永安市第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

永安市第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 数列{a n }的通项公式为a n =﹣n+p ，数列{b n }的通项公式为b n =2n ﹣5，设c n =，若在数列{c n }
中c 8＞c n （n ∈N *，n ≠8），则实数p 的取值范围是（
）
A ．（11，25）
B ．（12，16]
C ．（12，17）
D ．[16，17）
2． 幂函数y=f （x ）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f （x ）=27的x 的值是（ ）
A ．
B ．﹣
C ．3
D ．﹣33． 设F 1，F 2分别是椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，若∠
F 1PQ=60°，|PF 1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．4． 已知在△ABC 中，a=，b=
，B=60°，那么角C 等于（
）
A ．135°
B ．90°
C ．45°
D ．75°
5． 若命题p ：∀x ∈R ，2x 2﹣1＞0，则该命题的否定是（ ）
A ．∀x ∈R ，2x 2﹣1＜0
B ．∀x ∈R ，2x 2﹣1≤0
C ．∃x ∈R ，2x 2﹣1≤0
D ．∃x ∈R ，2x 2﹣1＞0
6． 直线的倾斜角是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 设x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8． 设函数f （x ）的定义域为A ，若存在非零实数l 使得对于任意x ∈I （I ⊆A ），有x+l ∈A ，且f （x+l ）≥f （x ），则称f （x ）为I 上的l 高调函数，如果定义域为R 的函数f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=|x ﹣a 2|﹣a 2，且函数f （x ）为R 上的1高调函数，那么实数a 的取值范围为（ ）
A ．0＜a ＜1
B ．﹣≤a
≤C ．﹣1≤a ≤1
D ．﹣2≤a ≤2
9． 记集合和集合表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，{
}
22
(,)1A x y x y =+£{}
(,)1,0,0B x y x y x y =+£³³ 若在区域Ω1内任取一点M （x ，y ），则点M 落在区域Ω2内的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
1
2p
1
p
2p
13p
【命题意图】本题考查线性规划、古典概型等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．10．已知抛物线x 2=﹣2y 的一条弦AB 的中点坐标为（﹣1，﹣5），则这条弦AB 所在的直线方程是（
）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．y=x ﹣4
B ．y=2x ﹣3
C ．y=﹣x ﹣6
D ．y=3x ﹣2
11．将n 2个正整数1、2、3、…、n 2（n ≥2）任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表，计算某行或某列中的任意两个数a 、b （a ＞b ）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．3
12．已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于
()cos (0)f x x x ωωω=
+>()y f x =2y =，则的一条对称轴是（ ）
π()f x A ． B ．
C ．
D ．12
x π=-
12
x π
=
6
x π
=-
6
x π
=
二、填空题
13．已知（x 2﹣）n ）的展开式中第三项与第五项的系数之比为
，则展开式中常数项是 ．
14．用“＜”或“＞”号填空：30.8 30.7．
15．已知变量x ，y ，满足，则z=log 4（2x+y+4）的最大值为　
．
16．复数z=
（i 虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．
17．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O 的表面上，且球O 的表面积为7π，则此三棱柱的体积为 ．18．已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则
b
a
的值为 ▲ ．
三、解答题
19．已知正项数列{a n }的前n 项的和为S n ，满足4S n =（a n +1）2．（Ⅰ）求数列{a n }通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足b n =
（n ∈N *），求证：b 1+b 2+…+b n ＜．
20．已知椭圆C 1： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为e=，直线l ：
y=x+2与以原点为圆心，以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆O 相切．
（1）求椭圆C 1的方程；
（2）抛物线C 2：y 2=2px （p ＞0）与椭圆C 1有公共焦点，设C 2与x 轴交于点Q ，不同的两点R ，S 在C 2上（
R ，S 与Q 不重合），且满足•
=0，求|
|的取值范围．
21．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A 万元，则超出部分按log 5（2A+1）进行奖励．记奖金为y （单位：万元），销售利润为x （单位：万元）．
（1）写出奖金y 关于销售利润x 的关系式；
（2）如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
22．（本小题满分12分）在中，内角的对边为，已知
ABC ∆C B A ,,c b a ,,.1cos )sin 3(cos 2
cos 22
=-+C B B A
（I ）求角的值；C
（II ）若，且的面积取值范围为，求的取值范围．2b =ABC ∆c 【命题意图】本题考查三角恒等变形、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，意在考查基本运算能力．
23．（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱中，．1111ABCD A B C D -60,,BAD AB BD BC CD ∠===o
（1）求证：平面平面；
11ACC A ⊥1A BD （2）若,,求三棱锥的体积．
BC CD ⊥12AB AA ==11B A BD -
24．某同学在研究性学习中，了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量（单位：百件）的数据如表：月份x
1
2345销售量y
（百件）4
4
5
6
6
（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的回归方程=x+，根据表中数据已经正确算出=0.6，试求出的值，并估计该店铺6月份的产品销售量；（单位：百件）
（Ⅱ）一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的4件和3月份进货的5件产品，顾客甲现从该零售商处随机购买了3件，后经了解，该淘宝批发店铺今年2月份的产品都有质量问题，而3月份的产品都没有质量问题．记顾客甲所购买的3件产品中存在质量问题的件数为X ，求X 的分布列和数学期望．
A
B
C
D
A 1
C 1
B 1
D 1
永安市第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：当a n≤b n时，c n=a n，当a n＞b n时，c n=b n，∴c n是a n，b n中的较小者，
∵a n=﹣n+p，∴{a n}是递减数列，
∵b n=2n﹣5，∴{b n}是递增数列，
∵c8＞c n（n≠8），∴c8是c n的最大者，
则n=1，2，3，…7，8时，c n递增，n=8，9，10，…时，c n递减，
∴n=1，2，3，…7时，2n﹣5＜﹣n+p总成立，
当n=7时，27﹣5＜﹣7+p，∴p＞11，
n=9，10，11，…时，2n﹣5＞﹣n+p总成立，
当n=9时，29﹣5＞﹣9+p，成立，∴p＜25，
而c8=a8或c8=b8，
若a8≤b8，即23≥p﹣8，∴p≤16，
则c8=a8=p﹣8，
∴p﹣8＞b7=27﹣5，∴p＞12，
故12＜p≤16，
若a8＞b8，即p﹣8＞28﹣5，∴p＞16，
∴c8=b8=23，
那么c8＞c9=a9，即8＞p﹣9，
∴p＜17，
故16＜p＜17，
综上，12＜p＜17．
故选：C．
2．【答案】A
【解析】解：设幂函数为y=xα，因为图象过点（﹣2，﹣），所以有=（﹣2）α，解得：α=﹣3
所以幂函数解析式为y=x﹣3，由f（x）=27，得：x﹣3=27，所以x=．
故选A．
3．【答案】D
【解析】解：设|PF1|=t，
∵|PF1|=|PQ|，∠F1PQ=60°，
∴|PQ|=t，|F1Q|=t，
由△F1PQ为等边三角形，得|F1P|=|F1Q|，
由对称性可知，PQ垂直于x轴，
F2为PQ的中点，|PF2|=，
∴|F1F2|=，即2c=，
由椭圆定义：|PF1|+|PF2|=2a，即2a=t=t，
∴椭圆的离心率为：e===．
故选D．
4．【答案】D
【解析】解：由正弦定理知=，
∴sinA==×=，
∵a＜b，
∴A＜B，
∴A=45°，
∴C=180°﹣A﹣B=75°，
故选：D．
5．【答案】C
【解析】解：命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，
则其否命题为：∃x∈R，2x2﹣1≤0，
故选C；
【点评】此题主要考查命题否定的定义，是一道基础题；　
6．【答案】A
【解析】解：设倾斜角为α，
∵直线的斜率为，
∴tanα=，
∵0°＜α＜180°，
∴α=30°
故选A．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．
7．【答案】A
【解析】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，
由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选：A．
8．【答案】B
【解析】解：定义域为R的函数f（x）是奇函数，
当x≥0时，
f（x）=|x﹣a2|﹣a2=图象如图，
∵f（x）为R上的1高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a2，要满足f（x+l）≥f（x），1大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），
∴1≥3a2﹣（﹣a2），
∴﹣≤a≤
故选B
【点评】考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．　
9． 【答案】A
【解析】画出可行域，如图所示，Ω1表示以原点为圆心， 1为半径的圆及其内部，Ω2表示及其内部，OAB D
由几何概型得点M 落在区域Ω2内的概率为，故选A.
1
1
2P ==p 2p
10．【答案】A
【解析】解：设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣2，x 12=﹣2y 1，x 22=﹣2y 2．两式相减可得，（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）=﹣2（y 1﹣y 2）∴直线AB 的斜率k=1，
∴弦AB 所在的直线方程是y+5=x+1，即y=x ﹣4．故选A ，　
11．【答案】B
【解析】解：当n=2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，当1、2同行或同列时，这个数表的“特征值”为；当1、3同行或同列时，这个数表的特征值分别为或；当1、4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或，故这些可能的“特征值”的最大值为．故选：B ．
【点评】题考查类比推理和归纳推理，属基础题．　
12．【答案】D 【解析】
试题分析：由已知，，所以，则，令 ()2sin(6
f x x π
ω=+
T π=22π
ωπ=
=()2sin(2)6
f x x π
=+
，得，可知D 正确．故选D ．
2,62x k k Z ππ
π+
=+
∈,26
k x k Z ππ
=
+∈考点：三角函数的对称性．()sin()f x A x ωϕ=+二、填空题
13．【答案】　45　．
【解析】解：第三项的系数为C n 2，第五项的系数为C n 4，
由第三项与第五项的系数之比为
可得n=10，则T i+1=C 10i （x 2）10﹣i （﹣
）i =（﹣1）i C 10i
=，
令40﹣5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（﹣1）8C 108=45， 故答案为：45．　
14．【答案】　＞　
【解析】解：∵y=3x 是增函数，又0.8＞0.7，∴30.8＞30.7．故答案为：＞
【点评】本题考查对数函数、指数函数的性质和应用，是基础题．　
15．【答案】
【解析】解：作
的可行域如图：
易知可行域为一个三角形，验证知在点A （1，2）时，z 1=2x+y+4取得最大值8，∴z=log 4（2x+y+4）最大是，故答案为：．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
16．【答案】 ．
【解析】解：复数z==﹣i（1+i）=1﹣i，
复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．
17．【答案】 ．
【解析】解：如图，
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，
∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，
再设球的半径为r，由球O的表面积为7π，得4πr2=7π，∴r=．
设三棱柱的底面边长为a，则上底面所在圆的半径为a，且球心O到上底面中心H的距离OH=，
∴r2=（）2+（a）2，即r=a，
∴a=．
则三棱柱的底面积为S==．
∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．
18．【答案】
1 2
考
点：函数极值
【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.
（2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.
（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：由4S n=（a n+1）2，
令n=1，得，即a1=1，
又4S n+1=（a n+1+1）2，
∴，整理得：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0．
∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，则{a n}是等差数列，
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，b n==，
则b1+b2+…+b n=
=
=．
20．【答案】
【解析】解：（1）由直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切，∴=b，解得b=．
联立解得a=，c=1．
∴椭圆的方程是C1：．
（2）由椭圆的右焦点（1，0），抛物线y2=2px的焦点，
∵有公共的焦点，∴，解得p=2，故抛物线C2的方程为：y2=4x．
易知Q（0，0），设R（，y1），S（，y2），
∴=（，y1），=，
由•=0，得，
∵y1≠y2，∴，
∴=64，当且仅当，即y1=±4时等号成立．
又||===，
当=64，即y2=±8时，||min=8，
故||的取值范围是[8，+∞）．
【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、向量的数量积运算和基本不等式的性质、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
21．【答案】
【解析】解：（1）由题意，当销售利润不超过8万元时，按销售利润的1%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5（2A+1）进行奖励，
∴0＜x≤8时，y=0.15x；x＞8时，y=1.2+log5（2x﹣15）
∴奖金y关于销售利润x的关系式y=
（2）由题意知1.2+log5（2x﹣15）=3.2，解得x=20．
所以，小江的销售利润是20万元．
【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查学生的计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】（I ）∵，1cos )sin 3(cos 2
cos 22
=-+C B B A ∴，0cos sin 3cos cos cos =-+C B C B A ∴，
0cos sin 3cos cos )cos(=-++-C B C B C B ∴，
0cos sin 3cos cos sin sin cos cos =-++-C B C B C B C B ∴，因为，所以0cos sin 3sin sin =-C B C B sin 0B >3
tan =C 又∵是三角形的内角，∴.
C 3π
=C
23．【答案】
【解析】（1）证明：∵，,60AB BD BAD =∠=o
∴为正三角形，∴．
ABD ∆AB AD = ∵,为公共边，
CB CD =AC ∴．
ABC ADC ∆≅∆∴,∴．
CAB CAD ∠=∠AC BD ⊥∵四棱柱是直四棱柱，
1111ABCD A B C D -∴平面，∴．
1AA ⊥ABCD 1AA BD ⊥∵，∴平面．
1AC AA A =I BD ⊥11ACC A ∵平面，∴平面平面．
BD ⊂1A BD 1A BD ⊥11ACC A （2）∵∥，∴,
1AA 1BB 11111B A BD A BB D A BB D V V V ---==由（1）知．
AC BD ⊥∵四棱柱是直四棱柱，1111ABCD A B C D -∴平面，∴．
1BB ⊥ABCD 1BB AC ⊥ ∵，∴平面．
1BD BB B =I AC ⊥1BB D 记,
AC BD O =I
∴,11111(22)332A BB D BB D V S AO -∆=
⋅=⨯⨯⨯=
∴三棱锥．11B A BD -
24．【答案】
【解析】解：（1），=5…
且，代入回归直线方程可得
∴=0.6x+3.2，
x=6时，=6.8，…
（2）X的取值有0，1，2，3，则
，，
，…
其分布列为：
X0123
P
…
【点评】本题考查线性回归方程、离散型随机变量的分布列及其数学期望，考查学生分析解决问题的能力．　。