2012智轩第二基础基础导学桥 第三章 向 量

第三章 向 量2012年考试内容向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间及其相关概念 n 维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质2012年考试要求1. 理解n 维向量、向量的线性组合与线性表示的概念。

2. 理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。

3. 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。

4. 理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系。

5. 了解n 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念。

6. 了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵。

7. 了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt ）方法。

8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质。

一、三基与拓展1.1 n 维向量n 行行矩阵或一个n 列列矩阵组成，在没有说明的情形下，向量专指列矩阵，它具有矩阵的全部性质，s 个向量的集合组成切记两种维度的概念是完全不同的。

向量组对应分块形式的矩阵，即()12s A ααα= 。

矩阵与向量存在内涵关系，矩阵的每行或每列就是一个向量，一个矩阵就相当于一个向量组。

1.2 线性组合（或称线性表示，或称线性表出）2.1.1 线性相关与无关1122...n n k k k βααα=+++，如果12, , ...., n k k k 全为零，称12,,...,n ααα线性无关，反之，称12,,...,n ααα线性相关，也称为向量β能由向量组α线性表示，或线性表出，记为βα←。

零向量可由任何向量组线性表示（如1120100n αααα=⇒⋅+⋅+⋅ ），即与任何向量组线性相关；只含1个的非零向量的向量组必线性无关（1011100k k αα≠=−−−→=）。

两个向量线性相关的几何意义为平行或共线，三个向量线性相关的几何意义为共面，那么，读者能不能想象一下，三个向量线性相关，2.1.2 线性相关性与线性表示的关系一个或多个同型向量组成向量组。

如果向量1β能由()123 ααα线性表示，意味着()1231 αααβ线性相关，；如果向量2β不能由()123 ααα线性表示，意味着()1232 αααβ线性无关。

如果()1231 αααβ线性相关，()1232 αααβ线性无关，则有下列结论：由于()()12312 k k αααββ+任意常数 经过初等变换可变成()1232 αααβ，故()123112k αααββ+线性无关；但不能变成()1231 αααβ，因为2β不能由()123 ααα线性表示，无法消元；同理，()12312 k αααββ+可经过初等变换变成()1232 k αααβ，因此，在0k ≠时，线性无关，在0k =线性相关，因为零向量与任何向量组线性相关。

我们用高斯消元法求解线性方程组AX b =的消元过程，实际上是对其增广矩阵()|A b 的行向量做线性运算（向量的加法与数乘向量），通过这样的运算（也就是矩阵的初等行变换）把增广矩阵()|A b 化为阶梯形矩阵(),c d 时会有几个非零行，也就是会出现几个全零行，这取决于增广矩阵()|A b 的行向量之间在线性运算下有怎样的关系。

例如：系数矩阵A 为5⨯5矩阵时，()|A b 的行向量有5个，记作12345,,,,,ααααα如果45,αα能用123,,ααα线性表示，而123,,ααα之间任一个都不能用另外两个线性表示，那么对()|A b 做初等行变换（也就是对12345,,,,ααααα作线性运算时），就一定可以将45,αα所在的行化为全零行，于是()|A b 化为阶梯形矩阵(),c d 时就必有3个非零行。

这里所涉及的就是一组向量之间在线性运算下有怎样的关系，这就是“向量的线性相关性”的问题。

因此，必须从“向量的线性相关性”入手，2.1.2 向量组之间的等价与向量组之间向量个数的关系向量组12:,,...,s A ααα和向量组12:,,...,t B βββ的每一个向量都分别能相互线性表示，称向量组等价，记为A B ↔。

它具有自身反射性、相互对称性和传递性。

向量组A 可以由向量组B 线性表示A B ←,也就是存在数()1,2,...,;1,2,...,ij C i s j r ==，使得()()()12112212111212122212r 12s 12...,... j j ij j j sj s s sj r r s s sr c c c c c c c c c c c c c c c αββββββαααβββ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪⎝⎭于是得到：设()()12r 12s : ; : A B αααβββ 是两个n 维向量，则A B ←当且仅当存在一个s r ⨯矩阵() 0C ≠，使得： ()()12r 12s C A BC αααβββ=⇔= 。

由这一定理容易推知向量组之间的三个等价关系：反射律()A A ↔；对称律()A B B A ↔⇔↔；传递律A A ↔(), A B B C A C ↔↔⇒↔。

证明：设()11,2,,si ij j j k i r αβ===∑ ，欲证()12 r A ααα 线性线关，只需证存在不全为0的数12,,r x x x ，使得 1122 + 0r r x x x ααα++=()()111111001,2,,0 12未知数的个数大于方程的个数故存在非零解即存在不全为 的 ，，，. rrs s r i i i ij j ij i j i i j j i rr s ij i i i i x x k k x k x j s x x i rαββ=====>⇒=⎛⎫⎛⎫⇒=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒==⋯−−−−−−−−−−→=∑∑∑∑∑∑证明：不妨设12,,...,p ααα和12,,...,r βββ分别为向量组, A B 两个极大无关组，则有()()1111111,2,,1,2,,,,pi ij j j p p sss k ki i ki ij j ki ij ji i j j i c i s B A b k r s b c b c ααβααα========⎛⎫⎛⎫←⇒==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑这说明12,,...,r βββ能够用12,,...,p ααα线性表示，而12,,...,r βββ线性无关，根据定理2推论 即得()()r p R A R B ≤⇒≤。

一般考研参考书不重视上诉三个定理及其证明过程，从而给学生在后续的学习中造成许多迷惑，所以建议读者反复揣摩它们，因为它们是掌握向量及其秩的基础。

形象记忆法：被代表者()B 的活动范围（空间维度—秩）不能大于代表()A 。

1.31.3.1 一个向量组的线性无关向量的最多个数（即极大无关组所含向量的个数）称为向量组的秩，记为 R r 或 。

一个向量组()12,,...,n ααα的线性无关最简单的充要条件是对应矩阵()12,,,n A ααα= ，使()12,,...,n R A n ααα=⎡⎤⎣⎦，线性相关最简单的充要条件是()R A n <。

1.3.2 向量组()12,,...,n B βββ能由向量组()12,,...,n A ααα线性表示（即B A ←）的充要条件是()(), R A R A B =。

1.3.3 向量组12:,,...,s A ααα能由向量组12:,,...,t B βββ线性表示（根据重要定理1：等价于矩阵方程A BX =有解）的充要条件是()()(),,R A R A B R B A ==；向量组12:,,...,t B βββ能由向量组12:,,...,s A ααα线性表示（等价于矩阵方程B A X =有解）的充要条件是()(),R B R BA =；所以向量组等价1.3.4 n 阶单位矩阵()12n E e e e = 的列向量称为n 维单位坐标向量，并有(),n m n R A E n ⨯≡。

任何一个向量()12,,,n αααα= 可以用单位向量表示，即1.4 向量组相关性的8大重要定理一般称12:,,,m A ααα 为121:,,,,m m B αααα+ 的部分组，如果一个向量组线性无关，则其部分组必无关；如果部分组相关，则向量组必相关。

但如果向量组相关，则部分组可能相关也可能无关，同理，部分组无关，则向量组可能无关也可能相关。

证明：记()()()()12121, , , , , , , , 1m m m A B R B R A ααααααα+==⇒≤+()()()()()()()()121121 , , , , 11= , , , A m m B m R A m R B R A mR B m R A R B mααααααα+−−−−→<⇒≤+<−−−−→=+⇒≥- 线性相关线性无关故线性相关。

故线性无关。

形象记忆法：大无小无，小关大关。

（部分相关⇒全部相关；全部无关⇒部分相关。

）对此类定理的掌握不能只局限于理论证明，更重要的是需要找到直观解析或几何图案。

上述定理从坐标空间的维度很容易直观理解。

m 个n 维向量向量组成的向量组，如果坐标维数n 小于向量维数m 时一定线性相关。

特别地：1n +个n 维向量一定线性相关。

证明：m 个n 维向量()12, , , m ααα 构成矩阵()12, , , n m m A ααα⨯=()()()()1212, , , , , , n m m n mm A R A n R A m m αααααα⨯<=⇒≤−−−→<⇒ 个向量线性相关。

上述定理可以这样形象理解：相当于方程组中有多余一个合理方程。

或者可以这样理解：单个向量的维数相当于坐标空间的维度，向量组的维数（即向量组所含单个向量的个数）相当于任意矢量r 的分量个数，如果r具有三个分量，它又怎能在2维空间中表示呢，除非三个分量不独立，即线性相关。

形象记忆法：坐标数大于维数总相关。

（坐标数指单个向量的维数）设n 维向量组()12, , , r A ααα= ，12i i i ni x x x α⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为n 维坐标；n 维向量组()12, , , r B βββ= 为增加i α的坐标维数得到的（称为导出组），即121i n n n s x x x x x β++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，则（1）()12, , , r A ααα= 无关⇒导出组()12, , , r B βββ= 无关； （2）导出组()12, , , r B βββ= 相关⇒()12, , , r A ααα= 相关。