高三上学期文科数学暑假作业(一)函数

高三上学期文科数学暑假作业（一）
函数（必修1第二三章）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的
括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．若函数()y f x =是函数1x
y a a a =≠（>0，且）的反函数，且(2)1f =，则()f x =（ ）
A ．x 2log
B ．
x 2
1
C ．x 2
1log
D ．22-x
2．f(x)=⎩⎨⎧≥<+4
,24),1(x x x f x
，则()2log 3f ＝
（ ）
A ．-23
B ．11
C ．19
D ．24 3．函数2
143
x y x x -=++-是
（ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数 4．方程3x
+x=3的解所在的区间为
（ ）
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4) 5．下列四个函数中，在区间（-1，0）上为减函数的是
（ ）
A ．x y 2log =
B ．y=cosx
C ．x
y )2
1(-=
D ．3
1x y =
6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解
析式为122
+=x y ，值域为{5，19}的“孪生函数”共有 （ ）
A ．10个
B ．9个
C ．8个
D ．7个
7．f(x)，g(x)是定义在R 上的函数，h(x)=f(x)g(x)，则“f(x)，g(x)均为奇函数”是“h(x)为偶函数”
的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 8．已知函数c x ax x f --=2
)(，且0)(>x f 的解集为（-2，1）则函数y=f(-x) （ ）
9．设函数f(x)=ax 2
+bx+c(a ≠0)，对任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t)成立，则函数值f(-1),f(1),f(2),f(5)中，最小的一个不可能是
（ ）
A ．)1(-f
B ．)1(f
C ．)2(f
D ．)5(f
10．设函数f(x)(x ∈R) =+=+=)5(),2()()2(,2
1
)1(f f x f x f f 则 （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
5
D ．5
11．设a<b ，函数y=(x-a)2
(x-b)的图像可能是 （ ）
12． 定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨
⎧>---≤-0
),2()1(0),
4(log 2x x f x f x x ，则f （3）的值为（ ）
A ．－1
B ．－2
C ．1
D ．2
二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

13．用二分法求方程x 3
－2x －5=0在区间[2，3]上的近似解，取区间中点x 0=2．5,那么下一个有解区间为 14．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量
如图丙所示．（至少打开一个水口）
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确的论断序号是_______________． 15．定义在R 上的函数f(x)满足：()()()
121f x f x f x -+=
+，当x ∈（0，4）时，f(x)=x 2
-1，则f(2010)＝
__________。

16．对于在区间[a,b]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于任意x ∈[a,b]，均有|f(x)-g(x)|≤1，
则称f(x)与g(x)在区间[a ，b]上是接近的，若函数432
+-=x x y 与函数32-=x y 在区间[a ，b ]
上是接近的，则该区间可以是 。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。

17．（12分）设a ＞0，f （x ）＝
x
x e a
a e +是R 上的偶函数． （1）求a 的值；
（2）证明f （x ）在（0，＋∞）上是增函数
18．（12分）已知函数f(x)=log 4(4x
+1)+kx(k ∈R )是偶函数．
(1)求k 的值;
(2)若方程f(x)—m=0有解,求m 的取值范围．
19．（12分）某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其关
系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元） （1）分别将A ，B 两种产品的
利润表示为投资的函数， 并写出它们的函数关系式。

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，
才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元。

（精确到1万元）。

20．（12分）（1）已知函数f(x)=x 2
+lnx —ax 在（0，1）上是增函数,求a 的取值范围; （2）在（1）的结论下,设g(x)=e 2x
—ae x
—1,x ∈[]3ln ,0,求g(x)的最小值．
21．（12分）已知函数f(x)的定义域为{x|x ∈R,且x ≠0}．对定义域内的任意x 1、x 2，都有f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2),
且当x>1时，f(x)>0,f(2)=1． （1）求证：f(x)是偶函数；
（2）求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数； （3）解不等式f(2x 2
-1)<2．
22．（14分）已知函数y=g(x)与f(x)=log a (x-1) (a>1)的图象关于原点对称．
（1）写出y=g(x)的解析式；
（2）若函数F(x)=f(x)+g(x)+m 为奇函数，试确定实数m 的值；
（3）当x ∈[0，1）时，总有f(x)+g(x)≥n 成立，求实数n 的取值范围．
高三上学期文科数学暑假作业（一）参考答案
1．A;解析:函数1x
y a a a =≠（>0，且）的反函数是()log a f x x =,又(2)1f =,即log 21a =,所以,2a =,
故2()log f x x =,选A ．
2．D ；解析：24)3log 3()3(log 2
3
log 3222==
+=+f f
3．B ；解析：先求定义域，再化简解析式即可； 4．A ；解析：数形结合；求函数零点的范围（二分法）； 5．A ；解析：分别考察了对数、余弦、指数、幂函数的变化趋势； 6．B ；解析：新定义题型，先理解题意，后转化成数学问题处理；
7．B ；解析：()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，若“()f x ，()g x 均为奇函数”，则“()h x 为偶函数”，而反之若“()h x 为偶函数”，则“()f x ，()g x 不一定均为奇函数”，所以“()f x ，()g x 均为奇函数”，是“()h x 为偶函数”是充分而不必要的条件，选B ；
8．D ；解析：结合了三个二次的关系，和函数的图像变换准则处理，f(x)与f(－x)的图像关于y 轴对称； 9．B ；解析：)2()2(t f t f -=+说明函数的对称轴为x=2；
10．C;∵f(1)=f(-1)+f(2) ∴f(2)=2(1)=1 ,f(5)=f(3)+f(2)=f(1)+2f(2)= 2
5
, 故选C ． 11．C;解析:可得2
,()()0x a x b y x a x b ===--=为的两个零解．
当x a <时,则()0x b f x <∴<,当a x b <<时,则()0,f x <当x b >时,则()0.f x >选C 。

12．B ．解析:由已知得2(1)log 5f -=,2(0)log 42f ==,2(1)(0)(1)2log 5f f f =--=-,
2(2)(1)(0)log 5f f f =-=-,22(3)(2)(1)log 5(2log 5)2f f f =-=---=-,故选B ．
13．[2，2．5] 解析：令f(x)=x 3
-2x-5,f(2)= -1<0,f(2．5)=8
45
>0,f(3)=16>0,因此零点位置在[2，2．5]内
14．1；解析：注意“至少打开一个水口”，不可以都不开；
15．3；解析：通过转化因式可以得到)()4(x f x f =+，函数的周期性为4；
16．[2，3]；解析：新定义题目，“接近”这一新概念要正确的用不等式表示即可，可以得到结果；
17．解：（1）∵f （x ）=
x
x e a
a e +是R 上的偶函数，∴f （x ）－f （－x ）=0．……2分 ∴
110()()x x x x x x e a e a a e a e a e a e a a
---+--=⇒-+-＝0 1
()()0x x a e e a
-⇒--=
…………4分
e x －e -x 不可能恒为“0”，∴当
a
1
－a ＝0时等式恒成立，∴a ＝1．…………6分 （2）在（0，＋∞）上任取x 1＜x 2，
f （x 1）－f （x 2）＝
)1()(112
1212211x x x x x x x x e e e e e e e a e -+-=--+ 122112
1212
11()()
()(1)x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e
=-+-=-- ＝2
1
2
1
2
1
)
1)((x
x x x x x e
e e e e e -- …………10分
∵e ＞1，0<x 1＜x 2 ∴121,x x
e e <<2
1x x e e ＞1， 2
12
1
2
1
)1)((x
x x x x x e e e e e e --＜0，
∴f （x 1）－f （x 2）＜0，
∴f （x ）是在［0，＋∞］上的增函数． …………12分
18．解:由函数f(x)是偶函数,可知f(x)=f(-x),∴log 4(4x
+1)+kx=log 4(4-x
+1)-kx …………2分
即log 41414++-x x =-2kx,log 44x
=-2kx, ∴x=-2kx 对一切恒成立．∴k=-21…………6分
(2)由m=f(x)=log 4(4x
+1)- 21x, ∴m=log 4x x 214+=log 4(2x
+x
2
1)．…………8分 ∵2x
+
x
2
1≥2, ∴m ≥21
…………10分
故要使方程f(x)-m=0有解,m 的取值范围为m ≥
2
1
…………12分 19．（1）投资为x 万元，A 产品的利润为)(x f 万元，B 产品的利润为)(x g 万元，
由题设)(x f =x k ⋅1，)(x g =x k ⋅2，．
…………2分
由图知41)1(=
f ∴411=k ，又25)4(=
g ∴45
2=k …………4分 从而)(x f =)0(,41≥x x ，)(x g =x 4
5
，)0(≥x …………6分
（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10-x 万元，设企业的利润为y 万元 Y=)(x f +)10(x g -=
x x -+104
5
4，（100≤≤x ）， …………8分 令),100(,16
25
)25(4145410,1022≤≤+--=+-==-t t t t y t x 则…………10分 当25=
t ，4max ≈y ，此时4
25
10-=x =3．75 ∴当A 产品投入3．75万元，B 产品投入6．25万元时，企业获得最大利润约为4万元。

…………12分
20．解:(1)a x x x f -+
='12)(,∵f(x) 在（0，1）上是增函数,∴2x+x
1
-a ≥0在(0,1)上恒成立,即a ≤2x+x 1恒成立, ∴只需a ≤(2x+x
1
)min 即可．…………4分
∴2x+
x
1
≥22 (当且仅当x=22时取等号) , ∴a ≤22 …………6分
(2) 设[][].3,1,3ln ,0,∈∴∈=t x t e x
设)41()2(1)(222
a a t at t t h +
--=--= ，其对称轴为 t=2
a
，由（1）得a ≤22，
∴t=
2a ≤2＜2
3
…………8分 则当1≤2a ≤2,即2≤a ≤22时,h(t)的最小值为h(2
a
)=-1-42a , 当
2
a
＜1,即a ＜2时，h(t)的最小值为h(1)=a …………10分 当2≤a ≤22时g(x) 的最小值为-1-4
2
a , 当a ＜2时g(x) 的最小值为a ．…………12分 21．解析:(1)因对定义域内的任意x 1﹑x 2都有
f(x 1x 2)=f(x 1)+f(x 2),令x 1=x,x 2=-1，则有f(-x)=f(x)+f(-1)． 又令x 1=x 2=-1,得2f(-1)=f(1)．再令x 1=x 2=1,得f(1)=0,从而f(-1)=0, 于是有f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数． …………4分 (2)设0<x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)-f(x 1·
12x x )=f （x 1）-[f(x 1)+f(12x x )]=-f(1
2x x
)． 由于0<x 1<x 2,所以
12x x >1,从而f(1
2x x
)>0,故f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2), 所以f(x)在(0,+∞)上是增函数． …………8分 (3)由于f(2)=1，所以2=1+1=f(2)+f(2)=f(4), 于是待解不等式可化为f(2x 2
-1)<f(4), 结合（1）（2）已证的结论，可得上式等价于
|2x 2
-1|<4,解得{x|-
210<x<2
10
,且x ≠0}． …………12分 22．解：（1）设M （x ，y ）是函数)(x g y =图象上任意一点， 则M （x ，y ）关于原点的对称点为N （－x ，－y ）
N 在函数)1(log )(+=x x f a 的图象上，)1(log +-=-∴x y a
)1(log x y a --=∴
…………4分
（2）m x F x a
x a +-=-+)
1()
1(log log )( 为奇函数．
m
m x F x F x a
x a
x a
x a
-+-=+-∴-=-∴-++-)
1()
1()
1()
1(log log log log )()(
00
log log log 21
1111=∴==+=∴+--+m m a x
x a
x
x a
………8分
（3）由n n x g x f x
x a ≥≥+-+11log ,)()(得
设)1,0[,11log )(∈-+=x x
x
a
x Q ，即可只要由题意知n ≥min
Q(x ),, …………11分
)121(log )(x
a
x F -+
-= 在[0，1)上是增函数
.0)0()(min ==∴Q x Q 即0≤n 即为所求．
…………14分。