1.2《矩形的性质与判定》北师大版数学九年级上册教学课件(第2课时)

探究新知
议一议：你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？ 如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性．
答：可以用直角尺检查安装的门框的四个角是否为直角．如果有三个角 是直角，那么刚安装的门框一定是矩形．也可以用直尺（或皮尺）分别量出 门框两组对边的长度，如果两组对边长度分别相等，则门框一定是平行四边 形，再测量门框的对角线的长度，如果两条对角线的长度相等，那么刚安装 的门框一定是矩形．
课堂练习
3．已知：如图，在□ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC．
求证：四边形ABCD是矩形．
A
M
D
B
C
课堂练习
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC．
∵M是AD边的中点，
∴AM=DM．
又∵MB=MC，
∴△ABM≌△DCM（SSS）
∴∠A=∠D．
∴∠A=∠D=90°．
又∵AB∥DC，
探究新知
如果仅有一根较长的绳子，可以先用绳子分别测量出门框的两 组对边的长度，做上记号．如果两组对边的长度分别相等，那么这 个门框一定是平行四边形，再用绳子量出门框的对角线的长度．如 果这两条对角线的长度相等，那么这个刚安装的门框一定是矩形， 否则不是矩形．理由是对角线相等的平行四边形是矩形．
典例精析
A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B．对角互补的平行四边形是矩形 C．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形 D．四个角都相等的四边形是矩形
课堂练习
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E， F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC=8，BD=6，则 四边形EFGH的面积为____1_2_____．
（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形的四个角都 等于90°．
探究新知
得到的猜想是：对角线相等的平行四边形是矩形． 思考：你能证明你的猜想吗？
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线， AC=DB．
求证：□ABCD是矩形．
探究新知
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，AB=CD． 又∵BC=BC，AC=BD， ∴△ABC≌△DCB． ∴∠ABC=∠DCB．
探究新知
∵AB//CD， ∴∠ABC+∠DCB=180°． ∴∠ABC=∠DCB=90°． 又∵四边形ABCD是平行四边形， 理1：对角线相等的平行四边形是矩形． 几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形．
该判定定理的两个适用条件： （1）对角线相等； （2）是平行四边形．
第一章 特殊的平行四边形
1.2 矩形的性质与判定 第 2 课时
学习目标
1．理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．
2．经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力．
3．能够用综合法证明矩形的判定定理，以及其他相关结论，进一步 发展演绎推理能力．
4．进一步体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．
例 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是 等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD． 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°． ∴OA=OB=OC=OD=4． ∴ AC=BD=2OA=2×4=8．
探究新知
做一做:如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的 顶点时，平行四边形的形状会发生变化．
α
（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
探究新知
（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？ 由此你能得到一个怎样的猜想？
答：（1）当∠α增大到90°时，两条对角线的长度相等．当 ∠α超过90°时，以∠α的顶点为端点的一条对角线逐渐变短，另 一条对角线逐渐变长．
A
D
O
∵∠AEC=∠BED=90°，
∴OE= 1 AC= 1 BD． 22
∴AC=BD．
B
C
E
A
D
∴∠A+∠B=180°．
∴AD∥BC．
同理可证：AB∥CD．
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
探究新知
判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．
几何语言： ∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形．
A
D
B
C
探究新知
归纳 矩形的判定方法： 方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形 方法2：对角线相等的平行四边形是矩形 方法3：有三个角是直角的四边形是矩形
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是
∴∠A+∠D=180°
直角的平行四边形是矩形）．
课堂练习
4．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是
□ABCD外一点，且∠AEC=∠BED=90°．
求证：□ABCD是矩形．
A
D
O
B
C
E
课堂练习
证明：如图，连接OE． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD．
探究新知
想一想:我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至 少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论．
猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形．
探究新知
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠A=∠B=90°，
典例精析
∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）． 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2， ∴ BC AC 2 AB2 82 42 4 3 ． ∴S□ABCD=AB·BC=4× 4 3 = 16 3 ．
课堂练习
1．下列命题错误的是（ C ）．
复习引入
1．什么叫做矩形？ 答：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．矩形与平行四边形及四边形有什么从属关系？
复习引入
3．矩形有什么特有的性质呢？
（1）矩形的四个角都是直角； （2）矩形的对角线相等．
复习引入
4．你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？ 答：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义判定）． 5．那么除了矩形的定义外，还有没有其他判定矩形的方法呢？