高考平面向量及其应用专题及答案doc

一、多选题
1．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是
（ ）
A ．()
0a b c -⋅=
B ．()
0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=
D ．2a b c ++=
2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列
ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>
B ．若a b >，则cos2cos2A B <
C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径
D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=
3．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．4,33⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()2,3
D ．8,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
4．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A ．()
a c
b
c a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()
()
b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-
D ．(
)()
22
323294a b a b a b +⋅-=- 5．下列结论正确的是（ ）
A ．在ABC 中，若A
B >，则sin sin A B >
B ．在锐角三角形AB
C 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形
D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =3
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ）
A ．
B ．
C ．8
D ．7．下列各式中，结果为零向量的是（ ）
A ．A
B MB BO OM +++ B ．AB B
C CA ++ C ．OA OC BO CO +++
D ．AB AC BD CD -+-
8．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是
（ ）
A ．若a b >，则sin sin A
B >
B ．若sin 2sin 2A B =，则AB
C 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形
D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形 9．在下列结论中，正确的有（ ）
A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B ．平行向量又称为共线向量
C ．两个相等向量的模相等
D ．两个相反向量的模相等 10．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =
B ．AB B
C =
C ．AB C
D AD BC -=+
D ．AD CD CD CB +=-
11．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c +=
B ．a d b +=
C ．b d a +=
D ．a b c +=
12．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）
A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个
B ．满足10OA OB -=B 共有3个
C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+
D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个
13．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量
B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个
C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得
()11122122e e e e λμλλμ+=+
D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ== 14．下列命题中正确的是( )
A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-
B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-
C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =
D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =15．题目文件丢失！
二、平面向量及其应用选择题
16．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与
AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）
A 62
B ．
1
(62)2
C 62
D ．
1
(62)2
17．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230
OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ∆的形状是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．不能确定
18．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且
3
0aGA bGB cGC ++
=.则BAC ∠等于（ ） A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
19．已知两不共线的向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则下列说法一定正确的是（ ）
A ．a 与b 的夹角为αβ-
B ．a b ⋅的最大值为1
C ．2a b +≤
D ．(
)()
a b a b +⊥-
20．若O 为
ABC 所在平面内任意一点，且满足()20BC OB OC OA ⋅+-=，则
ABC 一定为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．钝角三角形
21．若△ABC 中，2
sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
22．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形
ABCD 的形状是( )
A ．矩形
B ．梯形
C ．平行四边形
D ．以上都不对
23．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，42c =，
45B =︒，则sin C 的值等于（ ）
A ．
441
B ．
45
C ．
425
D ．
441
24．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记
i
i S S
λ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1
B ．1
C ．32
-
D ．
32
25．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且
27
sin BAD ∠=
，则CD 等于（ ）
A 23
B 3
C 33
D 43
26．题目文件丢失！
27．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（ ）． A ．4
B ．3
C ．-4
D ．5
28．已知圆C 的方程为2
2
(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x
上，线段AB 为圆C
的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2
B ．
52
C ．3
D ．
72
29．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若
AB AF 3→→=，则AE BF
→→的值为（ ）
A ．0
B ．
83
3
C ．-4
D ．4
30．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若
(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ⋅等于（ ）
A ．316
- B ．
316 C ．
12
D ．12
-
31．在ABC ∆中，60A ∠=︒，1b =，3ABC S ∆，则2sin 2sin sin a b c
A B C
++=++（ ）
A ．
39
3
B ．
263
3
C ．
83
3
D ．2332．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b ==，()()
20c a c b ⋅--=，则b c ⋅的最大值为（ ） A ．
5
4
B ．2
C ．
174
D ．4
33．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且
a b =，则cos B 等于（ ）
A 15
B ．
14
C 3
D 334．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()2
26,c a b =-+3
C π
=
，则
ABC 的面积为（ ）
A ．6
B ．
33
2
C ．33
D 335．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )
A ．302m
B ．203m
C ．60m
D ．20m
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一、多选题 1．ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解
解析：ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：
对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，
a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()
0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；
对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()
00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；
对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则
()0a c b a --⋅=，C 选项正确；
对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.
2．ABD 【分析】
对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【
解析：ABD 【分析】
对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得
sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 1
2
s S ab C =和正弦定
理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】
对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得
()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；
对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即
cos2cos2A B <，故B 正确；
对于C ，2
11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22
S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错
误；
对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B C
A B C B C
+=-+=--⋅，则
tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．
3．AD 【分析】
设，则，然后分点P 靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 设，则，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以， 故选：
解析：AD 【分析】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，然后分点P 靠近点1P ，靠近点2P 两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ， 当点P 靠近点1P 时，121
2
PP
PP =， 则()()1421142x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
，
解得432
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以4,23P ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 当点P 靠近点2P 时，122PP PP =， 则()
()24124x x y y ⎧=-⎪⎨
-=-⎪⎩
，
解得833
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以8,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 故选：AD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4．ACD 【分析】
A ，由平面向量数量积的运算律可判断；
B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；
C ，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；
D ，由平
解析：ACD 【分析】
A ，由平面向量数量积的运算律可判断；
B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；
C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；
D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】
选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确； 选项B ，
()()()()()()()()
0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦
， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；
选项C ，∵a 与b 不共线，
∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；
若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：
由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；
选项D ，()()
22
223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】
本小题主要考查向量运算，属于中档题.
5．AB 【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】
中，，由得，A 正确； 锐角三角形中，，∴，B 正确； 中，
解析：AB 【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】
ABC 中，A B a b >⇔>，由
sin sin a b A B
=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222
cos 02b c a A bc
+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；
ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错； ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积33S =11
sin 3sin 603322
S bc A c ==⨯︒=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，
13a =，
∴2sin sin 603a R A ===︒，3
R =，D 错． 故选：AB ．
【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．
6．AC
【分析】
利用余弦定理：即可求解.
【详解】
在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，
由余弦定理：，
即，解得.
故选：AC
【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基
解析：AC
【分析】
利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解.
【详解】
在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，
由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，
即216310a a -+=，解得8a =
故选：AC
【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.
7．BD
【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.
【详解】
对于选项：，选项不正确；
对于选项： ，选项正确；
对于选项：，选项不正确；
对于选项：
选项正确.
故选：
【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.
【详解】
对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确；
对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确；
对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；
对于选项D ：()()
0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题. 8．AC
【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判
解析：AC
【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误.
【详解】
对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>，故A 正确；
对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒=
所以A B =或2A B π
+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；
对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，
所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，
sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，
因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2
A π=，ABC 是直角三角形，故③正确； 对D ，因为222
0a b c +->，所以222
cos 02a b c A ab +-=>，A 为锐角. 但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误.
故选：AC
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.
9．BCD
【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确
解析：BCD
【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；
C. 相等向量方向相同，模相等，正确；
D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；
故选：BCD
【点睛】
本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.
10．BCD
【分析】
由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.
【详解】
菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，
所以B 结论正确，A 结论错误；
因为，，且，
所以，即C 结论正确；
因为，
解析：BCD
【分析】
由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.
【详解】
菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的，
所以B 结论正确，A 结论错误； 因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确；
因为AD CD BC CD BD +=+=，
||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.
故选：BCD
【点睛】
本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.
11．ABD
【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.
【详解】 由向量加法的平行四边形法则，知成立， 故也成立；
由向量加法的三角形法则，知成立，不成立.
故选：ABD 【点睛】 本题主要考查
解析：ABD
【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】
由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立，
故a b c +=也成立；
由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.
12．BCD
【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．
【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，
以为原点建立平面直角坐标系，，
设，若，
所以
解析：BCD
【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．
【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，
设(,)B m n ，若10OA OB -=，
所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，
得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．
当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．
若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，
得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确．
故选：BCD ．
【点睛】
本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．
13．AD
【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确.
【详解】
由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.
对于B,由平面向量基本
解析：AD
【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为0时，λ有无数个,故不正确.
【详解】
由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.
对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,
那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确；
对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时,
这样的λ有无数个，所以不正确.
故选:AD .
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.
14．ABD
【详解】
解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．
对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确．
对
解析：ABD
【详解】
解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：()m a b ma mb -=-，故A 正确．
对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．
对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确．
故选：ABD ．
【点睛】
本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．
15．无
二、平面向量及其应用选择题
16．A
【分析】
由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算
sin105°，代入正弦定理
sin30sin105AE AB =︒︒
，化简求得
AE =-． 【详解】 由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝
DA =
BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故
∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°． 再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45
°4=
， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB =︒︒
，
∴1
2AE =，∴
AE =）， 故选:A ．
【点睛】
本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．
17．C
【分析】
根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果.
【详解】
由123||||||1
OP OP OP ===，可知点O 是123PP P ∆的外心， 又1230
OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ∆的重心， 所以点O 既是123PP P ∆的外心，又是123PP P ∆的重心，
故可判断该三角形为等边三角形，
故选：C
【点睛】
本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题.
18．D
【分析】
由点G 是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=,即GA GB GC =--,代入30aGA bGB cGC ++=中可得3()03b a GB c a GC ⎛⎫-+-
= ⎪ ⎪⎝⎭
,由,GB GC 不共线可得00b a a -=⎧-=,即可求得,,a b c 的关系,进而利用余弦定理求解即可 【详解】
因为点G 是ABC 的重心,所以0GA GB GC ++=,
所以GA GB GC =--, 代入303aGA bGB cGC ++=可得3()03b a GB c a GC ⎛⎫-+-=
⎪ ⎪⎝⎭
, 因为,GB GC 不共线,所以
00b a a -=⎧-=,
即b a c =⎧⎪⎨=⎪⎩,所以222cos 2b c a BAC bc +-∠==,故30BAC ︒∠=, 故选:D
【点睛】
本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角
19．D
【分析】
由向量夹角的范围可判断A 选项的正误；计算出a b ⋅，利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B 选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C 选项的正误；计算()()a b a b +⋅-的值可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则2cos 1a α==，同理可得1b =，
a 与
b 不共线，则()sin cos cos sin sin 0αβαβαβ-=-≠，则()k k Z αβπ-≠∈. 对于A 选项，由题意知，a 与b 的夹角的范围为()0,π，而()R αβ-∈且
()k k Z αβπ-≠∈，A 选项错误；
对于B 选项，设向量a 与b 的夹角为θ，则0θπ<<，所以，()cos cos 1,1a b a b θθ⋅=⋅=∈-，B 选项错误；
对于C 选项，由于a 与b 不共线，由向量模的三角不等式可得2a b a b +<+=，C 选项错误；
对于D 选项，
()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以，()()
a b a b +⊥-，D 选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.
20．C
【分析】
由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案.
【详解】
由题意，()()2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，
所以()
0BC AB AC ⋅+=，
取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=.
所以0BC AE ⋅=，即BC AD ⊥，
故AB AC =，ABC 是等腰三角形.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
21．A
【分析】
已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简.
【详解】
ABC ∆中，sin()sin A B C +=，
∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，
整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =， cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），
0A π<<
90A ∴=︒，
则此三角形形状为直角三角形．
故选：A
【点睛】
此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．
22．B
【分析】
计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案.
【详解】
2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=. 设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形.
故选：B .
【点睛】
本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力.
23．B
【分析】
在三角形ABC 中，根据1a =，42c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦定理
sin sin b c B C
=求解. 【详解】 在三角形ABC 中， 1a =，42c =45B =︒，
由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，
21322142252=+-⨯⨯=， 所以5b =， 由正弦定理得：sin sin b c B C =，
所以
2
42
sin4
2
sin
55
c B
C
b
⨯
===，
故选：B
【点睛】
本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 24．D
【分析】
根据三角形中位线的性质，可得P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，从而
得到
123
1
2
S S S S
==+，由此结合基本不等式求最值，得到当
23
λλ⋅取到最大值时，P为EF的中点，再由平行四边形法则得出
11
22
PA PB PC
++=，根据平面向量基本定理可求得
1
2
x y
==，从而可求得结果.
【详解】
如图所示：
因为EF是△ABC的中位线，
所以P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，
所以
123
1
2
S S S S
==+，
由此可得
2
22
323
2
2322
()1
2
16
S S
S S S
S
S S S S
λλ
+
=⨯=≤=，
当且仅当23
S S
=时，即P为EF的中点时，等号成立，
所以0
PE PF
+=，
由平行四边形法则可得2
PA PB PE
+=，2
PA PC PF
+=，
将以上两式相加可得22()0
PA PB PC PE PF
++=+=，
所以
11
22
PA PB PC
++=，
又已知0
PA xPB yPC
++=，
根据平面向量基本定理可得
1
2
x y
==，
从而
13 21
22 x y
+=+=.
故选：D
【点睛】
本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.
25．A
【分析】
首先根据余弦定理求AB，再判断ABC的内角，并在ABD
△和ADC中，分别用正弦定理表示AD，建立方程求DC的值.
【详解】
AB=
3
==，
222
cos
22
AB BC AC
B
AB BC
+-
∴===
⋅
，
又因为角B是三角形的内角，所以
6
B
π
=，
90
BAC
∴∠=，
sin BAD
∠=
，cos BAD
∴∠==，
sin cos
7
DAC BAD
∴∠=∠=，
在ABD
△中，由正弦定理可得
sin
sin
BD B
AD
BAD
⋅
=
∠
，
在ADC中，由正弦定理可得
sin
sin
DC C
AD
DAC
⋅
=
∠
，
(
)1
77
DC DC
⨯⨯
=
，解得：DC=.
故选：A
【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型.
26．无
27．C
【分析】 先对等式AB AC AB AC +=-两边平方得出AB AC ⊥，并计算出BC CA ⋅，然后利用投影的定义求出BC 在CA 方向上的投影．
【详解】 对等式AB AC AB AC +=-两边平方得，
222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，整理得，0AB AC ⋅=，则AB AC ⊥， ()216BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，
设向量BC 与CA 的夹角为θ，
所以，BC 在CA 方向上的投影为16cos 44
BC CA BC CA BC BC BC CA CA θ⋅⋅-⋅=⋅===-⋅， 故选C ．
【点睛】
本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题．
28．B
【分析】
将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值. 【详解】 ()()()()
PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2
222||||||22
PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】
本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
29．C
【分析】
先建立平面直角坐标系，求出B,E,F 坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果.
【详解】 如图所示，AB AF 2232,3cos 113BE EC BE BC AF DF α=⇒==→→=⇒=⇒=．以A 为原
点建立平面直角坐标系，AD 为x 轴，AB 为y 轴，则()()
230,3,3,1,,3B F E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因此()BF AE BF 233,2,323264→=-→→=⨯-⨯=-=-，故选C.
【点睛】
平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
30．A
【分析】
利用平面向量的线性运算，将DE 用AB 和AD 表示，可得出λ和μ的值，由此可计算出λμ⋅的值. 【详解】
E 为AO 的中点，且O 为AC 的中点，所以，()111244AE AO AC AB AD =
==+， ()113444DE AE AD AB AD AD AB AD ∴=-=
+-=-，14λ∴=，34μ=-. 因此，1334416
λμ⎛⎫⋅=
⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】 本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.
31．A
【分析】
根据面积公式得到4c =
，再利用余弦定理得到a =，再利用正弦定理得到答案.
【详解】
1sin 42ABC S bc A c ∆====
利用余弦定理得到：2222cos 116413a b c bc A a =+-=+-=∴= 正弦定理：
sin sin sin a b c A B C ==
故2sin 2sin sin sin a b c a A B C A ++===++ 故选A
【点睛】
本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，综合性强，意在考查学生的综合应用能力. 32．C
【分析】
不妨设(2,0)b =，(2cos 2sin )a αα=,，[0,2]απ∈，(,)c x y =，则求c b ⋅的最大值，即求x 的最大值，然后将问题转化为关于y 的方程
22sin (cos 2)2cos 0y y x x ααα-+-++=有解的问题，最后求出x 的最值即可.
【详解】
根据题意，不妨设(2,0)b =，(2cos 2sin )a αα=,，[0,2]απ∈，(,)c x y =， 则2b c x ⋅=，所以求b c ⋅的最大值，即求x 的最大值，
由()()
20c a c b ⋅--=可得2220c a c b c a b -⋅-⋅+⋅=， 即22sin (cos 2)2cos 0y y x x ααα-+-++=，
因为关于y 的方程有解，所以22
sin 44(cos 2)8cos 0x x ααα∆=-++-≥， 令cos (11)t t α=-≤≤，则2244(2)810x x t t t -+++-≤，
所以2222
t t x ++≤≤，
(13)m m =≤≤
2(2)178
m --+=， 当2m =
时，22(2)1717288
t m +--+==， 所以178x ≤，所以174
b c ⋅≤， 所以b c ⋅的最大值为
174
， 故选：C.
【点睛】
思路点睛：该题考查了平面向量的数量积的问题，解题思路如下：
（1）先根据题意，设出向量的坐标；
（2）根据向量数量积的运算律，将其展开；
（3）利用向量数量积的坐标公式求得等量关系式；
（4）利用方程有解，判别式大于等于零，得到不等关系式，利用换元法求得其最值，在解题的过程中，关键点是注意转化思想的应用，属于难题.
33．B
【分析】
利用正弦定理可得sin 2sin B C =，结合a b =和余弦定理，即可得答案；
【详解】
cos cos 2sin cos sin cos 2sin c A a C c C A A C C +=⇒+=，
∴sin()2sin sin 2sin A C C B C +=⇒=，
∴2b c =，又a b =， ∴22222114cos 12422
b a
c b B ac b ⋅+-===⋅⋅， 故选：B.
【点睛】
本题考查正、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，求解时注意进行等量代换求值. 34．B
【分析】
由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果.
【详解】
由条件可知：22226c a b ab =+-+，①
由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，②
所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，
则ABC
的面积为11sin 622S ab C =
=⨯=. 故选：B
【点睛】
本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.
35．D
【分析】
由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．
【详解】 15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒
CBD
120
BC
由正弦定理得：
sin120sin45
302sin45
BC
203
sin120
3
AB BC
tan3020320
3
故选D
【点睛】
本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC，属于基础题．。