2022年江苏省南通市如皋市八下期中数学试卷(含答案)

2022年江苏省南通市如皋市八下期中数学试卷
1.下列各图中能说明y是x的函数的是( )
A．
B．
C．
D．
2.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲乙丙丁
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参平均数(cm)185180185180
方差 3.6 3.67.48.1
加比赛，应该选择( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
3.正方形具有而菱形不具有的性质是( )
A．四边相等B．四角相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
4.已知点A(1,y1)、B(−3,y2)都在直线y=−1
2
x+2上，则( )．
A．y1<y2B．y1=y2C．y1>y2D．不能比较
5.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO=15∘，
则∠BOE的度数为( )
A．85∘B．80∘C．75∘D．70∘
6.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于( )
A．24
5B．12
5
C．5D．4
7.如图，已知直线y=3x+b与y=ax−2的交点的横坐标为−2，根据图象有下列3个结论：
① a>0；② b>0；③ x>−2是不等式3x+b>ax−2的解集．其中正确的个数是( )
A．0B．1C．2D．3
8.如图，在坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为(6,4)，若直线l经过点(1,0)，且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是( )
A．y=x+1B．y=1
3
x+1C．y=3x−3D．y=x−1
9.甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了
4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y(m)与甲所用时间x(min)之间的函数关系如图所示.有下列说法：
①A，B之间的距离为1200m；
②乙行走的速度是甲的1.5倍；
③ b=960；
④ a=34．
以上结论正确的有( )
A．①②B．①②③C．①③④D．①②④
10.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点
F是CD的中点，则EF的最大值为( )
A．√73
2B．4C．5D．9
2
11.某校规定学生的体育成绩由三部分组成；体育技能测试占50%，体育理论测试占20%，体育课
外活动表现30%，甲同学的上述三部分成绩依次为96分，85分，90分，则甲同学的体育成绩为分．
12.一组数据：80，75，85，90，80的中位数是．
13.直线y=3x+2沿y轴向下平移6个单位，则平移后直线解析式为．
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，点D，E，F分别是三边的中点，CF=8 cm，则线段
DE=cm．
15.含45∘角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中A(−3,0)，B(0,2)，则直线BC的解
析式为．
16.已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE=DF=1，BE与AF相交
于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．
17.不论m取何值，点P(2m,m+1)都在某一条直线上，则这条直线的解析式是．
18.如图，在平面直角坐标系中，点A(12,0)，点B(0,4)，点P是直线y=−x−1上一点，且
∠ABP=45∘，则点P的坐标为．
19.已知y与3x+1成正比例，且x=3时，y=4，求y与x之间的函数关系式．
20.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E，F，求证：四边形AECF
是平行四边形．
21.如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线分别交AB，CD，BD于E，F，O，连接DE，BF．
(1) 求证：四边形BEDF是菱形．
(2) 若AB=8 cm，BC=4 cm，求四边形DEBF的面积．
22.某校初二开展英语拼写大赛，爱国班和求知班根据初赛成绩，各选岀5名选手参加复赛，两个班
各选出的5名选手的复赛成绩如图所示：
(1) 根据图示填写下表：班级中位数(分)众数(分)平均数(分)
爱国班85
求知班 10085
(2) 结合两班复賽成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩比较好？
(3) 已知爱国班复賽成绩的方差是70，请求岀求知班复赛成绩的方差，并说明哪个班成绩比较稳
定？
23.如图，直线y=−1
3
x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=x交于点E，点E的横坐标为3．
(1) 求点E的坐标和b值．
(2) 在x轴上有点P(m,0)，过点P作x轴的垂线，与直线y=−1
3
x+b交于点C，与直线y=x交于点D．若CD≤4，求m的取值范围．
24.春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，两种商品进价分别为30元、70元，商场决定甲
商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，设购进甲商品x件，这100件商品的销售总利润为y元．
(1) 求y与x的函数关系式．
(2) 请你设计获利最大的进货方案，并求出最大利润．
25.如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由C站驶往A地，到达A地后立即原
速驶往B地，货车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图2是客车、货车离C站的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象，请结合图象信息解答下列问题：
(1) A，B两地间的距离是千米；请直接在图2中的括号内填上正确数字．
(2) 求货车由B地驶往A地过程中，y与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3) 客、货两车出发多长时间，距各自出发地的距离相等？直接写出答案．
(4) 客、货两车出发多长时间，相距500千米？直接写出答案．
26.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交边AB，CD，AD，
BC于点E，F，G，H．
(1) 如图①，若四边形ABCD是正方形，且EF⊥GH，易知S△BOE=S△AOG，又因为S△AOB=
1 4S
四边形ABCD
，所以S
四边形AEOG
=1
4
S
正方形ABCD
(不要求证明)．
(2) 如图②，若四边形ABCD是矩形，且S
四边形AEOG =1
4
S
矩形ABCD
，若AB=a，AD=b，
BE=m，求AG的长（用含a，b，m的代数式表示）．
(3) 如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且S
四边形AEOG =1
4
S
平行四边形ABCD
，若AB=3，
AD=5，BE=1，则AG=．
答案
1. 【答案】D
【解析】根据函数的意义可知：对于自变量 x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，所以D 正确．
2. 【答案】A
【解析】 x 甲=x 丙>x 乙=x 丁， ∴ 从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵s 甲2=s 乙2<s 丙2<s 乙2，
∴ 选择甲参赛．
3. 【答案】B
4. 【答案】A
【解析】由直线 y =−1
2x +2 可知 k <0，y 随 x 的增大而减小， ∵1>−3， ∴y 1<y 2， 故选：A ．
5. 【答案】C
【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD =∠ABC =90∘，OA =1
2AC ，OB =1
2BD ，AC =BD ， ∴OA =OB ． ∵AE 平分 ∠BAD ， ∴∠BAE =45∘，
∴△ABE 是等腰直角三角形， ∴AB =BE ， ∵∠EAO =15∘，
∴∠BAO =45∘+15∘=60∘， ∴△AOB 是等边三角形， ∴∠ABO =60∘，OB =AB ，
∴∠OBE =90∘−60∘=30∘，OB =BE ， ∴∠BOE =1
2×(180∘−30∘)=75∘． 故选：C ．
6. 【答案】A
【解析】设对角线相较于点 O ，因为 AC =8，DB =6，所以 AO =1
2
AC =1
2
×8=4，BO =
1
2BD =1
2
×6=3．由勾股定理得，AB =√AO 2+BO 2=√42+32=5．因为 DH ⊥AB ，所以 S 菱形ABCD =AB ⋅DH =12AC ⋅BD ，即 5DH =12×8×6，解得 DH =245
．
7. 【答案】D
【解析】由图象可知，a >0，故①正确； b >0，故②正确；
当 x >−2 是直线 y =3x +b 在直线 y =ax −2 的上方， 即 x >−2 是不等式 3x +b >ax −2，故③正确．
8. 【答案】D
【解析】设 D (1,0)，
∵ 线 l 经过点 D (1,0)，且将平行四边形 OABC 分割成面积相等的两部分， ∴OD =BE =1，
∵ 顶点 B 的坐标为 (6,4)． ∴E (5,4)，
设直线 l 的函数解析式是 y =kx +b ， ∵ 图象过 D (1,0)，E (5,4)， ∴{k +b =0,5k +b =4, 解得：{k =1,
b =−1,
∴ 直线 l 的函数解析式是 y =x −1．
9. 【答案】D
【解析】①当 x =0 时，y =1200，
∴ A ，B 之间的距离为 1200 m ，结论①正确； ②乙的速度为 1200÷(24−4)=60(m/min )， 甲的速度为 1200÷12−60=40(m/min )， 60÷40=1.5，
∴ 乙行走的速度是甲的 1.5 倍，结论②正确；
③ b =(60+40)×(24−4−12)=800，结论③错误； ④ a =1200÷40+4=34，结论④正确．
10. 【答案】D
【解析】如图，取BC中点O，连接OE，OF．∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠C=90∘，
∵点F是CD中点，点O是BC的中点，∴CF=3
2
，CO=2，
∴OF=√CF2+OC2=5
2
，
∵点O是Rt△BCE的斜边BC的中点，
∴OE=OC=2，
∵根据三角形三边关系可得：OE+OF≥EF，
∴当点O，点E，点F共线时，EF最大值为OE+OF=2+5
2=9
2
．
11. 【答案】92
【解析】由题意知，甲同学的体育成绩是：96×50%+85×20%+90×30%=92（分）．
则甲同学的体育成绩是92分．
12. 【答案】80
【解析】将数据重新排列为75，80，80，85，90，
∴这组数据的中位数是80．
13. 【答案】y=3x−4
【解析】直线y=3x+2沿y轴向下平移6个单位长度后的函数解析式是y=3x+2−6= 3x−4．
14. 【答案】8
【解析】∵∠ACB=90∘，点F是AB的中点，
∴AB=2CF=16，
∵点D，E分别是CA，CB的中点，
∴DE=1
2
AB=8(cm)．
15. 【答案】y=−1
5
x+2
【解析】如图，过C作CD⊥x轴于点D，
∵∠CAB =90∘，
∴∠DAC +∠BAO =∠BAO +∠ABO =90∘，
∴∠DAC =∠ABO ，
在 △AOB 和 △CDA 中，
{∠ABO =∠CAD,
∠AOB =∠CDA,AB =AC,
∴△AOB ≌△CDA (AAS )，
∵A (−3,0)，B (0,2)，
∴AD =BO =2，CD =AO =3，
∴C (−5,3)，
设直线 BC 解析式为 y =kx +b ，
∴{b =2,−5k +b =3, 解得 {k =−15,b =2,
∴ 直线 BC 解析式为 y =−15x +2．
16. 【答案】 52 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴∠BAE =∠D =90∘，AB =AD ，
在 △ABE 和 △DAF 中，
∵{AB =AD,
∠BAE =∠D,AE =DF,
∴△ABE ≌△DAF (SAS )，
∴∠ABE =∠DAF ，
∵∠ABE +∠BEA =90∘，
∴∠DAF +∠BEA =90∘，
∴∠AGE =∠BGF =90∘，
∵ 点 H 为 BF 的中点，
∴GH =12BF ，
∵BC =4，CF =CD −DF =4−1=3，
∴BF =√BC 2+CF 2=5，
∴GH =12BF =52．
17. 【答案】 y =12x +1 【解析】 ∵ 点 P 坐标为 (2m,m +1)，
∴ 可以假设 x =2m ，y =m +1，
∴m =12x ，代入 y =m +1，
∴y =12x +1．
18. 【答案】 (5,−6)
【解析】如图所示，将线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 90∘ 得到线段 BC ，则点 C 的坐标为 (−4,−8)，
由于旋转可知，△ABC 为等腰直角三角形，令线段 AC 和线段 BP 交于点 M ，则 M 为线段 AC 的中点，所以点 M 的坐标为 (4,−4)，又 B 为 (0,4)，设直线 BP 为 y =kx +b ，将点 B 和点 M 代入可得
{4k +b =−4,b =4,
解得 k =−2，b =4，可得直线 BP 为 y =−2x +4，
由于点 P 为直线 BP 和直线 y =−x −1 的交点，
则由 {y =−2x +4,y =−x −1, 解得 {x =5,y =−6,
所以点 P 的坐标为 (5,−6)．
19. 【答案】 ∵y 与 3x +1 成正比例，
∴ 关系式设为：y =k (3x +1)，
∵x =3 时，y =4，
∴4=k(3×3+1)，解得：k=2
5
，
∴y与x的函数关系式为：y=2
5(3x+1)=6
5
x+2
5
．
故y与x之间的函数关系式为：y=6
5x+2
5
．
20. 【答案】∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90∘，
∴AE∥FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵∠ABD=∠CDF，∠AEB=∠CFD=90∘，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
21. 【答案】
(1) ∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90∘，AD=BC，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
{∠OBE=∠ODF, BO=DO,
∠BOE=∠DOF,
∴△BOE≌△DOF(ASA)，
∴EO=FO，且OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF垂直平分BD，
∴BE=DE，
∴四边形BEDF是菱形．
(2) ∵四边形BEDF是菱形，
∴BE=DE，
在Rt△ADE中，
DE2=AE2+DA2，
∴BE2=(8−BE)2+16，
∴BE=5，
∴四边形DEBF的面积=BE×AD=20 cm2．
22. 【答案】
(1) 85；85；80
(2) 在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好爱国班成绩好些．因为两个班复赛成绩的平均数相同，爱国班的中位数高，所以爱国班的成绩好．
(3) 爱国班比求知班成绩更平稳一些．理由如下：
S 爱国班2=70，
S 求知班2=15[(70−85)2+(100−85)2+(100−85)2+(75−85)2+(80−85)2]=160, ∵S 爱国班2<S 求知班2
∴ 爱国班比求知班成绩更平稳一些．
【解析】
(1) 观察图分别写出爱国班和求知班 5 名选手的复赛成绩，然后根据中位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可．
由图可知爱国班 5 名选手的复赛成绩为：75，80，85，85，100，
求知班 5 名选手的复赛成绩为：70，100，100，75，80，
所以爱国班的平均数为 (75+80+85+85+100)÷5=85，
求知班的中位数为 80，爱国班的众数为 85．
填表如下：班级
中位数(分)众数(分)平均数(分)爱国班
858585求知班
8010085
23. 【答案】
(1) ∵E 为 y =x 与 y =−13x +b 的交点，且点 E 的横坐标为 3，
∴E (3,3)，
∴3=−13×3+b ，
∴b =4，
∴ 直线 AB 的解析式为 y =−13x +4，
当 x =3 时，y =3，
∴E (3,3)．
(2) 由题意 C (m,−13m +4)，D (m,m )， ∴CD =∣m −(−13m +4)∣=∣43m −4∣， ∵CD ≤4，
∴∣43m −4∣≤4，
解得 m ≤6 或 m ≥0．
24. 【答案】
(1) 根据题意得：y =(40−30)x +(90−70)(100−x )=−10x +2000．
(2) 设甲商品进 a 件，乙商品 (100−a ) 件，由题意得，a ≥4(100−a ).a
≥80.
由（1）知，y =−10x +2000，
∵y 随 a 的增大而减小，
∴ 要使利润最大，则 a 取最小值，
∴a =80，
∴y =2000−10×80=1200，
答：甲商品进 80 件，乙商品进 20 件，最大利润是 1200 元．
25. 【答案】
(1) 600
(2) ①设 B →C 的函数解析式为 y =kx +b ，
则有 {b =480,92
k +b =210. 解得 {k =−60,b =480. ∴y =−60x +480，
直线 y =−60x +480 与 x 轴交于 (8,0)，
②设 C →A 的函数解析式为 y =mx +n ，
则有 {
8m +n =0,10m +n =120. 解得 {m =60,n =−480.
∴y =60x −480，
综上所述，y ={−60x +480(0<x ≤8),60x −480
(8<x ≤10). (3) 客、货两车出发 1.5 小时或 6 小时
(4) 客、货两车出发 12 小时或 118 小时或 253
【解析】
(1) 由题意：AC =120 千米，BC =480 千米，AB =AC +BC =600 千米．
(3) 设客、货两车出发 x 小时，距各自出发地的距离相等．
由题意客车速度为 100 千米/小时，货车速度为 60 千米/小时．
则有 240−100x =60x ，解得 x =1.5，
或 100x −240=60x ，解得 x =6，
∴ 客、货两车出发 1.5 小时或 6 小时，距各自出发地的距离相等．
(4) 设客、货两车出发 y 小时，相距 500 千米．
则有 480−60x +100x =500 或 240−100x +480−60x =500，
解得x=1
2或11
8
，
当客车到达B时，60x=500，解得x=25
3
，
综上所述，客、货两车出发1
2小时或11
8
小时或25
3
，相距500千米．
26. 【答案】
(1) 如图①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAG=∠OBE=45∘，OA=OB，
∵AG=BE，
∴△AOG≌△BOE，
∴S
四边形AEOG =S△AOB=1
4
S
正方形ABCD
．
(2) 如图②，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，
∵S△AOB=1
4S
矩形ABCD
，
S
四边形AEOG =1
4
S
矩形ABCD
，
∴S△AOB=S
四边形AEOG
，
∵S△BOE=1
2BE⋅OM=1
2
m⋅1
2
b=1
4
mb，
S△AOG=1
2AG⋅ON=1
2
AG⋅1
2
a=1
4
AG⋅a，
∴1
4mb=1
4
AG⋅a，
AG=bm
a
．
(3) 5
3
【解析】
(3) 如图③，过O作QM⊥AB，PN⊥AD，则MQ=2OM，PN=2ON，
∵S
平行四边形ABCD
=AB⋅MQ=AD⋅PN，
∴3×2OM=5×2ON，
∴OM
ON =5
3
，
∵S△AOB=1
4S
平行四边形ABCD
，
S
四边形AEOG =1
4
S
平行四边形ABCD
，
∴S△AOB=S四边形AEOG，
∵S△BOE=1
2BE⋅OM=1
2
×1×OM，
S△AOG=1
2
AG⋅ON，
∴1
2×1×OM=1
2
AG⋅ON，
OM=AG⋅ON，
OM ON =AG=5
3
，
AG=5
3
．。