2024年齐鲁名校高三数学5月考前质量检测试卷附答案解析

2024年齐鲁名校高三数学5月考前质量检测试卷
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}
{}31,1e M x x N x x =-<=<≤，则M N ⋂=（）
A ．{}23x x <≤
B ．{}
24x x <<C ．{}
2e x x <≤D ．{}
1e x x <≤2．已知复数i 3
1i
z -=-，则z 在复平面内对应的点位于（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限3．样本数据27,30,28,34,35,35,43,40的中位数和平均数分别为（）
A ．34，35
B ．34，34
C ．34.5，35
D ．34.5，34
4．已知直线30kx y k --=与圆22:1O x y +=有公共点，则k 的可能取值为（）
A ．1
B ．
13
C ．1-
D ．2
-5．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++，则cos A =（）
A ．12
-
B ．
13
C ．1
2
D ．
23
6．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 为棱1BB 的中点，则四面体1ACPD 的体积为（
）
A ．2B
C ．
83D
．7．已知4
sin25
α=-，则
tan2πtan 4α
α=⎛⎫+ ⎪⎝
⎭（）A ．4B ．2C ．2-D ．4
-8．已知双曲线22:1C y x -=的上焦点为F ，圆A 的圆心位于x 轴上，
且与C 的上支交于,B D 两点，则BF DF +的最小值为（
）
A
．2B
C
1D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知()(),f x g x 分别是定义域为R 的偶函数和奇函数，且()()e x
f x
g x +=，设函数()()
()
g x G x f x =
，则()G x （
）
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．在R 上单调递减
D ．在R 上单调递增
10．将函数()πsin (0)3f x x ωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭的图象向左平移π3个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则（
）
A ．()f x 的图象关于直线π
3
x =
对称B ．ω的最小值为1
2
C ．()f x 的最小正周期可以为
4π5D ．2π3f x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
的图象关于原点对称
11．如图，有一个棱台形的容器1111ABCD A B C D -（上底面1111D C B A 无盖），其四条侧棱均相等，底面为矩形，1111111
1m 224
AB BC A B B C ====，容器的深度为1m ，容器壁的厚度忽略不计，则下列说法正确的是（
）
A
．1AA =B
．该四棱台的侧面积为(2
m
C ．若将一个半径为0.9m 的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面
D ．若一只蚂蚁从点A 出发沿着容器外壁爬到点1C
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．7
12x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中3x 的系数为
．（用数字作答）
13．已知椭圆22
224:1(0)3x y C a a a
+=>的左、右焦点分别为12,,F F A 为C 上一动点，则12AF AF 的取值范围
是
．
14．已知两个不同的正数,a b 满足33
(1)(1)a b a b
++=
，则ab 的取值范围是．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数(
)1e 4
x
f x =
(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线l 在y 轴上的截距；(2)探究()f x 的零点个数．
16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -
中，12,1,AB BC AC AA M ====为棱1CC 上一点，且1AM BA ⊥
．
(1)证明：平面AMB ⊥平面1A BC ；(2)求二面角B AM C --的大小．
17．设数列{}n a 满足()122n n na n a +=+，且14a =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求{}n a 的前n 项和n S ．
18．在机器学习中，精确率Q 、召回率R 、卡帕系数k 是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，A 表示事件“选到的位点实际有雷”，B 表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率()Q P A B =，召回率()R P B A =，卡帕系数1o e
e
p p k p -=
-，其中()()()()()(),o e p P AB P AB p P A P B P A P B =+=+．
(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率Q 和召回率R ．
实际有雷
实际无雷总计检测到有雷402464检测到无雷102636总计
50
50
100
(2)对任意一次测试，证明：()
212Q R QR
k Q R P AB +-=-
+-．
(3)若0.61k <≤，则认为机器人的检测效果良好；若0.20.6k <≤，则认为检测效果一般；若00.2k ≤≤，则认为检测效果差．根据卡帕系数k 评价（1）中机器人的检测效果．
19．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，以点F 为圆心作圆，该圆与x 轴的正、负半轴分别交于点,H G ，与C 在第一象限的交点为P ．(1)证明：直线PG 与C 相切．
(2)若直线,PH PF 与C 的另一交点分别为,M N ，直线MN 与直线PG 交于点T ．（ⅰ）证明：4TM TN =；（ⅱ）求PNT 的面积的最小值．
【分析】求得集合{}24M x x =<<，可求M N
⋂【详解】因为{}
{}{}3124,1e M x x x x N x x =-<=<<=<≤，所以{}2e M N x x ⋂=<≤．故选：C ．2．B
【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可求解.【详解】因为()()()()
3i 1i i 342i
2i 1i 1i 1i 2z -++---====----+，所以2i z =-+，
故z 在复平面内对应的点为(2,1)-位于第二象限．故选：B.3．D
【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念公式进行计算即可.【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列可得27,28,30,34,35,35,40,43，故中位数为
3435
34.52
+=，平均数为()1
2728303435354043348
⨯+++++++=．
故选：D.4．B
1≤，求解即可.
【详解】由直线30kx y k --=与圆22:1O x y +=有公共点，
可得圆心()0,0O 到直线30kx y k --=的距离为1d =
≤，
解得k ≤≤，所以k 的取值范围为2244⎡-⎢⎣⎦
．
故选：B.
【分析】根据题意，利用正弦定理化简得222b c a bc +-=-，结合余弦定理，即可求解.【详解】因为()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++，
由正弦定理得()()2
222a b c b c b c =+++，即222b c a bc +-=-，
又由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-==-.
故选：C.6．A
【分析】设AC 与BD 交于点O ，证得AC ⊥平面11BDD B ，得到11
3
OPD V S AC =⨯
，且AC =面11BDD B 中，结合111111BDD B BOP B OP D P D ODD S S S S S =--- ，即可求解.【详解】设AC 与BD 交于点O ，在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，又由正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，可得1AC DD ⊥，
又因为1BD DD D = 且1,BD DD ⊂平面11BDD B ，所以AC ⊥平面11BDD B ，所以四面体1ACPD 的体积为11
3
OPD V S AC =⨯
，且AC =在对角面11BDD B 中，可得11111132
2
BDD B BOP B D P OPD ODD S S S S S =-=-- ，所以四面体1ACPD
的体积为132232
V =⨯⨯=．故选：
A.
7．D
【分析】由已知可得2
51tan tan 2
αα+=-，利用tan2tan 4α
πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭22tan 1tan 2tan ααα=++，可求值.
【详解】因为222
2sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15
ααααααα=
==-++，所以2
51tan tan 2αα+=-，所以
2tan22tan 1tan tan 4αα
παα=⨯-⎛⎫+ ⎪⎝
⎭221tan 2tan 2tan 41tan (1tan )1tan 2tan ααα
αααα
-===-++++．故选：D.8．B
【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得1212,x x x x +，进而可得22
121x x +=，利用两点间距离公式
求出BF DF +，并利用不等式方法求出其最小值.
【详解】由题可知(F ．设圆22:()2A x a y -+=，()11,B x y ，()22,D x y .
联立2222
1()2
y x x a y ⎧-=⎨-+=⎩，得22
2210x ax a -+-=，则212121,2a x x a x x -+==，因此()2
22
12
121221x x x x x x +=+-=，故222222121212112213y y x x x x +=+++=++=+=.因为22
111y x -=，所以
11BF ==
=-
，同理可得21DF =-.
故)122BF DF y y +=+-.
又22123y y +=，且12,1y y
≥
，故1y =
2y
()
)
2
2
121y y -≤
-.
所以)122
BF DF y y ++
-2
=
2
=
2
=
-2
≥
2==当1a =时，有(
)0,1B ，(D
，此时11BF DF +=+=所以
BF DF +
故选：
B.
【点睛】关键点睛：本题解题关键是由圆的方程与双曲线方程联立得到22
121x x +=，再用不等式方法求其
最小值.9．AD
【分析】根据奇、偶性得到方程组求出()f x 、()g x 的解析式，从而得到()G x 的解析式，再由奇偶性的定义判断()G x 的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.
【详解】因为()()e x
f x
g x +=①，所以()()e x f x g x --+-=，
即()()e x
f x
g x --=②，联立①②，解得()()e e e e ,22
x x x x
f x
g x --+-==
，所以()e e e e x x x x G x ---=+，定义域为R ，又()()e e e e x x
x x
G x G x ----==-+，
所以()G x 是奇函数，又()()()
()
()
22
2
2
e e e e 4
0e
e
e e x x x x x
x x
x G x ----+--=
+'=
>+，
所以()G x 在R 上单调递增，故A ，D 正确，B 、C 错误．故选：AD 10．ABD
【分析】根据图象平移判断A ，根据关于直线π
3x =
对称可得()132
k k ω=+∈Z 判断B ，由周期计算ω可判断C ，可先证明函数()f x 关于点2π,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称，再由图象平移判断D.【详解】对于A ，将()f x 的图象向左平移π3
个单位长度后，关于y 轴对称，所以()f x 的图象关于直线π
3x =
对称，故A 正确；对于B ，由题可知()π
πππ3
32k k ω+
=+∈Z ，解得()132
k k ω=+∈Z ，又0ω>，所以ω的最小值为1
2，故
B 正确；
对于C ，若最小正周期4π
5T =
，则2π52
T ω=
=，由B 项可知，不存在满足条件的ω，故C 错误；对于D ，因为2π2ππsin 333f ω⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入()132k k ω=+∈Z ，得()2πsin 2π03f k ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭
，所以()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭对称，将()f x 的图象向右平移2π3个单位长度可以得到2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的图
象，
则对称中心2π,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对应平移到坐标原点，故2π3f x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的图象关于原点对称，故D 正确．
故选：ABD 11．BD
【分析】由勾股定理即可判断A ，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B ，做出轴截面图形代入计算，即可判断C ，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D 【详解】
对于A ，由题意可得13
2AA =，故A 错误；
对于B ，梯形11ADD A =所以梯形11ADD A 的面积为
24535
222
+=
，
梯形11ABB A ，
所以梯形11ABB A 的面积为
1232
22
+=
，
故该四棱台的侧面积为222⎛⎫
⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
B 正确；
对于C ，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，球恰好与面11ADD A 、面11BCC B 、面ABCD 均相切，
过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，
较长的底边上的底角的正切值为1
2
212
=-，则tan 2MPN ∠=-，
由于,MPN MON ∠∠互补，故tan 2MON ∠=，
则22tan 21tan MOP MOP ∠=-∠，所以51tan 2
MOP ∠=
1
5120.94=<，所以将半径为0.9cm 的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C 错误；对于D ，将平面ABCD 与平面11DCC D 展开至同一平面，
如图（2
），则1AC =，将平面ABCD 与平面11BCC B 展开至同一平面，如图（3），
则145
33434044AC ⎛=++=+ ⎝，
D 正确．故选：BD
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D 的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.12．672
【分析】利用二项式定理，求得二项展开式中的通项，把含x 的进行幂运算合并，然后令指数等于3，即可求解.
【详解】因为7
12x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭通项为77721771C (2)2C r
r r r r r
r T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭
，令72r 3-=，得2r =，
所以3x 的系数为72
272C 672-=．
故答案为：672.
13．1,33⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
【分析】先根据椭圆a 、b 、c 之间的关系，求出1
2
c a =，再根据椭圆的定义，把1AF 换成22a AF -，最后根据[]2,AF a c a c ∈-+，代入即可.
【详解】设椭圆C 的半焦距为(0)c c >
，则12
c a ==，1
2222
221AF a AF a AF AF AF -==-，因为[]2,AF a c a c ∈-+，即213,22AF a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以2211,33a AF ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即12
1,33AF AF ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.14．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.【详解】将33
(1)(1)a b a b
++=两边展开，得到22113333a a b b a b
+++=+++，从而()
()221130a b a b a b ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭，故()130a b a b ab ⎛⎫-++-= ⎪⎝
⎭，而a b ¹，故130a b ab
++-=，又00a b ＞，＞，
故133a b ab
=++>，
从而321+<．
设函数()3223g x x x =+
，则112g g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭
，观察易得()g x 在()0,∞+
12<，又0,0a b >>，所以104
ab <<．故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab
的不等式
321+<，再构造函数()3223g x x x =+并利用函数的单调性解决问题.
15．(1)12
-(2)()f x 有两个零点
【分析】（1）求得()1e
4x f x '=()e 1142f ='-，()e 114f =-，利用导数的几何意义，求得切线方程，进而求得其在y 轴上的截距；
（2）得到()1e
4x f x '=()0,∞+上递增，结合()10,104f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭''，得到01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭
，使得()00f x '=，进而求得()f x 单调性，结合零点的存在性定理，即可求解.
【详解】（1）解析：由函数()1e
4x f x =
，可得()1e 4x f x '=()e 1142f ='-，又()e 114f =-，所以l 的方程为()e 1e 11424y x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，即e 11422y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，令0x =，可得12y =-，所以直线l 在y 轴上的截距为12
-．（2）解：因为1e
4
x y =和y =()0,∞+上均单调递增，所以()1e
4x f x '=在()0,∞+上单调递增，又因为()141111e 10,1e 044
42f f ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭，所以01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，所以，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 在()00,x 单调递减；
当()0,x x ∞∈+时，()0f x '>，()f x 在()0,x ∞+单调递增，又因为()()1
4100111e 1e 0,110,4e 2010041044f f f ⎛⎫=->==- ⎪⎝⎭，所以()f x 有两个零点．
【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与e x 和ln x 相关的常见同构模型
①e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤，构造函数()ln f x x x =或()e x g x x =；②e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<，构造函数()ln x f x x =或()e x
g x x
=；③e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±，构造函数()ln f x x x =±或()e x g x x =±.
16．(1)证明见解析(2)4
π
【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，结合勾股定理逆定理得到BC AC ⊥，证明出BC ⊥平面11AA C C ，
得到AM BC ⊥，结合题目条件证明出AM ⊥平面1A BC ，得到面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，设点()0,0,M a ，根据向量垂直得到方程，求出a M ⎛=
⎝⎭
，进而求出平面的法向量，得到二面角的余弦值，得到答案.
【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，
∵BC ⊂平面ABC ，∴1AA BC ⊥，
∵2,1,AB BC AC ===∴222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥，
1AC AA A ⋂=，1,AC AA ⊂平面11AA C C ，∴BC ⊥平面11AA C C ．
AM ⊂ 平面11AA C C ，∴AM BC ⊥，
11,AM A B A B BC B ⊥= ，1,A B BC ⊂平面1A BC ，
∴AM ⊥平面1A BC ．
又AM ⊂平面AMB ，∴平面AMB ⊥平面1A BC ．
（2）由（1）可知1,,CA CB CC 两两垂直，
如图，以点C 为坐标原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Cxyz ，
则())()10,0,0,,,0,1,0C A A B ．
设点()0,0,M a ，
则()()()
1,,0,1,0,AM a BA CB AB ==-== ．
11,30AM BA AM BA ⊥∴⋅=-+=
，解得a M ⎛=∴ ⎝⎭
．设平面AMB 的法向量为(),,m x y z = ，
则0,0,m AM m AB y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩
可取(m = ．易知()0,1,0n CB == 为平面AMC
的一个法向量．
cos ,2
m n m n m n ⋅〈〉===⋅ ，故由图可知二面角B AM C --的大小为4
π．17．(1)()12n n a n n =+⋅(2)()
21224+=-+⋅-n n S n n 【分析】（1）由已知可得()122n n n a a n
++=，累乘法可求{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得()1212223212n n S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ ，利用错位相减法可求{}n a 的前n 项和n S .
【详解】（1）由题易知0n a ≠，且()122n n n a a n
++=，所以()2341231212324251231
n n n a a a a a a a a n -+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯- ，所以()()121121212
n n n n n a n n a --+⋅==+⋅⨯，所以()112,n n a n n a =+⋅也满足该式，
所以()12n n a n n =+⋅．
（2）()1212223212n n S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ ，①
()()2121221212n n n S n n n n +=⨯⨯++-⋅++⋅ ，②
②-①，得()()
11212212222n n n S n n n +=+⋅-⨯⨯+⨯++⋅ ．设1212222n n T n =⨯+⨯++⋅ ，③
则()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ，④
④-③，得()()()1121112222222122n n n n n n T n n n ++++=⋅-+++=⋅--=-+ ，
所以()()()1121122124224n n n n S n n n n n +++=+⋅--⋅-=-+⋅-．
18．(1)0.625=Q ；0.8R =．(2)证明见解析(3)0.32
【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可；
（2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可；
（3）由（2）计算出k 的值，判断机器人的检测效果即可.
【详解】（1）()()()40
0.62564P AB Q P A B P B ====，
()()
()40
0.850P AB R P B A P A ====．
（2）()()
()()()()
1111111o e
o e e P AB P AB p p p k p p P A P B P A P B ----==-=-----，
要证明()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-，需证明()()
()()()()()1221P AB P AB Q R QR
Q R P AB P A P B P A P B --+-=+---．
等式右边：()()()()()
()()()
||2||22||2P A B P B A P A B P B A Q R QR
Q R P AB P A B P B A P AB +-+-=+-+-()()()()()()()
()
()()()()()22P AB P AB P AB P AB P B P A P B P A P AB P AB P AB P B P A +-⨯⨯=+-()()()
()()()()
22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-．
等式左边：因为()()()()()1P A B P AB P A P B P AB ⋃=-=+-，所以()()()()()()()()()
()()()()121111P AB P AB P
A P
B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B --+-=⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦
()()()
()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-．
等式左右两边相等，因此()212Q R QR
k Q R P AB +-=-+-成立．
（3）由（2）得0.6250.820.6250.810.320.6250.820.4
k +-⨯⨯=-=+-⨯，因为0.20.320.6<<，所以（1）中机器人的检测效果一般．
19．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）16
3
【分析】（1）根据题意，表示出直线PG 的方程，然后与抛物线方程联立，由Δ0=即可证明；
（2）（ⅰ）根据题意，设直线PF 的方程为1x ty =+，与抛物线方程联立，即可得到点,N H 的坐标，从而得到直线PH 的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点M 的坐标，再结合相似三角形即可证明；（ⅱ）由条件可得43PNT PNE S S =△△，再由12
PNE S EP EN = 代入计算，即可证明.【详解】（1）由题意知()1,0F ，
设()
2,2(0)P n n n >，则21PF n =+，所以21GF FH n ==+，所以()
2,0G n -，所以直线PG 的斜率为1n ，方程为()
21y x n n =+．联立方程()
221,4,y x n n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22440y ny n -+=，因为Δ0=，所以直线PG 与C 相切．
（2
）
（ⅰ）设直线PF 的方程为1x ty =+，
由24,1,
y x x ty ⎧=⎨=+⎩可得2440y ty --=，则4P N y y =-，又因为()2,2P n n ，所以212,N n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭．由（1）知，点()22,0H n +，直线PH 的斜率为n -，方程为()22y n x n =---，
由()
224,2,y x y n x n ⎧=⎪⎨=---⎪⎩得224480y y n n +--=，由248P M y y n =--，得22444,2M n n n n ⎛⎫++-- ⎪⎝
⎭．
作NE PG ⊥，垂足为E ，则EN PM ∥，直线EN 的方程为212
y n x n n ⎛⎫
=--- ⎪⎝⎭，
将直线EN 与PG 的方程联立，得()2212
,
1,y n x n n y x n n
⎧⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩解得11,E n n ⎛⎫
--
⎪⎝⎭．所以221
1441,,4,4EN n PM n n n n n ⎛⎫
⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以4PM EN =
，由相似三角形的性质可得4TM TN =．（ⅱ）由（ⅰ）知4TM TN =，所以4TP TE =，故43
PNT PNE S S =△△，因为221111,,1,EP n n EN n n n n ⎛⎫
⎛⎫
=++=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以()323
311114222PNE n S EP EN n n n +⎛⎫
===+≥ ⎪⎝⎭ （当且仅当1n =时等号成立），故416
33PNT PNE S S =≥△△，即PNT 的面积的最小值为16
3．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.。