2020届高三一轮复习理科数学专题2《函数概念及其基本性质》

2020届高三一轮复习理科数学专题卷 专题二 函数概念及其基本性质
考点04：函数及其表示（1—3题,13,14题，17,18题）
考点05：函数的单调性（4—6题，9—12题，15题，19—22题）
考点06：函数的奇偶性与周期性（7—8题，9—12题，16题，19—22题）
考试时间：120分钟 满分：150分
说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上
第I 卷（选择题）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

） 1．【2017山东，理1】考点04 易
设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂=（ ） A （1,2） B ⎤⎦(1,2 C （-2,1） D [-2,1) 2．【来源】2017届山西运城市高三上学期期中 考点04 中难
函数1221,0,
(),0x x f x x x -⎧-≤⎪
=⎨⎪>⎩，
满足()1f x =的x 值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．1或2-
D ．1或1-
3．【来源】2016-2017学年广西陆川县中学月考 考点04 中难
已知函数12
(log )y f x =的定义域为11,42
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，则函数(2)x
y f =的定义域为（ ）
A ．[]1,0-
B ．[]0,2
C ．[]1,2-
D ．[]0,1 4．【2017北京，理5】】 考点05 易
已知函数1()3()3
x x
f x =-，则()f x （ ）
A 是奇函数，且在R 上是增函数
B 是偶函数，且在R 上是增函数
C 是奇函数，且在R 上是减函数
D 是偶函数，且在R 上是减函数
5．【来源】2016-2017学年四川双流中学期中 考点05中难
已知函数()()()()3512log 1a a x x f x a x
x -+≤⎧⎪=⎨
->⎪⎩对于任意21x x ≠都有()()02
121<--x x x f x f 成立，
则实数a 的取值范围是（ ）
A. (]1,3
B. ()1,3
C. (]
1,2 D. ()1,2
6.【2017河北五邑三模】 考点05 中难
定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-，且在区间[]
0,2上是增函数，则 （ ）
A. ()()()258f f f <<
B. ()()()825f f f <<
C. ()()()528f f f <<
D. ()()()582f f f << 7．【来源】2016-2017学年湖北孝感七校联盟期中 考点06 易
函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x =-+，则当0x <时，()f x 等于（ ）
A ．1x -+
B ．1x --
C ．1x +
D ．1x - 8．【来源】2017届重庆市巴蜀中学高三上学期期中 考点06 难 定义在
R 上的函数
()f x 满足：()()
1
1f x f x +=
，并且
[](),101,1,2
,015x a x x f x x x +-≤<⎧⎪
∈-=⎨-≤<⎪⎩
，若5922f f ⎛⎫⎛⎫
-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则()5f a =（ ） A ．
716 B ．25- C ．1116 D ．13
16
9．【2017课标1，理5】 考点05，考点06 中难 函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ） A ．[2,2]-
B ．[1,1]-
C ．[0,4]
D ．[1,3]
10．【来源】2016-2017学年吉林松原扶余县一中期中 考点05，考点06中难
已知函数)(x f 定义在实数集R 上的偶函数，且在区间),0[+∞上单调递减，若实数a 满足
)1(2)(log )(log 2
12-≤+f a f a f ，则a 的取值范围是（ ）
A.]2
1
,(],2[-∞+∞ B.),2[]2
1
,0(+∞
C.]2,21[
D.]2
1,0(
11．【来源】2017届四川自贡市高三一诊考试 考点05，考点06 中难
设函数()g x 是R 上的偶函数，当0x <时，()()ln 1g x x =-，函数()()3 0 0x x f x g x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩
，，满足
()()22f x f x ->，则实数x 的取值范围是（ ）
A.()() 1 2 -∞+∞，，
B.()() 2 1 -∞-+∞，，
C.()1 2，
D.()2 1-，
12．【来源】2017届四川自贡市高三一诊考试 考点05，考点06 难
设()(32log f x x x =++，则对任意实数 a b ，，若0a b +≥，则（ ） A.()()0f a f b +≤ B.()()0f a f b +≥ C.()()0f a f b -≤ D.()()0f a f b -≥
第Ⅱ卷（非选择题） 二.填空题（每题5分，共20分） 13．【来源】2017-2018学年广西陆川县中学期中 考点04 中难 如果函数2
7
()43
kx f x kx kx +=
++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是 ． 14．【来源】2017届江苏苏州市高三期中调研 考点04 难 已知函数()()
2
x a
f x x a -=
+，若对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得()()21f x f x <，则
满足条件的实数a 的取值范围是____________． 15．【来源】2017届福建福州外国语学校高三文适应性考试 考点05易 若函数()||f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞，则a = ． 16．【来源】2016-2017学年辽宁重点高中协作校期中 考点06 中难 若函数1
ln
21
ax y x -=+为奇函数，则a = ． 三.解答题（共70分） 17．（本题满分10分）【来源】2016-2017学年广西陆川县中学月考 考点04 易 已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==. （1）求()f x 的解析式；
（2）若()f x 在区间[2,1]a a +上不单调，求实数a 的取值范围；
（3）在区间[1,1]-上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，试确定实数m 的取值范围.
18．（本题满分12分）【来源】2016-2017学年广西陆川县中学月考 考点04 中难 已知二次函数2
()f x ax bx =+（a ，b 为常数，且0a ≠）满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有两等根. （1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 在[0,]t 上的最大值.
19．（本题满分12分）【来源】2016-2017学年江西新余四中段考 考点05，考点0,6 中难 已知函数()f x 对一切实数,x y 都有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，且(1)0f =. （1）求(0)f 的值；
（2）求()f x 的解析式；
（3）设:P 当1
02
x <<
时，不等式()32f x x a +<+恒成立；:Q 当[2,2]x ∈-时，()()g x f x ax
=-是单调函数.若P Q 、至少有一个成立，求实数a 的取值范围.
20．（本题满分12分）【来源】2016-2017学年河南南阳一中月考 考点05，考点06中难 已知函数()f x 定义域为[1,1]-，若对于任意的,[1,1]x y ∈-，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，有()0f x >.
（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；
（2）判断并证明函数()f x 的单调性；
(3) 若
，对所有x
，
恒成立，求的取值范围.
21．（本题满分12分）【来源】2016-2017学年广西陆川县中学月考 考点05，考点0,6 难
已知定义在R 上的函数2()2x x b f x a
-=+是奇函数.
（1）求,a b 的值；
（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若对任意t R ∈，不等式2
(2)()0f t t f k -+->恒成立，求实数k 的取值范围. 22．（本题满分12分）【来源】2016-2017学年广西陆川县中学期中 考点05，考点0,6 难 已知函数()12
++=bx ax x f （a ，b 为实数，x R ∈），()
,0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨
-<⎩
．
（1）若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为[0,)+∞，求()F x 得解析式；
（2）在（1）的条件下，当[]2,2x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围；
（3）设0mn <，0m n +>，0a >，且()f x 为偶函数，判断()()F m F n +是否大于零，
并说明理由．
参考答案
1．【答案】D 【解析由
得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故
A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<，选D.
2．D
【解析】当0x ≤时，由()1f x =可得211221x x x ---=⇒=∴=-；当0x >时由()1f x =可得1
2
11x x =∴=，综上可得满足()1f x =的x 值为1或1-，选D 3．D
【解析】由题意得，因为函数12
(log )y f x =的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即11,42
x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以
12
1log 2x ≤≤，令122x ≤≤，解得01x ≤≤，即函数(2)x y f =的定义域为[]0,1，故选D ．
4.【答案】A 【解析】)()33(33
)(x f x f x x x x
-=--=-=---,)(x f ∴是奇函数，又x 3是增函数，x
)3
1
(是减函数，从而)(x f 是增函数. 5．C
【解析】根据题意，由
()()02
121<--x x x f x f ，易知函数()f x 为R 上的单调递减函数，则(
)301
352a a a a
⎧-<⎪
>⎨⎪-+≥⎩，解得1<a 2≤.故选C 6.【答案】D
7．B
【解析】由题函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x =-+，则当0x <时，0x ->，()()11,f x x x -=--+=+即()()1,1,f x x f x x -=+∴=--选B 8．B
【解析】由()()
1
1f x f x +=
，得()(2)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为2，所以51911123()()()()22222255
f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=，
因此32
(5)(3)(1)(1)155
f a f f f ===-=-+=-，故选B ．
9.【答案】D
【解析】因为)(x f 为奇函数且在),(+∞-∞单调递减，要使1)(1≤≤-x f 成立，则x 满足
121≤-≤-x ，解得31≤≤x ，所以满足1)2(1≤-≤-x f 的x 的取值范围为]3,1[.
10．B
【解析】不等式变形为()()()()()222log log 21log 1f a f a f f a f +-≤∴≤，由函数在区间),0[+∞上单调递减可得2log 1a ≥或2log 1a ≤-2a ∴≥或1
02
a <≤，所以a 的取值范围是),2[]2
1,0(+∞ . 11．D
【解析】当0x ≤时，()3f x x =是增函数，且()()00f x f ≤=，当0x >时，()()ln 1f x x =+是增函数，且()()00f x f >=，故函数在R 上是增函数，∵()
()22f x f x ->，∴22x x ->，
解得21x -<<，故选D. 12．B
【解析】()(32log f x x x =++定义域为R ，
∵
()((()
333
22
2log log log f x x x x x x f x -=-+-=-+=--=-∴()f x 是奇函数，∵()f x 在()0 +∞，上是增函数，故()f x 在R 上为增函数，而
0a b a b +≥⇒≥-，所以()()()()0f a f b f a f b ≥-⇒+≥,故选B. 13．3
[0)4
，
【解析】∵函数2
7
()43
kx f x kx kx +=
++的定义域为R ，∴0342=++kx kx 无解，∴0=k ，或⎩⎨
⎧<-=∆≠0
12160
2
k k k ，解得430<
≤k ，故答案为：3[0)4
，． 14．0a ≥
【解析】由题意函数()f x 无最小值，22221()()()x a a a f x x a x a x a +-=
=-++++，令1
t x a
=+，
则0t ≠，2
()2f x y at t ==-+，0a =时，函数为y t =，符合题意，0a ≠时，20a -<，即0a >，综上有a 的取值范围是0a ≥．
15．3-
【解析】当x a <-时,()()f x x a x a =-+=--为减函数; 当x a ≥-时,()f x x a =+为增函数,结合已知有3,3a a -==-. 16．2
【解析】奇函数()()0f x f x +-=，即()222
111
ln ln ln 0212114a x ax ax x x x -----+==+-+-，()222
1114a x x --=-，所以24,2a a ==±，当2a =-时，()()21
ln
ln 121
x f x x --==-+，故舍
去，所以2a =.
17．（1）342)(2
+-=x x x f ；（2）2
1
0<
<a ；（3）)1,(--∞. 【解析】（1）由已知，设)0(1)1()(2
>+-=a x a x f ， 由3)0(=f ，得2=a ，
故342)(2
+-=x x x f ………………………………………………3分
（2）要使函数不单调，则112+<<a a ，即2
1
0<<a ………………………..6分 （3）由已知，即1223422++>+-m x x x ， 化简，得0132>-+-m x x .
设m x x x g -+-=13)(2
，则只要0)(min >x g ，
而,1)1()(min m g x g -==解得：1-<m ，即实数m 的取值范围是)1,(--∞…………..10分
18．（1）x x x f 2)(2
+-=；（2）⎩⎨⎧≤+->=1
,21
,1)(2
max
t t t t x f . 【解析】（1） 方程x x f 2)(=有两等根，即0)2(2
=-+x b ax 有两等根，
0)2(2=-=∆∴b ，解得2=b ；
)3()1(x f x f -=- ,得
1,12
31=∴=-+-x x
x 是函数图象的对称轴.
而此函数图象的对称轴是直线1,12,2-=∴=-∴-=a a
b
a b x ，
故x x x f 2)(2
+-=……………………………………………6分 （2） 函数x x x f 2)(2
+-=的图象的对称轴为],0[,1t x x ∈=，
∴当1≤t 时，)(x f 在],0[t 上是增函数，t t x f 2)(2max +-=∴，
当1>t 时，)(x f 在]1,0[上是增函数，在],1[t 上是减函数，1)1()(max ==∴f a f ， 综上，⎩⎨⎧≤+->=1
,21
,1)(2max
t t t t x f ………………………………………………12分 19．（1）2-；（2）2
()2f x x x =+-；（3）{|1a a ≥或3}a ≤-. 【解析】（1）令1x =-，1y =，
则由已知(0)(1)1(121)f f -=--++，
有(0)2f =- ……………………………………………….2分 （2）令0y =，则()(0)(1)f x f x x -=+， 又∵(0)2f =-，
∴2
()2f x x x =+-………………………………………………..5分 （3）不等式()32f x x a +<+，
即2232x x x a +-+<+，
即21x x a -+<. 当102x <<时，23114
x x <-+<， 又213()24
x a -+<恒成立， 故{|1}A a a =≥ ………………………………………..8分 22()2(1)2g x x x ax x a x =+--=+--，
又()g x 在[2,2]-上是单调函数， 故有
122a -≤-，或122
a -≥， ∴{|3B a a =≤-或5}a ≥……………………………………..11分
∴P Q 、至少有一个成立时a 的取值范围{|1A B a a ⋃=≥或3}a ≤- …………..12分 20．（1）奇函数，证明见解析；（2）增函数，证明见解析；（3）2m >或2m <-.
（1）因为有()()()f x y f x f y +=+，
令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，所以(0)0f =，
令y x =-可得：(0)()()0f f x f x =+-=，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数 。

………………………………………………………….3分
（2）∵()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，由题意设1211x x -≤<≤，
则212121()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-，
由题意0x >时，有()0f x >，∴21()()f x f x >，∴()f x 是在[1,1]-上为单调递增函数； ……………………………………………………………………………………6分
（3）因为()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，所以()f x 在[1,1]-上的最大值为(1)1f =，
所以要使2()21f x m am <-+，对所有x ，恒成立， 只要2211m am -+>，即220m am ->恒成立.
令22
()22g a m am am m =-=-+，(1)0(1)0g g ->⎧⎨>⎩得222020m m m m ⎧+>⎪⎨-+>⎪⎩， ∴2m >或2m <-………………………………………………………..12分
21．（1）1,1==b a ；（2）减函数，证明见解析；（3）8
1>
k . 【解析】（1）)(x f 是定义在R 上的奇函数，011)0(=+-=∴a b f ，1=∴b x
x x x x x x x a x f a a x f a x f 212)(1212221)(,221)(+-=-=+∙-=+-=-+-=--，
x x a a 212+=+∙∴对一切实数x 都成立，1=∴a ,1,1==∴b a .………………..4分
（2）任取R x x ∈21,，且21x x <， 则
)
12)(12()22(2)12)(12()12)(21()12)(21(12211221)()(2112211221222121++-=+++--+-=+--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f ，
21x x < ，02212>-∴x x ，0)12)(12(21>++∴x x ，
0)()(21>-∴x f x f ，
∴)(x f 为R 上的减函数……………………………………………..8分
（3）不等式)()2(0)()2(2
2k f t t f k f t t f >-⇔>-+-，
又)(x f 是R 上的减函数，k t t <-∴22， 81)41(2222+--=->∴t t t k 对R t ∈恒成立，8
1>∴k …………………………12分 22．（1）22(1),0,()(1),0.
x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩；（2）6k ≥或2k ≤-；（3）()()F m F n +能大于0. 【解析】（1）∵(1)0f -=，∴a-b+1=0 ①
又x R ∈，()f x 的值域为[0,)+∞，∴20,40,
a b a >⎧⎨∆=-=⎩② 由上述①②得，2
4(1)0b b --=，∴2b =，1a =， ∴22(1),0,()(1),0.
x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩…………………………………………………..4分 （2）由（1）知，
22
()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=+-+2
22(2)()124k k x --=++-， 当222k -≥或222
k -≤-时， 即6k ≥或2k ≤-时，()g x 是单调函数．……………………………………….8分
（3）∵()f x 是偶函数，∴2
()1f x ax =+，
∴221,0,()1,0,
ax x F x ax x ⎧+>⎪=⎨--<⎪⎩ ∵0mn <，设m n >，则0n <，
又0m n +>，
∴0m n >->，∴||||m n >-，
2222()()()()(1)(1)()0F m F n f m f n am an a m n +=-=+-+=->，
所以()()F m F n +能大于0．……………………………………………………12分。