近年届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的奇偶性与周期性配套练习文北师大版

2019届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的奇偶性与周期性配套练习文北师大版
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第3讲函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1．(2017·肇庆三模）在函数y＝x cos x,y＝e x＋x2，y＝lg错误!，y＝x sin x 中，偶函数的个数是
（) A．3 B．2 C．1 D．0
解析y＝x cos x为奇函数，y＝e x＋x2为非奇非偶函数,y＝lg错误!与y＝x sin x为偶函数．
答案B
2．(2015·湖南卷)设函数f（x）＝ln（1＋x)－ln（1－x)，则f（x）是
（）A．奇函数，且在(0，1）内是增函数
B．奇函数，且在（0，1）内是减函数
C．偶函数，且在(0,1)内是增函数
D．偶函数，且在（0，1）内是减函数
解析易知f(x）的定义域为（－1,1），且f（－x)＝ln（1－x）－ln(1＋x)＝－f(x），则y＝f（x)为奇函数,
又y＝ln（1＋x)与y＝－ln（1－x)在(0，1)上是增函数，
所以f(x)＝ln（1＋x)－ln(1－x）在(0，1）上是增函数．
答案A
3．已知函数f（x)＝x错误!，若f(x1）〈f（x2），则
( ）A．x1〉x2B．x1＋x2＝0
C．x1<x2D．x错误!〈x错误!
解析∵f(－x）＝－x错误!＝f（x)．
∴f(x）在R上为偶函数，
f′（x)＝e x－错误!＋x错误!,
∴x>0时,f′（x)〉0，∴f(x)在［0，＋∞)上为增函数,
由f（x1)<f（x2），得f(｜x1｜)〈f（｜x2｜)，
∴｜x1｜〈|x2｜，∴x错误!〈x错误!.
答案D
4．已知f（x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f（－1）＋g(1）＝2，f(1)＋g(－1）＝4,则g(1）等于
（）A．4 B．3 C．2 D．1
解析由已知得f(－1）＝－f（1），g(－1)＝g（1），则有错误!解得g（1)＝3.
答案B
5．（2017·西安一模)奇函数f（x）的定义域为R，若f（x＋1)为偶函数，且f（1)＝2，则f（4）＋f(5）的值为
( ）A．2 B．1 C．－1 D．－2
解析∵f（x＋1）为偶函数，
∴f（－x＋1）＝f(x＋1)，则f(－x）＝f(x＋2)，
又y＝f(x)为奇函数，则f（－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f（0)＝0.
从而f(x＋4）＝－f(x＋2)＝f（x），y＝f（x)的周期为4.
∴f(4)＋f（5）＝f（0）＋f（1）＝0＋2＝2.
答案A
二、填空题
6．若f(x）＝ln(e3x＋1）＋ax是偶函数,则a＝________。

解析由于f（－x）＝f(x）,
∴ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
化简得2ax＋3x＝0(x∈R），则2a＋3＝0，
∴a＝－错误!。

答案－错误!
7．(2017·合肥质检）若函数f（x)（x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x）＝错误!则f错误!＋f错误!＝________.
解析 由于函数f （x ）是周期为4的奇函数，所以f 错误!＋f 错误!＝f 错误!＋f 错误!＝f 错误!＋f 错误!＝－f 错误!－f 错误!＝－错误!＋sin 错误!＝错误!.
答案 错误!
8．定义在R 上的奇函数y ＝f （x ）在(0，＋∞）上递增，且f 错误!＝0,则满
足f （x )〉0的x 的集合为________．
解析 由奇函数y ＝f (x ）在(0，＋∞）上递增，且f 错误!＝0，得函数y ＝f （x )在(－∞,0)上递增，且f 错误!＝0，
∴f （x )>0时，x >错误!或－错误!〈x <0。

答案 错误!
三、解答题
9．设f （x ）是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f （1＋x )＝f (1
－x ），当－1≤x ≤0时，f （x )＝－x 。

（1）判定f （x ）的奇偶性；
(2）试求出函数f (x ）在区间[－1,2］上的表达式．
解 (1)∵f （1＋x ）＝f (1－x ），∴f (－x )＝f （2＋x )．
又f (x ＋2)＝f （x ），∴f (－x )＝f （x ）．
又f (x )的定义域为R ,
∴f (x ）是偶函数．
（2）当x ∈[0,1]时，－x ∈［－1,0]，
则f (x ）＝f （－x ）＝x ；
进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，
f （x )＝f (x －2)＝－（x －2）＝－x ＋2。

故f (x ）＝｛ －x ，x ∈［－1，0］，x ，x ∈0，1，，－x ＋2，x ∈［1
2]。

10．已知函数f (x ）＝错误!是奇函数．
（1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间［－1,a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．
解(1）设x<0，则－x〉0,
所以f(－x）＝－(－x）2＋2（－x）＝－x2－2x.
又f(x）为奇函数，所以f(－x)＝－f（x）．
于是x〈0时,f(x）＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在［－1,a－2］上单调递增,
结合f（x)的图像知错误!所以1<a≤3，
故实数a的取值范围是(1，3］．
11．(2017·南昌一模）已知f（x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1）〈1,f(5)＝错误!,则实数a的取值范围为
( ) A．（－1,4）B．（－2,0)
C．（－1，0）D．（－1，2)
解析∵f(x）是定义在R上的周期为3的偶函数，
∴f（5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f（1），
∵f(1)<1，f(5）＝2a－3
a＋1
，∴错误!<1，即错误!<0，
解得－1<a<4.
答案A
12．对任意的实数x都有f（x＋2)－f（x)＝2f(1）,若y＝f（x－1)的图像关于x＝1对称，且f(0）＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝
( ) A．0 B．2 C．3 D．4
解析y＝f(x－1）的图像关于x＝1对称，则函数y＝f（x）的图像关于x＝0对称,即函数f(x)是偶函数，
令x＝－1,则f(－1＋2)－f（－1)＝2f（1），
∴f（1）－f(1）＝2f（1）＝0,即f(1）＝0，
则f(x＋2)－f(x)＝2f（1)＝0，
即f（x＋2)＝f(x)，
则函数的周期是2,又f(0)＝2，
则f（2 015）＋f（2 016）＝f(1)＋f(0）＝0＋2＝2.
答案B
13．（2017·东北四市联考）已知f(x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x）＝x3－x,则函数y＝f(x）的图像在区间[0，6］上与x轴的交点个数为________．
解析因为当0≤x<2时，f（x)＝x3－x。

又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f（0)＝0，
则f(6)＝f（4)＝f(2）＝f（0)＝0。

又f（1)＝0，
∴f（3）＝f(5）＝f（1)＝0，
故函数y＝f(x）的图像在区间[0,6］上与x轴的交点有7个．
答案7
14．设f（x)是(－∞,＋∞)上的奇函数，f（x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时,f(x）＝x。

（1)求f(π）的值；
（2)当－4≤x≤4时,求f（x)的图像与x轴所围成图形的面积．
解(1)由f（x＋2)＝－f（x)得，
f(x＋4）＝f[（x＋2）＋2］＝－f(x＋2）＝f（x），
所以f（x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f（π－4）＝－f(4－π)＝－（4－π）＝π－4.
（2）由f(x）是奇函数且f(x＋2）＝－f(x)，
得f［（x－1）＋2］＝－f(x－1)＝f［－（x－1)]，
即f（1＋x）＝f(1－x)．
故知函数y＝f（x)的图像关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时,f（x)＝x,且f（x）的图像关于原点成中心对称，则f（x)的图像如下图所示．
当－4≤x≤4时，f（x）的图像与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB ＝4×错误!＝4。