高三数学上学期10月月考试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校HY 中2021届高三数学上学期10月月考试题理〔含解析〕
一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分〕
1i
i
+的虚部是〔〕 A.i - B.1-
C.1
D.i
【答案】B 【解析】 试题分析：
，虚部为-1.
考点：复数的概念和运算. 2.R 是实数集，22
{|
1},{|1}=<==-M x N y y x x
，那么()R C M N =〔〕
A.
()1,2- B.
[]1,2-
C.
(0)2， D.
[]0,2
【答案】D 【解析】 【分析】
由分式不等式解法和二次函数值域可求得集合M 和集合N ，根据补集和交集的定义可求得结果.
【详解】由
2
1x
<得：0x <或者2x >，即()(),02,M =-∞+∞[]0,2R C M ∴=
21y x =-的值域为[)1,-+∞，即[)1,N =-+∞()
[]0,2R C M N ∴=
此题正确选项：D
【点睛】此题考察集合运算中的补集和交集混合运算，属于根底题.
()1,2a =，()1,0b =，()3,4c =，假设λ为实数，()
//a b c λ+，那么λ=〔〕
A.2
B.1
C.
12
D.2-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量坐标运算可求得()1,2a b
λλ+=+；由向量一共线坐标表示可构造方程求得结果.
【详解】()()()1,2,01,2a b
λλλ+=+=+
()//a b c λ+()4123λ∴+=⨯，解得：12
λ= 此题正确选项：C
【点睛】此题考察根据向量一共线求解参数值的问题，关键是可以纯熟掌握向量的坐标运算.
∈〔-
4
π，0〕且sin2α=-2425，那么sinα+cosα=〔〕 A.
1
5 B.-
15
C.-
75
D.
75
【答案】A 【解析】
24sin 22sin cos 25
ααα==-
,又α
∈
〔-
4
π，0〕，所以
sin 0,cos 0
αα<>，且
sin cos 0αα+>，222241
sin cos 2sin cos (sin cos )12525
αααααα++=+=-
=
，所以 1
sin cos 5
αα+=
，选A. ΔABC 中，a x =，2,45b B ==︒，假设ΔABC 有两解，那么x 的取值范围是〔〕
A.(2,
B.(0,2)
C.(2,)+∞
D.2)
【答案】A 【解析】
【详解】因为ΔABC 有两解，所以2sin 45b
b a a <<
∴<<︒
A ．
12y =
与曲线2sin cos 22⎛
⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭y x x ππ在y 轴右侧的交点自左向右依次记为M 1
，M 2
，M 3
，…，那么
113||M M 等于〔〕
A.6π
B.7π
C.12π
D.13π
【答案】A 【解析】 【分析】
利用诱导公式和二倍角公式可将函数化为sin 2y x =，结合正弦函数图象可得1
2
y =
与函数sin 2y x =在
y 轴右侧的交点坐标，求得113,M M 坐标后，根据向量模长的求解方法可求得结果.
【详解】
2sin cos 2cos sin sin 222y x x x x x ππ⎛
⎫⎛⎫=+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
11,122M π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，13731,122M π⎛⎫
⎪⎝
⎭()1136,0M M π∴=1136M M π∴=
此题正确选项：
A
【点睛】此题考察直线与正弦型函数交点的问题，关键是可以将函数化为正弦型函数，结合正弦函数的图象求解交点坐标.
()3sin()6f x x π
ω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象的对称中心完全一样，假设
[0,]2
x π
∈，那么()f x 的取值范围是〔〕
A.3[,3]2
-
B.[3,3]-
C.1[,22
-
D.[0,
]2
【答案】A 【解析】
考点：由y=Asin 〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域． 专题：计算题．
解答：解：函数f(x)=3sin(ωx -π6
)〔ω＞0〕和g 〔x 〕=3cos 〔2x+φ〕的图象的对称中心完全一样，所以
ω=2，f(x)=3sin(2x-π6
)，
因为x∈[0，π2
]所以2x-
π6
∈[-
π6
，
5π6]，所以3sin(2x-π6
)∈[-
3
2
，3]； 应选A
点评：此题是根底题，考察三角函数的根本知识，根本性质的应用，周期的应用，考察计算才能． 8.在
ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，
()()32sin B A sin B A sin A -++=
，且c =3
C π
=
，那么
ABC 的面积是(
)
A.
4
B.
6
C.
3
D.
4
或者
【答案】D 【解析】
分析：由题意得3sinBcosA sinAcosA =，分0cosA =和0cosA ≠两种情况求解，然后结合三角形面积公式可得结果． 详解：∵()()32sin
B A sin B A sin A -++=，
∴3sinBcosA sinAcosA =． ①当0cosA =时，ABC 为直角三角形，且2
A π
=
．
∵7c
=，3
C π
=
，
∴
721
33
b tan
π
==
．
∴112173
72236
ABC
S
bc =
=⨯⨯=
． ②当0cosA ≠时，那么有3sinB sinA =， 由正弦定理得3b a =． 由余弦定理得2222c a b abcosC =+-，
即()()2
2
1
73232
a
a a a =+-⋅⋅
， 解得1a =．
∴1133132234
ABC
S
absinC sin π=
=⨯⨯⨯=．
综上可得
ABC 的面积是
33
4
或者
736
．
应选D ．
点睛：在判断三角形的形状时，对于形如3sinBcosA sinAcosA =的式子，当需要在等式的两边约去
cosA 时，必需要考虑cosA 是否为0，否那么会丢掉一种情况．
是
的重心，a ，b ，c 分别是角
的对边，假设3
G G GC 03
a b c A +B +
=，那么角
〔〕
A.90
B.60
C.45
D.30
【答案】D
【解析】 试题分析：由于
是
的重心，
，
，代入得
，整理得，
，因此，故答案为D.
考点：1、平面向量根本定理；2、余弦定理的应用. 10.在平面直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-，且O A 与OB 在直线l 上的射影长度相等，直
线l 的倾斜角为锐角，那么l 的斜率为〔〕
A.
43
B.
52
C.
25
D.
34
【答案】C 【解析】
【详解】设直线l 的斜率为k ，那么直线l 的方向向量为(1,)m k =，由且O A 与OB 在直线l 上的射影长
度相等，得
OA m OB m m
m
⋅⋅=
，即143k k
+=-+，解之得2
5k =
或者43
k =-〔舍〕，应选C ． 考点：向量投影定义及运算．
R 的函数
()f x 满足()()24+=f x f x ，当[)0,2x ∈时，
22,[0,1)()1),[1,2)x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨+∈⎪⎩
,假设
)2[0∈-，x 时,对任意的 )2[1∈，t 都有2()168t a
f x t
≥
-成立，那么实数a 的取值范围是〔〕
A.
(]2-∞，
B.
[)2+∞，
C.
(]6-∞，
D.
[)6+∞，
【答案】D 【解析】 【分析】
由
()()24+=f x f x 可求解出[)2,1x ∈--和[)1,0-时，()f x 的解析式，从而得到()f x 在
[)2,0-上的最小值，从而将不等式转化为
21
16816
t a t -≤-对[)1,2t ∈恒成立，利用别离变量法可将问题转化为322a t t ≥+，利用导数可求得32t t +在[)1,2上的最大值，从而得到212a ≥，进而求得结
果.
【详解】当[)2,1x ∈
--时，[)20,1x +∈
[)2,1x ∴∈--时，()min 31216f x f ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
当[)1,0x ∈
-时，[)21,2x +∈()())
11234
4
f x f x x ∴=+=+
[)1,0x ∴∈-时，()()min 112f x f =-= [)2,0x ∴∈-时，()min
116f x =-，即21
16816
t a t -≤-对[)1,2t ∈恒成立
即：322a t t ≥+对[)1,2t ∈恒成立
令()32g
t t t =+，[)1,2t ∈，那么()232g t t t '=+
当[)1,2t ∈时，()0g t '
>，那么()g t 在[)1,2上单调递增()()212g t g ∴<=
212a ∴≥，解得：[)6,a ∈+∞
此题正确选项：D
【点睛】此题考察恒成立问题的求解，涉及到利用函数性质求解出未知区间内函数的解析式，关键是可以将问题转化为所求变量与函数最值之间的大小关系的比较问题.
32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()f x ，且230a b c ++=，(0)(1)0,f f >设12
,x x 是方程()0f x =的两根，那么12
x x -的取值范围是〔〕
A.2
[0,
)3 B.4[0,
)9
C.12(
,)33
D.14(
,)99
【答案】A 【解析】 试
题
分
析
：
因
为
2()32f x ax bx c
=++，所以(0)(1)(32)(22)0,01c f f c a b c c a c a
=++=-><
<，
又
12312
[0,).333
a c c x x a a --====-∈
考点：二次方程根与系数关系
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 ①函数
()cos sin f x x x =的最大值为1；
②“假设22am bm <，那么a b <
③假设ABC ∆为锐角三角形，那么有sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++；
④“0a ≤〞是“函数()2f x x ax
=-在区间
()0,∞+内单调递增〞的充分必要条件．
【答案】③④ 【解析】 【分析】
利用二倍角公式化简函数，可得
()1
sin 22
f x x =20m =
【详解】①
()1cos sin sin 22f x x x x ==()max 1
2
f x ∴=，①错误
②“假设22am bm <，那么a b <a b <，那么22am bm <〞
假设2
0m =，可知22am bm =
③
ABC
∆为锐角三角形0,
2A π⎛⎫
∴∈ ⎪⎝
⎭
，0,
2B π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭，2
A B π
+> 2
A B π
∴>
-且
0,22B π
π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭sin sin cos 2A B B π⎛⎫
∴>-= ⎪⎝⎭
同理可得：sin cos B C >，sin cos C A >
sin sin sin cos cos cos A B C A B C ∴++>++，③正确
④令2
0x ax -=，解得：10x =，2x a =
当0a ≤时，2
0x ax ->对()0,x ∈+∞恒成立()2
f x x ax ∴=-
()f x 对称轴为02
a
x =
≤()f x ∴在()0,∞+上单调递增，充分条件成立 当0a
>时，
()22,0,ax x x a f x x ax x a
⎧-<<=⎨-≥⎩，此时()f x 在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，不满足题意
∴“0a ≤〞是“()2f x x ax
=-在区间
()0,∞+内单调递增〞的充分必要条件，④正确
此题正确结果：③④ .
(sin ,cos )P αα在直线2y x =-上，那么tan()4
πα+=___________． 【答案】1
3
【解析】 【分析】
根据点在直线上可代入求得tan α，利用两角和差正切公式可求得结果.
【详解】
()sin ,cos P αα在直线2y x =-上cos 2sin αα∴=-1
tan 2
α∴=-
此题正确结果：1
3
【点睛】此题考察两角和差正切公式的应用，属于根底题.
,a b
满足
20a b =≠，且函数在()()
3211
32
f x x a x a b x =++⋅在R 上有极值，那么向量,a b
的夹角的取值范围是_______________．
【答案】,3ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】 【分析】
根据函数有极值可知导函数有变号零点，由()f x '为二次函数可知>0∆，从而得到2
14
a b a ⋅<
，根据向量夹角公式可求得cos ,a b <>的范围，根据向量夹角的范围和余弦函数图象可确定夹角的取值范围.
【详解】由题意得：
()()
2f x x a x a b '=++⋅
()f x 在R 上有极值()
2
40a a b ∴∆=-⋅>，即2
14
a b a ⋅<
此题正确结果：,3ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
【点睛】此题考察向量夹角取值范围的求解，涉及到导数与极值之间的关系、向量夹角公式的应用等知识；关键是可以根据函数有极值确定导函数有变号零点，从而利用二次函数的性质得到向量数量积和模长之间的关系.
()f x 定义在(,0)(0,)ππ-上，其导函数为()f x '，且()02
f π=，当0πx <<时，
()sin ()cos 0f x x f x x '-<,那么关于x 的不等式()2()sin 6
f x f x π
<的解集为．
【答案】(,0)(,)66
π
π
π- 【解析】 【详解】设()()sin f x g x x =
，∴2
()sin ()cos ()sin f x x f x x
g x x
'='-， ∵()f x 是定义在(,0)(0,)ππ-上的奇函数，∴()()
()()sin()sin f x f x g x g x x x
--===-，
∴()g x 是定义在(,0)(0,)ππ-上的偶函数，
∵当0πx <<时，
()sin ()cos 0f x x f x x '-<，
∴()0g x '<，∴()g x 在(0,)π上单调递减，()g x 在(,0)π-上单调递增，
∵()02f π=，∴()2()02sin 2
f g π
ππ=
=， ∵()2()sin 6f x f x π
<，
∴()()6
g x g π
<，(0,)x π∈，或者，(,0)x π∈-，
∴6x ππ<<或者06
x π-<<. ∴关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为(,0)(,)66
ππ
π-.
考点：利用导数研究函数的单调性.
三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分〕 〔Ⅰ〕当a
4
3
=
时，求()f x 的极值点； 〔Ⅱ〕假设()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。

【答案】〔Ⅰ〕12
x =
是()f x 的极大值点；3
2x =是()f x 的极小值点；〔Ⅱ〕[]0,1
【解析】 【分析】 首先求解出
()f x '；〔Ⅰ〕令()0f x '=，解得两根，根据导函数的符号确定()f x 的单调性，根据极值
点的定义得到结果；〔Ⅱ〕分别在0a =、0a >和0a <三种情况下，根据函数为单调函数确定导函数的
符号，解得a 的范围.
【详解】由题意得：
()()()
()
222
2
22121211x x x
e ax e ax
ax ax
f x e ax ax +-+-'=
=⋅
++
〔Ⅰ〕当43
a =
时，()22248133413x x x
f x e x +-'=⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭
， 由
()0f x '=得：24830x x -+=，解得：11
2
x =，232x =
由
()0f x '>得：1
2
x <
或者32x >；由()0f x '<得：1322x <<
()f x ∴在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，3,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减
12
x ∴=
是()f x 的极大值点；3
2x =是()f x 的极小值点
〔Ⅱ〕
()f x 为R 上的单调函数()f x ∴在R 上单调递增或者单调递减 ①当0a
=时，()()
2
201x
e f x ax '=
>+对x ∈R 恒成立()f x ∴在R 上单调递增
0a ∴=满足题意
②当0a >时，只需2120ax ax +-≥在R 上恒成立
即2440a a ∆
=-≤，解得：01a <≤
③当0a <时，只需2120ax ax +-≤在R 上恒成立
即2440a a ∆
=-≤，不等式无解
综上所述：[]0,1a ∈
【点睛】此题考察函数极值点的求解、根据函数的单调性求解参数范围的问题；关键是可以明确极值点和导数之间的关系，由函数的单调性确定极值点的位置. 18.(cos ,sin ),(cos ,sin )(0)a
b ααββαβπ==<<<．
〔1〕求证：a b +与a b -互相垂直；
〔2〕假设ka b +与-a kb 大小相等，求βα-〔其中k 为非零实数〕．
【答案】〔1〕详见解析〔2〕.2
π
βα-=
【解析】 【分析】
〔1〕利用坐标表示出a b +和a b -，利用数量积运算法那么可求得()()
0a b a b +⋅-=，从而证得结
论；〔2〕利用向量坐标运算求得ka b +和
a k
b -，利用模长相等可求得()cos
0βα-=，根据角的范
围可确定最终取值. 【详解】〔1〕()cos cos ,sin sin a b αβαβ+=++，()cos cos ,sin sin a b αβαβ-=--
〔2〕()cos cos ,sin sin ka b k k αβαβ+=++，
=()4cos
0k βα-=
【点睛】此题考察向量垂直的坐标表示、根据向量模长相等关系求解参数值的问题；关键是可以纯熟掌握向量的坐标运算，利用坐标运算得到数量积为零、构造关于模长相等的方程. 〔1〕求函数()f x 的最大值，并写出()f x 取最大值时x 的取值集合； 〔2〕在ABC △中，角
,,A B C 的对边分别为, , a b c ，假设1
()2
f A =
，3b c +=,求a 的最小值. 【答案】〔1〕函数
()f x 的最大值为
34,最大值时x 的取值集合为集合为|,6⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩⎭
x x k k Z ππ〔2〕32
【解析】 【分析】
〔1〕利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式可将函数化简为
()11sin 2264f x x π⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭；令()226
2
x k k Z π
π
π+
=+
∈，可求得当()6
x k k Z π
π=+∈时，()f x 获得最大值
3
4
，从而得到结
果；〔2〕根据特殊角三角函数值和角的范围可求得3
A π
=
，利用余弦定理构造方程，结合根本不等式可求
得a 的最小值.
【详解】〔1〕
()22
111sin sin cos cos cos 222f x x x x x x x x ⎫=++-=+⎪⎪⎝⎭
当()226
2
x k k Z π
π
π+
=+
∈，即()6
x k k Z π
π=+∈时，sin 216x π⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
此时
()f x 获得最大值：3
4
()f x ∴获得最大值时，x 取值的集合为：,6x x k k Z π
π⎧⎫=+
∈⎨⎬⎩
⎭
〔2〕由〔1〕知：
()111sin 22642f A A π⎛
⎫=
++= ⎪⎝
⎭1sin 262A π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭
()0,A π∈132,666
⎛⎫
∴+
∈ ⎪
⎝⎭
A π
ππ
5266A ππ∴+=，解得：3
A π
=
在ABC ∆中，由余弦定理得：()2
2
222cos
33
a
b c bc b c bc π
=+-=+-
3b c +=()()()2
2
2
2193324
4b c b c bc b c b c +⎛⎫∴+-≥+-=+= ⎪
⎝⎭〔当且仅当b c =时取等号〕，即2
9
4≥
a
a ∴的最小值为：3
2
【点睛】此题考察正弦型函数最值的求解、求解三角形中的边长的最值问题；涉及到利用三角恒等变换的公式化简三角函数、整体对应法求解正弦型函数的最值和最值点、余弦定理的应用、根本不等式求解最值的问题.
()2,0C 和直线:8l x =，P 为该平面上一动点，作PQ l ⊥，垂足为Q ，且
11022PC PQ PC PQ ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
〔1〕求动点P 的轨迹方程； 〔2〕假设EF 为圆22:(1)1+-=N
x y 的任一条直径，求PE PF
⋅的最小值．
【答案】〔1〕22
11612
x y +=〔2〕12-【解析】 【分析】
〔1〕设(),P
x y ，那么()8,Q y ，利用等式，结合向量坐标运算可构造关于,x y 的方程，整理可得所求的
轨迹方程；〔2〕利用圆的参数方程，设()cos ,1sin E θθ+，得到()cos ,1sin F θθ--，从而将所求
数量积的最小值转化为求解出点P 到点
()0,1的间隔d 的平方的最小值，利用椭圆的参数方程，结合与二
次函数有关的复合函数值域求解方法可求得2
min d ，代入求得结果. 【详解】〔1〕设(),P
x y ，那么()8,Q y ()2,PC x y ∴=--，()8,0PQ x =-
()()2
22
12804x y x ∴-+--=，整理可得：2211612
x y +=
P ∴的轨迹方程为：
22
11612
x y += 〔2〕由题意知，圆N 的圆心为：()0,1，那么,E F 关于()0,1对称
设(),P
x y ，()cos ,1sin E θθ+()cos ,1sin F θθ∴--
()cos ,sin 1PE x y θθ∴=-+-，()cos ,sin 1PF x y θθ=---+-
∴要求PE PF
⋅得最小值，只需求解出点P 到点
()0,1的间隔d 的平方的最小值
设()
4cos P
αα
[]
sin 1,1α∈-∴当sin 1α=时，2d 取最小值：13-【点睛】此题考察动点轨迹方程的求解、圆锥曲线中的最值问题的求解；求解此题中最值问题的关键是可以将问题转化为求解椭圆上的点到定点的间隔的最值求解问题，灵敏应用圆和椭圆的参数方程使问题得以求解.
2()ln f x a x bx =-图像上一点(2,(2))P f 处的切线方程为32ln 2 2.y x =-++
〔1〕求,a b 的值； 〔2〕假设方程
()0f x m +=在区间1[,]e e
内有两个不等实根，求m 的取值范围；
〔3〕令()()(),g x f x kx k R =
-∈假设()g x 的图像与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点，
AB 的中点为(,0)C x ，求证：0()0.g x '≠
【答案】〔1〕21
a b =⎧⎨=⎩；〔2〕211,2e ⎛
⎤+ ⎥⎝⎦；〔3〕证明见解析
【解析】 【分析】
〔1〕根据导数的几何意义可知
()23f '=-，利用切线方程求得()2f ，代入曲线可得关于,a b 的方程，
与
()23f '=-联立可构造方程组求得结果；〔2〕将问题转化为()f x 与y m =-的图象在1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有
两个交点；利用导数得到
()f x 在1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调性和最值，从而确定有两个交点时m -的取值范围，进
而得到结果；〔3〕采用反证法，假设()00g x '
=，利用,A B 在()g x 上，中点坐标公式和()00g x '=可
化简整理得到12112
2
21ln 01x x x x x x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭-=+，令()120,1x t x =∈，构造函数()()21ln 1t h t t t -=-+，利用导数可知()h
t 在()0,1上单调递增，从而得到()0h t <，与等式矛盾，可知假设不成立，从而证得结论.
【详解】由题意得：
()f x 定义域为()0,∞+；
()222a bx a
f x bx x x
-+'=-=
〔1〕
()f x 在()()2,2P f 处的切线方程为：32ln 22y x =-++
()()8232242ln 2ln 24b a f f a b
-+⎧==-⎪∴⎨⎪=-=-'
+⎩
，解得：21a b =⎧⎨=⎩
〔2〕方程
()0f x m +=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不等实根等价于()f x 与y m =-的图象在1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有
两个交点
由〔1〕知：
()2
2ln f x x x
=-，
()()()221122
x x x f x x x
+--+'==-
∴当1,1x e ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
时，()0f x '>；当(]1,x e ∈时，()0f x '<
()f x ∴在1,1e
⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上单调递增，在(]1,e 上单调递减()()max 11f x f ∴==-
又
22
11112ln 2f e e e e ⎛⎫
=-=-- ⎪⎝⎭
，
()2212ln 2f e e e e f e ⎛⎫
=-=-< ⎪⎝⎭
2121m e --
≤-<-，解得：211,2m e ⎛
⎤∈+
⎥⎝⎦
〔3〕()()22ln g x f x kx x x kx =-=--，那么()2
2g x x k x
'=
-- 假设()00g x '
=，那么有：
()211112ln 0g x x x kx =--=…①；()2
22222ln 0g x x x kx =--=…②；
1202x x x +=…③；
00
2
20x k x --=…④ ①-②得：()()22
112122
2ln 0x x x k x x x ----=()112212012122ln 2ln 2x x x x k x x x x x x x ∴=-+=---
由④得：00
2
2k x x =-12001202ln 222x x x x x x x ∴-=--，即：
1212012
2ln 24x
x x x x x x ==-+ ()1122112122212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭∴==++，即12112
2
21ln 01x x x
x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+
令1
2
x t
x =
，由120x x <
<得：()0,1t ∈
设()()21ln 1t h t t t -=-+，()0,1t ∈()()()()
()()2
22212111011t t t h t t t t t +---'∴=-=>++ ()h t ∴在()0,1上单调递增()()10h t h ∴<=
∴12112
2
21ln 01x x x x x x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭-=+不成立，即假设不成立
【点睛】此题考察导数在研究函数中的应用的相关知识，涉及到导数几何意义的应用、根据方程根的个数求解参数范围、构造函数的方式证明问题、反证法的应用等知识；此题证明问题的关键是可以结合反证法，利
用等量关系配凑出关于
12
x x 的等式，从而采用换元的方式可构造出函数，利用函数的最值否认假设，属于较
难题.
xOy 中，设倾斜角为α
的直线2cos :sin x t l y t α
α
=+⎧⎪⎨
=⎪⎩〔t 为参数〕与曲线2cos :sin x C y θ
θ
=⎧⎨
=⎩〔θ为参数〕
相交于不同的两点,A B .
〔1〕假设3
π
α=
，求线段
AB 中点M 的坐标；
〔2〕假设
2
PA PB OP
⋅=
，其中(2P
，求直线l 的斜率.
【答案】〔1
〕12,1313⎛- ⎝⎭
；〔2
【解析】
试题分析：〔1〕将曲线C 的参数方程化为普通方程，当3
π
α
=
时，设点M 对应参数为0t ．直线l
方程为
122
{x t
y =+=代入曲线C 的普通方程2
214
x y +=，得21356480++=t t ，由韦达定理和中点坐
标公式求得120
28
213
t t t +=
=-，代入直线的参数方程可得点M 的坐标；〔2〕把直线的参数方程代入椭圆的普通方程可得关于参数t 的一元二次方程，由条件和韦达定理可得22
12
7cos 4sin αα
=+，求得tan α的值即得斜率.
试题解析：设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为1t ，2t ．将曲线C 的参数方程化为普通方程
2
214
x y +=． 〔1〕当3
π
α=
时，设点M 对应参数为0t ．直线l
方程为122{
2
x t
y =+=〔t 为参数〕．
代入曲线C 的普通方程2
214x y +=，得21356480++=t t ，那么12028213t t t +==-，
所以，点M
的坐标为12,1313⎛- ⎝⎭
．
〔2
〕将2cos {sin x t y t α
α=+=代入2
214
x y +=，得
(
)()
2
22cos
4sin 4cos 120t t αααα++++=，
因为
122212
cos 4sin t t αα
PA ⋅PB ==
+，
2
7OP =，所以
22
12
7cos 4sin αα
=+． 得2
5tan 16α=
．由于()
32cos cos 0ααα∆=->
，故tan 4
α=．
所以直线l
的斜率为
4
．
考点：直线的参数方程与椭圆参数方程及其在研究直线与椭圆位置关系中的应用.
()|||1|=+-+f x x a x ．
〔Ⅰ〕当1
2
a
=-
时，解不等式：()2f x a ≤； 〔Ⅱ〕假设对任意实数x ，
()2f x a ≤都成立，务实数a 的最小值．
【答案】〔Ⅰ〕1|
4x x ⎧
⎫≥⎨⎬⎩⎭〔Ⅱ〕13
【解析】 【分析】
〔Ⅰ〕分别在1x ≤-、112x -<
≤
、1
2
x >三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得解集；〔Ⅱ〕利用绝对值三角不等式可求得()max 1f x a =-，从而得到12a a -≤，解不等式求得a 的
范围，进而得到所求最小值.
【详解】〔Ⅰ〕当1
2
a =-
时，不等式化为：1112x x --+≤- 当1x ≤-时，由
1112x x -++≤-得：3
12
≤-，解集为∅
当112x -<
≤
时，由1112x x ---≤-得：14x ≥1
142
x ∴≤≤
当12
x >时，由1112x x ---≤-得：01
2-≤12x ∴>
综上所述，原不等式的解集为：1|
4x x ⎧
⎫≥⎨⎬⎩⎭
〔Ⅱ〕
()()111x a x x a x a +-+≤+-+=-
()1f x x a x ∴=+-+的最大值为：1a -
由题意知：
12a a -≤，解得：1
3
a ≥
a ∴的最小值为1
3
【点睛】此题考察分类讨论求解绝对值不等式、利用绝对值三角不等式解决最值和恒成立问题，属于常考题型.。