广西桂林中学高一数学上学期期中试卷(含解析)

2015-2016学年广西桂林中学高一（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂到答题卡的相应位置.
1．若1∈{2+x，x2}，则x=（）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．0
2．函数y=lg（x﹣1）的定义域是（）
A．[0，+∞）B．（0，+∞）C．[1，+∞）D．（1，+∞）
3．值域是（0，+∞）的函数是（）
A．y=x2﹣x+1 B．y=2x C．y=x+1 D．y=log2x
4．已知函数f（x）=，则f[f（）]=（）
A．9 B．﹣C．﹣9 D．
5．函数f（x）=a x﹣1+4（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点，则这个定点坐标是（）A．（5，1） B．（1，5） C．（1，4） D．（4，1）
6．若0＜m＜n，则下列结论正确的是（）
A．B．2m＞2n
C．D．log2m＞log2n
7．已知函数f（+1）=x+1，则函数f（x）的解析式为（）
A．f（x）=x2B．f（x）=x2+1（x≥1）
C．f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）D．f（x）=x2﹣2x（x≥1）
8．下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A．f（x）=x和g（x）=B．f（x）=|x|和g（x）=
C．f（x）=x|x|和g（x）=D．f（x）=和g（x）=x+1，（x≠1）
9．设2a=5b=m，且，则m=（）
A． B．10 C．20 D．100
10．函数f（x）=x﹣ln|x|的图象为（）
A． B．C．
D．
11．已知函数y=f（x）在R上为偶函数且在[0，+∞）上单调递增．若f（t）＞f（2﹣t），则实数t的取值范围是（）
A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．D．（2，+∞）
12．设a，b，c均为正数，且2a=，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写到答题卡的相应位置. 13．log59•log225•log34= ．
14．函数的单调递减区间为．
15．f（x）为奇函数，且x＞0时，f（x）=x2﹣2x，则x＜0时，f（x）= ．
16．函数f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请将解答过程填写在答题卡的相应位置.
17．化简计算下列各式
①；
②．
18．已知A={x|＜3x＜9}，B={x|log2x＞0}．
（Ⅰ）求A∩B和A∪B；
（Ⅱ）定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，求A﹣B和B﹣A．
19．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=
（1）求实数m，n的值
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
20．根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售价格P（元）与时间t（天 t∈N+）的关系满足如图，日销量Q（件）与时间t（天）之间的关系是Q=﹣t+40（t∈N+）．
（Ⅰ）写出该产品每件销售价格P与时间t的函数关系式；
（Ⅱ）在这30天内，哪一天的日销售金额最大？（日销量金额=每件产品销售价格×日销量）
21．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且．（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，解不等式．
22．已知二次函数f（x）满足f（0）=1，且f（x+1）﹣f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（log a x）（a＞0且a≠1），，试求g（x）的最值．
2015-2016学年广西桂林中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂到答题卡的相应位置.
1．若1∈{2+x，x2}，则x=（）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．0
【考点】元素与集合关系的判断．
【专题】分类讨论；综合法；集合．
【分析】将1带入集合，求出x，注意集合元素的互异性．
【解答】解：∵1∈{2+x，x2}，
∴1=2+x，或1=x2，
∴x=﹣1或x=1，
若x=﹣1，则2+x=x2，与元素的互异性矛盾，
若x=1，则2+x=3，x2=1，符合题意．
∴x=1．
故选B
【点评】本题考查了集合元素的互异性，是基础题．
2．函数y=lg（x﹣1）的定义域是（）
A．[0，+∞）B．（0，+∞）C．[1，+∞）D．（1，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】因为对数函数y=lgx的定义域是（0，+∞），所以利用对数函数的性质确定函数的定义域．
【解答】解：要使函数f（x）=lg（x﹣1）有意义，则x﹣1＞0，
即x＞1，
所以函数f（x）=lg（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．
故选D．
【点评】本题的考点是函数定义域的求法，要求熟练掌握几种常见函数的定义域，属于基础题．
3．值域是（0，+∞）的函数是（）
A．y=x2﹣x+1 B．y=2x C．y=x+1 D．y=log2x
【考点】函数的值域．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数的性质结合函数的值域进行判断即可．
【解答】解：y=x2﹣x+1=（x﹣）2+≥，则函数的值域为[，+∞），不满足条件．
y=2x的值域为（0，+∞），满足条件．
y=x+1的值域为（﹣∞，+∞），不满足条件．
y=log2x的值域为（﹣∞，+∞），不满足条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数值域的求解和判断，要求熟练掌握常见函数的值域，比较基础．4．已知函数f（x）=，则f[f（）]=（）
A．9 B．﹣C．﹣9 D．
【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用分段函数的性质求解．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（）=log2=﹣2，
f[f（）]=3﹣2=．
故选：D．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
5．函数f（x）=a x﹣1+4（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点，则这个定点坐标是（）A．（5，1） B．（1，5） C．（1，4） D．（4，1）
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题．
【分析】由题意令x﹣1=0，解得x=1，再代入函数解析式求出y的值为5，故所求的定点是（1，5）．
【解答】解：令x﹣1=0，解得x=1，则x=1时，函数y=a0+4=5，
即函数图象恒过一个定点（1，5）．
故选B．
【点评】本题考查了指数函数图象过定点（0，1），即令指数为零求对应的x和y，则是所求函数过定点的坐标．
6．若0＜m＜n，则下列结论正确的是（）
A．B．2m＞2n
C．D．log2m＞log2n
【考点】不等关系与不等式．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据指数函数与对数函数的底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减的性质进行做题．
【解答】解：观察B，D两个选项，由于底数2＞1，故相关的函数是增函数，由0＜m＜n，∴2m＜2n，log2m＜log2n，
所以B，D不对．
又观察A，C两个选项，两式底数满足0＜＜1，
故相关的函数是一个减函数，由0＜m＜n，
∴，
所以A不对，C对．
故答案为 C．
【点评】指数函数与对数函数的单调性是经常被考查的对象，要注意底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减的性质．
7．已知函数f（+1）=x+1，则函数f（x）的解析式为（）
A．f（x）=x2B．f（x）=x2+1（x≥1）
C．f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）D．f（x）=x2﹣2x（x≥1）
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】计算题．
【分析】通过换元：令，将已知条件中的x都换为t，得到关于t的函数解析式，再将t换为x即可．
【解答】解：令则x=（t﹣1）2（t≥1）
∴f（t）=（t﹣1）2+1=t2﹣2t+2
∴f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）
故选C
【点评】已知f（ax+b）的解析式来求f（x）的解析式，一般通过换元的方法或配凑的方法．
8．下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A．f（x）=x和g（x）=B．f（x）=|x|和g（x）=
C．f（x）=x|x|和g（x）=D．f（x）=和g（x）=x+1，（x≠1）【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】计算题．
【分析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对以关系都得相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．
【解答】解；对于A选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数．
对于B选项，由于函数y==x，即两个函数的解析式不同，∴不是同一函数；
对于C选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠0}，∴不是同一函数
对于D选项，f（x）的定义域与g（x）的定义域均为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），且f（x）==x+1
∴是同一函数
故选D．
【点评】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属基础题．
9．设2a=5b=m，且，则m=（）
A． B．10 C．20 D．100
【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．
【解答】解：，∴m2=10，又∵m＞0，∴．
故选A
【点评】本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算性质，是基础题．
10．函数f（x）=x﹣ln|x|的图象为（）
A． B．C．
D．
【考点】函数的图象．
【专题】作图题；数形结合；函数的性质及应用．
【分析】易知当x＜0时，f（x）=x﹣ln（﹣x）是增函数，从而利用排除法求得．
【解答】解：当x＜0时，f（x）=x﹣ln（﹣x）是增函数，
故排除A，C，D；
故选：B．
【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，单调性表述了图象的变化趋势．
11．已知函数y=f（x）在R上为偶函数且在[0，+∞）上单调递增．若f（t）＞f（2﹣t），则实数t的取值范围是（）
A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．D．（2，+∞）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化即可．
【解答】解：∵函数y=f（x）在R上为偶函数且在[0，+∞）上单调递增．若f（t）＞f（2﹣t），
∴不等式等价为f（|t|）＞f（|2﹣t|），
则等价为|t|＞|2﹣t|，
即t2＞|2﹣t|2=4﹣4t+t2，
即4t＞4，
则t＞1，
故选：B
【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．
12．设a，b，c均为正数，且2a=，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
【考点】对数值大小的比较．
【专题】数形结合．
【分析】比较大小可以借助图象进行比较，观察题设中的三个数a，b，c，可以借助函数图象的交点的位置进行比较．
【解答】解：分别作出四个函数y=，
y=2x，y=log2x的图象，观察它们的交点情况．
由图象知：
∴a＜b＜c．
故选A．
【点评】本题考点是对数值大小的比较，本题比较大小时用到了对数函数和指数函数的图象，比较大小的题在方法上应灵活选择，依据具体情况选择合适的方法．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写到答题卡的相应位置. 13．log59•log225•log34= 8 ．
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】利用换底公式化简求解即可．
【解答】解：log59•log225•log34==8．
故答案为：8．
【点评】本题考查对数运算法则的应用，换底公式的应用，考查计算能力．
14．函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）．
【考点】函数的单调性及单调区间．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据分式函数的性质进行求解即可．
【解答】解：将函数y=的图象向左平移一个单位得到，
∵y=的单调递减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞），
∴的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）．
【点评】本题主要考查函数单调递减区间的求解，根据分式函数的性质是解决本题的关键．
15．f（x）为奇函数，且x＞0时，f（x）=x2﹣2x，则x＜0时，f（x）= ﹣x2+2﹣x．【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先由函数是奇函数得f（﹣x）=﹣f（x），然后将所求区间利用运算转化到已知区间上，代入到x＞0时，f（x）=x2﹣2x，即可的x＜0时，函数的解析式．
【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数
∴f（﹣x）=﹣f（x）
∵x＞0时，f（x）=x2﹣2x，
由x＜0时，﹣x＞0可得
f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）2﹣2﹣x]=﹣x2+2﹣x
故答案为：﹣x2+2﹣x；
【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，以及将未知转化为已知的转化化归思想，是个基础题．
16．函数f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是[1，2）．
【考点】复合函数的单调性．
【专题】数形结合法．
【分析】复合函数f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）中，对数函数y=lgx为单调递增，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．
【解答】解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，
配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a
如图所示：
由图象可知当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，
又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，
代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）
故答案为：[1，2）
【点评】y=f[g（x）]型函数可以看作由两个函数y=f（u）和u=g（x）复合而成，一般称其为复合函数．其中y=f（u）为外层函数，u=g（x）为内层函数．若内、外层函数的增减性相同，则复合函数为增函数；若内、外层函数的增减性相反，则复合函数为减函数．即复合函数单调性遵从同增异减的原则．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请将解答过程填写在答题卡的相应位置.
17．化简计算下列各式
①；
②．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】①直接利用指数运算法则化简求解即可．
②利用对数运算法则化简求解即可．
【解答】解：①原式==2，
②原式==2lg10+1+5=8．
【点评】本题考查对数运算法则以及指数运算法则的应用，是基础题．
18．已知A={x|＜3x＜9}，B={x|log2x＞0}．
（Ⅰ）求A∩B和A∪B；
（Ⅱ）定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，求A﹣B和B﹣A．
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】（Ⅰ）求出A与B中其他不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集，并集即可；
（Ⅱ）根据A﹣B的定义，求出A﹣B与B﹣A即可．
【解答】解：（Ⅰ）由A中的不等式变形得：3﹣1＜3x＜32，
解得：﹣1＜x＜2，即A=（﹣1，2），
由B中的不等式变形得：log2x＞0=log21，得到x＞1，
∴B=（1，+∞），
则A∩B=（1，2）；A∪B=（﹣1，+∞）；
（Ⅱ）∵A=（﹣1，2），B=（1，+∞），A﹣B={x|x∈A且x∉B}，
∴A﹣B=（﹣1，1]；B﹣A=[2，+∞）．
【点评】此题考查了交集及其运算，并集及其运算，以及新定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
19．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=
（1）求实数m，n的值
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）奇函数在原点有定义时，f（0）=0，从而可求得n=0，而由可求出m；
（2）根据增函数的定义，设x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，通过作差的方法证明f（x1）＜f（x2）即可．
【解答】解：（1）∵f（x）为（﹣1，1）上的奇函数
∴f（0）=0；
∴n=0；
∵；
∴；
∴m=1；
（2）f（x）=；
设x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，则：
=；
∵x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2；
∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
【点评】考查奇函数的定义，以及根据增函数的定义证明函数为增函数的方法与过程．
20．根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售价格P（元）与时间t（天 t∈N+）的关系满足如图，日销量Q（件）与时间t（天）之间的关系是Q=﹣t+40（t∈N+）．（Ⅰ）写出该产品每件销售价格P与时间t的函数关系式；
（Ⅱ）在这30天内，哪一天的日销售金额最大？（日销量金额=每件产品销售价格×日销量）
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（I）根据图象，可得每件销售价格P与时间t的函数关系；
（II）结合日销量Q（件）与时间t（天）之间的关系，可得日销售金额函数，分段求最值，即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）根据图象，每件销售价格P与时间t的函数关系为：
．…
（Ⅱ）设日销售金额y（元），则
=…
若0＜t≤20，t∈N+时，y=﹣t2+10t+1200=﹣（t﹣5）2+1225，…
∴当t=5时，y max=1225；
若20＜t≤30，t∈N+时，y=﹣50t+2000是减函数，
∴y＜﹣50×20+2000=1000，
因此，这种产品在第5天的日销售金额最大，最大日销售金额是1225元．…
【点评】本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且．（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，解不等式．
【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】（1）令x=y=1⇒f（1）=0；
（2）依题意，可求得f（）=﹣f（x），于是f（x+3）﹣f（）≤2⇔f（x+3）+f（x）≤2⇔f （x+3）﹣1≤1﹣f（x），利用已知f（6）=1与f（）=f（x）﹣f（y），可得f（）≤f（），最后由函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，即可求得原不等式的解集．【解答】解：（1）∵f（）=f（x）﹣f（y），
∴令x=y=1得：f（1）=0；
（2）∵f（）=f（1）﹣f（x）=﹣f（x），
∴原不等式f（x+3）﹣f（）≤2⇔f（x+3）+f（x）≤2，
∴f（x+3）﹣1≤1﹣f（x），又f（6）=1，
∴f（x+3）﹣f（6）≤f（6）﹣f（x）
即f（）≤f（），
∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
则0＜≤，
解得：0＜x≤．
∴原不等式的解集为{x|0＜x≤}．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，求得f（）=﹣f（x）是关键，着重考查转化思想与函数单调性的综合应用，属于难题．
22．已知二次函数f（x）满足f（0）=1，且f（x+1）﹣f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（log a x）（a＞0且a≠1），，试求g（x）的最值．
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数思想；换元法；函数的性质及应用．
【分析】（1）使用待定系数法求出解析式；
（2）利用换元法转化成二次函数求出．
【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，
∵f（0）=1，∴c=1，
∴f（x+1）﹣f（x）=2ax+a+b，
∵f（x+1）﹣f（x）=2x，
∴，
∴f（x）=x2﹣x+1．
（2）∵f（x）=x2﹣x+1
∴，．
令t=log a x，
则g（x）=h（t）=t2﹣t+1，
∵∴，
∴t=log a x在上单减，
∴﹣1≤t≤1，
又g（t）的对称轴为，
∴t=时，h min（t）=，
∴t=﹣1时，h max（t）=3，
∴g（x）的最大值是3，g（x）的最小值是．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，换元法解决复合函数问题，属于中档题．。