垂线的定义 画法
垂线的画法
垂线段是连接一点和它在给定直 线上垂足的线段。
垂线段与垂足概念
垂线段
从直线外一点到这条直线的垂线 段的长度，叫做点到直线的距离 。
垂足
如果两直线的夹角为直角，那么 就说这两条直线互相垂直，其中 一条直线叫做另一条直线的垂线 ，他们的交点叫做垂足。
垂线性质及其应用
垂线的性质
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最 短。简称：垂线段最短。
若两点都在直线外，则先确定其中一点到直线的垂足，再以该垂足和另一点为端点 画直线。
在复杂图形中确定垂足位置
观察图形特点，找出 与已知直线构成直角 的点或线段。
在确定垂足位置后， 按照过一点或两点作 已知直线垂线的方法 进行绘制。
使用直角三角板或量 角器等工具进行辅助 ，确定垂足位置。
04
垂线在几何图形中应用举 例
垂线的性质：垂线段最短，即垂足到线段两 个端点的距离相等。
04
1. 将三角板的一条直角边与已知直线重合 。
2. 沿着直线移动三角板，直到另一条直角 边与已知点重合。
05
06
3. 沿着这条直角边画一条直线，这条直线 就是已知直线的垂线。
学生自我评价报告分享
学生可以分享自己在垂线画法学习过 程中的心得体会，如遇到的困难、如 何克服这些困难以及取得的进步等。
使用铅笔沿着直尺的另一条边轻轻地 画出垂线，使其经过已选定的点。
放置直尺
将直尺的一条边与已有点所在的直线 重合，确保直尺边与直线紧密贴合。
使用量角器和三角板辅助绘制
选择量角器和三角板
01
选择一个合适的量角器和三角板组合，确保能够准确地测量和
绘制所需角度。
放置量角器
02
四年级数学上册教案-5.1垂线的画法-人教版
四年级数学上册教案-5.1垂线的画法-人教版一、教学目标1. 让学生理解垂线的概念，掌握垂线的性质。
2. 学会使用直尺和圆规画垂线。
3. 培养学生的观察能力和动手操作能力。
二、教学内容1. 垂线的概念和性质2. 画垂线的方法三、教学重点与难点1. 教学重点：垂线的概念和性质，画垂线的方法。
2. 教学难点：如何正确使用直尺和圆规画垂线。
四、教学过程1. 导入新课通过复习旧知识，引导学生回顾直线的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解垂线的概念和性质（1）教师讲解垂线的概念：如果两条直线相交成直角，其中一条直线叫作另一条直线的垂线。
（2）教师讲解垂线的性质：一条直线的垂线有无数条，且都相交于同一点。
3. 演示画垂线的方法（1）教师用直尺和圆规演示如何画垂线。
（2）学生跟随教师一起操作，学会画垂线的方法。
4. 练习画垂线学生分组练习画垂线，教师巡回指导，纠正错误。
5. 巩固练习（1）教师出示一些练习题，让学生独立完成。
（2）教师点评学生的练习，讲解典型错误。
6. 课堂小结教师引导学生总结本节课所学内容，强调垂线的概念、性质和画法。
五、课后作业1. 让学生完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 让学生回家后，向家长讲解垂线的概念和性质，以及如何画垂线。
六、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
七、附录1. 教学课件2. 练习题及答案注：本教案适用于人教版四年级数学上册第五单元第一节《垂线的画法》。
重点关注的细节：垂线的性质与画法在四年级数学上册的“垂线的画法”这一节中，垂线的性质与画法是学生需要掌握的核心知识点。
因此，对于这个重点细节，我们需要进行详细的补充和说明。
一、垂线的性质1. 定义：如果两条直线相交成直角，其中一条直线叫作另一条直线的垂线。
2. 垂线的唯一性：在平面几何中，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。
3. 垂线的传递性：如果直线l垂直于直线m，直线m垂直于直线n，那么直线l垂直于直线n。
2.2 垂线
2.2 垂线【知识精华点击】课标要求1. 了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；2. 了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义, 并会度量点到直线的距离.本节重点是两条直线互相垂直的概念、性质和画法，“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用；难点是画给定直线的垂线以及对点到直线的距离的概念的理解. 教材详析1.垂线(1)定义：当两条直线相交成的4个角中，有一个角是直角时，就叫做这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
理解垂直要注意以下三点：①掌握垂直的表示法垂直用符号“⊥”来表示，如图 2.2-1，“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”可记为AB ⊥CD,垂足为O ，并在图中任意一个角处作上直角记号,OD C B A图2.2-1②理解垂直与相交的关系垂直是相交的特殊情形，即相交成的角是直角时就是垂直。
所以两条直线互相垂直就一定相交，反过来，两条直线相交就不一定互相垂直。
③弄清“互相垂直”与“垂线”的联系和区别“互相垂直”是两条直线间的一种特殊位置关系，“垂线”则是两条直线互相垂直时其中的一条直线对另一条直线的称呼。
两条直线“互相垂直”时，其中的一条直线就是另一条直线的“垂线”。
反之，如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么这两条直线就一定互相垂直。
(2)几何推理：包括正用（判定）和反用（性质）的推理过程。
如图2.2-1， 判定：∵∠AOB=90°,∴AB ⊥CD ； 性质：∵AB ⊥CD ，∴∠AOB=90°。
(3)垂直的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(4) 垂线的画法①通过直线上的已知点画与这条直线垂直的直线（如图2.2-2（1））：第一步：把三角板的一条直角边与直线重合；第二步：沿着直线左右移动三角板，使直角顶点与直线上的已知点重合；第三步：沿另一条直角边画一条直角边画一条直线。
垂线(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题5.4垂线（知识讲解）1.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；2.理解并运用“垂线段最短”解决实际问题；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．特别说明：(1)记法：直线a 与b 垂直，记作：a b ⊥；直线AB 和CD 垂直于点O，记作：AB⊥CD 于点O.(2)垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：90AOC ∠=° 判定性质CD⊥AB．：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．特别说明：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．特别说明：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．特别说明：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、垂线➽➼定义的理解➼➻垂直✬✬直角1．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，下列条件：90AOD ∠=︒①；AOC BOC ∠=∠②；AOC BOD ∠=∠③，其中能说明AB CD ⊥的有（）A ．①B ．①或②C ．①或③D ．①或②或③【答案】B 【分析】根据垂直定义“当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直”进行判定即可．解：90AOD ∠=︒①，可以得出AB CD ⊥，故符合题意；180AOC BOC ∠+∠=︒ ②，AOC BOC ∠=∠，故符合题意，90AOC BOC ∴∠=∠=︒，可以得出AB CD ⊥；AOC BOD ∠=∠③，不能得到AB CD ⊥，故不符合题意；故能说明AB CD ⊥的有①②．故选：B ．【点拨】此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为90︒．举一反三：【变式1】如图，同一平面内的三条直线交于点O ，130∠=︒，260∠=︒，AB 与CD 的关系是（）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．以上均有可能【变式2】如图，120∠=︒，则2∠的度数是（）A．50︒B．60︒C．70︒D．80︒【答案】C【分析】根据图象可得：∠1+∠2=90°，代入求解即可得出结果．解：∵∠1+∠2+90°=180°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=20°，∴∠2=70°，故选：C．【点拨】题目主要考查角度计算，从图中得出∠1+∠2=90°是解题关键．类型二、垂线➽➼垂线的画法条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（）A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对【答案】C【分析】根据垂直的定义即可解答．解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确，故选：C．【点拨】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键．举一反三：【变式1】下列用三角板过点P画AB的垂线CD，正确的是（）【变式2】过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在()A．这条线段上B．这条线段的端点处C．这条线段的延长线上D．以上都可以【答案】D【分析】画一条线段的垂线就是画线段所在直线的垂线，进而得出答案.解答：由垂线的定义知，画一条线段的垂线，垂足可以在线段上，可以是线段的端点，也可以在线段的延长线上.故选D.【点拨】本题主要考查线段垂线的画法，正确把握垂线的定义是关键.类型三、垂线➽➼点到直线的距离✬✬垂线段画法3．如图，90AOB ∠=︒，P 是OB 上的一点，用刻度尺分别度量点P 到直线OA 和到直线OC 的距离．【答案】点P 到直线OA 的距离约为2cm ，点P 到直线OC 的距离约为1.1cm【分析】过点P 作PD OC ⊥，用刻度尺分别度量PO 和PD 的长度，即可得到点P 到直线OA 和到直线OC 的距离．【详解】解：过点P 作PD OC ⊥，用刻度尺分别度量，可得点P 到直线OA 的距离约为2cm ，点P 到直线OC 的距离约为1.1cm ．【点拨】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是清楚点到直线的距离是垂线段的长度．举一反三：【变式1】如图，AB 、CD 、NE 相交于点O ，OM 平分BOD ∠，OM ON ⊥，55AOC ∠=︒．(1)线段______的长度表示点M 到NE 的距离；(2)比较MN 与MO 的大小（用“＜”号连接）：____________，并说明理由：____________；(3)求AON ∠的度数．【答案】(1)MO ；(2)MO MN <，是因为垂线段最短；(3)62.5︒【分析】（1）根据点到直线的距离求解即可；（2）根据垂线段最短求解即可；（3）根据垂直的定义和角之间的关系求解即可．（1）解：线段MO 的长度表示点M 到NE 的距离，故答案为：MO ；（2）解：比较MN 与MO 的大小为：MO MN <，是因为垂线段最短，故答案为：MO MN <，是因为垂线段最短；（3）解：55BOD AOC ∠=∠=︒ ，OM 平分BOD ∠，27.5BOM ∴∠=︒，18018027.59062.5AON BOM MON ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点拨】本题考查了点到直线的距离、角平分线、垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线的距离．【变式2】已知：点P 是直线MN 外一点，点A 、B 、C 是直线MN 上三点，分别连接PA 、PB 、PC ．（1）通过测量的方法，比较PA 、PB 、PC 的大小，直接用“>”连接；（2）在直线MN 上能否找到一点D ，使PD 的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD ，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．【答案】（1）PA PB PC >>；（2）见解析，垂线段最短【分析】(1)直接测量，比较大小即可；(2)作MN 的垂线，垂足为D ，PD 即所求．解：（1）通过测量可知， 3.7PA =cm ， 3.2PB =cm ， 2.8PC =cm ，故PA PB PC >>；（2）过点P 作PD MN ⊥，则PD 最短．理由：垂线段最短【点拨】本题考查了垂线段最短的性质，解题关键是能熟练的测量线段的长度，知道垂线段最短．类型四、垂线➽➼点到直线的距离✬✬垂线段的长4．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，10cm AB =，点P 从点A 出发，沿射线AB 以2/cm s 的速度运动，点Q 从点C 出发，沿线段CB 以1cm /s 的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点Q 运动到点B 时P 、Q 停止运动，设Q 点的运动时间为t 秒．（1）当t =______时，2BP CQ =；（2）当t =______时，BP BQ =；（3）画CD AB ⊥于点D ，并求出CD 的值；（4）当t =______时，有2ACP ABQ S S = ．举一反三：【变式1】如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．【答案】4.8【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值．解：当MP⊥AB时，MP有最小值，∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，∴AB•MP＝AM•BM，即10MP＝6×8，解得MP＝4.8．故答案为：4.8．【点拨】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关键．【变式2】如图，在三角形ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上的高AD＝4，若点P在边AC 上（不与点A，C重合）移动，则线段BP最短时的长为_________________．中考真题专练4．（2022·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A ．垂线段最短B ．两点确定一条直线C ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【分析】根据垂线段最短解答即可．解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A ．【点拨】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．举一反三：【变式1】（2022·河南·中考真题）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥CD ，垂足为O ．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A ．26°B ．36°C ．44°D ．54°【答案】B 【分析】根据垂直的定义可得90COE ∠=︒，根据平角的定义即可求解．解： EO ⊥CD ，90COE ∴∠=︒，12180COE ∠+∠+∠=︒ ，2180905436∴∠=︒-︒-︒=︒．故选：B ．【点拨】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．【变式2】（2021·北京·中考真题）如图，点O 在直线AB 上，OC OD ⊥．若120AOC ∠=︒，则BOD ∠的大小为（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【变式3】（2021·浙江杭州·中考真题）如图，设点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，点T 是直线l 上的一个动点，连接PT ，则（）A ．PT PQ≥2B ．PT PQ ≤2C ．PT PQ ≥D ．PT PQ≤【答案】C 【分析】根据垂线段距离最短可以判断得出答案．【详解】解：根据点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，∴是垂线段，即连接直线外的点P与直线上各点的所有线段中距离最短，PQ=，当点T与点Q重合时有PQ PT≥，综上所述：PT PQ故选：C．【点拨】本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义．。
画垂线的三种方法
画垂线的三种方法
画垂线是画图的一种必要技能，有三种常用的方法。
第一种方式是刻度法，通过观察物体的长短来确定各点的位置，画出一条垂线。
这需要理清概念，找准端点，观察客观实物，比较长短，画出一条准确的垂线。
第二种方式是轴对称法，即找出一条轴对称的线，将物体两边完整地对称画出来，然后再根据几何定理逐步将两端连接起来，最终画出一条精准的垂线。
第三种方式是直角三角形法，先画一个类似右角三角形的图形，根据直角三角
形的相关定理确定图形的一条边，最后根据图形进行笔画得出垂线。
以上三种方法可以助你完美画出图形上的垂线，选择合适的方法，结合观察和
计算，你可以画出准确无误的垂线。
人教版七年级数学课件《垂线》
人教版数学七年级下册
情景引入
人教版数学七年级下册
情景引入
人教版数学七年级下册
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特
殊的位置关系？
知识精讲
人教版数学七年级下册
在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b.当b的位置变化时，a、b
所成的角∠α也会发生变化.
当∠α=90°时，我们说a 与b互相垂直，记作a⊥b.
线，并且只能画出一条垂线.
即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线
段的长度，叫做点到直线的距离.
人教版数学七年级下册
THE END!
祝各位同学们学业进步、天天向上！
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短.
简单说成：垂线段最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直
线的距离.
知识精讲
人教版数学七年级下册
现在，你知道水渠该怎ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ挖了吗？在书中图5.1-8中画出来，如
果图中比例尺为1:100000，水渠大约要挖多长？
则：沿着垂线段PH挖渠能使渠道最短.
知识精讲
人教版数学七年级下册
如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处如何挖渠能使
渠道最短？
知识精讲
人教版数学七年级下册
如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3，A4，A5，
…，其中PO⊥l(我们称PO为点P到直线l的垂线段).比较线段PO，PA1，PA2，
PA3，PA4，PA5，…的长短，这些线段中，哪一条最短？
七年级数学,垂线的定义、画法
四、练习与小结
2.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线
的垂线.如图，请你过点P画出射线AB或线段AB的垂线.
过一点画一条线段的垂线，其实就是画这条线段所
在的直线的垂线.
四、练习与小结
小结：谈谈你对垂线的认识. （1）垂线的定义、几何符号语言. （2）垂线的性质及画法. （3）垂直是相交的一种特殊情况，垂直属于相 交，但又不同于一般的相交，只有两条直线相交成 直角时，它们的位置关系才能称作互相垂直.
选做题：第6题.
叫做这两条直线互相垂直，它是直线相交的一种特殊情
形.其交点叫垂足.
A C O B D
如图，记作：AB⊥CD,垂足是O.“⊥”是垂直符号.
二、探究垂线的概念
2.发现生活中的垂直实例. 生活中有许多直线互相垂直的例子，你能举出一 些例子吗？
你能再举出其他
二、探究垂线的概念
二、探究垂线的概念
围棋盘的横线和竖线
四、练习与小结
小结：谈谈你对垂线的认识. （4）垂直与垂线不同，垂直是指两条直线的位 置关系，而垂线是指两条直线互相垂直时，其中的
一条叫做另一条的垂线.两者也有联系，只有在垂
直的情况下，才会有垂线. （5）在同一平面内，过一点有且只有一条直
线与已知直线垂直.
五、布置作业
必做题：习题5.1第3，4，5题.
铅垂线和水平线
三、探究垂线的画法
问题1：用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线，这
样的直线你能画几条？
无数 问题2：经过直线l上一点A画直线 条 l 的垂线，这样
一条 问题3：经过直线l外一点B画直线 源自 的垂线，这样的垂线能画几条？
的直线能画几条？
一条
三、探究垂线的画法
垂线的定义和性质垂直的判定定理和性质定理垂线的画法步骤
一、垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
二、垂线的定义：1.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
2.直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB 垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。
三、垂直的判定：垂线的定义。
四、垂线的画法1.画垂线有两种情况，一种是已知一条直线，过这个直线之外的一个点画这个直线的垂线；另一种情况是已知一条直线，过这个线上的某一点作这个直线的垂线。
这两种情况画垂线都需要用到工具，有直尺、直角三角尺还有笔。
2.第一种情况，首先把直尺放好，直尺的一条边要和已知的那条直线重合，然后把直角三角尺的其中一个直角边靠在直尺上，保持三角尺的另一个边和直尺垂直的情况下，慢慢移动直角三角尺，直到直线外的某一点和直尺三角尺的另一条边重合，最后沿着直角三角尺的另一条边过直线外的那一点画出来直线，这条直线就是那条已知直线的垂线。
3.第二种情况，也是要先把直尺作为一个标准放好，直尺的一条边要和已知的直线重合在一起，把直角三角形的一个直角边靠在直尺上，保持直尺不动，直角三角尺慢慢移动，直到直角三角尺的顶点和已知的那个点重合，沿着直角三角尺的另一条直角边过已知的点画一条直线，这条直线就是要画的垂线。
五、线线垂直的性质和判定定理如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。
线线垂直是指两条线是垂直关系，分为平面两直线垂直和空间两直线垂直两种。
平面两直线垂直：两直线垂直→斜率之积等于1；两直线斜率之积等于1→两直线垂直。
空间两直线垂直：所成角是直角，两直线垂直。
六、线面垂直的判定方法⑴定义(反证法);⑵判定定理:⑶b⊥α,a∥ba⊥α; （线面垂直性质定理）⑷α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）;⑸α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a β a⊥α（面面垂直性质定理）。
七年级数学垂线的概念、画法、性质与角度计算
相交线之垂线在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b。
当b的位置变化时，a、b所成的∠α也会发生变化。
当∠α＝90°时（如图1），你能得到什么结论？我们说a与b互相垂直，记作a⊥b。
（图1）【知识梳理1】垂线的相关概念及推理1.当∠α＝90°时（如图1）此时，我们说a与b互相垂直，记作a⊥b。
（图2）2.垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。
如图2，AB⊥CD，垂足为O。
注：（1）∠α可以是四个角中的任意一个角，不是限定不变的某一个角。
（2）在画图时，要标记直角符号“┐”，垂线是一条直线而不是线段或射线。
3.推理格式∵∠AOC＝90°（已知）∴AB⊥CD（垂直的定义）反过来也成立：∵AB⊥CD于点O（已知）∴∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°（垂直的定义）注：垂直的定义既是垂直的性质，也是垂直的判定方法。
【重点剖析】遇到线段、射线的垂直问题，指的是它们所在的直线互相垂直，画线段或射线的垂线是指画它们所在直线的垂线，垂足可能在线上，也可能在其延长线上。
【知识梳理2】垂线的画法经过一点作（已知直线上或直线外），画已知直线的垂线，步骤如下：①靠线：让直角三角板的一条直角边（或某条刻度线）与已知直线重合；②靠点：沿直线移动，使直角三角板的另一条直角边经过已知点；③画线：沿直角边画线，则这条直线就是经过这个点的已知直线的垂线。
例：1.在下列各图中，过点P 画出射线AB 或线段AB 的垂线 2.过点P 作∠AOB 两边的垂线【例题精讲】例1.下列说法正确的有（ ）①两条直线相交，交点叫垂足；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，一条直线有且只有一条垂线；④在同一平面内，一条线段有无数条垂线；⑤过任意一点不可能向一条射线或线段所在的直线作垂线；⑥若直线1l ⊥2l ，则1l 是2l 的垂线，2l 不是1l 的垂线。
垂线的画法及性质
垂线的概念、画法和垂线的性质.
教学难点
垂线的画法.
授课类型
新授课
课时
1
教具
多媒体课件
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
问题1：如图10－1－57，(1)∠AOC的对顶角是哪个角，这两个角的大小关系怎样？(2)∠AOC的邻补角有几个，是哪几个角？
图10－1－57
问题2：如图10－1－58，当∠AOC＝90°时，∠AOD，∠DOB，∠BOC等于多少度？为什么？这种位置关系有几种？直线AB，CD的位置关系怎样？
第2课时垂线及其性质、画法
课题
第2课时 垂线及其性质、画法
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.使学生理解垂线的概念及表示，垂线的性质和点到直线的距离概念．
2．在理解概念的基础上，使学生会用三角尺或量角器画垂线，掌握一点到一直线的距离的测量方法．
3．逐步训练学生正确使用几何符号、几何语言，逐步熟悉推理的格式.
数学思考
3.过一个钝角的顶点作这个角两边的垂线，若这两条垂线的夹角为40°，则此钝角的度数为()
A.140°B．160°C．120°D．110°
4..如图10－1－66，AB⊥CD于点B，BE是∠ABD的平分线，则∠CBE的度数为________°.
图10－1－66
图10－1－67
5..如图10－1－67，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，且∠DOE＝4∠COE，求∠AOD的度数.
通过作图理解点到直线的距离，把抽象的几何知识转化为具体的平面模型，提高了学生动手动脑的能力，同时更加清晰地认识到点到直线的所有线段中，垂线段最短.
问题解决
【数学】垂线第1课时垂线的定义、画法课件-2023-2024学年人教版数学七年级下册
二移：沿直线移动三角板，使其另一条直 角边经过所给的点；
三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是 已知直线的垂线。
三、探究垂线的画法
A
垂线的性质： 在 平面 内，过一点 与已知直线垂直。
C
B
O
D
有且只有一条 直线
三、探究垂线的画法
C
A
（3）垂直是相交的一种特殊情况，垂直属于相交，但 又不同于一般的相交，只有两条直线相交成直角时，它 们的位置关系才能称作互相垂直.
五、课堂小结
（4）垂直与垂线不同，垂直是指两条直线的位置关系，而 垂线是指两条直线互相垂直时，其中的一条叫做另一条的垂 线.两者也有联系，只有在垂直的情况下，才会有垂线.
4
1
32
D
解： B
二、探究垂线的概念
选中中间绿点旋转b, 使角阿尔法变化
a
b
a
O
二、探究垂线的概念
C
如图，两条直线相交，当它们的
A
B 交角有一个角是90°时，叫做这两条直
O
线互相垂直，它是直线相交的一种特
直线AB与直线CD的 D
殊情形，其交点叫垂足。
交点叫做垂足
C
二、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ究垂线的概念
A
B
O
D
垂直的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是
直
（）
四、课堂巩固练习 2、画一条线段的垂线，垂足在
（）
A、线段上 C、线段的延长线上
B、线段的端点 D、以上都有可能
四、课堂巩固练习
3、过点P分别画射线、直线、线段的垂线
解：如图所示
垂线的画法
（1）画一条3厘米长的线段；
（2）从画出的线段两端，在同侧画两条与这条线段 垂直的线段，使它们分别长2厘米； （3）把这两条线段另外的端点连接起来。
垂线的画法
垂 足
两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直。 其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
垂线的画法
过直线上一点画这条直线的垂线Biblioteka 过直线外一点画这条直线的垂线
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从直线外一点到这条直线所画垂直 线段的长度叫做这点到直线的距离。
动画演示，垂线段最短。
画一个长是3厘米，宽是2厘米的长方形。
初一数学下册-垂线
3移:移动三角板到已知点;
2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;
则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.
1.垂线的画法：
l
A
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
B
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
O
A
M
B
N
图1
图4
图3
图2
2.垂直的表示：
b
a
1）图形：
O
α
2）文字：a、b互相垂直, 垂足为O
3）符号：a⊥b或b⊥a, 若要强调垂足， 则记为：a⊥b, 垂足为O
3.垂直的书写形式：
A
B
C
D
O
书写形式：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。
①判定：∵∠AOD=90°（已知） ∴AB⊥CD（垂直的定义）
5.1.2 垂线
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演讲人姓名
C
D
O
两条直线相交
B
复习：
一般情况
对顶角：相等
观察与思考
ห้องสมุดไป่ตู้
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当α =90°时,a与b垂直.
当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义)
A
C
E
B
D
O
1
∴ ∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD =90 °+55 °=145 °
垂线的画法及应用
垂线的画法及应用垂线是指与给定直线或平面相交且与其垂直的线。
我们可以通过不同的方法来画垂线，并且垂线在几何学和实际生活中有着广泛的应用。
下面我将详细介绍垂线的画法以及它的具体应用。
一、画垂线的方法1. 使用直尺和铅笔。
首先，在给定的直线上找到任意两个不同的点A和B。
然后，使用直尺将点A和B相连。
接下来，在直尺的边缘以某一点为圆心，在这条直线的两侧分别画两个相等的圆弧。
然后，使用直尺将这两个圆弧产生的交点与点A和B相连，即可得到垂线。
2. 使用量角器。
同样，在给定的直线上找到任意两个不同点A和B。
然后，在原点处放置量角器，使量角器的一个方向指向点A。
接下来，将量角器的另一个方向旋转45度，并将量角器沿着给定的直线移动，直到量角器的两个方向恰好分别与点A和点B相交为止。
此时，在给定直线上量角器相交的点就是所求的垂线。
二、垂线的应用垂线在几何学和实际生活中有许多应用，下面我将详细介绍其中的几个。
1. 三角形的垂心：在三角形ABC中，三条边的三角形外心交于一点，该点称为三角形的垂心。
垂心是通过绘制三条高线（即三个顶点到对边的垂线）相交的点得到的。
垂心具有很多重要的性质，例如垂心与三角形的三个顶点连接形成的三条直线相交于一点，并且这个点恰好是垂心。
2. 直角三角形中的中线：在直角三角形中，除斜边外的两条直角边的中垂线（即分别从直角边上的点到斜边的垂线）长度相等，且垂足也在斜边的中点。
这个性质可以用来构造等腰直角三角形，即两条直角边的长度相等的三角形。
3. 垂直平分线：垂直平分线是指平分一个线段，并且与该线段垂直的线。
垂直平分线可以通过绘制线段的两条垂线，并将其相交的点连接而得到。
垂直平分线在测量和构造等方面具有广泛的应用，例如在测量角度时可以使用垂直平分线来精确画出所需的角度。
4. 垂直投影：垂直投影是指将一个点在给定的直线或平面上的投影点。
垂直投影可以通过绘制从点到直线或平面的垂线，并将垂线与直线或平面的交点连接得到。
2.2垂线
垂线画法
A l l’
经过直线l外一点A，利用三角尺，如上 图那样画直线l的垂线l’.
垂线画法
经过直线l上一点B，利用三角尺，如上图那 样画直线l的垂线l' .
l' B 定理 l
过一点有且只有一条直线与己知直线垂直.
垂线段
如图所示，设点P是直线l外一点， POl，垂足为O，线段PO叫做点 P到直线l的垂线段.
A
P
O
B
直线外一点与直线上各点连结的所有线段中， 垂线段最短. 简单说成：垂线段最短.
点到直线距离
• 从直线外一点到这条直线的垂线段的 长度，叫做点到直线的距离.
如图，PO的长度是点P到直 线l的距离，其余各线段PA、 PB等的长度都不是点P到l的 距离.
P A O B
2.2
垂线
基本概念 垂线画法 垂线段、点到直线距离
基本概念
在生活中，垂线是非常常见的图形之一。 你能在下面的图中找出垂中，有 一个角是直角时，就说这两条直线互 相垂直. • 其中一条直线叫做另一条直线的垂线, 它们的交点叫做垂足. • 直线AB，CD互相垂直，记作“ AB CD ”（或CD AB ）.
垂线
2.如图, AC⊥BC, ∠C=900 ,线段AC、BC、CD 中最短的是( C )
(A) AC (B) BC (C) CD (D) 不能确定 C B
A
D
3.直线I上有ABC三点，直线I外有一点，且 PA=2,PB=3，PC=5,那么P到直线I的距离 （ ） Ａ等于2 B小于2 C小于或等于2 Ｄ大于2且小于3 4.如图所示，何大伯从A处牵牛到河边I处饮 Ａ 水，应沿怎么的路线最近？ 。
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它 a 们的交点叫垂足。 α b 2.垂直的表示： O 用“⊥”和直线字母表示垂直
例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O， 则记为： a⊥b或b⊥a, 若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
B
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义) ∵ ∠DOE= 50° （已知） B A O ∴ ∠DOB=40°(互余的定义) C F ∴ ∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等） 又∵OB平分∠DOF ∴ ∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义） ∴ ∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130° ∴ ∠COF=∠COD－∠DOF=180°－ 80°=100°(邻补角定义)
例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线 段PA的长度叫做点P到直线l的距离.
l
例：如图，是一个同学跳远的位置 A 跳远成绩怎么表示? l 回顾：两点距离、点到线的距离 解:过P点作PA⊥l于 P 点A ，垂线段PA的长 A 度就是该同学的跳远成 绩.
书本习题。
1、选择题：
1、已知点A，与点A的距离是5cm的直线可画( D )
垂线
小结
回忆两条直线相交这部分知识，并问：你们能够 把它们画成一个知识结构图吗？
B 1
O
n
3.如图，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5， 那么∠COA＝_____, 72° ∠BOC的补角为______度。 162
C
O
A
二、垂线的画法
问题： 怎么样画垂线？
1.垂线的画法： 工具：直尺、三角板 如图，已知直线 l,作l的垂线。 问题： 这样画l的 垂线可以 画几条？ 无数条
F
C D M A P
B
E
N
B
思考
有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图，他 在P点，应选择什么样的路线尽快游到岸边 m呢？
P
A
B
C
D
m
连接直线外一点与直线上各点的所有 线段中，垂线段最短。 垂线段最短 简单说成：垂线段最短． 垂线段的长度 直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
选择题：
O 2
D
C
选择题
巩固练习
1．下面四种判断两条直线垂直的方法正确的有___ 个 [A ] (1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角， 则这两条直线互相垂直． (2)两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直 线互相垂直． (3)两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线 互相垂直． (4)两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直 线互相垂直． A．4 B．3 C．2 D．1
日常生活中,两条直线互相垂直的情形很 常见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗?
生活中的垂直
3.垂直的书写形式： D A 如图，当直线AB与CD 相交于O点，∠AOD=90° 时，AB⊥CD，垂足为O。 O 书写形式： C ∵∠AOD=90°（已知） B ∴AB⊥CD（垂直的定义） 反之，若直线AB与CD垂直，垂足为 O，那么，∠AOD=90°。 书写形式： AB⊥CD （已知） ∵ ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义） 应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
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5.1.2垂线(第一课时)
教学目标：
1.通过观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何
语言准确表达能力.
2.了解垂直是两条直线相交的特殊情形关系。
3.理解垂直、垂线的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的
垂线。
4.掌握并会利用垂线的性质进行简单的推理。
教学重点与难点
教学重点两条直线互相垂直的概念、性质和画法.
教学难点过一点,有且只有一条直线与已知直线垂直。
教学方法演示、启发、讲练结合
教学课时用两课时
教学过程
一、复习上一节知识
1、邻补角的定义
2、一个角的邻补角有几个？
3、对顶角的定义
4、两直线相交有几组对顶角？
5、对顶角的性质
二、创设问题情境
1.先让学生观察教室里的墙角、课桌面、黑板面相邻的两条边、教学用的三角板、方格纸的横线和竖线、十字交叉路口……思考这些给大家有什么印象?
在学生回答之后,指出:“垂直”两个字对大家并不陌生,但是什么叫垂直？
垂线有什么性质,我们都了解吗？这就是我们这一节课所要学习的内容.
2.再让学生观察课本P3图5.1-4思考:固定木条a,转动木条b,当b的位置发生
变化时,a、b所成的角α是如何发生变化的?其中会有什么样的特殊情况出现呢?
当这种情况出现时,直线a、b所成的四个角有什么特殊关系?
在组织学生交流中,应让学生明白:当直线b的位置变化时,角α从锐角变为
钝角,其中∠α是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠α是直角时,它的邻
补角,对顶角都是直角,即直线a、b所成的四个角都是直角,都相等.
3.给出垂直定义:
当两条直线a、b相交所成的角α=90︒时，直线a与直线b相互垂直。
注：∠α是直角是特殊情况，所以说两直线相互垂直是两直线相交的特殊情形。
如遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，都
是指它们所在的直线互相垂直。
垂线与垂足的定义：
两直线相互垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：
“互相垂直”指两条直线的位置关系；
“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名。
如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条直线必定是另一条直线的“垂线”，如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”。
4.垂直的表示法.
垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，则记为AB⊥CD,垂足为O，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图. 掌握如下的推理过程：（如上图）
∵AB⊥CD（已知）
∴∠AOC=∠COB=∠BOD =∠DOA=90︒（垂直定义）
反之，
∵∠AOC=90︒（已知）
∴AB⊥CD（垂直定义）
5.应用举例
(1)日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，学生观察课本P6图5.1-6中的一些互相垂直的线条,并再举出生活中其他实例.
(2)判断以下两条直线是否垂直:
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;
②两条直线相交所成的四个角相等;
③两条直线相交,有一组邻补角相等;
④两条直线相交,对顶角互补.
二、画图实践,探究垂线的性质
1.学生用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.
（分三种情况：任意画，过直线上一点或过直线外一点）
在黑板上画一条直线L，让学生演版
（1）已知直线L,画出直线L的垂线.
待学生上黑板画出L的垂线后,追问学生:还能画出L的垂线吗?能画几条?
通过交流,使学生明了直线L的垂线有无数多条,即存在,但有不确定性.
问:怎样才能确定直线L的垂线位置呢?
(2)在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,请同学们动手画出图形.看这样的垂线能画出几条?
板书结论:经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
再问：那么经过直线L外一点会是怎样呢？
(3)经过直线L外一点B画直线L的垂线,请同学们动手画出图形. 这样的垂线又能画出几条?从中你又得出什么结论呢?
板书结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
让学生通过画图操作所得两条结论合并成一条：
经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条直线，并且只能画出一条垂线。
板书: 垂线性质1: 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
三、课堂小结
本节学习了互相垂直、垂线等概念,还学习了过一点画已知直线的垂线的画法,并得出垂线一条性质,你能说出相关的内容吗?
1.要掌握好垂直和垂线这两个概念；
2.要清楚垂直是相交线的特殊情况，与上节知识联系好，并能正确利用工具画出标准图形；
3.垂线的性质为今后知识的学习奠定了基础，应该熟练掌握。
四、布置作业：
课本P5练习,P8.3,4,5,9.
5.1.2垂线(第二课时)
教学目标：
1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动，进一步发展空间观念，
用几何语言准确表达能力。
2.了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质.
3.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。
教学重点:“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用.
教学难点:对点到直线的距离的概念的理解.
教学过程
一、创设问题情境
1.展示课本图5.1-8,提出问题:在灌溉时，要把河中的水引到农田P处,如何挖渠
能使渠道最短? 学生看图、思考.
2.以问题串形式,启发学生思考.
(1)问题1,上学期我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗?
学生说出:两点间线段最短.
(2)问题2,如果把渠道看成是线段,它的一个端点自然是P,那么另一个端点的位
置呢?把江河看成直线L,那么原问题就是怎么的数学问题.
问题2使学生能用数学眼光思考:在连接直线L外一点P与直线L上各点的线段中,哪一条最短?
3.演示教具,给学生直观的感受.
教具如图:在硬纸板上固定木条L,L外一点P,转动的木条a一端固定在点P. 使木条L与a相交,左右摆动木条a,L与a的交点A随之变化,线段PA长度也随之变化.PA最短时,a与L的位置关系如何?用三角尺检验.
4.学生画图操作,得出结论.
(1)画出直线L,L外一点P;
(2)过P点出PO⊥L,垂足为O;
(3)点A1,A2,A3……在L上,连接PA、PA2、PA3……;
(4)用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……长短.
5.通过交流,得出垂线的另一条性质.并板书:
垂线性质2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
简单说成:垂线段最短.
关于垂线段可让学生思考:
(1)垂线段与垂线的区别联系.
(2)垂线段与线段的区别与联系.
二、点到直线的距离
1.根据两点间的距离的意义给出点到直线的距离命名.
结合课本图形(图5.1-9),深入认识垂线段PO:PO⊥L,∠POA=90°,O为垂足,垂线段PO的长度比其他线段PA1、PA2……中是最短的.
按照两点间的距离给出点到直线的距离定义,并板书:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
在图5.1-9中,PO的长度是点P到直线L的距离,其余结论PA、PA2……长度都不是点P到L的距离.
2．练习课本P6练习
三、课堂小结：通过这节课，我们主要学习了什么呢？
1.垂线的性质2。
2.点到直线的距离概念。
四、布置作业：
课本P8.6,P9.10,11, P10.12,观察与猜想.。