2019年保定市高三第一次模拟考试数学答案文理

二、填空题：=x+1 14. 29（文）23 15.1.2 16.45
三、解答题：
17.解：（1）当n=1时21=a ，…………………………1分
当2≥n 时，n n n n n n S S a 222
1
1=-=-=+-…………………4分 经检验n=1时符合上式，所以n
n a 2=…………………………5分
（2）由（1）知2
1
+log n n n
b a a =2n n =-………………………7分 所以123(21)(22)(23)(2)n n T n =-+-+-++-L ……………………8分
1231
2(2222)(123)11
2
22122
n n n n n +=++++-++++=-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯--⋯⋯⋯L L 分 （文）解析:（1）由2()23sin cos 2cos 1f x x x x =+-，得
2()3(2sin cos )(2cos 1)3sin 2cos 22sin(2)6
f x x x x x x x π
=+-=+=+
…3分
所以函数()f x 的最小正周期为π…………………………5分 （2）由（1）可知2)6
2sin(2)(-=+=π
A A f ，………………………6分
即)∈(,+2
-
=6
+
),0(22πππ
π
A k A 解得3
2=
π
A .………………………7分 由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=,即bc bc c b 31622≥++=，
解得316
≤
bc
当且仅当433b c ==时等号成立……………………10分
所以33
42331621sin 21=⨯⨯≤=
∆A bc S ABC …………………………12分
18.解析：（1）取线段PC 中点N ，则N 即为所求. ……………………1分
设线段PD 中点H 连接MN,NH ，AH.
在PDC ∆中，HN 12
HN DC =12
AM DC
= 因为
,AH PAD MN PAD ⊂⊄平面平面,
所以
MN 即N 点为线段PC 中点时满足
MN 3
π=∠BAD AD BO ⊥AD PO ⊥POB ∠323
-32………………9分
(2,3,1)PA =-u u u r
)0,0,4(),1,33,0(-=-=BC PB
设面PBC 法向量
(,,)
m x y z =u r
则
33040
y z x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令
)9,3,0(=m …………………………11分
42
|cos ,|||28||||
m PA m PA m PA ⋅∴<>==⋅u r u u u r
u r u u u r u u u
r u u u u u r 所以,所求的正弦值为
42
…………………………12分 （文）解析：(1)如图所示取线段PD 中点H ，连接NH ，AH.
在PDC ∆中，HN 12HN DC =12
AM DC = 因为PAD MN PAD AH 面面⊄⊂,,
所以MN ………………………6分
（2） 因为22==PD PA ，AD=4，所以PD AP ⊥,取AD 中点O,连接PO ，则AD PO ⊥,因为面PAD ⊥面ABCD,所以ABCD PO 面⊥,
则PO=2，BD=4，…………………………9分
在POB Rt ∆中PB=4，所以72=∆PBD S 设A 到面PBD 的距离为h 由PBD A ABD P V V --=,得h ⋅⋅=⋅⋅⋅
723
1
2164331，解得7214=h
所以点A 到平面PBD 的距离是
721
4…………………………12分 19.解析：（1）易知抛物线y 2
＝4x 的焦点为（1,0），所以椭圆C 的半焦距c=1………2分
又因为其离心率为
2
1
，所以a =2 故b=3,…………………………4分 所以C 的方程为13
42
2=+y x …………………………5分 (2)法1：由题可知，直线l 斜率存在且不为0，设l 方程为y=kx+n 则有⎩⎨
⎧=-++=0
12432
2y x n kx y
整理得：01248)43(2
2
2
=-+++n knx x k 。

0>∆即只需2243n k <+…………………………………………7分
设M ),(11y x ，N ),(22y x 。

则221438k kn x x +-=+，2
2
1214362)(k n
n x x k y y +=++=+ 所以P )433,434(
2
2k n k kn ++-…………………………9分
22
33344434OP
n
k k kn k k +==--+ 所以3
4
MN OP k k ⋅=-
.…………………………12分 法2：设M ),(11y x ，N ),(22y x 00(,)P x y ，
则22
11121212122
2
221()()()()430431
4
3x y x x x x y y y y x y ⎧+=⎪+-+-⎪∴+=⎨⎪+=⎪⎩ …………8分 因为线段MN 中点为P ，所以01201
22()2()
43
x x x y y y --∴
=-………………10分 所以012120
3
4y y y x x x -⋅=-- 即3
4
MN OP
k k ⋅=-……………………………………………………12分 20.解析：(1)甲、乙两个小组的频率分布直方图如下：
……………………………………………………………………………4分 (2) 易知甲小组的理想数据数为8＋14＋8＝30，
故甲小组中理想数据的频率为30
40＝…………………………5分
由题意知，ξ服从二项分布（5，
34
），所以
故E ξ=5=44
⨯ 或E ξ=0×
11024+1×151024+……+5×2431024=154
…………………………8分 （文）易知甲小组的理想数据数为8＋14＋8＝30，
故甲小组中理想数据的频率为30
40
＝，
乙小组的理想数据数为12+18+6=36，…………………………6分 故乙小组中理想数据的频率为3640
＝，
据此可估计从甲小组任取1个数据，该数据恰好是理想数据的概率为； 从乙小组任取1个数据，该数据恰好是理想数据的概率为. ……………8分 (3)甲小组的理想数据数为30，乙小组的理想数据数为36. 2×2列联表如下：
∵K 2
＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝66×14×40×40
≈>，
∴有90%的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关． …………………………………………………………………………12分
21. 解析：（1）由221
()(1)2
f x ax a x =-+=0且0x >得：
零点22(1)4=4a a
x a a
+=≥（当且仅当a=1时取等号）
， 故结论成立…………………………………………………3分
（2）222
(1)(1)()()(1)a ax a x a ax x a g x ax a x x x
-++--'=+-+==Q
所以，由()g x '=0得a x a
x ==21,1
，…………………………5分 （i ）当
a a
=1
，即a=1时,()0g x '≥ [)1,x ∈+∞在上恒成立，g(x)在[)1,x ∈+∞上单增
所以min 13()(1)1122g x g ==
--=-
315
2.=22a e a e a a --+--而 显然结论成立
………………………7分
（ii ）当
a a
<1
，即1>a 时，当),(+∞∈a x 时，()0g x '≥，g(x)单增。

(,)x a ∈１时，()0g x '<，g(x)单减
所以，当[)1,x ∈+∞时，
3min 1
()()ln 2g x g a a a a a ==--………………8分
31()22a e g x a e a a >--+-要证成立 即证ln a
e a a a e a +>-
+成立 令()ln h a a a a =+，()(1,)a
e k a e a a
=-+∈+∞， ()ln 20h a a '=+>，所以()h a 在[)+∞,1单增，()(1)1h a h ≥=……………10分
22
(1)
()0a a a a e e e a k a a a ⋅--'=-=-<，
所以()k a 在[)+∞,1单减，()(1)0k a k e e ≤=-+=
所以()()h a k a >，即[)1,x ∈+∞时，31()22a
e f x a e a a
>--
+-……………12分 （文） 解析：（1）221
1)(x
ax x x a x f +=+=
',(0>x )…………………………1分 ①若0≥a ，则()0f x '>，则)(x f 在),0(+∞单增；…………………3分 ②若0<a ，令0)(='x f ，得1
x a
=-
， 所以1(0,)x a
∈-时，0)(>'x f ，)(x f 单增；
1
(,)x a
∈-+∞时，0)(<'x f ，)(x f 单减。

………………………5分
（2）因为0)1(=f ，由（1）可知 当0≥a 时，
(0,1]x ∈时，10x -<，()0f x ≤，0)()1(≥-x f x ………………………6分 ),1(+∞∈x 时，10,()0x f x ->>，0)()1(≥-x f x
所以0≥a 时，有0)()1(≥-x f x ………………………………………………7分 当0<a 时，
①当1,11
-==-
a a
即时，()(0,1)(1,)f x +∞在单增，在单减，
且0)1(=f 所以0)(≤x f ，易知0)()1(≥-x f x 不成立。

…………………………8分 ②当11
<-
a
，即1-<a 时，)(x f 在（0,1）上有1()(1)0f f a ->=，
易知0)()1(≥-x f x 不成立。

……………………………………………9分
③当01,11
<<->-a a
即时，)(x f 在),1(+∞时，因为1
11,1a e e a -->∴>>，
所以1
11111()ln 10a
a
a
a
f e
a e
e
e
-
-
--=-
+=-
<，易知0)()1(≥-x f x 不成立。

综上所述，0)()1(≥-x f x 恒成立时，0≥a …………………………12分 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
解析：（1）由题可知C ：2
2
3x y += …………………………2分
直线l 的直角坐标方程为1y x =-…………………………4分
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
解析：（1）当a=2时，
⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤≤----<=1,312,122,3)(x x x x x f ，……………………2分 当x<-2时，由1)(≥x f 得x<-2; …………………………3分 当12≤≤-x 时，由1)(≥x f 得12-≤≤-x ……………4分 当x>1时，由1)(≥x f ，无解；
所以不等式1)(≥x f 的解集为{}1|-≤x x …………………5分
（2） 因为()1|(1)()|21f x x x a x x a x a =--+≤-++=+-……6分 当0))(1(≤+-a x x 时，等号成立…………………………7分
当0))(1(>+-a x x 时，12)(-+<a x x f 记不等式0))(1(>+-a x x 的解集为A,则A ⊆)4,2( ①若1,a ≥-，显然成立…………………………………9分 ②若1,(,1)(,),21a A a a <-∴=-∞⋃-+∞∴-≤<- 所以a 的取值范围是[2,)-+∞…………………………10分。