第7章 卷积计算-4. 解卷积

第7章 卷积计算
4. 解卷积
以一维线性离散系统为例，当系统的脉冲响应为][n h 、输入为][n x 时，系统的输出为：][][][n x n h n y ⊗=，是一种卷积(Convolution)运算。

如果已知][n y 和][n h 去计算][n x ，是信号复原问题；已知][n y 和][n x 去计算][n h ，就是系统辨识问题。

无论是信号复原问题还是系统辨识问题，都属于解卷积(Deconvolution)问题。

解卷积是卷积的逆运算，在一些文献中也称为去卷积、反卷积或退卷积，不少研究人员已经着手研究各类盲解卷积算法。

解卷积算法很多，但笔者在本节只介绍Fourier 方法。

当0]0[≠x 或0]0[≠h 时，根据公式(7-3)的线性卷积计算公式，可以得到如下所示的解卷积问题的求解结果：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-⋅-=-⋅-=∑∑-=-=]0[/)][][][(][]0[/)][][][(][1010h i n h i x n y n x x i n h i x n y n h n i n i (7-12) 在时域中实现解卷积运算极为复杂，尤其在多维情况下，在频域中计算解卷积则要简单一些。

令][k H 、][k X 与][k Y 为][n h 、][n x 和][n y 的离散Fourier 变换，满足等式：][][][k X k H k Y ⨯=。

那么，针对信号复原问题，有])[/][(][k H k Y F n x -
=；而对于系统辨识问题，则有])[/][(][k X k Y F n h -=。

通过Fourier 变换可以简化解卷积的运算，但一个数学问题也随之产生，研究人员在使用解卷积算法的过程中，一直在尝试解决分子分母都为零的问题。

当多维解卷积运算中出现分子分母都为零时，问题会变得更加复杂。

以一维信号复原计算为例，针对0][=k H 、0][=k Y 的情况，一些研究人员利用罗必塔法则来处理：计算序][n nh 和][n ny 的Fourier 变换，得到频域导数]['k H 、]['k Y ，由]['/]['k H k Y 代替][/][k H k Y 。

根据图7-5中介绍的例子，我们可以把在拍摄时因为相机与景物相对运动而产生的模糊图片，看作是清晰图片沿着运动方向与一定长度的线段进行卷积的结果，如果知道了相对运动的线段长度和方向，可以通过对模糊图像进行解卷积运算，复原出清晰图片。

笔者对以图7-6-A 为光学系统点扩散函数(PSF)的移动模糊图片(图7-6-C)进行了解卷积处理，得到了如图7-6-D 所示的结果。

图7-6-D 中的景物间的边界已经非常清晰，能够分辨出各种景物，说明解卷积的效果不错。

但与原始清晰图片(图7-6-B)相比，仍然存在一定的差距，这是因为图片的色阶(灰度)分辨率有限，移动模糊图片在存储过程中损失了一些图像信息。

A PSF(反色、放大8倍)
B 清晰原图
C 移动模糊
D 解卷积结果
图7-6 二维解卷积演示图。