2019-2020学年江西省南昌市高二上学期期末考试数学（理试题

南昌二中2019—2020学年度上学期期末考试
高二数学（理）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i z -=3的虚部为（ ） A ．3
B ．1-
C ．i
D ．i -
2．用反证法证明命题：“,N a b ∈，若ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是（ ） A ．,a b 都不能被5整除 B ．,a b 都能被5整除 C ．,a b 不都能被5整除
D ．a 能被5整除
3．函数()cos x f x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为（ ） A ．0
B ．
4
π C ．1 D ．
2
π 4．下列命题中错误．．
的是（ ） A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“)(q p ⌝∨”为真命题 B ．命题“若7≠+b a ，则2≠a 或5≠b ”为真命题
C ．命题“若函数)(x f 的导函数)('
x f 满足0)(0'
=x f ，则0x 是函数)(x f 的极值点”的逆
否命题是真命题
D ．命题p ：0,sin 21x
x x ∃>>-，则⌝p 为 0,sin 21x
x x ∀>-≤
5.直线01)1(2
=-++y a x 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．],4
3[
ππ B ．]43,
4[
π
π
C ．⎥⎦
⎤
⎝⎛4,
0π D ． ⎪⎭
⎫
⎢
⎣⎡ππ
,43 6．若R a ∈，则“复数i
ai
z +-=13在复平面内对应的点在第三象限”是“3>a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．函数231()23
f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是（ ） A ．
323
B ．
163
C ．12
D ．9
8．若2
2
11
S x dx =
⎰
，2
21
1
S dx x
=⎰
，231x S e dx =⎰，则123,,S S S 的大小关系为( )
A ．123S S S <<
B ．213S S S <<
C ．231S S S <<
D ．321S S S <<
9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。

老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．丁可以知道四人的成绩
10.下列命题为真命题的个数是（ ）
①e 1ln <ππ
② 33
ln ln >
ππ ③33
>e e A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
11.双曲线:C 2
214
x y -=的左,右顶点分别是12,A A ，P 是C 上任意一点，直线12,PA PA 分别与直线:1l x =交于,M N ，则MN 的最小值是（ ） A ．1
B ．3
C ．2
D ．3
12．若函数1)(2
-=x x f 与函数1ln )(-=x a x g 的图象存在公切线，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．),0(e B ．],0(e
C ．)2,0(e
D ．]2,0(e
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，则3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
'等于____________. 14.
=+-⎰
-dx x x 1
1
2)1(__________.
15．已知点P （x ，y ）是抛物线y 2＝4x 上任意一点，Q 是圆（x +2）2+（y ―4）2＝1上任意一点，则|PQ |+x 的最小值为_____．
16.已知函数2ln )(--=x e x f x
.下列说法正确的是___________. ①)(x f 有且仅有一个极值点； ②)(x f 有零点；
③若)(x f 极小值点为0x ，则2
1
)(00<<x f ； ④若)(x f 极小值点为0x ，则1)(2
1
0<<x f .
三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
命题2
:,10p x R ax ax ∀∈+-<，命题:q 方程
1422
2=-++a
y a x 表示焦点在y 轴上的椭圆．
（1）若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；
（2）若“非q ”是“[],1a m m ∈+”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
18．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 为⎩
⎨
⎧== sin cos 2ϕϕ
y x （ϕ为参数）.在以O 为原点， x 轴
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为θρcos 4=，射线(0)4
π
θρ=
≥与
2C 除极点外的一个交点为M ，设直线l 经过点M ，且倾斜角为
6
π
，直线l 与曲线1C 的两个交点为B A ,.
（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（2）求MB MA ⋅的值．
19．（本小题满分12分）
数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*
1
2N n n n
a S n S =+-∈．
(1)求1S ，2S ，3S ，4S 的值；
(2)猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
20．（本小题满分12分） 设函数x ax x x f +-
=2
2
1ln )(． （1）当2=a 时，()f x k ≤恒成立，求实数k 的取值范围； （2）方程()2
(1)2
am mf x x =-有唯一实数解，求正数m 的值．
21.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，点P (x ，y )为动点，已知点A (2，0)，B (－2，0)，直线P A 与PB 的斜率之积为－1
2
．
(1)求动点P 的轨迹E 的方程；
(2)过点F (1,0)的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (M 、Q 不重合)，求证：直线MQ 过定点．
22.（本小题满分12分）
已知函数1
()ln a f x x x
+=+
． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）当01a ≤≤时，证明：()(sin 1)xf x a x >+．
高二数学（理）期末考试参考答案
1．复数i z -=3的虚部为（ ）
A ．3
B ．1-
C ．i
D ．i - 【答案】B
2．用反证法证明命题：“,N a b ∈，若ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是（ ） A ．,a b 都不能被5整除 B ．,a b 都能被5整除 C ．,a b 不都能被5整除 D ．a 能被5整除
【答案】A
3．函数()cos x f x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为（ ） A ．0 B ．
4
π C ．1 D ．
2
π 【答案】B
试题分析：()cos sin x x
f x e x e x -'=，令()1f x '=，则倾斜角为
4
π. 4．下列命题中错误．．
的是（ ） A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“)(q p ⌝∨”为真命题 B ．命题“若7≠+b a ，则2≠a 或5≠b ”为真命题
C ．命题“若函数)(x f 的导函数)('
x f 满足0)(0'
=x f ，则0x 是函数)(x f 的极值点”的逆否
命题是真命题
D ．命题p ：0,sin 21x x x ∃>>-，则⌝p 为 0,sin 21x
x x ∀>-≤
【答案】C
5.直线01)1(2
=-++y a x 的倾斜角的取值范围是（ D ）
A ．],43[
ππ B ．]4
3,4[ππ C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛4,
0π D ． ⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡ππ,43 6．若R a ∈，则“复数i
ai
z +-=13在复平面内对应的点在第三象限”是“3>a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
7．函数231()23f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是（ ） A ．
323
B ．163
C ．12
D ．9
【答案】A
【解析】21232
()40,0,4,(0)0,(4),(6)03
f x x x x x f f f '=-===∴===. 8．若2
211
S x dx =
⎰
，2
21
1
S dx x
=⎰
，231x S e dx =⎰，则123,,S S S 的大小关系为( )
A ．123S S S <<
B ．213S S S <<
C ．231S S S <<
D ．321S S S <<
【答案】B
依题意，32222
1121317|,ln |ln 2,|33x x S S x S e e e ⎛⎫======- ⎪⎝⎭
，故213S S S <<，所以选B.
9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。

老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．丁可以知道四人的成绩
【答案】A
10.下列命题为真命题的个数是（ C ）
①e 1ln <ππ
② 33
ln ln >
ππ ③33
>e e A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
11.双曲线:C 2
214
x y -=的左,右顶点分别是12,A A ，P 是C 上任意一点，直线12,PA PA 分
别与直线:1l x =交于,M N ，则MN 的最小值是（ B ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．3
12．若函数1)(2
-=x x f 与函数1ln )(-=x a x g 的图象存在公切线，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．),0(e B ．],0(e
C ．)2,0(e
D ．]2,0(e
【答案】D
13．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，则3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
'等于____________.1 详解：函数()sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
'()2(2)3
f x cos x π
∴=-， 将3
x π
=代入，得2'()2(
)213
333
f cos cos π
πππ=-== 14.
=+-⎰
-dx x x 1
1
2)1(__________.
2
π
15．已知点P （x ，y ）是抛物线y 2＝4x 上任意一点，Q 是圆（x +2）2+（y ﹣4）2＝1上任意一点，则|PQ |+x 的最小值为_____． 【答案】3
画出图像,设焦点为(1,0)F ,由抛物线的定义有1PF x =+,故1x PF =-.
又PQ QC CP +≥当且仅当,,C Q P 共线且Q 为CP 与圆C 的交点时PQ 取最小值为
1PC QC PC -=- .故PQ x +的最小值为112PC PF PC PF -+-=+-.
又当P 为线段CF 与抛物线的交点时PC PF +取最小值,
此时2223PQ x PC PF CF +=+-=-==
16.已知函数2ln )(--=x e x f x
.下列说法正确的是___________. ①)(x f 有且仅有一个极值点； ②)(x f 有零点；
③若)(x f 极小值点为0x ，则2
1)(00<<x f ④若)(x f 极小值点为0x ，则
1)(2
1
0<<x f ①③
17．命题2
:,10p x R ax ax ∀∈+-<，命题:q 方程
1422
2=-++a
y a x 表示焦点在y 轴上的椭圆．
（1）若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；
（2）若“非q ”是“[],1a m m ∈+”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 试题解析：（1）关于命题2
:,10p x R ax ax ∀∈+-<，
0a >时，显然不成立，0a =时成立，恒成立
0a <时，只需240a a ∆=+<即可，解得：40a -<<，故p 为真时：(]4,0a ∈-；
关于命题q ，024>+>-a a 解得： 21a -<<，
命题“p 或q ”为假命题，即,p q 均为假命题，则41a a ≤-≥或；． （2）非:21q a a ≤-≥或，所以31m m ≤-≥或 18．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 为⎩⎨
⎧==
sin cos 2ϕϕ
y x （ϕ为参数）.在以O 为原点， x 轴
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为θρcos 4=，射线(0)4
π
θρ=
≥与
2C 除极点外的一个交点为M ，设直线l 经过点M ，且倾斜角为
6
π
，直线l 与曲线1C 的两
个交点为B A ,.
（1）求1C 普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）求MB MA ⋅的值.
18.试题分析：（1）1C 的普通方程是2
214
x y +=. 由θρcos 4=得θρρcos 42
=，所以2C 的直角坐标方程是042
2
=-+x y x
（2）联立0422
=-+x y x 与y x =得)2,2(M 或)0,0(M ，M 不是极点，)2,2(M ∴.
依题意，直线l 的参数方程可以表示为 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=
212232t y t x （t 为参数），
代入
2
214
x y +=
得278)1604t t ++=,设B A ,点的参数是1,2t t ，则 76421=
t t ，7
64
||21==⋅∴t t MB MA 19．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*
1
2N n n n
a S n S =+-∈．
(1)求1S ，2S ，3S ，4S 的值；
(2)猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 解：（1）当1n =时，∵11111
2a S S S ==+
-，∴112
S =， 又221221
2a S S S S =-=+-，∴223
S =， 同理334S =
，44
5
S =； （2）猜想()
*N 1
n n
S n n =
∈+ 下面用数学归纳法证明这个结论. ①当1n =时，结论成立.
②假设(
)
*
,1n k k N k =∈≥时结论成立，即1
k k
S k =
+，
当1n k =+时，1111
12k k k k k a S S S S ++++=-=+-， ∴112k k S S +=-，∴11112221
k k k S k S k k ++===-+-+ 即当1n k =+时结论成立.
由①②知1
n n S n =
+对任意的正整数n 都成立. 20．(本小题满分12分) 设函数x ax x x f +-=221ln )(． （Ⅰ）当2=a 时，()f x k ≤恒成立，求k 范围；
（Ⅱ）方程()2(1)2
am mf x x =-有唯一实数解，求正数m 的值． 20．【解析】（Ⅰ）当2=a 时，x x
x f x x x x f 211)(,ln )('2-+=-+= ． 解0)('=x f 得1=x 或2
1-=x （舍去）．当)1,0(∈x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增，当),1(+∞∈x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减 ． 所以)(x f 的最大值为0)1(=f ．故0k ≥．
（Ⅱ）方程()2(1)2am mf x x =-
即0ln 2=--x m mx x 解法1：设0ln )(2=--=x m mx x x g ，解02)('=-
-=x m m x x g 得4821m m m x +-=(<0舍去)，4
822m m m x ++= )(x g 在),0(2x 单调递减，在),(2+∞x 单调递增，最小值为)(2x g
因为2
)(x x mf =有唯一实数解，)(x g 有唯一零点，所以0)(2=x g 由⎩⎨⎧==0)(0)('2
2x g x g 得01ln 222=-+x x ，因为1ln 2)(-+=x x x h 单调递增，且0)1(=h ，所以12=x . 从而1=m
解法2：分离变量2ln 1x
x x m += 21. 在平面直角坐标系中，点P (x ，y )为动点，已知点A (2，0)，B (－2，0)，直线P A 与
PB 的斜率之积为－12
. (1)求动点P 的轨迹E 的方程；
(2)过点F (1,0)的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (M 、Q 不重合)，求证：直线MQ 过定点．
解：(1)由题知：y x ＋2·y x －2＝－12. 化简得x 22
＋y 2＝1(y ≠0)．(4分) (2)方法1：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)，l ：x ＝my ＋1，
代入x 22
＋y 2＝1(y ≠0)整理得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0.(7分) y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2
， MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2
(x －x 1)，(10分) 令y ＝0，
得x ＝x 1＋y 1x 2－x 1y 1＋y 2＝my 1＋1＋my 1y 2－y 1y 1＋y 2＝2my 1y 2y 1＋y 2
＋1＝2， ∴直线MQ 过定点(2,0)．(12分)
方法2：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)，l ：y ＝k (x －1)，
代入x 22
＋y 2＝1(y ≠0)整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，(7分) x 1＋x 2＝4k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2
， MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2
(x －x 1)，(10分) 令y ＝0，
得x ＝x 1＋y 1x 2－x 1y 1＋y 2＝x 1＋k x 1－1x 2－x 1k x 1＋x 2－2＝2x 1x 2－x 1＋x 2x 1＋x 2－2
＝2. ∴直线MQ 过定点(2,0)．(12分)
22．已知函数1()ln a f x x x +=+
. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）当01a ≤≤时，证明：()(sin 1)xf x a x >+．
解：（1）由1()ln a f x x x +=+得2211(1)'()(0)a x a f x x x x x
+-+=-=>. 当10a +≤即1a ≤-时，'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．
当10a +>即1a >-时，由'()0f x >得1x a >+；由'()0f x <得1x a <+， 所以()f x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增．
（2）要证()(sin 1)xf x a x >+成立，
只需证ln 1sin x x a a x a ++>+成立，即证ln sin 1x x a x >-.
现证：ln 1x x ax ≥-.
设()ln 1g x x x ax =-+．则'()1ln ln 1g x x a x a =+-=+-，
所以()f x 在1(0,e )a -上单调递减，在1(e ,)a -+∞上单调递增．
所以1111()()(1)11a a a a g x g e a e ae e ----≥=--+=-.
因为01a ≤≤，所以110a e --≥，则()0g x ≥，
即ln 1x x ax ≥-，当且仅当1x =，1a =时取等号．
再证：1sin 1ax a x -≥-.设()sin h x x x =-，则'()1cos 0h x x =-≥. 所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，则()(0)0h x h >=，即sin x x >. 因为01a ≤≤，所以1sin 1ax a x -≥-．当且仅当0a =时取等号， 又ln 1x x ax ≥-与1sin 1ax a x -≥-两个不等式的等号不能同时取到， 即ln sin 1x x a x >-，所以()(sin 1)xf x a x >+．。