高中数学球的体积和表面积课件

1 3
SiR
V
1 3
SiR
1 3
S 2R
1 3
S3R
1 3
SnR
1 3
R(Si
S2
S3
... Sn )
1 RS
3
又球的体积为：V 4 R3
3
4 R 3 1 RS , 从 而S 4R 2
3
3
例：如图：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。
求证：（（21））球球的的表体面积积等等于于圆圆柱柱体的积全的面积32的
2 3
在圆柱容球中， 球的体积是圆柱体积的 2/3 ， 球的表面积也是圆柱全面积的2/3 。
这是我生平最 得意的 定理
啊,我要 灌水!
咳咳, 幂势即同, 积不容异
嗨！如何推导锥 体的体积公式
取一沓书放在桌面上，然后让它如图改变一下 形状，请问：它的体积变了吗？
当然没有！
还有哪些量没有改变？ 是高度，和每一张纸的面积！
底面半径和高都为R的圆柱
挖 去 一 个 圆 锥
S圆= r 2 R 2 l 2
S圆环= (R 2 l 2 )
S圆 S圆环
1 2 V球
R2
R
1 R2
3
R
2 R3
3
V球
பைடு நூலகம்
4 R3
3
Si
hi
O
O
Vi
Vi
1 3
S i hi
由第一步得：
V V1 V2 V3 Vn
V
1 3
S1h1
1 3
S 2h2
1 3
S 3h3
1 3
S nhn
第 三 步： 化 为 准 确 和
O
Si
hi
Vi
Si
R
Vi
球的表面积
如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥
hi的值就趋向于球的半径 R
Vi
n2
1）2 ]}
所以，半球的体积V=V1+V2+…+Vn
（1 1 ）（2 1 ）
V半球 R3[1
n 6
n]
当球被无限细分， 即 n 时，
1 0 n
V半球
2 R3
3
无限分割→近似求和→ 准确求和， 以及当n→∞时，1/n→0是我们数学 中“无限逼近”的重要思想
球的表面积
探究二： 1、经线圈和纬线圈将球面分割成n片，每一片的顶点和球心 的连线构成的几何体接近什么几何体？ 2、分割越细密即n越大，每个几何体的体积可以近似的用什 么样的几何体求体积？请列式表示出来。 3、球的体积又可以如何表示？推导出球的表面积公式。
这些“圆柱”的高是“薄圆片”的厚 度R
n
从下向上数，第i层“薄圆片”的下底面半径 是
ri
R2
R n
i
1 2
，i 1,2,, n.
于是，第i层“薄圆片”的体积是
Vi
ri 2
R ，i n
1，2，，n.
所以，半球的体积V=V1+V2+…+Vn
V半球
R n
3
{1
[1
12
n2
]
[1
22
n2
]
[1
（n
球的表面积
Si
o o
球的表面积
第 一 步： 分 割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
S1，S 2，S3, ,S n
则球的表面积： O
S S1 S2 S3 Sn
设“小锥体”的体积为 Vi
Si
O
Vi
则球的体积为：
V V1 V2 V3 Vn
第 二 步： 求 近 似 和
球的表面积
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于 这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
这个定理叫祖 定理
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于 这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
V柱 Sh
半径为R的半球
---“无限逼近”思想
切 西 瓜 的 启 示
探究一： 1、分割越细密，每个圆片越接近什么样的几 何体？高是多少？ 2、从下往上数第i个“圆片”的半径是多少？ 体积如何表示？ 3、半球的体积与这些小圆片的体积有什么关 系？请列式表示。
取一个半球，将其切成薄圆 片，它的体积就是这些圆片 的体积和
而而且且，，圆圆片片越越多多越越薄薄，，每每个个圆圆片片越越 接接近近圆圆柱柱