部分)解析汇编

【全国卷·新课标I ·第19题】如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C ．（1）证明：AC=AB 1；（2）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC ，求二面角A-A 1B 1-C 1的余弦值．解：（1）∵面BB 1C 1C 为菱形∴BC 1⊥B 1C ，O 为B 1C 和BC 1的中点 ∵AB ⊥B 1C ∴B 1C ⊥面ABC 1令BC 1与B 1C 交于点O ，连接AO ∵AO ⊂面ABC 1 ∴B 1C ⊥AO ∵B 1O=CO∴AO 是B 1C 的中垂线 ∴AC=AB 1（2）因为AO 、BC 1、B 1C 两两互相垂直，以O 为坐标原点，分别以OB 、1OB 、OA 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系令|OB|=1，由AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC 易得：11B C BC =设向量n =(x ，y ，z )是平面AA 1B 1的一个法向量，则：1113n AB =0n A B=0y z x z ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅-=⎪⎩由此，可取n =(1，3同理可得，平面A 1B 1C 1的一个法向量为：m =(1∴n m 1cos n,m =7|n ||m |7⋅〈〉==⋅1【全国卷·新课标II ·第18题】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，E-ACD 的体积．解：（1）连接BD 交AC 于O ，连接OE∵底面ABCD 为矩形 ∴O 为BD 的中点 ∵E 为PD 的中点 ∴PB ∥OE∵OE ⊂面AEC ，PB ⊄面AEC ∴PB ∥平面AEC （2）∵PA ⊥平面ABCD∴PA ⊥AB ，PA ⊥AD又AB ⊥AD ，即PA 、AB 、AD 两两互相垂直，以z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系∵平面ADE与平面yOz 重合∴可取平面ADE 的一个法向量为n =(1，0，0) 设CD=a，由（a ∴AC =（a ，由∴AE =（0，设向量m =(x ，y ，z )是平面ACE的一个法向量，则m AC=031m AE=02ax y z ⎧⋅=⎪⎨⋅+=⎪⎩ 由此，可取m =(3，，3)∵二面角D-AE-C为60° ∴3n m 1cos n,m =cos602|n ||m |9o ⋅〈〉===⋅ 过点E 作EF ⊥AD 于F ∵PA ⊥平面ABCD ，即PA ⊥平面ACD ∴EF ⊥平面ACD∴EF 是三棱锥E-ACD 的高∴V E-ACD【全国卷·大纲版·第19题】如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC 1=2．（1）证明：AC 1⊥A 1B ；解：（1）∵点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上∴A 1D ⊥平面ABC ∵A 1D ⊂平面ACC 1A 1 ∴平面ACC 1A 1⊥平面ABC ∵∠ACB=90°，即BC ⊥AC ∴BC ⊥平面ACC 1A 1 ∵AC 1⊂平面ACC 1A 1 ∴AC 1⊥BC连接A 1C ，由AC=CC 1知，侧面ACC 1A 1为菱形 ∴AC 1⊥A 1C∵BC 、A 1C ⊂平面A 1BC ∴AC 1⊥平面A 1BC ∵A 1B ⊂平面A 1BC ∴AC 1⊥A 1B（2）过点D 作DF ⊥AB 于F ，连接A 1F∵A 1D ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ∴AB ⊥A 1D ∴AB ⊥平面A 1DF ∴A 1F ⊥AB∴∠A 1FD 是二面角A 1-AB-C 的平面角∵AC=CC 1=2，A 1D ⊥AC在Rt △A 1DA 中，A 1A= CC 1=2ABCD A 1C 1EF【北京市·第17题】如图，正方形AMDE 的边长为2，B 、C 分别为AM 、MD 的中点，在五棱锥P-ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD 、PC 分别交于点G 、H ．（1）求证：AB ∥FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA=AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长PABMCDEFGH解：（1）∵AB ∥DE ，DE ⊂平面PDE且AB ⊄平面PDE ∴AB ∥平面PDE∵平面AFGB ∩平面PDE=FG AB ⊂平面AFGB ，FG ⊂平面PDE ∴AB ∥FG（2）由题知，AP 、AM 、AE 两两互相垂直，以A 为坐标原点，分别以AM 、AE 、AP 为x 轴、y 轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由AM=AE=PA=2，易得：B （1，0，0），F （0，1，1），C （2，1，0），P （0，0，2）∴BC =（1，1，0），AB =（1，0，0），AF =（0，1，1），PC =（2，1，-2）设向量m =(x ，y ，z )是平面ABF 的一个法向量则m AB=0m AF=0x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅+=⎪⎩ 由此，可取m =(0，1，-1)设直线BC 与平面ABF 所成角为θ，则m BC 1sin cos m,BC =2|m ||BC |2θ⋅=〈〉==⋅∴直线BC 与平面ABF 所成角θ=6π设H （a ，b ，c ），点H 在棱PC 上，不妨PH =k PC ，其中0＜k ＜1∵PC =（2，1，-2），PH =（a ，b ，c -2） ∴（a ，b ，c -2）=k （2，1，-2） ∴a =2k ，b =k ，c =2-2k ∴AH =（2k ，k ，2-2k ）∵m =(0，1，-1)为平面ABF 的一个法向量且AH ⊂平面ABF∴m AH 0⋅= ∴k -2+2k =0，得k =23∴|PH|=2【天津市·第17题】如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD=DC=AP=2，AB=1，点E 为棱PC 的中点．（1）证明：BE ⊥DC ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F-AB-P 的余弦值．解：（1）由题意知，AP 、AB 、AD 两两互相垂直，以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系易得：B （1，0，0），D （0，2，0），C （2，2，0），P （0，0，2）∴DC =（2，0，0）∵E 是PC 的中点 ∴E （1，1，1） ∴BE =（0，1，1）∵DC ·BE =0 ∴BE ⊥CD （2）∵PB =（-1，0，2），DB =（-1，2，0）设向量m =(x ，y ，z )是平面PBD 的一个法向量则m PB=20m DB=20x z x y ⎧⋅-+=⎪⎨⋅-+=⎪⎩ 由此，可取m =(2，1，1)设直线BE 与平面PBD 所成角为θ，则m BE sin cos m,BE =|m ||BE|6θ⋅=〈〉=⋅∴直线BE 与平面PBD（3）点F 在PC 上，不妨设PF =k PC ，其中0≤k ≤1设F （a ，b ，c ），由PC =（2，2，-2）得：（a ，b ，c -2）=k （2，2，-2） ∴a =2k ，b =2k ，c =2-2k ∴F （2k ，2k ，2-2k ） ∴BF =（2k -1，2k ，2-2k ） ∵BF ⊥AC ，且AC =（2，2，0）∴BF ·AC =0 即2(2k -1)+4k =0，得14k =∴AF =（2k ，2k ，2-2k ）=（12，12，32）又AB =（1，0，0）设向量n =(x ，y ，z )是平面ABF 的一个法向量则n AB=0113n AF=0222x x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅++=⎪⎩ 由此，可取n =(0，3，-1)因为平面ABP 与平面xOz 重合，则可取平面ABP 的一个法向量为t =（0，1，0）n t cos n,t =|n||t |101⋅〈〉=⋅⋅∴二面角F-AB-P【重庆市·第19题】如图，四棱锥P-ABCD ，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB=2，∠BAD=3π，M 为BC 上的一点，且BM=12，MP ⊥AP ．（1）求PO 的长；（2）求二面角A-PM-C 的正弦值解：（1）连接BD 、AC∵底面ABCD 是菱形，中心为O 且PO ⊥底面ABCD ∴OP 、AC 、BD 两两互相垂直以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OP 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由AB=2，∠BAD=3π，易得A ，C （，B （0，1，0） ∴BC =（- ∵BM=12，BC=2 ∴BM - ∴M （设P（0，0，a ），则AP =（-，MP =∵AP ⊥MP∴=-3∴a =（2）由(1)知：AP =（-，MP =（3 设向量n =(x ，y ，z )是平面APM 的一个法向量则n AP=3033n MP=04z x y ⎧⋅-+=⎪⎪⎨⎪⋅-=⎪⎩由此，可取n =(1，52)同理可得，平面CPM 的一个法向量为： m=(1-2)∴n m cos n,m =|n ||m |40⋅〈〉==⋅∴二面角A-PM-C【江苏省·第16题】如图，在三棱锥P-ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，已知PA ⊥AC ，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC解：（1）∵D 、E 分别是PC 、AC 的中点∴PA ∥DE∵DE ⊂平面DEF ，PA ⊄平面DEF ∴直线PA ∥平面DEF（2）∵D 、E 分别是PC 、AC 的中点∴DE=12PA=3 ∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点 ∴EF=12BC=4 ∵DF=5 ∴DE 2+EF 2=DF 2∴∠DEF=90°，即DE ⊥EF ∵DE ∥PA ，PA ⊥AC ∴DE ⊥AC∵AC∩EF=E ∴DE ⊥平面ABC ∵DE ⊂平面BDE ∴平面BDE ⊥平面ABCPACDEF【浙江省·第20题】如图，在四棱锥A-BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，（1）证明：DE ⊥平面ACD；（2）求二面角B-AD-E 的大小解：（1）在直角梯形BCDE 中，易求得∵在△ABC 中，∴AB 2+BC 2=AB 2∴∠ACB=90°，即AC ⊥BC∵平面ABC ⊥平面BCDE 且AC ⊂平面ACD ∴AC ⊥平面BCDE ∵DE ⊂平面BCDE∴AC ⊥DE∵∠CDE=90° ∴DE ⊥CD ∵CD ⊂平面ACD ∴DE ⊥平面ACD（2）由题，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系易得E （1，0，0），B （1，1，0），A （0，2∴DE = （1，0，0），DA =（0，2DB = （1，1，0）设向量n =(x ，y ，z )是平面ADE 的一个法向量则n DE=0n DA=20x y ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 由此，可取n =(0，-1同理可得，平面ADB 的一个法向量为：m =(1，-1∴n m cos n,m=|n ||m |3⋅〈〉==⋅⋅∴二面角B-AD-E【山东省·第17题】如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M 是线段AB 的中点．（1）求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；1解：（1）连接AD 1.∵M 是线段AB 的中点，AB=2 ∴AM=1∵C 1D 1=CD=1 ∴C 1D 1=AM ∵AM ∥CD ，CD ∥C 1D 1∴C 1D 1∥AM∴四边形AM C 1D 1是平行四边形 ∴C 1M ∥AD 1∵C 1M ⊄平面A 1ADD 1，AD 1⊂平面A 1ADD 1 ∴C 1M ∥平面A 1ADD 1（2）过点C 作CE ⊥AB 于E ，则CE ⊥CD∵CD 1⊥平面ABCD∴CD 1⊥CD ，CD 1⊥CE以C 为坐标原点，分别以CD 、CE 、1CD 为x轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由由∠DAB=60°，AB=2CD=2，在等腰梯形ABCD22∴MD =（11=（1，设向量n =(x ，y ，z )是平面C 1D 1M 的一个法向量则111n C D =01n MD =02x x y ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 的一个法向量为m =∴n m cos n,m =|n ||m |5⋅〈〉==⋅⋅∴平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角的余弦值为【江西省·第20题】如图，四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）求证：AB ⊥PD ；（2）若∠BPC=90°，PC=2，问AB 为何值时，四棱锥P-ABCD 的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值．解：（1）∵底面ABCD 是矩形 ∴AB ⊥AD∵平面PAD ⊥平面ABCD 平面PAD ∩平面ABCD=AD ∴AB⊥平面PAD∵PD ⊂平面PAD ∴AB ⊥PD（2）∵∠BPC=90°，PC=2∴过点P 作PO ⊥AD 于O∵平面PAD ⊥平面ABCD ∴PO ⊥平面ABCD ∴V P-ABCD 过点O 作OE ⊥AD 交BC 于E ，连接PE设AB=x ，则OE=x 由前述，可建立如图所示的空间直角坐标系3∴PB =（6，BC =（-PD =（-2，DC = （0，设向量n =(x ，y ，z )是平面PBC 的一个法向量则n BC=606n PB=0x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩由此，可取n =(0，1，1)同理可得，平面PDC 的一个法向量为：∴n m cos n,m =|n ||m |2⋅〈〉=⋅∴平面BPC 与平面DPC【广东省·第18题】如图，四边形ABCD 为正方形．PD ⊥平面ABCD ，∠DPC=30°，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E ．（1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D-AF-E 的余弦值．解：（1）∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD∴AD ⊥PD∵四边形ABCD 为正方形 ∴AD ⊥CD ∵PD 、CD ⊂平面PCD ∴AD ⊥平面PCD∵CF ⊂平面PCD ∴CF ⊥AD ∵AF ⊥PC ，即CF ⊥AF 且AD 、AF ⊂平面ADF ∴CF ⊥平面ADF（2）因为PD 、CD 、AD 两两互相垂直，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设正方形ABCD 的边长为1，则AD=CD=1 ∴A （0，0，1），则DA =（0，0，1）由(1)知，DF ⊥PC ，在Rt △PDC 中，由∠DPC=30°，444∴EF =（0，，AE =（3DF =（34）设向量n =(x ，y ，z )是平面AEF 的一个法向量则3n EF=043n AE=0y x z ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅-=⎪⎩ 由此，可取n =(4，0同理可得，平面ADF 的一个法向量为：m =(31，0)∴n m cos n,m =|n ||m |19⋅〈〉==⋅∴二面角D-AF-E【湖南省·第19题】如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC∩BD=O ，A 1C 1∩B 1D 1=O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．（1）证明：O 1O ⊥底面ABCD ；（2）若∠CBA=60°，求二面角C 1-OB 1-D 的余弦值解：（1）∵四边形ACC 1A 1为矩形∴A 1A ⊥AC由题知，四边形ABCD 和A 1B 1C 1D 1是菱形 ∴点O 是AC 、BD 的中点点O 1是A 1C 1、B 1D 1的中点 ∴OO 1∥A 1A ∴OO 1⊥AC 同理可证：OO 1⊥BD ∵AC 、BC ⊂底面ABCD ∴O 1O ⊥底面ABCD （2）∵底面ABCD 是菱形∴AC ⊥BD由（1）知，AC 、BD 、O 1O 两两互相垂直以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。

《创新设计·高考一轮总复习》数学立体几何第1讲

B．棱锥 D．都不对
从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但大小不一
样，可以判断是棱台．答案 A
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是 ( )．
A．圆柱
C．球体解析
B．圆锥
D．圆柱、圆锥、球体的组合体
当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩
正前方、正左方、正上方观察几何体得到的正投影图． ③观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
3．直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′
体是直四棱柱．
答案是
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向一空间几何体的结构特征【例1】►给出下列四个命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练1】给出下列四个命题： ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； ④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中不正确的命题的个数是________个．
形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．答案 C

2014届《创新设计·高考一轮总复习》数学第八篇立体几何第6讲

抓住4个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
证明 (1)连接BG，则 → → → → 1 → → EG＝EB＋BG＝EB＋ (BC＋BD) 2 → → → → → ＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，由共面向量定理的推论知：E、F、G、 H四点共面．
抓住4个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
→ → → 1→ 1→ 1 → → 1 → (2)因为EH＝AH－AE＝ AD－ AB＝ (AD－AB)＝ BD，所以 2 2 2 2 EH∥BD. 又 EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH，所以 BD∥平面 EFGH. (3)找一点 O，并连接 OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG. → 1→ → 1→ 由(2)知EH＝ BD，同理FG＝ BD， 2 2 → → 所以EH＝FG，即 EH 綉 FG，
抓住4个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考
所以四边形EFGH是平行四边形．所以EG，FH交于一点M且被M平分． 1→ 1 → → 1 → → 故OM＝ (OE＋OG)＝ OE＋ OG 2 2 2
1 → → 1 → 11 → ＝ OA＋OB＋ OC＋OD 22 22
(
)．
C．充要条件
解析
D．既不充分也不必要条件
则a∥b，a≠λb.
b＝0， a＝λb⇒a∥b，但 a≠0，
答案 A
抓住4个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
→ → → 5．在四面体OABC中， OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c，D为BC → 的中点，E为AD的中点，则 OE ＝________(用a，b，c表示)．
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2014届《创新设计·高考一轮总复习》数学(理)第八篇立体几何第4讲

b⊂β，故C错误．
答案 D
抓住2个考点
突破3个考向
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5 ．在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E 是 DD1 的中点，则 BD1 与平面 ACE 的位置关系
为________．
解析如图．连接 AC 、 BD 交于 O 点，连接 OE ，因为 OE∥BD1 ，而 OE⊂ 平面 ACE ， BD1⊄ 平面 ACE ，所以 BD1∥ 平面 ACE.
又MN⊂平面MGN， ∴MN∥平面ADE. ∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
[方法锦囊] 解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立
的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存
在；如果找不到符合题目结果要求的条件 (出现矛盾) ，则不存在．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
[审题视点] (1)由BC⊥面ABE可得AE⊥BC，由BF⊥面ACE可得AE⊥BF.
(2)过M作MG∥AE交BE于G，过G作GN∥BC交EC于N，连接
MN，可得面MNG∥面ADE.
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
(1)证明 ∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，
证明如下：如图，取 PD 的中点 E，连接 NE，EC，AE，因为 N，E 分别为 PA，PD 的中点， 1 所以 NE 綉2AD.
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
1 又在平行四边形ABCD中，CM綉 2 AD.所以NE綉MC，即四
边形MCEN是平行四边形．所以NM綉EC.
又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.

专题10 立体几何-2014年高考数学(理)试题小题部分分项版解析(解析版)

1.【2014高考安徽卷理第7题】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A.21+3B.18+3C.21D.18考点：多面体的三视图与表面积.2. 【2014高考北京版理第7题】在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.3. 【2014高考福建卷第2题】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱4. 【2014高考广东卷理第7题】若空间中四条直线两两不同的直线1l 、2l 、3l 、4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是（）A.14l l ⊥B.14//l lC.1l 、4l 既不平行也不垂直D.1l 、4l 的位置关系不确定5. 【2014高考湖南卷第7题】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.46.【2014高考安徽卷理第8题】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（）A.24对B.30对C.48对D.60对考点：1.直线的位置关系；2.异面直线所成的角.O-中，一个四面体的7.【2014高考湖北卷理第5题】在如图所示的空间直角坐标系xyz顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【答案】D【解析】试题分析：设)2,2,2(),1,2,1(),0,2,2(),2,0,0(D C B A ，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.考点：空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，正视图与俯视图面积，容易题.8. 【2014高考湖北卷理第8题】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（） A.227 B.258 C.15750 D.3551139. 【2014高考江苏卷第8题】设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为12,S S ，体积为12,V V ，若它们的侧面积相等且1294S S ，则12V V 的值是 .【考点】圆柱的侧面积与体积．10. 【2014江西高考理第5题】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）【答案】B【解析】试题分析：俯视图为几何体在底面上的投影，应为B 中图形.考点：三视图11. 【2014江西高考理第10题】如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）【答案】C【解析】试题分析：12. 【2014辽宁高考理第4题】已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥13. 【2014辽宁高考理第7题】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．82π-B ．8π-C ．82π-D ．84π-14. 【2014全国1高考理第12题】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）（A ）62 （B ）6 （C ）62 （D ）4【考点定位】三视图．15.【2014全国2高考理第6题】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A. 1727 B.59 C.1027D.1316. 【2014全国2高考理第11题】直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（） A. 110 B. 25C.3010D.22 17.【2014山东高考理第13题】三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =________.18. 【2014四川高考理第8题】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（） A ．3[,1]3 B ．6[,1]3 C ．622[,]33 D ．22[,1]319. 【2014浙江高考理第3题】某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm答案：Ｄ解析：有三视图可知，此几何体如下图，故几何体的表面积为1S=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=，故选D．246234363334352341382考点：三视图,几何体的表面积.20.【2014重庆高考理第7题】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.72【答案】B【解析】试题分析：21. 【2014陕西高考理第5题】已知底面边长为1，侧棱长为2则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π22. 【2014天津高考理第10题】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3m ．23. 【2014大纲高考理第8题】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（） A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π【答案】A ．24.【2014大纲高考理第11题】已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A．14B．24C．34D．12【答案】B.。

2014北京高考数学：17题立体几何专题

17.（朝阳区2011本小题共13分）在长方形,42,AA 111==AA AB B B 中1,C C 分别是11,B A AB 的中点（如图1），将此长方形沿1CC 对折，使二面角B CC A --11为直二面角，D ，E 分别是111,CC B A 的中点（如图2）．(I)求证：//1D C 平面;1BE A(Ⅱ)求证：平面⊥BE A 1平面;11B B AA (Ⅲ)求直线1BC 与平面BE A 1所成角的正弦值．16.（朝阳区2011本小题共13分）如图，在四棱雉P- ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且=∠=∠PAD ABC BC AD ,//,90 侧面PAD ⊥底面ABCD.若BC AB PA ==.21AD =(I)求证：CD ⊥平面PAC ．(Ⅱ)侧棱PA ⊥是否存在点E ，使得BE∥平面PCD? 若存在，指出点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由．(Ⅲ)求二面角A-PD-C 的余弦值．16．（朝阳区2012本小题共14分）在长方体1111D C B A ABCD -中，1AA ,2==AD 点E 在棱CD上，且.31CD CE =(I)求证：.111D B A AD 平面⊥(Ⅱ)在棱1AA 上是否存在点P ，使DP∥平面?1AE B 若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．(Ⅲ)若二面角11A E B A --的余弦值为,630求棱AB 的长17.（朝阳区2012本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，AE ⊥平面,4,//,=AB AB EF ABCD .1,2==EF AE(I)若点M 在线段AC 上，且满足,41CA CM =求证：EM ／／平面FBC; (Ⅱ)求证：AF ⊥平面EBC;(Ⅲ)求二面角A-FB-D 的余弦值．17．（朝阳区2012本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，⊥=∠EB ABD ,90 平面ABCD ，,3,2,//==EB AB AB EF ,13,1==BC EF 且M 是BD 的中点．(I)求证；E M∥平面ADF.(Ⅱ)求二面角D-AF-B 的大小．(Ⅲ)在线段EB 上是否存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为?30若存在，求出BP 的长度；若不存在，请说明理由． 16.（朝阳区2013本小题共14分）如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，H G F EA PD AD PD EA ,,,22,//===分别为PB ，EB ，PC 的中点．（I ）求证：FG∥平面PED.(Ⅱ)求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小．(Ⅲ)在线段PC 上是否存在一点M ，使直线FM 与直线PA 所成的角为?60若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由．17．（朝阳区2013本小题共14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且.2,==⊥AD PA AC PA 四边形ABCD 满足,//AD BC ,AD AB ⊥.1==BC AB 点E ，F 分别为侧棱PB ，PC 上的点，且.λ==PCPFPB PE (I)求证：EF//平面PAD.(Ⅱ)当21=λ时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值． (Ⅲ)是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD?若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．16．（东城区2011本小题共13分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面是菱形，,2,60====∠PD PB AD BCDAC P,3C = 与BD 交于点0．E ，H 分别为PA ，OC 的中点． (I)求证：PC∥平面BDE; (Ⅱ)求证：PH ⊥平面ABCD ；(Ⅲ)求直线CE 与平面PAB 所成角的正弦值．16.（东城区2011本小题共14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，E D AC AB 、,5==分别为1,BB BC 的中点，四边形11BCC B 是边长为6的正方形．(I)求证：//1B A 平面;1D AC (Ⅱ)求证：;1D AC CE 平面⊥ (Ⅲ)求二面角D AC C --1的余弦值．17.（东城区2012本小题共14分）如图，在菱形ABCD 中，,60 =∠DAB E 是AB 的中点，MA ⊥平面ABCD ，且在矩形ADNM 中，⋅==773,2AM AD（I ）求证：AC ⊥BN ；(Ⅱ)求证：AN∥平面MEC;(Ⅲ)求二面角M-EC-D 的大小．17.（东城区2012本小题共13分）如图，矩形AMND 所在的平面与直角梯形MBCN 所在的平面互相垂直，⊥MN NC MB ,//.3,4,2,,===⊥DN MB BC CB MC MB 且(I)求证：AB//平面DNC;(Ⅱ)求二面角D-BC-N 的余弦值．17.（东城区201本小题共13分）如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足FC AE =.1==CP 将△AEF 沿EF 折起到△AEF 的位置，使二面角B EF A --1成直二面角，连接 P A B A 11,（如图2）． (I)求证：⊥E A 1平面,BEP ；(Ⅱ)求直线F A 1与平面BP A 1所成角的大小．17.（东城区2013本小题共14分）如图，△BCD 是等边三角形，=AB ,90, =∠BAD AD 将△BCD沿BD 折叠到D BC /∆的位置，使得./B C AD ⊥ (I)求证：;/AC AD ⊥(Ⅱ)若M ，N 分别是B C BD /,的中点，求二面角N-AM -B 的余弦值．17.（东城区普通高中示范校2012本小题共13分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD是直角梯形，⊥=∠AD BC AD DAB ,//,90侧面PAB ，△PAB 是等边三角形，,21,2AD BC AB DA ===E 是线段AB 的中点． (I) 求证：PE ⊥CD ；(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD 的体积；(Ⅲ)试问：线段PB 上是否存在点F ，使二面角C-DE-F 的余弦值为?41若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由．17．（东城区普通高中示范校2013本小题共13分）在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面===PD BC AB ABCD ,2,1,F 3、，G 分别为AP 、CD 的中点．(I)求证：.PC AD ⊥ (Ⅱ)求证：FG∥平面BCP.(Ⅲ)线段AD 上是否存在一点R ，使得平面BPR ⊥平面PCB?若存在，求出AR 的长；若不存在，请说明理由.17.（东城区普通高中示范校2013本小题共14分）如图，在三棱锥S-ABC 中，侧面SAC 与底面ABC 垂直，E ，0分别是SC ，AC 的中点，SC SA =.90,21,2 =∠=∠==ACB ASC AC BC (I)求证：OE∥平面SAB.(Ⅱ)若点F 在线段BC 上，问：无论F 在BC 的何处，是否都有OE ⊥SF?请证明你的结论． (Ⅲ)求二面角B-AS-C 的平面角的余弦值．17.（丰台区2011本小题共13分）已知平行四边形ABCD 中，,6=AB E BD AD ,8,10==是线段AD 的中点，沿BD 将△BCD 翻折到BCD ∆的位置，使得平面⊥BCD 平面ABD ． (I)求证：⊥CD 平面ABD ；(Ⅱ)求直线BD 与平面BEC 所成角的正弦值； (Ⅲ)求二面角C BE D --的余弦值．16．（丰台区2011本小题共 14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，,90,// =∠ADC BC AD 平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA .3,121,2=====CD AD BC PD (I)若点M 是棱PC 的中点，求证：PA∥平面BMQ ； (Ⅱ)求证：平面PQB ⊥平面PAD ；(Ⅲ)若二面角,30 为C BQ M --设,tMC PM =试确定t 的值．17．（丰台区2012本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面,//,C AB EF D AB,2,90==∠AD BAF ,12===EF AF AB 点P 在棱DF 上．(I)若P 是DF 的中点，(i)求证：BF∥平面ACP ；(ii)求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值．(Ⅱ)若二面角D-AP-C 的余弦值为,36求PF 的长度．16．（丰台区2012本小题共14分）四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，=∠BCDE PD PA ,2,60== 是BC 的中点，点Q 在侧棱PC 上．(I)求证：AD ⊥PB ；(Ⅱ)若Q 是PC 的中点，求二面角E-DQ-C 的余弦值； (Ⅲ)若.λ=PCPQ当PA∥平面DEQ 时，求λ的值， 17．（丰台区2013本小题共13分）如图(1)，等腰直角三角形ABC 的底边AB=4，点D 在线段AC 上，DE ⊥AB 于点E ，现将 △ADE 沿DE 折起到△PDE 的位置如图(2)．（I ）求证：PB ⊥DE;(Ⅱ)若PEIBE ，直线PD 与平面PBC 所成的角为,30 求PE 的长．16.（丰台区2013本小题共14分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD1平面,//,MD NB ABCD 且.2,1==MD NB（I ）求证：AM//平面BCN ；(Ⅱ)求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；(Ⅲ)若E 为直线MN 上的一点，且平面ADE ⊥平面MNMEMNC 求,的值．17．（海淀区2011本小题共14分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面是直角梯形，AB∥CD，AB ⊥AD ，△PAB和△PAD 是两个边长为2的正三角形，DC=4，0为BD 的中点，E 为PA 的中点． (I)求证：P0⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求证：OE∥平面PDC;(Ⅲ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．16.（海淀区2011期中本小题共14分）在如图所示多面体中，EF ⊥平面,//,,EF AD EB AE AEB ⊥EF AD BC BC EF ,42,//==G BE AE ,2,3===是BC 的中点．(I) 求证：AB∥平面DEG;(Ⅱ)求证：BD ⊥EG;(Ⅲ)求二面角C-DF-E 的余弦值．17.（海淀区2012本小题共14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，E AA AC AB BAC ,2,901====∠ 是BC 中点．(I)求证：//1B A 平面;1AEC(Ⅱ)若棱1AA 上存在一点M ，满足,11E C M B ⊥求AM 的长； (Ⅲ)求平面1AEC 与平面11A ABB 所成锐二面角的余弦值16.（海淀区2012本小题共14分）如图所示，PA ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙0上，,2,30.===∠AB PA CBA点E 为线段PB 的中点，点M 在AB 上，且.//AC OM(I) 求证：平面MOE//平面PAC; (Ⅱ)求证：平面PAC ⊥平面PCB ；(Ⅲ)设二面角M-BP-C 的大小为θ，求θcos 的值，16．（海淀区2012本小题共14分）在四棱锥P-ABCD 中，AB CD AB ,//,22,4,==⊥AD AB AD ⊥=PA CD ,2平面ABCD ，.4=PA(I)设平面 PAB平面,m PCD =求证：;//m CD(Ⅱ)求证：BD ⊥平面PAC ；(Ⅲ)设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC 所成角的正弦值为,33求PBPQ 的值，17．（海淀区2013本小题共14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，ABC ∠,90 =∠=DAB ,30 =∠CAB .4,2=⋅=AD BC把△DAC 沿对角线AC 折起到△PAC 的位置，如图2所示，使得点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ，点E ，F 分别为线段PA ，AB 的中点． (I)求证：平面EFH∥平面PBC.(Ⅱ)求直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值．(Ⅲ)在棱PA 上是否存在一点M ，使得M 到点P ，H ，A,F 的距离相等？请说明理由．17.（石景山区2011本小题共14分）在棱长为2的正方体-D .ABC 1111D C B A 中，E ，F 分别为111CC D A 和的中点．(I)求证：EF∥平面⋅1ACD(Ⅱ)求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值．(Ⅲ)在棱1BB 上是否存在一点P ，使得二面角--AC P B 的大小为?30若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．17．（石景山区2012本小题共14分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，⋅⊥1AA 平面,2,,==⊥AC BC AC BC ABCD 3,AA 1=为AC 的中点．(I)求证：//1AB 平面⋅1BDC (Ⅱ)求二面角C BD c --1的余弦值．(Ⅲ)在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得CP ⊥平面?1BDC请证明你的结论．17.（石景山区2013本小题共14分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥⊥=∠-PD ABC BC AD ABCD P ,90,//, 中平面.4,3,1,===BC AB AD ABCD（I ）求证：BD ⊥PC;(Ⅱ)求直线AB 与平面PDC 所成角的大小；(Ⅲ)设点E 在棱PC 上，,λ=若DE//平面PAB,求λ的值．16.（西城区2011本小题共13分）如图，已知菱形ABCD 的边长为6，.,60O BD AC BAD ==∠ 将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使,23=BD 得到三棱锥B-ACD.(I)若点M 是棱BC 的中点，求证：OM∥平面ABD ；(Ⅱ)求二面角A-BD-O 的余弦值；(Ⅲ)设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N 点的位置，使得,24=CN 并证明你的结论，17．（西城区2011本小题共13分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面BE AF DE DE AF ABCD ,3,//,=与平面ABCD 所成角为.60(I)求证：AC ⊥平面BDE;(Ⅱ)求二面角F-BE-D 的余弦值；(Ⅲ)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM//平面BEF ，并证明你的结论．16.（西城区2012本小题共14分）如图，四棱锥P- ABCD 中，底面ABCD 为正方形，⊥=PA PD PA ,平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（I ）求证：PB//平面EAC;(Ⅱ)求证：平面PAD ⊥平面ABCD;(Ⅲ)求二面角E-AC-B 的余弦值．16.（西城区2012本小题共14分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．⊥AB CD AB ,//.,22BC,EB EA BC CD AB ⊥==(I)求证：.DE AB ⊥(Ⅱ)求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值．(Ⅲ)线段EA 上是否存在点F ，使EC∥平面FBD?若存在，求出;EAEF 若不存在，说明理由．17.（西城区2012本小题共14分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，.,60FC FA DBF DAB ==∠=∠且(I)求证：AC ⊥平面BDEF;(Ⅱ)求证：FC//平面EAD;(Ⅲ)求二面角A-FC-B 的余弦值．17.（西城区2013本小题共14分）如图(1)，四棱锥P 一ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图(2)所示．(I)证明：BC ⊥平面PBD.(Ⅱ)证明：AM∥平面PBC.(Ⅲ)线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43?若存在，找到所有符合要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，说明理由，16.（2009年北京本小题共14分）如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面,90,60,, =∠=∠=BCA ABC AB PA ABC点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE//BC.(I)求证：BC ⊥平面PAC;(Ⅱ)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的大小；(Ⅲ)是否存在点E 使得二面角A -DE -P 为直二面角？并说明理由．16．（2010年北京本小题共14分）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直．A EF AC CE //,⊥CE AB ,2=.1==EF(I) 求证：AF∥平面BDE;(Ⅱ)求证：CF ⊥平面BDE;(Ⅲ)求二面角A-BE-D 的大小．16．（（2011年北京本小题共14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，.60,2 =∠=BAD AB(I)求证：BD ⊥平面PAC;(Ⅱ)若PA=AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值；(Ⅲ)当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长．16.（2012年北京本小题共14分）如图①，在Rt△ABC 中，BC C ,90 =∠E D AC ,,6,3==分别是AC ，AB 上的点，且,//BC DE ,2=DE 将△ADE 沿DE 折起到DE A 1∆的位置，使,1CD C A ⊥如图②． (I)求证：⊥C A 1平面BCDE;(Ⅱ)若M 是D A 1的中点，求CM 与平面BE A 1所成角的大小；(Ⅲ)线段BC 上是否存在点P ，使平面DP A 1与平面BE A 1垂直？说明理由．17.（2013年北京本小题满分14分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，四边形C C AA 11是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面.5,3,11==BC AB C C AA(I)求证：;1ABC AA 平面⊥(Ⅱ)求二面角111B BC A --的余弦值；(Ⅲ)证明：在线段1BC 上存在点D ，使得,1B A AD ⊥并求1BC BD 的值．。

江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编13：立体几何

(2)设平面CD1O的向量为m=(x1,y1, z1),由m· =0,m · =0
得取x1=1,得y1=z1=1,即m=(1,1,1)
由D1E=λEO,则E , = .
又设平面CDE的法向量为n=(x2,y2,z2),由n· =0,n· =0.
得取x2=2,得z2=-λ,即n=(-2,0,λ) .
江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编13：立体几何
一、填空题
．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）给出下列命题:
(1)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
(2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
(3)若两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直;
①.若，，则；②.若，，则；
③.若，，则；④.若，，则．
【答案】①
．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形,则此圆柱的体积为____
【答案】
．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）底面边长为2m,高为1m的正三棱锥的全面积为________m2.
(Ⅱ)求二面角E-DF-C的余弦值;
(Ⅲ)在线段BC上是否存在一点P,使 ?证明你的结论.
【答案】解法一:
(Ⅰ)如图(2):在中,由EF分别是AC、BC的中点,得EF//AB,又平面DEF, 平面DEF.
∴ 平面DEF.
(Ⅱ) ,∴ 是二面角A-CD-B的平面角.
∴ ,∴ 平面BCD.取CD的中点M,则EM//AD,∴EM⊥平面BCD.过M作MN⊥DF于点N,连结EN,则EN⊥DF, 是二面角E-DF-C的平面角.

[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第八篇第7讲立体几何中的向量方法(一)

第7讲立体几何中的向量方法（一）A 级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2,4，－4)，b ＝(－6,9,6)，则 ( )． A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．以上均不正确答案 B2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是 ( )． A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析若l ∥α，则a·n ＝0.而A 中a·n ＝－2，B 中a·n ＝1＋5＝6，C 中a·n ＝－1，只有D 选项中a·n ＝－3＋3＝0. 答案 D3．平面α经过三点A (－1,0,1)，B (1,1,2)，C (2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，－1 B ．(6，－2，－2) C ．(4,2,2)D ．(－1,1,4)解析设平面α的法向量为n ，则n ⊥AB →，n ⊥AC →，n ⊥BC →，所有与AB →(或AC →、BC →)平行的向量或可用AB →与AC →线性表示的向量都与n 垂直，故选D. 答案 D4．(2012·全国)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 ( )．A ．2B. 3C. 2D ．1解析连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，过点O 作OH ⊥AC 1于点H ，因为AB ＝2，所以AC ＝22，又CC 1＝22，所以OH ＝2sin 45°＝1. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________. 解析由已知得89＝a·b |a ||b |＝2－λ＋45＋λ2·9，∴85＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝255. 答案－2或2556．在四面体P ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设P A ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为________．解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P －xyz ，则P (0,0,0)，A (a ，0,0)，B (0，a,0)，C (0,0，a )．过点P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于点H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离． ∵P A ＝PB ＝PC ， ∴H 为△ABC 的外心．又∵△ABC 为正三角形，∴H 为△ABC 的重心，可得H 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 3，a 3.∴PH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＝33a .∴点P 到平面ABC 的距离为33a . 答案 33a三、解答题(共25分)7．(12分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为BB 1、C 1D 1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN 的一个法向量．解以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)， M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，1.设平面AMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM →＝y ＋12z ＝0，n ·AN →＝－x ＋12y ＋z ＝0，令y ＝2，∴x ＝－3，z ＝－4.∴n ＝(－3,2，－4)．8．(13分)如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ； (2)AM ⊥平面BDF .证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连接NE .则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)，A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.∴NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM . 又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .(2)由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，∵D (2，0,0)，F (2，2，1)， ∴DF →＝(0，2，1) ∴AM →·DF →＝0，∴AM ⊥DF . 同理AM ⊥BF .又DF ∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF .B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )．A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4D ．4，407，－15解析 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC →＝(3,1,4)，则⎩⎨⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.答案 B2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )．A.216aB.66aC.156aD.153a解析以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )，∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， ∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z ) ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3. 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3，∴|MN →|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．解析以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1，0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案 14．(2013·淮南模拟)在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ的有____________个．解析建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P (x ，y,2)，O (1,1,0)，∴OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，y ＋12，1，又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)，而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3，∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1.∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点． (1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论． (1)证明如图，以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x轴，y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0、P (0,0，a )、F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)．∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)解设G (x,0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2，若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2；由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.∴G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，即G 点为AD 的中点．6．(13分)(2012·湖南)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点． (1)证明：CD ⊥平面P AE ；(2)若直线PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．解如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设P A ＝h ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4，3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)， P (0,0，h )．(1)易知CD →＝(－4,2,0)，AE →＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，h )．因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP .而AP ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .(2)由题设和(1)知，CD →·P A →分别是平面P AE ，平面ABCD 的法向量．而PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos 〈CD →，PB →〉|＝|cos 〈P A →，PB →〉|，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·PB →|CD →|·|PB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪P A →·PB →|P A →|·|PB →|. 由(1)知，CD →＝(－4,2,0)，P A →＝(0,0，－h )，又PB →＝(4,0，－h )，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＋0＋025×16＋h 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0＋0＋h 2h ×16＋h 2. 解得h ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝13×S×P A＝13×16×855＝128515.。

2014年高考数学(理)立体几何大题汇编答案

2014年高考数学(理)立体几何大题汇编：1.[2014·福建] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．1．解：(1)证明：∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，AB ⊥BD ，∴AB ⊥平面BCD .又CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .(2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD .由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD .以B 为坐标原点，分别以BE →，BD →，BA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．依题意，得B (0，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，A (0，0，1)，M ⎝⎛⎭⎫0，12，12. 则BC →＝(1，1，0)，BM →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，AD →＝(0，1，－1)．设平面MBC 的法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝0，12y 0＋12z 0＝0，取z 0＝1，得平面MBC 的一个法向量n ＝(1，－1，1)．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，则sin θ＝||cos 〈n ，AD →〉＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝63.即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63.2．[2014·安徽] 如图1-5，四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，且AD ＝2BC .过A 1，C ，D 三点的平面记为α，BB 1与α的交点为Q .(1)证明：Q 为BB 1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA 1＝4，CD ＝2，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小．2．解： (1)证明：因为BQ ∥AA 1，BC ∥AD ，BC ∩BQ ＝B ，AD ∩AA 1＝A ，所以平面QBC ∥平面A 1AD ，从而平面A 1CD 与这两个平面的交线相互平行，即QC ∥A 1D .故△QBC 与△A 1AD 的对应边相互平行，于是△QBC ∽△A 1AD ，所以BQ BB 1＝BQ AA 1＝BC AD ＝12，即Q 为BB 1的中点． (2)如图1所示，连接QA ，QD .设AA 1＝h ，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V 上和V 下，BC ＝a ，则AD ＝2a .V 三棱锥Q -A 1AD ＝13×12·2a ·h ·d ＝13ahd ，V 四棱锥Q -ABCD ＝13·a ＋2a 2·d ·⎝⎛⎭⎫12h ＝14ahd ，所以V 下＝V 三棱锥Q -A 1AD ＋V 四棱锥Q -ABCD ＝712ahd .又V 四棱柱A 1B 1C 1D 1 ABCD ＝32ahd ，所以V 上＝V 四棱柱A 1B 1C 1D 1 ABCD －V 下＝32ahd －712ahd ＝1112ahd ，故V 上V 下＝117. (3)方法一：如图1所示，在△ADC 中，作AE ⊥DC ，垂足为E ，连接A 1E .又DE ⊥AA 1，且AA 1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面AEA 1，所以DE ⊥A 1E .所以∠AEA 1为平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角．因为BC ∥AD ，AD ＝2BC ，所以S △ADC ＝2S △BCA .又因为梯形ABCD 的面积为6，DC ＝2，所以S △ADC ＝4，AE ＝4.于是tan ∠AEA 1＝AA 1AE ＝1，∠AEA 1＝π4.故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为π4. 方法二：如图2所示，以D 为原点，DA ，DD 1→分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系．设∠CDA ＝θ，BC ＝a ，则AD ＝2a .因为S 四边形ABCD ＝a ＋2a 2·2sin θ＝6，所以a ＝2sin θ.从而可得C (2cos θ，2sin θ，0)，A 1⎝⎛⎭⎫4sin θ，0，4，所以DC ＝(2cos θ，2sin θ，0)，DA 1→＝⎝⎛⎭⎫4sin θ，0，4.设平面A 1DC 的法向量n ＝(x ，y ，1)，由⎩⎨⎧DA 1→·n ＝4sin θ x ＋4＝0，DC →·n ＝2x cos θ＋2y sin θ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－sin θ，y ＝cos θ，所以n ＝(－sin θ，cos θ，1)．又因为平面ABCD 的法向量m ＝(0，0，1)，所以cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝22，故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为π4. 3．[2014·北京] 如图1-3，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P - ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H .(1)求证：AB ∥FG ；(2)若P A ⊥底面ABCDE ，且P A ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．3．解：(1)证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE .又因为AB ⊄平面PDE ，所以AB ∥平面PDE .因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ，所以AB ∥FG .(2)因为P A ⊥底面ABCDE ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE .建立空间直角坐标系Axyz ，如图所示，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (2，1，0)，P (0，0，2)，F (0，1，1)，BC →＝(1，1，0)．设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，则y ＝－1.所以n ＝(0，－1，1)．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则 sin α＝|cos 〈n ，BC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC →|n ||BC →|＝12.因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6.设点H 的坐标为(u ，v ，w )．因为点H 在棱PC 上，所以可设PH →＝λPC →(0<λ<1)．即(u ，v ，w －2)＝λ(2，1，－2)，所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ.因为n 是平面ABF 的一个法向量，所以n ·AH →＝0，即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，解得λ＝23，所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，23，23.所以PH ＝⎝⎛⎭⎫432＋⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫－432＝2. 4．[2014·新课标Ⅱ] 如图1-3，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． AD ＝3，求三棱锥E -ACD 的体积．4．解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO .因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →，AD ，AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A -xyz ，则D ()0，3，0，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，32，12.设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝⎛⎭⎫3m ，－1，3.又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量，由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12，解得m ＝32.因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E -ACD 的高为12.三棱锥E -ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38. 5．[2014·山东] 如图1-3所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．5．解：(1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，且AB ＝2CD ，所以AB ∥DC ，又M 是AB 的中点，所以CD ∥MA 且CD ＝MA .连接AD 1.因为在四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中，CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1，所以C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，因此，C 1M ∥D 1A .又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1，所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.(2)方法一：连接AC ，MC .由(1)知，CD ∥AM 且CD ＝AM ，所以四边形AMCD 为平行四边形，所以BC ＝AD ＝MC .由题意∠ABC ＝∠DAB ＝60°，所以△MBC 为正三角形，因此AB ＝2BC ＝2，CA ＝3，因此CA ⊥CB .设C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz .所以A (3，0，0)，B (0，1，0)，D 1(0，0，3)．因此M ⎝⎛⎭⎫32，12，0，所以MD 1→＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，3，D 1C 1→＝MB →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0.设平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1C 1→＝0，n ·MD 1→＝0，得⎩⎨⎧3x －y ＝0，3x ＋y －2 3z ＝0，可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)．又CD 1→＝(0，0，3)为平面ABCD 的一个法向量．因此cos 〈CD 1→，n 〉＝CD 1→·n |CD 1→||n |＝55，所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 方法二：由(1)知，平面D 1C 1M ∩平面ABCD ＝AB ，点过C 向AB 引垂线交AB 于点N ，连接D 1N .由CD 1⊥平面ABCD ，可得D 1N ⊥AB ，因此∠D 1NC 为二面角C 1 AB C 的平面角．在Rt △BNC 中，BC ＝1，∠NBC ＝60°，可得CN ＝32，所以ND 1＝CD 21＋CN 2＝152. 在Rt △D 1CN 中，cos ∠D 1NC ＝CN D 1N ＝32152＝55，所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 6．[2014·湖南] 如图1-6所示，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1OB 1D 的余弦值．111111CC 1⊥BD .而AC ∩BD ＝O ，因此CC 1⊥底面ABCD .由题设知，O 1O ∥C 1C .故O 1O ⊥底面ABCD .(2)方法一：如图(a)，过O 1作O 1H ⊥OB 1于H ，连接HC 1.由(1)知，O 1O ⊥底面ABCD ，所以O 1O ⊥底面A 1B 1C 1D 1，于是O 1O ⊥A 1C 1.又因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形A 1B 1C 1D 1是菱形，因此A 1C 1⊥B 1D 1，从而A 1C 1⊥平面BDD 1B 1，所以A 1C 1⊥OB 1，于是OB 1⊥平面O 1HC 1.进而OB 1⊥C 1H .故∠C 1HO 1是二面角C 1OB 1D 的平面角．不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，OB 1＝7.在Rt △OO 1B 1中，易知O 1H ＝OO 1·O 1B 1OB 1＝237.而O 1C 1＝1，于是C 1H ＝O 1C 21＋O 1H 2＝1＋127＝197. 故cos ∠C 1HO 1＝O 1H C 1H ＝237197＝25719.即二面角C 1OB 1D 的余弦值为25719. 方法二：因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz ，不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，于是相关各点的坐标为O (0，0，0)，B 1(3，0，2)，C 1(0，1，2)．易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量．设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·OB →1＝0，n 2·OC →1＝0，即⎩⎨⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0. 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3)．设二面角C 1OB 1D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是cos θ＝|cos 〈，〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719.故二面角C 1OB 1D 的余弦值为25719. 7．[2014·江西] 如图，四棱锥P - ABCD 中，ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD .(1)求证：AB ⊥PD .(2)若∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2，问AB 为何值时，四棱锥P - ABCD 的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值．7．解：(1)证明：因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PD .(2)过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG .故PO ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG ，BC ⊥PG .在Rt △BPC 中，PG ＝2 33，GC ＝2 63，BG ＝63. 设AB ＝m ，则OP ＝PG 2－OG 2＝43－m 2，故四棱锥P - ABCD 的体积为V ＝13×6·m ·43－m 2＝m 38－6m 2.因为m 8－6m 2＝8m 2－6m 4＝－6⎝⎛⎭⎫m 2－232＋83，所以当m ＝63，即AB ＝63时，四棱锥P - ABCD 的体积最大．此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O (0，0，0)，B ⎝⎛⎭⎫63，－63，0，C ⎝⎛⎭⎫63，263，0，D ⎝⎛⎭⎫0，263，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，63，故PC →＝⎝⎛⎭⎫63，263，－63，BC →＝(0，6，0)，CD ＝⎝⎛⎭⎫－63，0，0. 设平面BPC 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，1)，则由n 1⊥PC →，n 1⊥BC →，得⎩⎪⎨⎪⎧63x ＋2 63y －63＝0，6y ＝0，解得x ＝1，y ＝0，则n 1＝(1，0，1)．同理可求出平面DPC 的一个法向量为n 2＝⎝⎛⎭⎫0，12，1. 设平面BPC 与平面DPC 的夹角为θ，则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝12·14＋1＝105. 8．[2014·辽宁] 如图1-5所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC8．解：(1)证明：方法一，过点E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连接OF .由△ABC ≌△DBC 可证出△EOC ≌△FOC ，所以∠EOC ＝∠FOC ＝π2，即FO ⊥BC .又EO ⊥BC ，EO ∩FO ＝O ，所以BC ⊥平面EFO .又EF ⊂平面EFO ，所以EF ⊥BC .方法二，由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线，并将其作为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线，并将其作为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B (0，0，0)，A (0，－1，3)，D (3，－1，0)，C (0，2，0)，因而E (0，12，32)，F (32，12，0)，所以EF →＝(32，0，－32)，BC →＝(0，2，0)，因此EF →·BC →＝0，从而EF →⊥BC →，所以EF ⊥BC .(2)方法一，在图1中，过点O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连接EG .因为平面ABC ⊥平面BDC ，所以EO ⊥面BDC ，又OG ⊥BF ，所以由三垂线定理知EG ⊥BF ，因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角．在△EOC 中，EO ＝12EC ＝12BC ·cos 30°＝32.由△BGO ∽△BFC 知，OG ＝BO BC ·FC ＝34，因此tan ∠EGO ＝EO OG＝2，从而得sin ∠EGO ＝255，即二面角E -BF -C 的正弦值为2 55. 方法二，在图中，平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)．设平面BEF 的法向量n 2＝(x ，y ，z )，又BF →＝(32，12，0)，BE →＝(0，12，32)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BF →＝0，n 2·BE →＝0，得其中一个n 2＝(1，－3，1)．设二面角E -BF -C 的大小为θ，且由题知θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝15，因此sin θ＝25＝2 55，即所求二面角正弦值为2 55. 9．[2014·天津] 如图1-4所示，在四棱锥P - ABCD 中，P A ⊥底面ABCD, AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F - AB - P 的余弦值．9．解：方法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．C 由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1)．(1)证明：向量BE ＝(0，1，1)，DC ＝(2，0，0)，故BE ·DC ＝0，所以BE ⊥DC .(2)向量BD ＝(－1，2，0)，PB ＝(1，0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD ＝0，n ·PB ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0.不妨令y ＝1，可得n ＝(2，1，1)为平面PBD 的一个法向量．于是有 cos 〈n ，BE 〉＝n ·BE |n |·|BE |＝26×2＝33，所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3) 向量BC ＝(1，2，0)，CP ＝(－2，－2，2)，AC ＝(2，2，0)，AB ＝(1，0，0)．由点F 在棱PC 上，设CF ＝λCP →，0≤λ≤1.故BF ＝BC ＋CF ＝BC ＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF ·AC ＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34，即BF ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，32.设n 1＝(x ，y ，z )为平面F AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB ＝0，n 1·BF ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3，1)为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0，1，0)，则cos 〈，〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010.易知二面角F - AB - P 是锐角，所以其余弦值为31010. 方法二：(1)证明：如图所示，取PD 中点M ，连接EM ，AM .由于E ，M 分别为PC ，PD 的中点，故EM ∥DC ，且EM ＝12DC .又由已知，可得EM ∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以BE ∥AM .因为P A ⊥底面ABCD ，故P A ⊥CD ，而CD ⊥DA ，从而CD ⊥平面P AD .因为AM ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AM .又BE ∥AM ，所以BE ⊥CD .(2)连接BM ，由(1)有CD ⊥平面P AD ，得CD ⊥PD .而EM ∥CD ，故PD ⊥EM .又因为AD ＝AP ，M 为PD 的中点，所以PD ⊥AM ，可得PD ⊥BE ，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD ，所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM .而BE ⊥EM ，可得∠EBM 为锐角，故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD ＝22，而M 为PD 中点，可得AM ＝2，进而BE ＝ 2.故在直角三角形BEM 中，tan ∠EBM ＝EM BE ＝AB BE ＝12，因此sin ∠EBM ＝33，所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)如图所示，在△P AC 中，过点F 作FH ∥P A 交AC 于点H .因为P A ⊥底面ABCD ，所以FH ⊥底面ABCD ，从而FH ⊥AC .又BF ⊥AC ，得AC ⊥平面FHB ，因此AC ⊥BH .在底面ABCD 内，可得CH ＝3HA ，从而CF ＝3FP .在平面PDC 内，作FG ∥DC 交PD 于点G ，于是DG ＝3GP .由于DC ∥AB ，故GF ∥AB ，所以A ，B ，F ，G 四点共面．由AB ⊥P A ，AB ⊥AD ，得AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥AG ，所以∠P AG 为二面角F - AB - P 的平面角．在△P AG 中，P A ＝2，PG ＝14PD ＝22，∠APG ＝45°.由余弦定理可得AG ＝102，cos ∠P AG ＝31010，所以二面角F - AB - P 的余弦值为31010. 10．[2014·浙江] 如图1-5，在四棱锥A -BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2.(1)证明：DE ⊥平面ACD ；(2)求二面角B - AD - E 的大小．10．解：(1)证明：在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2，得BD ＝BC ＝2，由AC ＝2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC .又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC ⊥DE .又DE ⊥DC ，从而DE ⊥平面ACD .(2)方法一：过B 作BF ⊥AD ，与AD 交于点F ，过点F 作FG ∥DE ，与AE 交于点G ，连接BG .由(1)知DE ⊥AD ，则FG ⊥AD .所以∠BFG 是二面角B - AD - E 的平面角．在直角梯形BCDE 中，由CD 2＝BC 2＋BD 2，得BD ⊥BC . 又平面ABC ⊥平面BCDE ，得BD ⊥平面ABC ，从而BD ⊥AB .由AC ⊥平面BCDE ，得AC ⊥CD .在Rt △ACD 中，由DC ＝2，AC ＝2，得AD ＝ 6.在Rt △AED 中，由ED ＝1，AD ＝6，得AE ＝7.在Rt △ABD 中，由BD ＝2，AB ＝2，AD ＝6，得BF ＝2 33，AF ＝23AD .从而GF ＝23ED ＝23. 在△ABE ，△ABG 中，利用余弦定理分别可得cos ∠BAE ＝5 714，BG ＝23. 在△BFG 中，cos ∠BFG ＝GF 2＋BF 2－BG 22BF ·GF＝32.所以，∠BFG ＝π6，即二面角B - AD - E 的大小是π6. 方法二：以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D - xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：D (0，0，0)，E (1，0，0)，C (0，2，0)，A (0，2，2)，B (1，1，0)．设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．可算得AD ＝(0，－2，－2)，AE ＝(1，－2，－2)，DB →＝(1，1，0)．由⎩⎨⎧m ·AD ＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎨⎧－2y 1－2z 1＝0，x 1－2y 1－2z 1＝0，可取m ＝(0，1，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎨⎧－2y 2－2z 2＝0，x 2＋y 2＝0，可取n ＝(1，－1，2)．于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝33×2＝32.由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B - AD - E 的大小是π6. 11．[2014·重庆]如图1-3所示，四棱锥P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝1，MP ⊥AP .(1)求PO 的长；(2)求二面角A -PM -C 的正弦值．11．解：(1)如图所示，BD .以O 为坐标原点，OA →，OB →，OP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz .因为∠BAD ＝π3，所以OA ＝AB ·cos π6＝3，OB ＝AB ·sin π6＝1，所以O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，1，0)，C (－3，0，0)，OB →＝(0，1，0)，BC →＝(－3，－1，0)．由BM ＝12，BC ＝2知，BM →＝14BC →＝⎝⎛⎭⎫－34，－14，0，从而OM →＝OB →＋BM →＝⎝⎛⎭⎫－34，34，0，即M ⎝⎛⎭⎫－34，34，0.设P (0，0，a )，a ＞0，则AP →＝(－3，0，a )，MP →＝⎝⎛⎭⎫34，－34，a .因为MP ⊥AP ，所以MP →·AP →＝0，即－34＋a 2＝0，所以a ＝32或a ＝－32(舍去)，即PO ＝32. (2)由(1)知，AP →＝⎝⎛⎭⎫－3，0，32，MP →＝⎝⎛⎭⎫34，－34，32，CP →＝⎝⎛⎭⎫3，0，32.设平面APM 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PMC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1·AP →＝0, n 1·MP →＝0，得⎩⎨⎧－3x 1＋32z 1＝0，34x 1－34y 1＋32z 1＝0，故可取n 1＝⎝⎛⎭⎫1，533，2.由n 2·MP →＝0，n 2·CP →＝0，得⎩⎨⎧34x 2－34y 2＋32z 2＝0，3x 2＋32z 2＝0，故可取n 2＝(1，－3，－2)．从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－155，故所求二面角A -PM -C 的正弦值为105. 12．[2014·全国] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)A 1 AB C 的大小．12．解：方法一：(1)证明：因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ⊂平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C .由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1.作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1. 又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，即A 1E ＝ 3.因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，所以A 1D ＝A 1E ＝ 3.作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F .由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1 AB C的平面角．由AD ＝AA 21－A 1D 2＝1，得D 为AC 中点，DF ＝55，tan ∠A 1FD ＝A 1D DF ＝15，所以cos ∠A 1FD ＝14. 所以二面角A 1 AB C 的大小为arccos 14. 方法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C - xyz .由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内．(1)证明：设A 1(a ，0，c )．由题设有a ≤2，A (2，0，0)，B (0，1，0)，则AB →＝(－2，1，0)，AC →＝(－2，0，0)，AA 1→＝(a －2，0，c )，AC 1→＝AC →＋AA 1→＝(a －4，0，c )，BA 1→＝(a ，－1，c )．由|AA 1→|＝2，得（a －2）2＋c 2＝2，即a 2－4a ＋c 2＝0.①又AC 1→·BA 1→＝a 2－4a ＋c 2＝0，所以AC 1⊥A 1B .(2)设平面BCC 1B 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则m ⊥CB →，m ⊥BB 1→，即m ·CB →＝0，m ·BB 1→＝0.因为CB →＝(0，1，0)，BB 1→＝AA 1→＝(a －2，0，c )，所以y ＝0且(a －2)x ＋cz ＝0.令x ＝c ，则z ＝2－a ，所以m ＝(c ，0，2－a )，故点A 到平面BCC 1B 1的距离为|CA →|·|cos 〈m ，CA →〉|＝|CA →·m ||m |＝2c c 2＋（2－a ）2＝c . 又依题设，A 到平面BCC 1B 1的距离为3，所以c ＝3，代入①，解得a ＝3(舍去)或a ＝1，于是AA 1→＝(－1，0，3)．设平面ABA 1的法向量n ＝(p ，q ，r )，则n ⊥AA 1→，n ⊥AB →，即n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0，－p ＋3r ＝0，且－2p ＋q ＝0.令p ＝3，则q ＝2 3，r ＝1，所以n ＝(3，2 3，1)．又p ＝(0，0，1)为平面ABC 的法向量，故cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝14.所以二面角A 1 AB C 的大小为arccos 14.。

2014届《创新设计·高考一轮总复习》数学(理)第八篇立体几何第3讲

抓住3个考点
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两种判定方法异面直线的判定方法
(1)判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内
不经过该点的直线是异面直线． (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两直线异面．
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考点自测 1．下列命题是真命题的是 ( )．
DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱， 12×4 排除两棱的重复计算，共有异面直线＝24(对)． 2
答案 24
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考向一平面的基本性质及其应用【例1】► 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E 、 F
分别是AB和AA1的中点．求证：
的平面，有下列四个命题：
①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α； ②若α∥β，m⊂α，则m∥β； ③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β.
其中正确命题的序号是
A．①③ C．③④ B．①② D．②③
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(
)．
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解析
若m⊂β ， α⊥β ，则m⊥α 或 m∥α ，或 m与 α相交，故①
BD所成的角．
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1 在Rt△EGF中，由EG＝FG＝ AC，求得∠FEG＝45° ，即异 2 面直线EF与BD所成的角为45° .
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热点突破15 准确判断空间点、线、面的位置关系【命题研究】通过近三年的高考试题分析，主要结合线线、
共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A 、 B 、 C 、 D 在同一平面内，这与 A 是

(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《立体几何中的向量方法(二)空间角与距离的求解》理新人教B版

[第44讲立体几何中的向量方法(二)——空间角与距离的求解](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．设平面α的法向量为a ＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b ＝(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( )A ．2B ．－4C ．4D ．－2 2．[2013·银川一模] 如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(0，2，1)，b ＝(2，5，5)，那么这条斜线与平面的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3．[2013·沈阳一模] 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30° 4．[2013·兰州一模] 在空间直角坐标系O －xyz 中，平面OAB 的法向量为n ＝(2，－2，1)，已知P (－1，3，2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于( )A ．4B ．2C ．3D ．1能力提升5．[2013·长春一模] 已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是 ( )A.83B.38C.43D.346．[2013·西宁一模] 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1－B 1的大小为( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150°7．[2013·西安一模] 已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2，3，1)，B (4，1，－2)，C (6，3，7)，则△ABC 的重心坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫6，72，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，73，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫8，143，4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76，18．在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值为( )A ．－1010B ．－120C.120 D.10109．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成的角的余弦值是( )A.3010B.12C.3015D.151010．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的余弦值是________． 11．如图K44－1，在空间直角坐标系中有棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 是线段DC 1上的动点，则点M ．K44－1图K44－212．[2013·郑州二模] 如图K44－2所示，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC ＝2，则二面角A －PB －C 的余弦值为________．13．在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为：Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0(A ，B ，C ，D ∈R ，且A ，B ，C 不同时为零)，点P (x 0，y 0，z 0)到平面α的距离为：d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O 到侧面的距离等于________．14．(10分)如图K44－3，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知AB ＝2，AD ＝22，PA ＝2，求：(1)三角形PCD 的面积；(2)异面直线BC 与AE15．(13分)如图K44－4甲，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝2，AD＝3，CD ＝1，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE ＝13AD ，BF ＝13BC .现将此梯形沿EF 折至使AD＝3的位置(如图乙)．(1)求证：AE⊥平面ABCD；(2)求点B到平面CDEF的距离；(3)求直线CE与平面BCF所成角的正弦值．图K44－难点突破16．(12分)[2013·长沙三模] 如图K44－5，正△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－CD－B.(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求异面直线AB与DE所成角的余弦值；(3)求二面角B－AC－D的余弦值．K44－5课时作业(四十四)【基础热身】1．C [解析] ∵α∥β，∴(－2，－4，k )＝λ(1，2，－2)，∴－2＝λ，k ＝－2λ，∴k ＝4.2．D [解析] cos θ＝a ·b |a ||b |＝32，因此所求的夹角为30°.3．C [解析] 如图，四棱锥P —ABCD 中，过P 作PO ⊥平面ABCD 于O ，连接AO ，则AO 是AP 在底面ABCD 上的射影，∴∠PAO 即为所求线面角，∵AO PAO ＝AO PA ＝22，∴∠PAO ＝45°，即所求线面角为45°.4．B [解析] d ＝|OP →·n ||n |＝|－2－6＋2|22＋（－2）2＋12＝63＝2. 【能力提升】5．C [解析] 如图，以D D －xyz ，则A 1(2，0，4)，A (2，0，0)，B 1(2，2，4)，D 1(0，0，4)，AD 1→＝(－2，0，4)，AB 1→＝(0，2，4)，AA 1→＝(0，0，4)，设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD 1→＝0，n ·AB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4z ＝0，2y ＋4z ＝0，解得x ＝2z 且y ＝－2z ，不妨设n ＝(2，－2，1)，设点A 1到平面AB 1D 1的距离为d ，则d ＝|AA 1→·n ||n |＝43.6．C [解析] 以D设A (1，0，0)，D 1(0，0，1)，B 11)，C (0，1，0)，则AC →＝(－1，1，0)为平面BB 1D 1的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面ABD 1的一个法向量．则n ·AD 1→＝0，n ·AB →＝0，又AD 1→＝(－1，0，1)，AB →＝(0，1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，y ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝x ，y ＝0.取n ＝(1，0，1)．∴cos 〈AC →，n 〉＝－12.∴〈AC →，n 〉＝120°，结合图形知二面角A －BD 1－B 1的大小为120°.7．B [解析] △ABC 的重心坐标为x ＝2＋4＋63＝4，y ＝3＋1＋33＝73，z ＝1＋（－2）＋73＝2.8．D [解析] 如图建立直角坐标系D －xyz ，设DA ＝1，A (1，0，0)，C (0，1，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.则AC →＝(－1，1，0)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，若异面直线DE 与AC 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AC →，DE →〉|＝1010.9．A [解析] 建立如图所示的坐标系，设BC ＝1，则A (－1，0，0)，F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1，B (0，－1，0)，D 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，1，AF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，BD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1.∴cos 〈AF 1→，BD 1→〉＝AF 1→·BD 1→|AF 1→|·|BD 1→|＝3010.10.33[解析] 如下图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)，C 1(0，1，1)，∴DA 1→＝(1，0，1)，DB →＝(1，1，0)，BC 1→＝(－1，0，1)，设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝－x ，y ＝－x ，令x ＝1得，n ＝(1，－1，－1)，设直线BC 1与平面A 1BD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈BC 1→，n 〉|＝|BC 1→·n ||BC 1→|·|n |＝22·3＝63，∴cos θ＝1－sin 2θ＝33.11.33a [解析] 设M (0，m ，m )(0≤m ≤a )，AD 1→＝(－a ，0，a )，直线AD 1的一个单位方向向量s 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，22，由MD 1→＝(0，－m ，a －m )，故点M 到直线AD 1的距离 d ＝|MD 1→|2－|MD 1→·s 0|2)＝m 2＋（a －m ）2－12（a －m ）2＝32m 2－am ＋12a 2，根式内的二次函数当m ＝－－a 2×32＝a 3时取最小值32⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－a ×a 3＋12a 2＝13a 2，故d 的最小值为33a .12.33[解析] 以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴建立空间直角坐标系C －xyz ，则A (1，0，0)，B (0，2，0)，C (00，1)，∴AP →＝(0，0，1)，PB →＝(－1，2，－1)，CB ＝(0，2，0)，设平面APB 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PBC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧z 1＝0，－x 1＋2y 1－z 1＝0，⎩⎨⎧2y 2＝0，－x 2＋2y 2－z 2＝0，取n 1＝(2，2，0)，n 2＝(－1，0，1)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝－26×2＝－33.结合图形知二面角A －PB －C 的余弦值为33. 13.255[解析] 如图，以底面中心O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (1，1，0)，B (－1，1，0)，P (0，0，2)，设平面PAB 的方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0，将以上3个坐标代入计算得A ＝0，B ＝－D ，C ＝－12D ，∴平面PAB 的方程为－Dy －12Dz ＋D ＝0，即2y ＋z －2＝0，∴d 14．解：(1)∵PA AD ， ∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PD ，又∵PD ＝22＋（22）2＝23，CD ＝2，∴△PCD 的面积为12×2×23＝2 3.(2)方法一：取PB 的中点F ，连接EF ，AF ，则EF ∥BC ，∴∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．在△AEF 中，EF ＝2，AF ＝2，AE ＝2， ∴△AEF 是等腰直角三角形，∴∠AEF ＝π4，∴异面直线BC 与AE 所成的角大小为π4.方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则B (2，0，0)，C (2，22，0)，E (1，2，1)，∴AE →＝(1，2，1)，BC →＝(0，22，0)，设AE →与BC →的夹角为θ，则cos θ＝AE →·BC →|AE →||BC →|＝42×22＝22.又∵0＜θ≤π2，∴θ＝π4.故异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.15．解：(1)证明：由题意知AE ＝1，DE ＝2，AD ＝3，∴AE 2＋AD 2＝DE 2.∴∠EAD ＝90°，即EA ⊥AD .又EA ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，∴AE ⊥平面ABCD . (2)作AK ⊥DE 于点K . 由题知AB ∥EF .∵AB ⊄平面CDEF ，EF ⊂平面CDEF ，∴AB ∥平面CDEF .∴点B 到平面CDEF 的距离即为点A 到平面CDEF 的距离． ∵EF ⊥AE ，EF ⊥ED ，ED ∩EA ＝E ，∴EF ⊥平面AED ，∵AK ⊂平面AED 又AK ⊥DE ，DE ∩EF ＝E ，∴AK ⊥平面CDEF . ∴AK 的长即为点B 到平面CDEF 的距离．在Rt △ADE 中，AK ＝32，∴点B 到平面CDEF 的距离为32. (3)以点A 为坐标原点，AD ，AB ，AE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则B (0，2，0)，C (3，1，0)，E (0，0，1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，1，BF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－13，1，BC →＝(3，－1，0)，CE →＝(－3，－1，n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧BF →·n ＝0，BC →·n ＝0，可取n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，33.设直线CE 与平面BCF 所成的角为α，则sin α＝|CE →·n ||CE →||n |＝5335×133＝6513.所以直线CE 与平面BCF 所成角的正弦值为6513. 【难点突破】16．解：(1)以D 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (0，0，a )，B (a ，0，0)，C (0，3a ，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，0. ∴AB →＝(a ，0，－a )，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2，从而EF →＝12AB →，∴AB →∥EF →，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF，故AB ∥平面DEF .(2)∵AB →∥EF →，∴∠DEF 即为异面直线AB 与DE 所成的角(或其补角)．∵ED →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－32a ，－a 2，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2，∴cos 〈EF →，ED →〉＝EF →·ED →|EF →||ED →|＝24.∴异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为24. (3)∵n 0＝(1，0，0)为平面ACD 的一个法向量，设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的一个法向量，则AB →·n ＝ax －az ＝0，AC →·n ＝3ay －az ＝0，取z ＝1，则x ＝1，y ＝33.∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，1，从而cos 〈n ，n 0〉＝n ·n 0|n ||n 0|＝217.所以二面角B －AC －D 的余弦值为217.。

2014届《创新设计·高考一轮总复习》数学 (理)第八篇立体几何第2讲

解析由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所
示，其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5， BE＝2，ED＝3，AE＝4.∴AD＝5. 又CD⊥BD，CD⊥AE，则CD⊥平面ABD，
抓住2个考点
突破3个考向
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故CD⊥AD，所以AC＝ 41且S△ACD＝10. 在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，故AB＝2 5. 在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4，故S△BCD＝10，且BC＝ 41. 在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10.
7πa2 3 .
7πa2 答案 (1)16π (2) 3
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[方法锦囊] (1)已知与球有关的组合体的三视图，要将其还原为几何体，对组合体的表面积和体积可以分割计算．
(2)处理与几何体外接球相关的问题时，一般需依据球和几何
体的对称性，确定球心与几何体的特殊点间的关系．解决与棱柱有关的问题时需注意运用棱柱的体对角线即为外接球直径这一知识．
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两个关注点 (1)“切”“接”问题一般要过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系． (2)特殊图形可以用补图的方法解答．
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考点自测 1．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 A．4πS C．πS B．2πS 2 3 D. πS 3 ( )．
(2)旋转体的侧面积和表面积
①若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则 S侧＝ 2πrl ，S表＝ 2πr(r＋l) ．
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2014年高考一轮复习数学教案：9.13 立体几何的综合问题

9.13立体几何的综合问题●知识梳理 1.线与线、线与面、面与面间的平行、垂直关系. 2.空间角与空间距离. 3.柱、锥、球的面积与体积. 4.平面图形的翻折，空间向量的应用. ●点击双基 1.若 Rt△ABC 的斜边 BC 在平面α 内，顶点 A 在α 外，则△ABC 在α 上的射影是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.一条线段或一钝角三角形解析：当平面 ABC⊥α 时，为一条线段，结合选择肢，知选 D. 答案：D 2.长方体 AC1 的长、宽、高分别为 3、2、1，从 A 到 C1 沿长方体的表面的最短距离为D1 A1 D A 2 1 3 B B1 C C1A.1+ 3B.2+ 10C.3 2D.2 3解析：求表面上最短距离常把图形展成平面图形. 答案：C 3.设长方体的对角线长为 4，过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为 60°，则长方体的体积是 A.27 2 B.8 2 C.8 3 D.16解析：先求出长方体的两条棱长为 2、2，设第三条棱长为 x，由 22+22+x2=42  x=2 2 ， ∴V=2×2×2 2 =8 2 . 答案：B 4.棱长为 a 的正方体的各个顶点都在一个球面上，则这个球的体积是_____________. 解析：易知球的直径 2R= 3 a.所以 R= 答案：3 4π 3 3π 3 a.所以 V= R= a. 2 2 33π 3 a 2 5.已知△ABC 的顶点坐标为 A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则△ABC 的面积是_____________.解析： AB =（1，1，1） AC =（2，1，3），，cos〈 AB ， AC 〉=6 3  14=42 ，∴ 7sinA=7 1 1 .∴S ABC = | AB || AC |sinA= 7 2 2 6 答案： 2 ●典例剖析3 · 14 ·7 = 76 . 2【例 1】在直角坐标系 O—xyz 中， OA =（0，1，0） AB =（1，0，0） OC =（2，0，，， 0） OS =（0，0，1）. ，（1）求 SC 与 OB 的夹角α 的大小；（2）设 n=（1，p，q），且 n⊥平面 SBC，求 n；（3）求 OA 与平面 SBC 的夹角；（4）求点 O 到平面 SBC 的距离；（5）求异面直线 SC 与 OB 间的距离. 解：（1）如图， SC = OC － OS =（2，0，－1） OB = OA + AB =（1，1，0），，则 | SC |= 2 2  0 2  (1) 2 = 5 ，| OB |= 12  12  0 2 = 2 .z SA O B C x ycosα =cos〈 SC ， OB 〉=SC  OB | SC || OB |=200 5 2=10 10 ，α =arccos . 5 5n· SC =0，（2）∵n⊥平面 SBC，∴n⊥ SC 且 n⊥ BC ，即 n· BC =0. ∵ SC =（2，0，－1） BC = OC － OB =（1，－1，0），， ∴ 2－q=0， p=1， ∴ 即 n= （1， 2） 1， . 1－p=0. q=2，（3）与平面 SBC 所成的角θ 和 OA 与平面 SBC 的法线所夹角互余， OA 故可先求 OA 与 n 所成的角.OA =（0，1，0） OA |=1，|n|= 12  12  2 2 = 6 . ，|∴cos〈 OA ，n〉=OA  n|OA||n | 1  6=1=6 ， 6即〈 OA ，n〉=arccos6 6 π .∴θ = －arccos . 6 6 2（4）点 O 到平面 SBC 的距离即为 OC 在 n 上的投影的绝对值， ∴d=| OC ·2 n |= = |n | 66 . 3（5） OC 在异面直线 SC、OB 的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离，故先求与 SC、OB 均垂直的向量 m. 设 m=（x，y，1），m⊥ SC 且 m⊥ OB ，则 m· SC =0，且 m· OB =0. 2x－1=0， ∴ x+y=0，即 x=1 ， 2 1 y=－ . 22 6=∴m=（m 1 1 ，－，1），d′=| OC · |= |m | 2 26 . 3特别提示借助于平面的法向量，可以求斜线与平面所成的角，求点到平面的距离，类似地可以求异面直线间的距离.本题选题的目的是复习如何求平面的法向量，以及如何由法向量求角、求距离. 【例 2】如图，已知一个等腰三角形 ABC 的顶角 B=120°，过 AC 的一个平面α 与顶点 B 的距离为 1，根据已知条件，你能求出 AB 在平面α 上的射影 AB1 的长吗?如果不能，那么需要增加什么条件，可以使 AB1=2?B  B1 C A解：在条件“等腰△ABC 的顶角 B=120°”下，△ABC 是不能唯一确定的，这样线段 AB1 也是不能确定的，需要增加下列条件之一，可使 AB1=2： ①CB1=2；②CB= 5 或 AB= 5 ；③直线 AB 与平面α 所成的角∠BAB1=arcsin ④∠ABB1=arctan2；⑤∠B1AC=arccos5 ； 515 7 ；⑥∠AB1C=π －arccos ；⑦AC= 15 ；⑧B1 4 8 5 1 到 AC 的距离为；⑨B 到 AC 的距离为；⑩二面角 B—AC—B1 为 arctan2 等等. 2 2 思考讨论本题是一个开放型题目，做这类题的思维是逆向的，即若 AB1=2，那么能够推出什么结果，再回过来考虑根据这一结果能否推出 AB1=2. 【例 3】（2004 年春季北京）如图，四棱锥 S—ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，SD 垂直于底面 ABCD，SB= 3 ，SMDCAB（1）求证：BC⊥SC；（2）求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小；（3）设棱 SA 的中点为 M，求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小. 剖析：本题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. （1）证法一：∵底面 ABCD 是正方形， ∴BC⊥DC.∵SD⊥底面 ABCD， ∴DC 是 SC 在平面 ABCD 上的射影. 由三垂线定理得 BC⊥SC. 证法二：∵底面 ABCD 是正方形， ∴BC⊥DC.∵SD⊥底面 ABCD， ∴SD⊥BC.又 DC∩SD=D， ∴BC⊥平面 SDC.∴BC⊥SC. （2）解法一：∵SD⊥底面 ABCD，且 ABCD 为正方形，S A1 M D A B C B1 C1∴可以把四棱锥 S—ABCD 补形为长方体 A1B1C1S—ABCD，如上图，面 ASD 与面 BSC 所成的二面角就是面 ADSA1 与面 BCSA1 所成的二面角，∵SC⊥BC，BC∥A1S，∴SC⊥A1S. 又 SD⊥A1S，∴∠CSD 为所求二面角的平面角. 在 Rt△SCB 中，由勾股定理得 SC= 2 ，在 Rt△SDC 中，由勾股定理得 SD=1. ∴∠CSD=45°，即面 ASD 与面 BSC 所成的二面角为 45°. 解法二：如下图，过点 S 作直线 l∥AD，l SM D A B C∴l 在面 ASD 上. ∵底面 ABCD 为正方形，∴l∥AD∥BC.∴l 在面 BSC 上. ∴l 为面 ASD 与面 BSC 的交线. ∵SD⊥AD，BC⊥SC，∴l⊥SD，l⊥SC. ∴∠CSD 为面 ASD 与面 BSC 所成二面角的平面角. （以下同解法一）. （3）解法一：如上图，∵SD=AD=1，∠SDA=90°， ∴△SDA 是等腰直角三角形. 又 M 是斜边 SA 的中点， ∴DM⊥SA. ∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D， ∴BA⊥面 ASD，SA 是 SB 在面 ASD 上的射影. 由三垂线定理得 DM⊥SB. ∴异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90°. 解法二：如下图，取 AB 的中点 P，连结 MP、DP.SM D C P BA在△ABS 中，由中位线定理得 PM∥BS. ∴DM 与 SB 所成的角即为∠DMP. 又 PM2=3 5 2 ，DP2= ，DM2= . 4 4 4∴DP2=PM2+DM2.∴∠DMP=90°. ∴异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90°. ●闯关训练夯实基础 1.下图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC 的值为BCAA.180° B.120° C.60° D.45° 答案：C 2.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么直线 AM 与 CN 所成的角为D1 A1 M B1 N D A B C C1A.arccos3 2B.arccos10 10C.arccos3 5D.arccos2 5解法一：∵ AM = AA1 + A1 M ， CN = CB + BN ， ∴ AM · CN =（ AA1 + A1 M ）（ CB + BN ）= AA1 · BN = · 而| AM |=1 . 21 1 = 45 .同理， 2( AA1  A1 M )  ( AA1  A1 M ) = | AA1 | 2  | A1 M | 2 =| CN |=5 . 21 2 2 如令α 为所求之角，则 cosα = = 2 = ，∴α =arccos .应选 D. 5 | AM | | CN | 5 5 4AM  CN解法二：建立如图所示的空间直角坐标系， D 点视作原点 O，把分别以 DA 、DC 、DD1 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，则 A（1，0，0）、M（1，，1）、C（0，1，0）、N（1， 1，1 21 ）. 2z D1 A1 M B1 N D A x C B y C11 1 ，1） CN =（1，0，）. ， 2 2 1 1 1 故 AM · CN =0×1+ ×0+1× = ， 2 2 2∴ AM =（0，5 1 | AM |= 0 2  ( ) 2  12 = ， 2 2 5 1 | CN |= 12  0 2  ( ) 2 = . 2 2∴cosα =AM  CN | AM | | CN |=1 2 5 5  2 2=2 . 5∴α =arccos 答案：D2 . 53.图甲是一个正三棱柱形的容器，高为 2a，内装水若干.现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为_____________.C1 A1 B1 E C C A B B B1 A F E1 C1 A1 F1甲F1 A1C1 B1乙E1F A EC B丙解析：设正三棱柱的底面积为 S，将图乙竖起得图丙，则 V 水=V 柱－V AEF A1E1F1 =S·2a －（1 3 3 3 S） ·2a= aS.设图甲中水面的高度为 x，则 S·x= aS，得 x= a. 4 2 2 2 3a 答案： 24.在三棱锥 P—ABC 中，底面是边长为 2 cm 的正三角形，PA=PB=3 cm，转动点 P 时，三棱锥的最大体积为. 解析：点 P 到面 ABC 距离最大时体积最大，此时面 PAB⊥面 ABC，高 PD=2 2 .PA D BC3 2 6 1 × ×4×2 2 = . 4 3 3 2 6 答案： cm3 3V= 5.把长、宽各为 4、3 的长方形 ABCD，沿对角线 AC 折成直二面角，求顶点 B 和顶点 D 的距离. 解：如图，作 BE⊥AC 于 E，BAE DC∵二面角 B—AC—D 为直二面角，BE⊥AC， ∴BE⊥平面 ADC，DE  平面 ADC，BE⊥DE.9 12 ，AE= ，在△ADE 中，DE2=AE2＋AD2－2AD·AE· 5 5 9 4 193 81 cos∠EAD= ＋16－2· ·4· = . 5 5 25 25 337 在 Rt△BDE 中，BD=BE2＋ED2= . 5在 Rt△ABC 中，可得 BE= 培养能力 6.已知正方形 ABCD 的边长为 1，分别取边 BC、CD 的中点 E、F，连结 AE、EF、AF，以 AE、EF、FA 为折痕，折叠使点 B、C、D 重合于一点 P. （1）求证：AP⊥EF；（2）求证：平面 APE⊥平面 APF；（3）求异面直线 PA 和 EF 的距离. （1）证明：如下图，∵∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P，∴PA⊥平面 PEF. ∵EF  平面 PEF，∴PA⊥EF.P A DFA G EFBEC（2）证明：∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，∴PE⊥平面 APF.又 PE  平面 PAE， ∴平面 APE⊥平面 APF. （3）解：在面 PEF 中，作 PG⊥EF，垂足为 G，∵AP 与面 PEF 垂直，PG  平面 PEF， ∴AP⊥PG， PG⊥EF，是 AP 与 EF 的公垂线.在等腰 Rt△PEF 中， PG PE=PF=1 ， 2∠EPF=90°，∴PG=EG=2 . 47.（文）如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形，∠BAD=90°，AD ∥BC，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥底面 ABCD，PD 与底面成 30°角.z P EA B x CDy（1）若 AE⊥PD，E 为垂足，求证：BE⊥PD；（2）求异面直线 AE 与 CD 所成的角. （1）证明：以 A 为原点，AB、AD、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则 A（0，0，0），B（a，0，0），D（0，2a，0），P（0，0，3 a） AB · PD =（a，0，0）（0，， · 32a，－3 a）=0，又 AE · PD =0， 3∴ PD ⊥ AB ， PD ⊥ AE .∴PD⊥BE. （2）解：∵PA⊥面 ABCD，PD 与底面成 30°角，∴∠PDA=30°. 过 E 作 EF⊥AD，垂足为 F，则 AE=a，∠EAF=60°，AF= ∴E（0，3 1 a，EF= a， 2 23 1 a， a）. 2 2 3 1 于是 AE =（0， a， a）.又 C（a，a，0），D（0，2a，0），∴CD=（－a，a，0）. 2 21 2 a 2 cos〈 AE ， CD 〉= = 2 = ， | AE | | CD | a  2 a 4AE  CD2 . 4 （理）四棱锥 P—ABCD 中，PC⊥平面 ABCD，PC=2，在四边形 ABCD 中，∠B=∠C=90°， CD∥AB，AB=4，CD=1，点 M 在 PB 上，且 MB=3PM，PB 与平面 ABC 成 30°角，（1）求证：CM∥面 PAD；（2）求证：面 PAB⊥面 PAD；（3）求点 C 到平面 PAD 的距离. 分析：本题主要考查空间直角坐标系的概念、空间点和向量的坐标表示以及用向量法证明平行关系，同时考查向量研究空间图形的数学思想方法. 如下图，建立空间直角坐标系 O—xyz，C 为坐标原点 O，突破点在于求出相关的向量所对应的坐标. （1）证明：如图，建立空间直角坐标系.∴异面直线 AE 与 CD 所成的角是 arccosz P M D B C (O )E x A y∵PC⊥平面 ABCD， ∴∠PBC 为 PB 与平面 ABC 所成的角，即∠PBC=30°. ∵|PC|=2，∴|BC|=2 3 ，|PB|=4. 得 D（1，0，0）、B（0，2 3 ，0）、A（4，2 3 ，0）、P（0，0，2）. ∵|MB|=3|PM|， ∴|PM|=1，M（0，3 3 ，）， 2 2 3 3 CM =（0，，） DP =（－1，0，2） DA =（3，2 3 ，0）. ，， 2 2设 CM =x DP +y DA （x、y∈R），3 3 3 1 ，）=x（－1，0，2）+y（3，2 3 ，0）  x= 且 y= ， 2 2 4 4 3 1 DP + DA . ∴ CM = 4 4则（0， ∴ CM 、 DP 、 DA 共面.又∵C 平面 PAD，故 CM∥平面 PAD. （2）证明：过 B 作 BE⊥PA，E 为垂足. ∵|PB|=|AB|=4，∴E 为 PA 的中点. ∴E（2， 3 ，1） BE =（2，－ 3 ，1）. ，又∵ BE · DA =（2，－ 3 ，1）（3，2 3 ，0）=0， · ∴ BE ⊥ DA ，即 BE⊥DA. 而 BE⊥PA，∴BE⊥面 PAD. ∵BE  面 PAB，∴面 PAB⊥面 PAD. （3）解：由 BE⊥面 PAD 知，平面 PAD 的单位向量 n0= ∴CD=（1，0，0）的点 C 到平面 PAD 的距离 d=|n0· CD |=|BE=1（2，－ 3 ，1）.| BE | 2 21 2 2（2，－ 3 ，1）（1，0，0）|= ·2 . 2探究创新 8.（2003 年北京宣武区二模题）如图，AB 为圆柱 OO1 的母线，BD 为圆柱 OO1 下底面直径，AB=BD=2，点 C 为下底面圆周⊙O 上的一点，CD=1.A O1BO CD（1）求三棱锥 C—ABD 的体积；（2）求面 BAD 与面 CAD 所成二面角的大小；（3）求 BC 与 AD 所成角的大小. 分析：本题主要考查直线、平面的位置关系，考查圆柱的有关概念，考查直线、平面所成角的概念及求法，考查空间想象能力和推理能力. 解：（1）∵AB 为圆柱 OO1 的母线，∴AB⊥下底面. ∴AB 为棱锥 A—BCD 的高.而点 C 在⊙O 上，∴△BCD 为直角三角形，∠BCD=90°. ∵BD=2，CD=1，∴BC= 3 .∴V三棱锥C —ABD=V三棱锥A —BCD=31×21×1×3×2=33.（2）过B 作BE ⊥AD ，垂足为E ，过点B 作BF ⊥AC ，垂足为点F ，连结EF .由BD 为底面圆的直径，得BC ⊥CD .∵AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AB∴AC ⊥CD .而AC ∩BC =C ， ∴CD ⊥平面ABC . 而CD ⊂平面ADC ，∴平面ABC ⊥平面ADC ，且它们的交线为AC . ∵BF ⊂平面ABC ，BF ⊥AC ，垂足为点F ， ∴BF ⊥平面ACD .而BE ⊥AD ，AD ⊂平面ACD ，∴EF ⊥AD .平面ABD ∩平面ACD =AD ，∴∠BEF 是面ABD 与面ACD 所成的二面角的平面角. 由BE =21AD =2，AC =7，AB =2，可求出BF =7212.∴sin ∠BEF =BEBF =27212=742.∵∠BEF 为锐角，∴∠BEF =arcsin 742.故所求二面角的大小为arcsin742.（3）过点D 在下底面作DG ∥BC 交⊙O 于点G ，则∠GDA 为BC 与AD 所成的角.连结BG 、AG ，由BD 是⊙O 的直径，得GD ⊥BG ，则AG ⊥DG ，BC =GD.A B∴cos ∠GDA =ADGD =223=46.∴∠GDA =arccos46.∴所求BC 与AD 所成的角的大小为arccos 46.●思悟小结1.利用向量解立体几何问题，要仔细分析问题特点，把已知条件用向量表示，把一些待求的量用基向量或其他向量表示，将几何的位置关系的证明问题或数量关系的运算问题转化为典型的向量运算，以算代证，以值定形.这种方法可减少复杂的空间结构分析，使得思路简捷、方法清晰、运算直接，能迅速准确地解决问题.2.线线垂直、两异面直线的夹角、两点间的距离等问题的解决往往借助于向量坐标.正方体、长方体、底面有一角为直角的直棱柱、底面为菱形的直四棱柱、四棱锥等凡能出现三条两两垂直直线的图形，常常考虑空间直角坐标系.3.在综合问题中，首先要注意是否构建直角坐标系，能较易建立直角坐标系的，尽量建立直角坐标系.其次要注意向量运算与基本性质相结合的论述，这是今后的方向，可以“形到形”，可以“数到形”，注意数形结合，向量方法与传统方法各有千秋，相得益彰.必须熟练掌握向量的基本知识和技能，尤其提出如下几点：（1）怎样选择应用基底（不设直角坐标系）和建立直角坐标系及坐标系建立技巧；（2）法向量的应用对处理角和距离的重要性；（3）怎样用向量解决立体几何中的几大常见题型；（4）准确判断是否选用向量处理问题，明确向量解题的缺点；（5）空间向量是怎样由平面向量拓展而来的.●教师下载中心教学点睛要给学生归纳、总结，使学生系统地掌握线线、线面、面面的位置关系，特别是平行与垂直的判定与性质，通过对照，深刻理解异面直线所成的角、斜线与平面所成的角、二面角的平面角，理解点到面的距离、异面直线的距离.通过解题总结证明立体几何问题的常见方法，注意培养学生的空间想象能力.拓展题例【例1】已知直线a ∥α，且a 与α间的距离为d ，a 在α内的射影为a ′，l 为平面α内与a ′平行的任一直线，则a 与l 之间的距离的取值范围是A.［d ，+∞）B.（d ，+∞）C.（0，d ］D.{d }解析：如图，在a 上任取一点P 作PO ⊥a ′，垂足为O ，过O 作OA ⊥l ，垂足为A ，连结PA .则P A ⊥l ，P A ⊥a ，故P A 就是a 与l 之间的距离.在Rt △POA 中，PA >PO =d ，选B.答案：B【例2】如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是__________.ab解析：两个相同的几何体倒立一个，对应合缝，恰好形成一个圆柱体. 答案：21πr 2（a +b）【例3】（2003年北京西城区一模题）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为2，P 是侧棱AA 1上任意一点.A1（1）求证：B 1P 不可能与平面ACC 1A 1垂直；（2）当BC 1⊥B 1P 时，求线段AP 的长；（3）在（2）的条件下，求二面角C —B 1P —C 1的大小.（1）证明：连结B 1P ，假设B 1P ⊥平面ACC 1A 1，则B 1P ⊥A 1C 1. 由于三棱柱ABC —A 1B 1C 1为正三棱柱，A1P∴AA 1⊥A 1C 1. ∴A 1C 1⊥侧面ABB 1A 1. ∴A 1C 1⊥A 1B 1，即∠B 1A 1C 1=90°.这与△A 1B 1C 1是等边三角形矛盾. ∴B 1P 不可能与平面ACC 1A 1垂直.（2）解：取A 1B 1的中点D ，连结C 1D 、BD 、BC 1，则C 1D ⊥A 1B 1，又∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1， ∴AA 1⊥C 1D .∴C 1D ⊥平面ABB 1A 1. ∴BD 是BC 1在平面ABB 1A 1上的射影.∵BC 1⊥B 1P ，∴BD ⊥B 1P .∴∠B 1BD =90°－∠BB 1P =∠A 1B 1P .又A 1B 1=B 1B =2，∴△BB 1D ≌△B 1A 1P ，A 1P =B 1D =1.∴AP =1.（3）解：连结B 1C ，交BC 1于点O ，则BC 1⊥B 1C .又BC 1⊥B 1P ，∴BC 1⊥平面B 1CP . 过O 在平面CPB 1上作OE ⊥B 1P ，交B 1P 于点E ，连结C 1E ，则B 1P ⊥C 1E ， ∴∠OEC 1是二面角C —B 1P —C 1的平面角. 由于CP =B 1P =5，O 为B 1C 的中点，连结OP ，∴PO ⊥B 1C ，OP ·OB 1=OE ·B 1P .∴OE =530.∴tan ∠OEC 1=OEOC 1=315.∴∠OEC 1=arctan315.故二面角C —B 1P —C 1的大小为arctan 315.。

2014高考数学一轮复习单元练习--空间向量与立体几何

高新一中2013高考数学一轮复习单元练习--空间向量与立体几何I 卷一、选择题1．点M 在z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s ＝(1，－1,1)的直线l 的距离为6，则点M 的坐标是( ) A ．(0,0，±2) B ．(0,0，±3) C ．(0,0，±3) D ．(0,0，±1) 【答案】B2．在空间四边形ABCD 中，若AB a = ，BD b = ，AC c = ，则CD等于 ( ）A ．()a b c --B ．()c b a --C ．a b c --D ．()b c a --【答案】D 3．四棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，设11111,,A B a A D b AA c=== ，则下列与1B M相等的向量是 ( ）A ．1122a b c-+-B ． 1122a b c ++C ．1122a b c -+D ．1122a b c--+【答案】Ａ 4．在三棱柱111ABC A B C -中，设M 、N 分别为1,BB AC的中点，则MN等于 ( ）A ．11()2AC AB BB ++ B ．111111()2B A BC C C ++C ．11()2AC CB BB ++D ．11()2BB BA BC --【答案】B5．平面α，β的法向量分别是n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,0，－1)，则平面α，β所成角的余弦值是( ) A ．33 B ．－33 C ．63 D ．－63【答案】C6．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则BA CB CD +-等于 ( ）A ．DB B ．ADC ．DAD ．AC【答案】C7．以下命题中，不正确的命题个数为( )①已知A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则A ＋B ＋C ＋D ＝0②若{a ，b ，c}为空间一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a}构成空间的另一个基底；③对空间任意一点O 和不共线三点A 、B 、C ，若O ＝x ＋y ＋z(其中x ，y ，z ∈R)，则P 、A 、B 、C 四点共面． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B8．已知向量{a ，b ，c}是空间的一基底，向量{a ＋b ，a －b ，c}是空间的另一基底，一向量p 在基底{a ，b ，c}下的坐标为(4,2,3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c}下的坐标是( ) A ．(4,0,3) B ．(3,1,3) C ．(1,2,3) D ．(2,1,3) 【答案】B9．在棱长为1的正方体ABCD －A1B1C1D1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若＝x ＋y ＋z ，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( ) A ．1B ．12C ．13D ．16【答案】D10．在90°的二面角的棱上有A 、B 两点，AC ，BD 分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB ，已知AB ＝5，AC ＝3，BD ＝4，则CD ＝( ) A ．5 2 B ．5 3 C ．6 D ．7 【答案】A11．如图ABCD －A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝A1B14，则BE1与DF1所成角的余弦值是( )A ．1517B ．12C ．817D ．32【答案】A12．如图所示，在四面体P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B －AP －C 的余弦值为( )A．22B．33C．77D．57【答案】CII 卷二、填空题13．设a1＝2i －j ＋k ，a2＝i ＋3j －2k ，a3＝－2i ＋j －3k ，a4＝6i ＋4j ＋5k ，其中i ，j ，k 是空间向量的一组基底，试用a1，a2，a3表示出a4，则a4＝____________. 【答案】－32a1＋2a2－72a314．平面α经过点A(0,0,2)且一个法向量n ＝(1，－1，－1)，则x 轴与平面α的交点坐标是________．【答案】(－2,0,0)15．在三棱柱ABC —A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB1C1C 的中心，则AD 与平面BB1C1C 所成角的大小是________．【答案】60°16．已知a ＝(1－t ，1－t ，t)，b ＝(2，t ，t)，则|b －a|的最小值为________．【答案】355三、解答题17．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD.(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．【答案】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线OA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz.(1)依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)．则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)．所以²＝0，²＝0.即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC.故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ 。

[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第八篇第8讲立体几何中的向量方法(二)

第8讲立体几何中的向量方法（二）A 级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析设l 与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12，∴θ＝30°. 答案 A2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BB 1中点，G 是DD 1中点，F 是BC 上一点且FB ＝14BC ，则GB 与EF 所成的角为( )．A ．30°B ．120°C ．60°D ．90°解析如图建立直角坐标系D －xyz ，设DA ＝1，由已知条件，得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，B ()1，1，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1，0，GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，－12， EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，－12 cos 〈GB →，EF →〉＝GB →·EF→|GB →||EF →|＝0，则GB →⊥EF →.答案D3．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )．A.1010B.3010C.21510D.31010解析建立坐标系如图，则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0，2,2)． BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)， cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→||AE →|＝3010.所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010. 答案 B4．(2013·杭州月考)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉的值为( )．A.19B.49 5C.29 5D.23解析设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系(如图)，可知CM →＝(2，－2,1)，D 1N →＝(2,2，－1)，cos 〈CM →，D 1N →〉＝－19，sin 〈CM →，D 1N →〉＝459，答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·连云港模拟)若平面α的一个法向量为n ＝(4,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－2，－3,3)，则l 与α所成角的正弦值为________．解析 cos 〈n ，a 〉＝n ·a |n ||a |＝－832×22＝－41133.又l 与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝41133. 答案41133.6．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________．解析建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)，则EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)， ∴EF →·BC 1→＝2， ∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12，∴EF 和BC 1所成角为60°. 答案 60° 三、解答题(共25分)7．(12分)如图，四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两垂直，AB ＝BC ＝BD ＝4，E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点．(1)求异面直线AB 与EF 所成角的余弦值； (2)求E 到平面ACD 的距离；(3)求EF 与平面ACD 所成角的正弦值．解如图，分别以直线BC 、BD 、BA 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A (0,0,4)、C (4,0，0)、D (0,4，0)，E (2,0,0)、F (0，2,2)． (1)∵AB →＝(0,0，－4)，EF →＝(－2,2,2)， ∴|cos 〈AB →，EF →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－84×23＝33， ∴异面直线AB 与EF 所成角的余弦值为33.(2)设平面ACD 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·CD →＝0，∵AC →＝(4,0，－4)，CD →＝(－4,4,0)，∴⎩⎨⎧4x －4＝0，－4x ＋4y ＝0， ∴x ＝y ＝1，∴n ＝(1,1,1，)． ∵F ∈平面ACD ，EF →＝(－2,2,2)，∴E 到平面ACD 的距离为d ＝|n ·EF →||n |＝23＝233.(3)EF 与平面ACD 所成角的正弦值为|cos 〈n ，EF →〉|＝23×23＝138．(13分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6. (1)求证：BD ⊥平面P AC ； (2)求二面角P －BD －A 的大小． (1)证明如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)， C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,3)， ∴AP →＝(0,0,3)，AC →＝(23，6,0)， BD →＝(－23，2,0)．∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC . 又∵P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥面P AC .(2)解设平面ABD 的法向量为m ＝(0,0,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BD →＝0，n ·BP →＝0.∵BP →＝(－23，0,3)，∴⎩⎨⎧－23x ＋2y ＝0，－23x ＋3z ＝0解得⎩⎨⎧y ＝3x ，z ＝233x .令x ＝3，则n ＝(3，3,2)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝12. ∴二面角P －BD －A 的大小为60°.B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．如图，在四面体ABCD 中，AB ＝1，AD ＝23，BC ＝3，CD ＝2.∠ABC ＝∠DCB ＝π2，则二面角A －BC －D 的大小为( )．A.π6 B.π3 C.5π3D.5π6解析二面角A －BC －D 的大小等于AB 与CD 所成角的大小.AD →＝AB →＋BC →＋CD →.而AD →2＝AB →2＋CD →2＋BC →2－2|AB →|·|CD →|·cos 〈AB →，CD →〉，即12＝1＋4＋9－2×2cos 〈AB →，CD →〉，∴cos 〈AB →，CD →〉＝12，∴AB 与CD 所成角为π3，即二面角A －BC －D 的大小为π3.故选B. 答案 B2．如图，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1PD 1B ＝λ.当∠APC 为钝角时，则λ的取值范围是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1解析由题设可知，以DA →、DC →、DD 1→为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则有A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)．由D 1B →＝(1,1，－1)，得D 1P →＝λD 1B →＝(λ，λ，－λ)，所以P A →＝PD 1→＋D 1A →＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC →＝PD 1→＋D 1C →＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)．显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＝cos 〈P A →，PC →〉＝P A →·PC→|P A →||PC →|＜0，这等价于P A →·PC →＜0，即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)＜0，得13＜λ＜ 1.因此，λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2011·全国)已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值为________．解析如图，建立直角坐标系D －xyz ，设DA ＝1由已知条件A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，23， AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，13，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，23，设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，面AEF 与面ABC 所成的二面角为θ，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋13z ＝0，－x ＋y ＋23z ＝0.令y ＝1，z ＝－3，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－3) 平面ABC 的法向量为m ＝(0,0，－1) cos θ＝cos 〈n ，m 〉＝31111，tan θ＝23. 答案 234．在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成角的正切值是________．解析如图所示建立空间直角坐标系，设OA ＝OB ＝OC ＝1，则A (1,0,0)，B (0，1,0)，C (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，故AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0. 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AB →，n ⊥AC →，得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝1，得n ＝(1,1,1)．故cos 〈n ，OM →〉＝13×22＝63，所以OM 与平面ABC 所成角的正弦值为63，其正切值为 2. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·新课标全国)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . (1)证明：DC 1⊥BC .(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC . 而DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD . 因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解由(1)知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1A 1，所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直．以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴的正方向，|CA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 C －xyz .由题意知A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，D (1,0,1)，C 1(0,0,2)．则A 1D →＝(0,0，－1)，BD →＝ (1，－1,1)，DC 1→＝(－1,0,1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1B 1BD 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·A 1D →＝0，即⎩⎨⎧x －y ＋z ＝0，z ＝0，可取n ＝(1,1,0)．同理，设m ＝(x ，y ，z )是平面C 1BD 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·DC 1→＝0，即⎩⎨⎧x －y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0，可取m ＝(1,2,1)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝32. 故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°.6.(13分)(2012·全国)如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC . (1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A -PB -C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．(1)证明以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz . 设C (22，0,0)，D (2，b,0)，其中b >0，则P (0,0,2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫423，0，23， B ()2，－b ，0.于是PC →＝(22，0，－2)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，b ，23，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－b ，23，从而PC →·BE →＝0，PC →·DE →＝0，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE . (2)解 AP →＝(0,0,2)，AB →＝(2，－b,0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则m ·AP →＝0，且m ·AB →＝0，即2z ＝0且2x －by ＝0，令x ＝b ，则m ＝(b ，2，0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC →＝0，且n ·BE →＝0，即22p －2r ＝0且2p 3＋bq ＋23r ＝0，令p ＝1，则r ＝2，q ＝－2b ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－2b ，2.因为面P AB ⊥面PBC ，故m ·n ＝0，即b －2b ＝0，故b ＝2，于是n ＝(1，－1，2)，DP →＝(－2，－2，2)，cos 〈n ，DP →〉＝n ·DP →|n ||DP →|＝12，〈n ，DP →〉＝60°.因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP →〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°.。

2014届高考江苏专用(理)一轮复习第八章第6讲立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直

证明
如图建立空间直角坐标系A－xyz，
令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，
B1(4,0,4)．
(1)取AB中点为N，连接CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)， → → ∴DE＝(－2,4,0)，NC＝(－2,4,0)，
→ → (2)依题意有 B(1,0,1)，CB＝(1,0,0)，BP＝(－1,2，－1)．
→ n· ＝0， CB 设 n＝(x，y，z)是平面 PBC 的法向量，则 → n· ＝0， BP
x＝0，即－x＋2y－z＝0.
因此可取 n＝(0，－1，－2)．
→ m· ＝0， BP 设 m 是平面 PBQ 的法向量，则 → m· ＝0. PQ
第6讲立体几何中的向量方法(Ⅰ) ——证明平行与垂直
考点梳理
1．直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A，B 是直线 l → → 上任意两点，则称AB为直线 l 的方向向量，与AB平行
非零向量的任意_________也是直线 l 的方向向量．
(2)平面的法向量：可利用方程组求出，设 a，b 是平面 α 内两不共线向量，n 为平面 α 的法向量，则求法向量
的中点．证明：
(1)AE⊥CD； (2)PD⊥平面ABE. 证明 AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝ AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．
(1)∵∠ABC＝60°，
△ABC为正三角形．
1 ∴C ， 2
1 3 3 1 ，0，E ，， . 4 2 4 2
解
设平面 ABC 的法向量 n＝(x，y，z)．

2014届高考数学一轮复习第7章《立体几何》(第3课时)知识过关检测理新人教A版

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第7章《立体几何》（第3课时）（新人教A版）一、选择题1．若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是( )A．异面直线B．平行直线C．相交直线D．以上三种情况都有可能解析：选D.把直线放在正方体内可知a与c可以异面、平行或相交．2．(2013·石家庄调研)若异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l( )A．与直线a，b都相交B．至少与a，b中的一条相交C．至多与a，b中的一条相交D．与a，b中的一条相交，另一条平行解析：选B.若a∥l，b∥l，则a∥b，故a，b中至少有一条与l相交，故选B.3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.有2条：A1B和A1C1，故选B.4．(2013·大连质检)以下几个命题中，正确命题的个数是( )①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.①正确；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得四边形的四条边可以不在一个平面上．5．(2013·聊城质检)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.A．①②B．②③C．①④D．③④解析：选D.当a ∩α＝P 时，P ∈a ，P ∈α，但a ⊂/ α，∴①错；当a ∩b ＝P ，a ∩β＝P 时，②错；如图，∵a ∥b ，P ∈b ，∴P ∈/ a ，∴由直线a 与点P 确定唯一平面α，又a ∥b ，由a 与b 确定唯一平面β，但β过直线a 与点P ，∴β与α重合，∴b ⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．二、填空题 6．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．解析：若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．答案：1或47．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线； ②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________(把符合要求的命题序号都填上)．解析：对于①可举反例，如AB ∥CD ，A 、B 、C 、D 没有三点共线，但A 、B 、C 、D 共面．对于②由异面直线定义知正确，故填②.答案：②8．(2011·高考大纲全国卷)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为__________．解析：取A 1B 1的中点F ，连接EF ，AF . ∵在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， EF ∥B 1C 1，B 1C 1∥BC ，∴EF ∥BC ，∴∠AEF 即为异面直线AE 与BC 所成的角．设正方体的棱长为a ，则AF ＝ a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝52a ，EF ＝a .∵EF ⊥平面ABB 1A 1，∴EF ⊥AF ，∴AE ＝AF 2＋EF 2＝32a .∴cos ∠AEF ＝EF AE ＝a 32a ＝23.答案：23三、解答题9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．证明：(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA.∴P∈直线DA，∴CE、D1F、DA三线共点．10.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解：(1)不是异面直线．理由如下：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綊C1C，∴A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1、B、C、C1∈α，与ABCD－A1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．一、选择题1．以下四个命题中，正确命题的个数是( )①有三个角是直角的四边形一定是矩形；②不共面的四点可以确定四个面；③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线；④若点A、B、C∈平面M，且点A、B、C∈平面N，则平面M与平面N重合．A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.如图(1)，平面α内∠ABC为直角，P∈/ α，过P作PD⊥AB，PE⊥BC，则四边形PDBE有三个直角，故①错误；在图(2)的平面α内，四边形ABCD中任意三点不共线，知③错误；图(3)中，M∩N＝l，A、B、C都在l上，知④错误，只有②正确．2.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，C∈/ l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M解析：选D.通过A，B，C三点的平面γ，即通过直线AB与点C的平面，M∈AB.∴M∈γ，而C∈γ，又∵M∈β，C∈β，∴γ与β的交线必通过点C和点M.二、填空题3．(2013·泰安调研)若A、B、C表示三个不同的点，l表示一条直线，α表示一个平面，则在下列四个命题中：①若l⊂α，C∈α，则C∈l；②若A∈l，B∈l，且B∈/ α，则l⊂/ α；③若l⊂α，C∈l，则C∈α；④若l⊂/ α，C∈l，则C∈/ α.正确的命题有________(把所有正确命题的序号都填上)．解析：①错误．直线l在平面α内，不能得到在平面α内的一点C一定在直线l上；②正确，若直线l上一点B不在平面α内，则直线l不可能在平面α内，否则，若直线l在平面α内，可得点B 也在平面α内，与题意矛盾；③正确，直线l 在平面α内，C 是直线l 上一点，则点C 必在平面α内；④错误，直线l 不在平面α内，则直线l 与平面α可能有一个公共点C 或没有公共点．答案：②③4．(2013·潍坊质检)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1、EF 、CD 都相交的直线有________条．解析：在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α，因CD 与平面α不平行，所以它们相交，设α∩CD ＝Q ，连接PQ ，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线．由点P 的任意性，知有无数条直线与A 1D 1、EF 、CD 都相交．答案：无数三、解答题5．如图所示，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．解：取AC 的中点F ，连接EF ，BF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点， ∴EF ∥CD .∴∠BEF 即为异面直线BE 与CD 所成的角或其补角．在Rt △EAB 中，AB ＝AC ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52. 在Rt △EAF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22. 在Rt △BAF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，10 10.∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为。

《创新设计高考总复习》2014届高考数学(人教B版全国专用)一轮复习：易失分点清零(十) 立体几何(二)

易失分点清零(十) 立体几何(二)1．将下面的平面图形(每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后，直线MN 与PQ 是异面直线的是( )．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③答案 C2．已知空间直角坐标系O －xyz 中有一点A (－1，－1,2)，点B 是平面xOy 内的直线x ＋y ＝1上的动点，则A ，B 两点的最短距离是( )．A. 6B.342C ．3D.172解析点B 在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上，设点B 为(x ，－x ＋1,0)，所以AB ＝(x ＋1)2＋(－x ＋2)2＋(0－2)2＝2x 2－2x ＋9＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋172，所以当x ＝12时，AB 取得最小值342，此时点B 为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.答案 B3．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )．A.12B.22C ．－12D ．0解析因为OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos 〈OA →，OC →〉－|OA →||OB →|cos 〈OA →，OB →〉又因为〈OA →，OC →〉＝〈OA →，OB →〉＝π3，|OB →|＝|OC →|，所以OA →·BC →＝0，所以OA →⊥BC →，所以cos 〈OA →，BC →〉＝0. 答案 D4．已知a ，b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析因为AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1. 所以cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12.所以AB 与CD 所成的角为60°，即异面直线a 与b 所成的角为60°. 答案 C5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，DD 1＝3，则AC 与BD 1所成角的余弦值是( )．A ．0B.37070 C ．－37070D.7070解析分别以直线DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,3)，AC →＝(－1,2,0)，BD →1＝(－1，－2,3)，cos 〈AC →，BD 1→〉＝AC →·BD 1→|AC →||BD 1→|＝－1×(－1)＋2×(－2)＋0×3(－1)2＋22＋02×(－1)2＋(－2)2＋32＝－37070，故AC 与BD 1所成角的余弦值为37070. 答案 B6．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(1,0,1)，b ＝(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是( )．A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析 ∵cos 〈a ，b 〉＝12×2＝12，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝60°. 答案 B7.二面角α－l －β为60°，A ，B 是棱l 上的两点，AC ，BD 分别在半平面α，β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )．A ．2a B.5a C ．aD.3a解析 ∵AC ⊥l ，BD ⊥l ，∴〈AC →，BD →〉＝60°，且AC →·BA →＝0，AB →·BD →＝0， ∴CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴|CD →|＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝a 2＋a 2＋(2a )2＋2a ·2a cos 120°＝2a . 答案 A8．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成角是( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0，0,1)，C (1，2，0)，PC →＝(1，2，－1)，平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，所以cos 〈PC →，n 〉＝PC →·n|PC →||n |＝－12，所以〈PC →，n 〉＝120°，所以斜线PC 与平面ABCD 的法向量所在直线所成角为60°，所以斜线PC 与平面ABCD 所成角为30°. 答案 A9．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为( )．A ．10B ．3C.83D.103解析 P A →＝(1,2，－4)，∴P 到平面α的距离d ＝|P A →·n ||n |＝|1×(－2)＋2×(－2)＋(－4)×1|4＋4＋1＝|－2－4－4|3＝103.答案 D10.如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C －BF －D 的正切值为( )．A.36 B.34 C.33D.23 3解析如图所示，连接AC ，AC ∩BD ＝O ，连接OF .以O 为原点，OB 、OC 、OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .设P A ＝AD ＝AC＝1，则BD ＝ 3.所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0. 结合图形可知，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0且OC →为面BOF 的一个法向量，由BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12，可求得面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)．所以cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277，所以tan 〈n ，OC →〉＝23 3. 答案 D11．(2013·兰州模拟)已知点A (λ＋1，μ－1,3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________.解析因为AB →＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，AC →＝(2，－2,6)，若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →，即λ－12＝－12＝λ－2μ－36，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0.答案 012．已知A (2,5，－6)，在xOy 平面上存在点B ，使得|AB →|＝35，则点B 到原点的最短距离为________．解析设B (x ，y,0)，由|AB →|＝(x －2)2＋(y －5)2＋62＝35，得(x －2)2＋(y －5)2＝9，所以点B 在xOy 平面内以C (2,5)为圆心，以3为半径的圆上，到原点的最短距离是|OC |－3＝29－3. 答案29－313．(2013·泰安模拟)如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F 、G 分别是线段AE 、BC 的中点．AD 与GF 所成角的余弦值为________．解析以C 为原点建立空间直角坐标系C －xyz ，A (0,2,0)，B (2,0,0)，D (0,0,2)，G (1,0,0)，F (0,2,1)，AD →＝(0，－2,2)，GF →＝(－1,2，1)，|AD →|＝22，|GF →|＝6，AD →·GF →＝－2，cos 〈AD →，GF →〉＝AD →·GF →|AD →||GF →|＝－36.故AD 与GF 所成角的余弦值为36. 答案 3614．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝AD ＝1，AB ＝2，点E 是AB 上一点．AE 等于________时二面角P －EC －D 的平面角为π4.解析以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (0,2,0)，PC →＝(0,2，－1)．设E (1，y 0,0)，则EC →＝(－1，2－y 0,0)，设平面PEC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EC →＝0，n 1·PC →＝0⇒⎩⎨⎧－x ＋y (2－y 0)＝0，2y －z ＝0，令y ＝1，得n 1＝(2－y 0,1,2)，而平面ECD 的法向量n 2＝(0,0,1)，设二面角P －EC －D 的平面角为θ，∴cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝2(2－y 0)2＋12＋22×1＝22⇒y 0＝2－3，即AE ＝2－ 3.答案 2－ 315．已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点． (1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．(1)证明设P A ＝1，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系如图所示．则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，所以CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，12，SN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0.因为CM →·SN →＝－12＋12＋0＝0，所以CM ⊥SN .(2)NC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧a ·CM →＝0，a ·NC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0，令x ＝2，得a ＝(2,1，－2)．因为|cos 〈a ，SN →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－123×22＝22.所以SN 与平面CMN 所成角为45°.。

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立体几何初步§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征重难点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征；柱、锥、台、球的结构特征的概括．考纲要求：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．经典例题：如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，一只蚂蚁从A到C1点，沿着表面爬行的最短距离是多少．当堂练习：1．由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是（）A．六棱锥B．六棱台C．六棱柱D．非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体2下列说法中，正确的是（）A．棱柱的侧面可以是三角形B．由六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C．正方体的各条棱都相等D．棱柱的各条棱都相等3．一个骰子由1~6六个数字组成,请你根据图中三种状态所显示的数字,推出“？”处的数字是（）A．6 B． 3 C． 1 D．24．有两个面互相平行, 其余各面都是梯形的多面体是（）A．棱柱B．棱锥C．棱台D．可能是棱台, 也可能不是棱台, 但一定不是棱柱或棱锥5．构成多面体的面最少是（）A．三个B．四个C．五个D．六个6．用一个平面去截棱锥, 得到两个几何体, 下列说法正确的是（）A．一个几何体是棱锥, 另一个几何体是棱台B．一个几何体是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台C．一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体是棱台D．一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台7．甲：“用一个平面去截一个长方体, 截面一定是长方形”；乙：“有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥”.这两种说法（）A．甲正确乙不正确B．甲不正确乙正确C．甲正确乙正确D．不正确乙不正确8．圆锥的侧面展开图是（）A．三角形B．长方形C．D．形9．将直角三角形绕它的一边旋转一周, 形成的几何体一定是（）A．圆锥B．圆柱C．圆台D．上均不正确10．下列说法中正确的是（）A．半圆可以分割成若干个扇形B．面是八边形的棱柱共有8个面C．直角梯形绕它的一条腰旋转一周形成的几何体是圆台D．截面是圆的几何体，不是圆柱，就是圆锥11．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（）A．圆锥B．圆柱C．球体D．以上都可能12．A、B为球面上相异两点, 则通过A、B可作球的大圆有（）A．一个B．无穷多个C．零个D．一个或无穷多个13．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，下面的几个截面图中，必定错误的是（）A．B．C．D．14．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 得到两个几何体, 一个是________，另一个是．15. 如右图, 四面体P-ABC中, PA=PB=PC=2, ∠APB=∠BPC=∠APC=300. 一只蚂蚁从A点出发沿四面体的表面绕一周, 再回到A点, 问蚂蚁经过的最短路程是_________．16．如右图将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由简单几何体是___________________．17．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面, 则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是_______________．18．只有3个面的几何体能构成多面体吗？4面体的棱台吗？棱台至少几个面．19．棱柱的特点是：(1)两个底面是全等的多边形，(2)多边形的对应边互相平行，(3)棱柱的侧面都是平行四边形．反过来，若一个几何体，具备上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？20．如下图几何体是由哪些简单几何体构成的？21．(1)圆柱、圆锥、圆台可以看成以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形旋转一周而形成的曲面围成的几何体，三个图形之间的什么联系？(2)一个含有300的直角三角板绕其一条边旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以底边上的高所在直线为轴旋转1800得到什么几何体？旋转3600又如何？第1章立体几何初步§1.1.2 中心投影与平行投影以及直观图的画法重难点：理解中心投影、平行投影的概念，掌握三视图的画法规则及能画空间几何体的三视图并能根据三视图判断空间几何体的形状和结构，了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积公式的推理过程．考纲要求：①能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；②会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；③会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）．经典例题：右图是一个多面体的展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答问题：（1）这个几何体是什么体？（2）如果面A在几何体的底部，那么哪一个面会在上面？（3）如果面F在前面，从左面看是面B，那么哪一个面会在上面？（4）从右边看是面C，面D在后面，那么哪一个面会在上面？当堂练习：1．下列投影是中心投影的是（）A．三视图B．人的视觉C．斜二测画法D．人在中午太阳光下的投影2．下列投影是平行投影的是（）A．俯视图B．路灯底下一个变长的身影C ．将书法家的真迹用电灯光投影到墙壁上D ．以一只白炽灯为光源的皮影3．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体可能是（）A ．圆柱 B. 三棱柱 C. 圆锥 D.球体4．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图相同的几何体是（）A ．球和圆柱B ．圆柱和圆锥C ．正方体的圆柱D ．球和正方体5．一个含的圆柱、圆锥、圆台和球的简单组合体的三视图中，一定含有（）A ．四边形B ．三角形C ．圆D ．椭圆6．如果用表示一个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那么右图中有7个立方体叠成的几何体，从主视图是（）A ．B ．C ．D ．7．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段（）A ．平行且相等B ．平行但不相等C ．相等但不平行D ．既不平行也不相等8．下列说法中正确的是（）A ．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B ．梯形的直观图可能是平行四边形 C ．矩形的直观图可能是梯形 D ．正方形的直观图可能是平行四边形9．如右图中“斜二测”直观图所示的平面图形是（）A ．直角梯形B ．等腰梯形C ．不可能是梯形D ．平行四边形10．如右图所示的直观图，其平面图形的面积为（）A ． 3B ． 223 C ． 6 D ．. 3211．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，若其直观图的面积是原三角形面积的（）A ．21倍 B ．2倍 C ．22倍 D ．2倍12．如右图，直观图所表示的平面图形是（）A ．正三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形13．如右图，用斜二测画法作∆ABC 水平放置的直观图形得∆A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在∆ABC 中，下列四个结论中正确的是（）A ．AB=BC=ACB ． AD ⊥BC C ． AC>AD>AB>BCD ． AC>AD>AB=BC14．主视图与左视图的高要保持______，主视图与俯视图的长应_________，俯视图与左视图的宽度应_________．15．如果一个几何体的视图之一是三角形, 那么这个几何体可能有___________________(写出两个几何体即可)．16．一个水平放置的正方形的面积是4, 按斜二测画法所得的直观图是一个四边形, 这个四边形的面积是________________．17．斜二测画法所得的直观图的多边形面积为a , 那么原图多边形面积是_____________．18．如图是由小立方块描成几何体同的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出它的主视图和左视图．19．画出如图的三视图(单位:mm)．20．已知斜二测画法得得的直观图 A/B/C/是正三角形,画出原三角形的图形．21．如下图, 如果把直角坐标系放在水平平面内, 用斜二测画法, 如何可以找到坐标为(),b a 的点P 在直观图中的位置P/ ?第1章立体几何初步§1.2点、线、面之间的位置关系考纲要求：①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，这条直线上所有的点在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．理解以下判定定理．◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．§1.2.1 平面的基本性质重难点：理解平面的概念及表示，掌握平面的基本性质并注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言．经典例题：如图，设E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是正方体所在棱上的中点，求证：E ，F ，G ，H ，P ，Q 共面. 当堂练习：1．下面给出四个命题： ①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是（）A ． 0B ．1C ．2D ．32．若点N 在直线a 上，直线a 又在平面α内，则点N ，直线a 与平面α之间的关系可记作（）A ．N a α∈∈B ．N a α∈⊂C ．N a α⊂⊂D ．N a α⊂∈3．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（）A ．0B ．1C ．1或4D ．无法确定4．空间四点A ，B ，C ，D 共面但不共线，则下面结论成立的是（）A ．四点中必有三点共线B ．四点中必有三点不共线C ．AB ，BC ，CD ，DA 四条直线中总有两条平行 D ．直线AB 与CD 必相交5．空间不重合的三个平面可以把空间分成（）A ． 4或6或7个部分B ． 4或6或7或8个部分C ． 4或7或8个部分D ． 6或7或8个部分6．下列说法正确的是（）①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB α⊂, 则线段AB 延长线上的任何一点一点必在平面α内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.A ． ①②③B ． ②③④C ． ③④D ． ②③7．空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n ，则n 的可能取值为（）A ． 1B ．1或3C ．1或2或3D ．1或 48．如果,,,,B b A a b a =⋂=⋂⊂⊂ αα那么下列关系成立的是（）A ．α⊂B ．α∉C ．A =⋂αD ．B =⋂α9．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为（）A ．7个B ．6个C ． 5个D ．4个10．两个平面重合的条件是它们的公共部分有（）A ．两个公共点B ．三个公共点C ．四个公共点D ．两条平行直线11．一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是（）A ． 1或3个B ．1或4个C ．1个、3个或4个D ． 1个、2个或4个12．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（）A ．1个B ．1个或2个C ．1个或3个D ．3个13．空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ⋂GH=P ，则点P （）A ．一定在直线BD 上B ．一定在直线AC 上 C ．在直线AC 或BD 上 D ．不在直线AC 上也不在直线BD 上14．设平面α与平面β交于直线 , 直线α⊂a , 直线β⊂b ,M b a =⋂, 则M_______ ．15．直线AB 、AD α⊂，直线CB 、CD β⊂，点E ∈AB ，点F ∈BC ，点G ∈CD ，点H ∈DA ，若直线HE ⋂直线FG=M ，则点M 必在直线___________上．16．如图,在棱长为a 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 、N 分别为AA1、C1D1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与直线A1B1交于点P ，则线段PB1的长为_______________．17．如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D 、C1的平面交于点M ，则BM ：MD1=________________． (16题) (17题)18．如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EH 与FG 交于点O ．求证：B 、D 、O 三点共线．19．证明梯形是平面图形．20．已知: 直线c b a ||||, 且直线与a, b, c 都相交．求证: 直线 ,,,c b a 共面．21．在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1C 交平面ABC1D1于点M , 试作出点M 的位置．第1章立体几何初步§1.2.2 空间两直线的位置关系重难点：理解异面直线的概念，能计算异面直线所成角；掌握公理4及等角定理．经典例题：如图，直线a,b 是异面直线，A 、B 、C 为直线a 上三点,D 、E 、F 是直线b 上三点，A ' 、B ' 、C '、D ' 、E '分别为AD 、DB 、BE 、EC 、CF 求证：（1）'''A B C ∠='''C D E ∠；（2）A ' 、B ' 、C '、D ' 、E '共面．当堂练习：1．若a ,b 是异面直线, b, c 是异面直线, 则a ,c 的位置关系是（）A ．相交、平行或异面B ．相交或平行C ．异面D ．平行或异面2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（）A ．异面B ．相交C ．平行D ．异面或相交3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（）A ．3条B ． 4条C ． 6条D ． 8条4．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （）A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线5．下面命题中，正确结论有（）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④ 如果两条直线同平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ．4个6．下列命题中正确命题的个数是（）两条直线和第三条直线等角，则这两条直线平行；平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；过空间四边形ABCD 的顶点A 引CD 的平行线段AE, 则∠BAE 是异面直线AB 与CD 所成的角;④ 四边相等, 且四个角也相等的四边形是正方形.A ． 0B ． 1C ． 2D ． 37．已知异面直线a,b 分别在,αβ内，面αβ =c ，则直线c （）A ．一定与a,b 中的两条都相交B ．至少与a,b 中的一条都相交C ．至多与a,b 中的一条都相交D ．至少与a,b 中的一条都平行8．两条异面直线所成的角指的是（）①两条相交直线所成的角; ②过空间中任一点与两条异面直线分别平行的两条相交直线所成的锐角或直角; ③过其中一条上的一点作与另一条平行的直线, 这两条相交直线所成的锐角或直角; ④ 两条直线既不平行又不相交, 无法成角．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④9．空间四边形ABCD 中, AB 、BC 、CD 的中点分别是P 、Q 、R , 且PQ=2 , QR=5, PR=3 ,那么异面直线AC 和BD 所成的角是（）A ． 900B ． 600C ． 450D ．30010．直线a 与直线b 、c 所成的角都相等, 则b 、c 的位置关系是（）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都可能11．空间四边形ABCD 的两条对角线AC 和BD 的长分别为6和4，它们所成的角为900，则四边形两组对边中点的距离等于（）A ．B ． 5C ． 5D ．以上都不对12．如图，ABCD —A1B1C1D1是正方体，E ，F ，G ，H ，M ，N 分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是（） A ．GH 和MN 是平行直线；GH 和EF 是相交直线 B ．GH 和MN 是平行直线；MN 和EF 是相交直线C ．GH 和MN 是相交直线；GH 和EF 是异面直线D ．GH 和EF 是异面直线；MN 和EF 也是异面直线 13．点A 是等边三角形BCD 所在平面外一点, AB=AC=AD=BC=a,E 、F 分别在AB 、CD 上，且)0(>==λλFD CF EB AE ，设λλβαλ+=)(f ，λα表示EF 与AC 所成的角，λβ表示EF 与BD 所成的角，则（）)(λf 在),0(+∞上是增函数 B ． )(λf 在),0(+∞上是增函数C ． )(λf 在)1,0(上是增函数，在),1(+∞上是减函数D ． )(λf 在),0(+∞上是常数14．直线a 、b 不在平面α内，a 、b 在平面α内的射影是两条平行直线，则a 、b 的位置关系是_______________________．15．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 、F 、G 、H 分别为AA1、CC1、C1D1、D1A1的中点，则四边形EFGH 的形状是___________________．A 116．空间四边形ABCD 中, AD=1 , BC=3, BD=2, AC=2, 且AD BC ⊥, 则异面直线AC 和BD 所成的角为__________________．17．已知a ,b 是一对异面直线，且a ,b 成700角, 则在过P 点的直线中与a ,b 所成的角都为700的直线有____________条．18．已知AC 的长为定值，D ∉平面ABC ，点M 、N 分别是∆DAB 和∆DBC 的重心．求证: 无论B 、D 如何变换位置, 线段MN 的长必为定值．19．M 、N 分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、B1C1的中点，(1)求MN 与AD 所成的角；(2)求MN 与CD 1所成的角．20．如图，已知空间四边形ABCD 的对角线AC=14cm,BD=14cm ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，MN=73cm ，求异面直线AC 与BD 所成的角．21．在共点O 的三条不共面直线a 、b 、c 上，在点O 的同侧分别取点A 的A1、B 的B1、C和C1，使得OC OC OA OA OB OB OA OA 1111,==. 求证: ABC ∆∽∆A1B1C1 ．第1章立体几何初步§1.2.3 直线与平面的位置关系重难点：了解直线与平面的位置关系，在判定和证明直线与平面的位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义；线面关系的判定和证明，要注意线线关系、线面关系的转化．经典例题：直角∆ABC 所在平面外一点S ，且SA=SB=SC.⑴求证：点S 与斜边中点D 的连线SD ⊥面ABC ；⑵若直角边BA=BC ，求证：BD ⊥面SAC．当堂练习：1．下面命题正确的是（）A ．若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面没有公共点B ．若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面内的任何一条直线没有公共点C ．若一条直线与一个平面有公共点，直线与这相交D ．直线在平面外，则直线与平面相交或平行2．直线b 是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b||α的是（）A ．b 与α内的一条直线不相交B ．b 与α内的两条直线不相交C ．b 与α内的无数条直线不相交D ．b 与α内的所有直线不相交3．下列命题正确的个数是（）①若直线上有无数个点不在平面α内, 则α|| ; ②若直线与平面α平行, 则与平面α内有任意一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行; ④若直线与平面α平行, 则与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A ．0个B ． 1个C ． 2个D ．3个4．下无命题中正确的是（）①过一点, 一定存在和两条异面直线都平行的平面; ②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行; ③若两条直线没有公共点, 则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行.A ． ①B ． ③C ． ①③D ． ①②③5．直线a,b 是异面直线，A 是不在a,b 上的点，则下列结论成立的是（）A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行于a ，b 的平面可能不存在6．直线a,b 是异面直线，则下列结论成立的是（）A ．过不在a ，b 上的任意一点，可作一个平面与a ，b 平行B ．过不在a ，b 上的任意一点，可作一条直线与a ，b 相交C ．过不在a ，b 上的任意一点，可作一条直线与a ，b 都平行D ．过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行7．下面条件中, 能判定直线α平面⊥ 的一个是（）A ．与平面α内的两条直线垂直B ．与平面α内的无数条直线垂直C ．与平面α内的某一条直线垂直D ．与平面α内的任意一条直线垂直8．空间四边形ABCD 中, AC=AD, BC=BD, 则AB 与CD 所成的角为（）A ． 300B ． 450C ． 600D ． 9009．如果直线与平面α不垂直, 那么在平面α内（）A ．不存在与垂直的直线B ．存在一条与垂直的直线C ．存在无数条与垂直的直线D ．任意一条都与垂直10．定点P 不在∆ABC 所在平面内, 过P 作平面α, 使∆ABC 的三个顶点到平面α的距离相等, 这样的平面共有（）M B FN D A E B H CD AF EG A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个11．∆ABC 所在平面外一点P, 分别连结PA 、PB 、PC, 则这四个三角形中直角三角形最多有（）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个12．下列四个命题：①过平面外一点存在无数条直线和这个平面垂直；②若一条直线和平面内的无数多条直线垂直，则这条直线和平面垂直；③仅当一条直线和平面内两条相交直线垂直且过交点时这条直线才和平面垂直；④若一条直线平行于一个平面，则和这条直线垂直的直线必和这个平面垂直. 其中正确的个数是（）A ．0B ． 1C ． 2D ． 313．如图，在正方形SG1G2G3中，E ，F 分别是G1G2，G2G3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G ，这样，下列五个结论：（1）SG ⊥平面EFG ；（2）SD ⊥平面EFG ；（3）GF ⊥平面SEF ；（4）EF ⊥平面GSD ；（5）GD ⊥平面SEF. 正确的是（）A ．（1）和（3）B ．（2）和（5）C ．（1）和（4）D ．（2）和（4）14．若直线a 与平面α内的无数条直线平行, 则a 与α的关系为_____________．15．在空间四边形ABCD 中, AD N AB M ∈∈,,若AM ANMBND =, 则MN 与平面BDC 的位置关系是__________________．16．∆ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2cm 、3cm 、4cm ,且它们在平面α的同一侧, 则∆ABC 的重心到平面α的距离为________________．17．若空间一点P 到两两垂直的射线OA 、OB 、OC 的距离分别为a 、b 、c ，则OP 的值为______________．18．已知四面体ABCD 中，M ，N 分别是ACD ABC ∆∆和的重心，求证：（1）BD||平面CMN ；（2）MN||平面ABD ．19．如图，空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形， (1)求证：CD||平面EFGH ；(2)求异面直线AB ，CD 所成的角．20．M ，N ，P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上的点，且AM ：MB=CN ：NB=CP ：PD.求证：（1）AC||平面MNP ，BD||平面MNP ；（2）平面MNP 与平面ACD 的交线||AC ． D S G 2G 3G 1F E GDEM AB N P21．如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B1H ⊥D1O ，H 为垂足．求证：B1H ⊥平面AD1C ．第1章立体几何初步§1.2.4 平面与平面的位置关系重难点：了解直线与平面的位置关系，在判定和证明直线与平面的位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义；线面关系的判定和证明，要注意线线关系、线面关系的转化．经典例题：如图,在四面体S-ABC 中, SA ⊥底面ABC,AB ⊥BC ．DE 垂直平分SC, 且分别交AC 、SC 于D 、E. 又SA ＝AB,SB ＝BC.求以BD 为棱, 以BDE 与BDC 为面的二面角的度数．当堂练习：1．下列命题中正确的命题是（）①平行于同一直线的两平面平行; ②平行于同一平面的两平面平行;③垂直于同一直线的两平面平行; ④与同一直线成等角的两平面平行.A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和③和④2．设直线 ,m,平面,αβ,下列条件能得出||αβ的是（）A ．,m αα⊂⊂ ,且||,||m ββB ． ,m αα⊂⊂ ,且||mC ． ,m αβ⊥⊥ ,且||mD ． ||,||m αβ ,且||m3．命题：①与三角形两边平行的平面平行于是三角形的第三边; ②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边；③与三角形三顶点等距离的平面平行这三角形所在平面．其中假命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知a,b 是异面直线，且a ⊥平面α，b ⊥平面β，则α与β的关系是（）A ．相交B ．重合C ．平行D ．不能确定5．下列四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行; ④如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面，则这两个平面平行. 其中正确命题是（）A 1AA 1A ． ①、②B ． ②、④C ． ①、③D ． ②、③6．设平面βα||，A βα∈∈B ,，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在βα,内运动时，那么所有的动点C （）A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面7．,αβ是两个相交平面，a ,b αβ⊂⊂,a 与b 之间的距离为d1，α与β之间的距离为d2，则（）A ．d1=d2B ．d1>d2C ．d1<d2D ．d1≥d28．下列命题正确的是（）A ．过平面外一点作与这个平面垂直的平面是唯一的B ．过直线外一点作这条直线的垂线是唯一的C ．过平面外的一条斜线作与这个平面垂直的平面是唯一的D ．过直线外一点作与这条直线平行的平面是唯一的9．对于直线m 、n 和平面α、β, 下列能判断α⊥β的一个条件是（）A ．,||,||m n m n αβ⊥B ．,,m n m n αβα⊥⋂=⊂C ．||,,m n n m βα⊥⊂D ．||,,m n m n αβ⊥⊥10．已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β,有下面四个命题: ①m l ⊥⇒βα//②m l //⇒⊥βα③βα⊥⇒m l //④βα//⇒⊥m l 其中正确的两个命题是（）A ．①与②B ．③与④C ．②与④D ．①与③11．设αβ-- 是直二面角，直线,,a b αβ⊂⊂且a 不与垂直，b 不与垂直，则（）A ． a 与b 可能垂直，但不可能平行B ． a 与b 可能垂直也可能平行C ． a 与b 不可能垂直，但可能平行D ． a 与b 不可能垂直，也不可能平行12．如果直线、m 与平面α、β、γ满足： =β∩γ, //α,m ⊂α和m ⊥γ那么必有（）A ．α⊥γ且 ⊥mB ．α⊥γ且m ∥βC ． m ∥β且 ⊥mD ．α∥β且α⊥γ13．如图,正方体ABCD —A1B1C1D1中，点P 在侧面BCC1B1上运动，并且总是保持AP ⊥BD1，则动点P 的轨迹是（）A ．线段B1CB ．线段BC1C ．BB1中点与CC1中点连成的线段D ．BC 中点与B1C1中点连成的线段 14．平面βα平面||, ∆ABC 和∆A/B/C/分别在平面α和平面β内, 若对应顶点的连线共点,则这两个三角形_______________．15．夹在两个平行平面间的两条线段AB 、CD 交于点O ，已知AO=4，BO=2，CD=9，则线段CO 、DO 的长分别为_________________．。

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