高中数学人教a版必修二课件：4.2.2《圆与圆的位置关系》
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A2 B2
4.弦长问题
（1）代数法：解方程组求交点，两点间的距离公式求弦长
弦长公式为 | AB | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
(1 k2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
（2）几何法：圆心到直线的距离和勾股定理求弦长（常用）
弦长公式为 | AB | 2 r2 d 2
系
相交
没 有
相
公
离
共
点
一
个 公 共
相 切
点
两
个 公 共
相 交
点
两圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
d与r1和r2的关系
d>r1+r2 d=r1+r2 r2-r1<d<r1+r2 d=r2-r1 d<r2-r1
○2 d ○1
r1 r1
○1
○1 d
r1
○1
圆和圆的五种位置关系
R O
1
r O
2
C1 : ( x 1)2 ( y 4)2 52 C1的圆心(1,4), 半径为r1 5 C2 : ( x 2)2 ( y 2)2 ( 10)2 C2的圆心(2, 2),半径为r2 10
连心线长为 (1 2)2 (4 2)2 3 5
| r1 r2 | 5 10 | r1 r2 | 5 10
http://../edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId =55e12036af508f0099b1c87d
圆与圆的位置关系
内含内切 相交 外切
相离
圆与圆有几种位置关系？ 分别说出它们的交点个数
外离
圆与圆和圆 内 含 圆的
的位 位置置关系 关
外切 内切
5 10 C1C 2 5 10 所以，两圆相交.
解法二：圆C1与圆C2的方程联立，得
x2 y2 2x 8y 8 0
x
2
y
2
4x
4
y
2
0
两圆的公共弦 方程(1) (2)
(1)-(2)，得 x 2 y 1 0
(3)
由(3)得 y 1 x 2
x2 2x 3 0
代入(1),整理得
弦长公式为 | AB | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
(1 k2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
（2）几何法：先两圆方程相减得到公共弦所在的直线方程， 再由一个圆的圆心到该直线的距离与该圆半径构成勾股定理 求弦长（常用）
弦长公式为 | AB | 2 r2 d 2
思考3: 已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 相交， 那么经过两圆的交点的圆系怎么求？
x2+y2+D1x+E1y+F1-λ (x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
课后练习 课后习题
..
4.2 直线、圆的位置关系
4.2.2 圆与圆的位置关系
本节课主要学习圆与圆的位置关系。本课件在复习 两点间距离公式、点到直线距离公式和直线与圆位置关 系、直线被圆截得的弦长求法的基础上，由奥运五环引 入新课，并让学生动手操作和利用动画演示探究出两个 圆的位置关系。
以学生探究为主，利用代数法和几何法分别对圆与 圆的位置关系进行探究，探究圆与圆相交时的公共弦的 方程、截得的弦长、圆系等问题，还可以引导学生继续 探究。通过例题掌握圆与圆位置关系判定的两种方法并 加以对比，体会几何法的简便性。
复习回顾： 1.判断直线与圆的位置关系有两种方法
图形
位置关系
相交
相切
相离
交点个数
2个
1个
0个
d与r关系
d<r
d=r
d>r
2.平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2) 的距离公式是 | P1 P2 | ( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2
3.点到直线距离公式：d Ax0 By0 C
方法二：解方程组，判断判别式的符号。
3.已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 相交,则两圆的公共弦
(1)方程： x2+y2+D1x+E1y+F1- (x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
（2）弦长： | AB | 2 r2 d 2
（3）经过两圆的交点的圆系为：
(4)
则 (2)2 41 (3) 16 0
所以，方程(4)有两个不相等的实数根x1,x2，把x1,x2
分别代入方程(3)：x 2 y 1 0
得到y1,y2. 因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2).
圆与圆的公共弦的长度及所在直线的方程 思考1: 已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 相交， 则两圆的公共弦所在的直线方程是什么？
两圆的公共弦所在的直线方程是：
x2+y2+D1x+E1y+F1-(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
思考2: 已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0 相交， 则两圆的公共弦的弦长怎么求？
（1）代数法：解方程组求交点，两点间的距离公式求弦长
外离 O1O2>R+r
R O1
r O2
外切 O1O2=R+r
R
r
O
O
1
2
相交 R-r<O1O2<R+r
O
1
R
Or
2
内切 O1O2=R-r
O
1
R
Or
2
内含 0≤O1O2<R-r
R
O Or
12
同心圆 (一种特殊的内含) ;y2+2x+8y-8=0和圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0， 试判断圆C1与圆C2的位置关系. 解法一：把圆C1和圆C2的方程化为标准方程：
圆心C1 : （-1,3），半径r1=6
C2 : ( x 2)2 ( y 1)2 1
圆心C2:（2，-1），半径r2=1 d | C1C2 | (1 2)2 (3 1)2 5
| r1 r2 | 5 d | r1 r2 | 因而两圆内切.
1.两圆的位置关系
名称 公共点
外离 0 外切 1
问题引入：
当2008年奥运五环出现在北京上 空的那一刻，北京沸腾了，奥运 五环环环相扣，呈现给我们的是 圆与圆的位置关系，请同学们在 白纸上画出一个半径是５厘米的 圆，并画出一条经过它圆心的水 平直线，用手上的圆形模板沿直 线向所画的圆作相对运动，观察 在运动过程中，两圆的交点有几 种情况？
2008北京奥运五环
相交 2
内切 1
内含
0
两圆位置
圆心距和半径 的关系
d>R+r
d=R+r R-r<d<R+r d=R-r d<R-r
2.已知两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0， 判断两个圆位置关系的步骤：
方法一：（1）将两圆的方程化为标准方程； （2）求两圆的圆心坐标和半径R、r； （3）求两圆的圆心距d； （4）比较d与R-r，R＋r的大小关系：
经过两圆的交点的圆系为： x2+y2+D1x+E1y+F1-λ (x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
练习：
判断圆 C1 : x2 y2 2x 6 y 26 0 和圆 C2 : x2 y2 4x 2 y 4 0的位置关系
解: C1 : ( x 1)2 ( y 3)2 36
4.弦长问题
（1）代数法：解方程组求交点，两点间的距离公式求弦长
弦长公式为 | AB | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
(1 k2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
（2）几何法：圆心到直线的距离和勾股定理求弦长（常用）
弦长公式为 | AB | 2 r2 d 2
系
相交
没 有
相
公
离
共
点
一
个 公 共
相 切
点
两
个 公 共
相 交
点
两圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
d与r1和r2的关系
d>r1+r2 d=r1+r2 r2-r1<d<r1+r2 d=r2-r1 d<r2-r1
○2 d ○1
r1 r1
○1
○1 d
r1
○1
圆和圆的五种位置关系
R O
1
r O
2
C1 : ( x 1)2 ( y 4)2 52 C1的圆心(1,4), 半径为r1 5 C2 : ( x 2)2 ( y 2)2 ( 10)2 C2的圆心(2, 2),半径为r2 10
连心线长为 (1 2)2 (4 2)2 3 5
| r1 r2 | 5 10 | r1 r2 | 5 10
http://../edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId =55e12036af508f0099b1c87d
圆与圆的位置关系
内含内切 相交 外切
相离
圆与圆有几种位置关系？ 分别说出它们的交点个数
外离
圆与圆和圆 内 含 圆的
的位 位置置关系 关
外切 内切
5 10 C1C 2 5 10 所以，两圆相交.
解法二：圆C1与圆C2的方程联立，得
x2 y2 2x 8y 8 0
x
2
y
2
4x
4
y
2
0
两圆的公共弦 方程(1) (2)
(1)-(2)，得 x 2 y 1 0
(3)
由(3)得 y 1 x 2
x2 2x 3 0
代入(1),整理得
弦长公式为 | AB | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
(1 k2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
（2）几何法：先两圆方程相减得到公共弦所在的直线方程， 再由一个圆的圆心到该直线的距离与该圆半径构成勾股定理 求弦长（常用）
弦长公式为 | AB | 2 r2 d 2
思考3: 已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 相交， 那么经过两圆的交点的圆系怎么求？
x2+y2+D1x+E1y+F1-λ (x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
课后练习 课后习题
..
4.2 直线、圆的位置关系
4.2.2 圆与圆的位置关系
本节课主要学习圆与圆的位置关系。本课件在复习 两点间距离公式、点到直线距离公式和直线与圆位置关 系、直线被圆截得的弦长求法的基础上，由奥运五环引 入新课，并让学生动手操作和利用动画演示探究出两个 圆的位置关系。
以学生探究为主，利用代数法和几何法分别对圆与 圆的位置关系进行探究，探究圆与圆相交时的公共弦的 方程、截得的弦长、圆系等问题，还可以引导学生继续 探究。通过例题掌握圆与圆位置关系判定的两种方法并 加以对比，体会几何法的简便性。
复习回顾： 1.判断直线与圆的位置关系有两种方法
图形
位置关系
相交
相切
相离
交点个数
2个
1个
0个
d与r关系
d<r
d=r
d>r
2.平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2) 的距离公式是 | P1 P2 | ( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2
3.点到直线距离公式：d Ax0 By0 C
方法二：解方程组，判断判别式的符号。
3.已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 相交,则两圆的公共弦
(1)方程： x2+y2+D1x+E1y+F1- (x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
（2）弦长： | AB | 2 r2 d 2
（3）经过两圆的交点的圆系为：
(4)
则 (2)2 41 (3) 16 0
所以，方程(4)有两个不相等的实数根x1,x2，把x1,x2
分别代入方程(3)：x 2 y 1 0
得到y1,y2. 因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2).
圆与圆的公共弦的长度及所在直线的方程 思考1: 已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 相交， 则两圆的公共弦所在的直线方程是什么？
两圆的公共弦所在的直线方程是：
x2+y2+D1x+E1y+F1-(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
思考2: 已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0 相交， 则两圆的公共弦的弦长怎么求？
（1）代数法：解方程组求交点，两点间的距离公式求弦长
外离 O1O2>R+r
R O1
r O2
外切 O1O2=R+r
R
r
O
O
1
2
相交 R-r<O1O2<R+r
O
1
R
Or
2
内切 O1O2=R-r
O
1
R
Or
2
内含 0≤O1O2<R-r
R
O Or
12
同心圆 (一种特殊的内含) ;y2+2x+8y-8=0和圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0， 试判断圆C1与圆C2的位置关系. 解法一：把圆C1和圆C2的方程化为标准方程：
圆心C1 : （-1,3），半径r1=6
C2 : ( x 2)2 ( y 1)2 1
圆心C2:（2，-1），半径r2=1 d | C1C2 | (1 2)2 (3 1)2 5
| r1 r2 | 5 d | r1 r2 | 因而两圆内切.
1.两圆的位置关系
名称 公共点
外离 0 外切 1
问题引入：
当2008年奥运五环出现在北京上 空的那一刻，北京沸腾了，奥运 五环环环相扣，呈现给我们的是 圆与圆的位置关系，请同学们在 白纸上画出一个半径是５厘米的 圆，并画出一条经过它圆心的水 平直线，用手上的圆形模板沿直 线向所画的圆作相对运动，观察 在运动过程中，两圆的交点有几 种情况？
2008北京奥运五环
相交 2
内切 1
内含
0
两圆位置
圆心距和半径 的关系
d>R+r
d=R+r R-r<d<R+r d=R-r d<R-r
2.已知两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0， 判断两个圆位置关系的步骤：
方法一：（1）将两圆的方程化为标准方程； （2）求两圆的圆心坐标和半径R、r； （3）求两圆的圆心距d； （4）比较d与R-r，R＋r的大小关系：
经过两圆的交点的圆系为： x2+y2+D1x+E1y+F1-λ (x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
练习：
判断圆 C1 : x2 y2 2x 6 y 26 0 和圆 C2 : x2 y2 4x 2 y 4 0的位置关系
解: C1 : ( x 1)2 ( y 3)2 36