深圳宝安区新城学校数学整式的乘法与因式分解(培优篇)(Word版 含解析)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
1．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出2()a b +、2()a b -、ab 之间的等量关系是______；
（2）根据（1）中的结论，若5x y +=，94
x y ⋅=，则x y -=______； （3）拓展应用：若22(2019)(2020)7m m -+-=，求(2019)(2020)m m --的值.
【答案】（1）22()()4a b a b ab +=-+；（2）4，－4：（3）-3
【解析】
【分析】
（1）观察图2，大正方形由4个矩形和一个小正方形组成，根据面积即可得到他们之间的关系.
（2）由（1）的结论可得(x-y) ²=16,然后利用平方根的定义求解即可.
（3）从已知等式的左边看，左边配成两数和的平方来求解.
【详解】
解：（1）由题可得，大正方形的面积2()a b =+，
大正方形的面积2
()4a b ab =-+，
∴22()()4a b a b ab +=-+，
（2）∵22()()4x y x y xy +=-+， ∴229()()4254164
x y x y xy -=+-=-⨯
=， ∴4x y -=或－4， （3）∵22(2019)(2020)7m m -+-=，
又2(20192020)m m -+-22
(2019)(2020)2(2019)(2020)m m m m =-+-+-- ∴172(2019)(2020)m m =+--
∴(2019)(2020)3m m --=-
故答案为：(1)22()()4a b a b ab +=-+；(2) 4，－4：(3)-3
【点睛】
本题通过观察图形发现规律，并运用规律求值，使问题简单化是解题关键.
2．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式2
(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：
222
2211111125115115112411242224222
2x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++-+=+-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式，则281=x x +- ________； （2）用配方法和平方差公式把多项式228x x --进行因式分解；
（3）对于任意实数x ，y ，多项式222416x y x y +--+的值总为______（填序号）． ①正数②非负数 ③ 0
【答案】（1）2(4)17x +-；（2）(2)(4)x x +-；（3）①
【解析】
【分析】
（1）根据材料所给方法解答即可；
（2）材料所给方法进行解答即可；
（3）局部进行因式分解，最后写成非负数的积的形式即可完成解答.
【详解】
解：（1）281x x +-
=2816116x x ++--
2(4)17x +-.
（2）原式=22118x x -+--
=2(1)9x --
=(13)(13)x x -+--
=(2)(4)x x +-．
（3）222416x y x y +--+
=()()22214411x x y y -++-++
=()()221211x y -+-+
＞11
故答案为①.
【点睛】
本题考查了配方法，根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.
3．先阅读下列材料，然后解后面的问题．
材料：一个三位自然数abc （百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ），若满足a+c=b ，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F （abc ）=ac ．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F （374）=3×4=12． （1）对于“欢喜数abc ”，若满足b 能被9整除，求证：“欢喜数abc ”能被99整除； （2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m ，n （m ＞n ），若F （m ）﹣F （n ）=3，求m ﹣n 的值．
【答案】（1）详见解析；（2）99或297．
【解析】
【分析】
（1）首先由题意可得a +c =b ，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数abc ”能被99整除，所以将展开式中100a 拆成99a +a ，这样展开式中出现了a +c ，将a +c 用b 替代，整理出最终结果即可；
（2）首先设出两个欢喜数m 、n ，表示出F （m ）、F （n ）代入F （m ）﹣F （n ）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可.
【详解】
（1）证明：∵abc 为欢喜数，
∴a +c =b ． ∵abc =100a +10b +c =99a +10b +a +c =99a +11b ，b 能被9整除，
∴11b 能被99整除，99a 能被99整除，
∴“欢喜数abc ”能被99整除；
（2）设m =11a bc ，n =22a bc （且a 1＞a 2），
∵F （m ）﹣F （n ）=a 1•c 1﹣a 2•c 2=a 1•（b ﹣a 1）﹣a 2（b ﹣a 2）=（a 1﹣a 2）（b ﹣a 1﹣a 2）=3，a 1、a 2、b 均为整数，
∴a 1﹣a 2=1或a 1﹣a 2=3．
∵m ﹣n =100（a 1﹣a 2）﹣（a 1﹣a 2）=99（a 1﹣a 2），
∴m ﹣n =99或m ﹣n =297．
∴若F （m ）﹣F （n ）=3，则m ﹣n 的值为99或297．
【点睛】
做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.
4．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：若代数式M ＝a 2﹣2ab +2b 2﹣2b +2，利用配方法求M 的最小值：a 2﹣2ab +2b 2﹣2b +2＝a 2﹣2ab +b 2+b 2﹣2b +1+1＝（a ﹣b ）2+（b ﹣1）2+1．
∵（a ﹣b ）2≥0，（b ﹣1）2≥0，
∴当a ＝b ＝1时，代数式M 有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a 2+4a + ；
（2）若代数式M ＝214
a +2a +1，求M 的最小值； （3）已知a 2+2
b 2+4
c 2﹣2ab ﹣2b ﹣4c +2＝0，求代数式a +b +c 的值．
【答案】（1）4；（2）M 的最小值为﹣3；（3）a +b +c=12
2. 【解析】
【分析】
（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；
（2）先提取14
，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案； （3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a ，b ，c 的值，从而问题得解．
【详解】
（1）∵a 2+4a+4＝（a+2）2
故答案为：4；
（2）M ＝
21a 4+2a+1 ＝
14（a 2+8a+16）﹣3 ＝14
（a+4）2﹣3 ∴M 的最小值为﹣3
（3）∵a 2+2b 2+4c 2﹣2ab ﹣2b ﹣4c+2＝0，
∴（a ﹣b ）2+（b ﹣1）2+（2c ﹣1）2＝0，
∴a ﹣b ＝0，b ﹣1＝0，2c ﹣1＝0
∴a ＝b ＝1，1c=
2 ， ∴a+b+c=12
2
.． 【点睛】
本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
5．请你观察下列式子：
2(1)(1)1x x x -+=-
()()23111x x x x -++=-
()()324111x x x x x -+++=-
()()4325111x x x x x x -++++=-
……
根据上面的规律，解答下列问题：
（1）当3x =时，
计算201720162015(31)(333-+++…323331)++++=_________；
（2）设201720162015222a =+++…322221++++，则a 的个位数字为 ；
（3）求式子201720162015555+++…32555+++的和．
【答案】（1）20183
1-；（2）3；（3）2018554
- 【解析】
【分析】
（1）根据已知的等式发现规律即可求解；
（2）先根据x=2,求出a=20182-1，再发现2的幂个位数字的规律，即可求出a 的个位数字；
（3）利用已知的等式运算规律构造（5-1）×（2016201520142555...551++++++）即可求解.
【详解】
（1）∵2(1)(1)1x x x -+=- ()()23111x x x x -++=-
()()324111x x x x x -+++=-
()()4325111x x x x x x -++++=-
……
∴()()1122.1..11n n n n x x x x x x x --+-+++++=-+
故x=3时，201720162015(31)(3
33-+++…323331)++++=201831-
故填：201831-； （2）201720162015222a =+++…322221++++
=（2-1）201720162015(222+++…322221)++++=201821-
∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64
∴2n 的个位数按2,4,8,6,依次循环排列，
∵2018÷4=504…2，
∴20182的个位数为4，
∴201821-的个位数为3，
故填：3；
（3）201720162015555+++…32555+++
=
1(51)54-⨯⨯（201620152014555+++…2551+++） =
54×（5-1）（201620152014555+++…2551+++） =54
×（201751-） =2018554
- 【点睛】
此题主要考查等式的规律探索及应用，解题的关键是根据已知等式找到规律.
6．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”．
例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”．
（1）直接写出：最小的“和平数”是 ，最大的“和平数”是 ；
（2）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．
例如：1423与4132为一组“相关和平数”
求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．
（3）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；
【答案】（1）1001，9999；（2）见详解；（3）2754和4848
【解析】
【分析】
（1）根据和平数的定义，即可得到结论；
（2）设任意的两个“相关和平数”为abcd ，badc （a ，b ，c ，d 分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到abcd badc +=1100（a+b ）+11（c+d ）=1111（a+b ），即可得到结论．
（3）设这个“和平数”为abcd ，于是得到d=2a ，a+b=c+d ，b+c=12k ，求得2c+a=12k ，
即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去）；①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k ，得到c=5则b=7；②、当a=4，d=8时，得到c=4则b=8，于是得到结论；
【详解】
解：（1）由题意得，最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999，
故答案为：1001，9999；
（2）设任意的两个“相关和平数”为abcd ，badc （a ，b ，c ，d 分别取0，1，2，…，9且a ≠0，b ≠0），则
abcd badc +=1100（a+b ）+11（c+d ）=1111（a+b ）；
即两个“相关和平数”之和是1111的倍数．
（3）设这个“和平数”为abcd ，则d=2a ，a+b=c+d ，b+c=12k ，
∴2c+a=12k ，
即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），
①当a=2，d=4时，2（c+1）=12k ，
可知c+1=6k 且a+b=c+d ，
∴c=5则b=7，
②当a=4，d=8时，
2（c+2）=12k ，
可知c+2=6k 且a+b=c+d ，
∴c=4则b=8，
综上所述，这个数为：2754和4848．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念和平数”是解题的关键．
7．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式2x 4x m -+有一个因式是()x 3+，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为()x n +，得
()()2x 4x m x 3x n -+=++
则()22
x 4x m x n 3x 3n -+=+++ {n 34
m 3n +=-∴=．
解得：n 7=-，m 21=- ∴另一个因式为()x 7-，m 的值为21-
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式22x 3x k +-有一个因式是()2x 5-，求另一个因式以及k 的值．
【答案】()4,x + 20.
【解析】
【分析】
根据例题中的已知的两个式子的关系，二次三项式2x 4x m -+的二次项系数是1，因式是()x 3+的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子22x 3x k +-的二次项系数是2，因式是()2x 5-的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是
1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
【详解】
解：设另一个因式为()x a +，得
()()22x 3x k 2x 5x a +-=-+
则()22
2x 3x k 2x 2a 5x 5a +-=+-- {2a 53
5a k -=∴-=-
解得：a 4=，k 20=
故另一个因式为()x 4+，k 的值为20
【点睛】
正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．
8．阅读材料：要把多项式am+an+bm+bn 因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：am+an+bm+bn=（am +an ）+（bm +bn ）=a （m +n ）+b （m +n ）=（a +b ）（m +n ），这种因式分解的方法叫做分组分解法．
（1）请用上述方法因式分解：x 2-y 2+x-y
（2）已知四个实数a 、b 、c 、d 同时满足a 2+ac=12k ，b 2+bc=12k ．c 2+ac=24k ，d 2+ad=24k ，且a≠b ，c≠d ，k≠0
①求a+b+c 的值；
②请用含a 的代数式分别表示b 、c 、d
【答案】（1）（x −y ）（x +y +1）；（2）①0a b c ++=；②3b a =-，2c a =，3d a =-
【解析】
【分析】
（1）将x 2 - y 2分为一组，x-y 分为一组，前一组利用平方差公式化为(x+y)(x-y)，再提取公因式即可求解．
（2）①已知22a ac b bc +=+=12k ，可得220a b ac bc -+-=，将等号左边参照（1）因式分解，即可求解．
②由a 2+ac=12k ，c 2+ac=24k 可得2(a 2+ac)= c 2+ac ，即可得出c=2a ，同理得出3b a =-，3d a =-
【详解】
（1）x 2-y 2+x-y = (x 2 -y 2)+(x-y)=(x+y)(x-y)+(x-y)=(x-y)(x+y+1)
故答案为：(x-y)(x+y+1)
（2）①22a ac b bc +=+=12k
220a b ac bc -+-=
()()0a b a b c -++=
∵a b
∴0a b c ++=
②∵a 2+ac=12k ，c 2+ac=24k
2(a 2+ac)= c 2+ac
∴2a 2+ac- c 2=0
得(2a-c)(a+c)=0
∵a 2+ac=12k ≠0即a(a+c)≠0
∴c=2a ，a 2=4k
∵b 2+bc=12k
∴b 2+2ba=3a 2
则（a −b ）（3a +b ）=0
∵a ≠b
∴3b a =-
同理可得d 2+ad=24k ，c 2+ac=24k
d 2+ad=c 2+ac
（d −c ）（a +d +c ）=0
∵c d ≠
∴0a d c ++=
∴3d a =-
故答案为：0a b c ++=；3b a =-，2c a =，3d a =-
【点睛】
本题考查了用提取公因式法、运用公式法、分组分解法进行因式分解．
9．（探究）如图①，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，有阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用字母表示）
（应用）请应用这个公式完成下列各题
①已知22412m n -=，24m n +=，则2m n -的值为
②计算：(2)(2)a b c a b c +--+
（拓展）①()()()()24832(21)212121
21+1+++++结果的个位数字为 ②计算：222222221009998974321-+-++-+-
【答案】[探究]（1）a 2﹣b 2；（a +b ）（a ﹣b ）；（2）（a +b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2；[应
用]①3；②4a2﹣b2+2bc﹣c2；[拓展]①6；②5050．
【解析】
【分析】
[探究]（1）由面积公式可得答案；
（2）公式由（1）直接可得；
[应用]①用平方差公式分解4m2﹣n2，将已知值代入可求解；②将三项恰当组分成两组，先用平方差，再用完全平方公式展开后合并同类项即可；
[拓展]①将原式乘以（2﹣1），就可以反复运用平方差公式化简，最后按照循环规律可得解；②将原式从左向右依次两项一组，运用平方差公式分解，化为
100+99+98+…+4+3+2+1，从而可得答案．
【详解】
（1）图①按照正方形面积公式可得：a2﹣b2；
图②按照长方形面积公式可得：（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）．
（2）令（1）中两式相等可得：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
故答案为：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
【应用】
①∵4m2﹣n2=12，2m+n=4，4m2﹣n2=（2m+n）（2m﹣n），∴（2m﹣n）=12÷4=3．
故答案为：3．
②（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）
=[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]
=4a2﹣（b﹣c）2
=4a2﹣b2+2bc﹣c2
【拓展】
①
原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1
=（216﹣1）…（232+1）+1
=264﹣1+1
=264．
∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4=16．
故答案为：6．
②原式=（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）
=100+99+98+97+…+4+3+2+1
=5050．
【点睛】
本题考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题．
10．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了．有一种用“因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝18时，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此时可以得到数字密码171920．
（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出两个）
（2）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．
【答案】（1）可以形成的数字密码是：212814、211428；（2）m的值是56，n的值是17．
【解析】
【分析】
（1）先将多项式进行因式分解，然后再根据数字密码方法形成数字密码即可；（2）设x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x+p）（x+q）（x+r），当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，得到方程解出p、q、r，然后回代入原多项式即可求得m、n
【详解】
（1）x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），
当x＝21，y＝7时，x+y＝28，x﹣y＝14，
∴可以形成的数字密码是：212814、211428；
（2）设x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x+p）（x+q）（x+r），
∵当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，
∴27+p＝24，27+q＝28，27+r＝34，
解得，p＝﹣3，q＝1，r＝7，
∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x﹣3）（x+1）（x+7），
∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝x3+5x2﹣17x﹣21，
∴
35
17
m n
n
-=
⎧
⎨
-=-
⎩
得，
56
17
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
即m的值是56，n的值是17．
【点睛】
本题属于阅读理解题型，考查知识点以因式分解为主，本题第一问关键在于理解题目中给到的数字密码的运算规则，第二问的关键在于能够将原多项式设成（x+p）（x+q）
（x+r），解出p、q、r。