初中数学应用题解答中数学建模的应用

初中数学应用题解答中数学建模的应用
卢建顺
(福建省龙岩市永定区龙潭中学ꎬ福建龙岩３６４１２０)
摘㊀要:应用题是初中数学解题教学中的一类常见题型ꎬ这类题目以文字叙述为主ꎬ涉及到的信息比较多ꎬ对学生的阅读能力与理解能力要求较高.在数学课堂教学中ꎬ教师可引导学生利用数学建模思想解答应用题ꎬ引导学生根据题意建立方程㊁统计㊁不等式㊁几何㊁函数等数学模型ꎬ把复杂的问题简单化ꎬ把抽象的问题具体化ꎬ使学生能够准确理解题意ꎬ理清题目中已知条件与所求量之间的逻辑关系ꎬ为解决问题创造条件.利用模型思想解决数学问题ꎬ能有效提高学生分析问题和解决问题的能力ꎬ有利于培养学生的数学核心素养.
关键词:初中数学ꎻ应用题ꎻ数学建模ꎻ应用
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２６－００５０－０３
收稿日期:２０２３－０６－１５
作者简介:卢建顺(１９７５.６－)ꎬ男ꎬ福建省龙岩人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀应用题是利用语言或文字叙述有关事实ꎬ反映某种数学关系ꎬ如位置关系㊁数量关系等ꎬ并求解未知数量的一类题目ꎬ每道应用题中都包含有已知条件与所求问题.数学建模则是先结合实际问题构建数学模型ꎬ再对数学模型展开求解ꎬ最后根据结果解决实际问题.在初中数学应用题解题教学中ꎬ教师需重点培养学生的建模思维ꎬ利用数学模型把复杂问题简单化ꎬ把抽象问题具体化ꎬ使学生能够准确理解题意ꎬ理清题目中已知条件与所求量之间的逻辑关系ꎬ为解决问题创造条件.
１建立方程模型解答数学应用题
方程是初中数学教学的重要内容.因为实际生活中不少问题都能够通过方程应用题的形式展现出来ꎬ故方程模型也是初中数学应用题解题教学中最为常用的一种数学模型.构建方程模型时ꎬ教师需重点培养学生寻找题目中已知量与未知量之间等量关系的能力ꎬ尤其是面对污损文字㊁图表㊁图案㊁情景对话等方式展现题目内容的新型应用题ꎬ教师需指导
学生认真观察㊁识别㊁筛选与比较ꎬ顺利建立相应的方程模型ꎬ找到最佳解题方案[１].
例１㊀在某次实战演习中ꎬ一名坦克兵往远处１７００米的目标瞄准开炮ꎬ７秒后听到炮弹击中目标的声音ꎬ另外有一名记者距离这名坦克兵１０００米ꎬ
距离目标２０２０米ꎬ他听到开炮声响后５秒ꎬ又听到炮弹击中目标的声音ꎬ那么炮弹与声音的速度分别是多少?
分析㊀这道应用题中存在两个等量关系ꎬ第一个是炮弹发出后至击中目标所用的时间与击中目标后声音传回坦克兵处的时间之和是７秒.第二个比较隐蔽ꎬ关键在于对 记者听到开炮声５秒后炮弹击中目标的声音 这句话的理解ꎬ前半句是记者听到开炮声后５秒ꎬ即为炮声传出１０００米的所用时间和５秒之和ꎬ后半句是 记者听到炮弹击中目标的声音 ꎬ包括炮弹飞行１７００米的时间与击中目标响声后传出２０２０米的时间之和ꎬ这两段时间相同ꎬ由此建立方程组模型.
解㊀设炮弹的速度是ｘ米/秒ꎬ声音的速度是
０５
ｙ米/秒ꎬ根据题意可得到方程组１７００ｘ＋１７００
ｙ
＝７ꎬ１０００ｙ＋５＝２０２０ｙ＋１７００
ｘ
.ìî
íïïïï解之得
ｘ＝８５０ꎬｙ＝３４０.
{
由此可知炮弹与声音的速度分别是８５０米/秒与３４０米/秒.
２建立统计模型解答数学应用题
统计模型是以概率论为基础ꎬ采用数学统计方法构建的一种模型.部分过程无法通过理论分析的方法导出相应的模型ꎬ但是可以利用数学试验的方式测定数据ꎬ经过数理统计法求得各种变量之间的关系就称之为统计模型.在初中数学应用题解题训练中ꎬ当题目中出现的数据较多ꎬ内容比较复杂时ꎬ可以构建统计模型ꎬ对数据展开收集㊁整理与分析ꎬ帮助学生简化解题思路ꎬ找到正确的解题方向ꎬ有效提高学生解答应用题的准确度[２].
例２㊀已知有一个正方体小木块ꎬ现在要往小木快的六个面上分别刻上１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６个数字ꎬ且１和６ꎬ２和５ꎬ３和４需分别刻在对面ꎬ那么一共有多少种不同的刻法?
解析㊀本题中出现的数据较多ꎬ且关系复杂ꎬ学生可利用建立统计模型的方式进行解题ꎬ只需考虑数字１ꎬ２ꎬ３可能刻的位置即可ꎬ剩余４ꎬ５ꎬ６三个数字的位置就能够随之确定ꎬ其中１可以选择这个小方块６个面中的任意一个面ꎬ共有６种刻法ꎬ６的位置也确定ꎻ２可以刻在剩余４个面中的任意一个面ꎬ共有４种刻法ꎬ５的位置同样得到确定ꎻ３只能刻在剩余２个面中进行选择ꎬ共有２种刻法ꎬ４的位置也得到确定.结上所述ꎬ所有不同的刻法一共有６ˑ４ˑ２＝４８(种).
３建立不等式模型解数学应用题
不等式模型是一类比较特殊的数学模型.构建其他数学模型时ꎬ学生需要找到题目中的等量关系ꎬ而不等式模型则需要找到不等关系ꎬ能够起到意想不到的效果.针对初中数学应用题解题训练来说ꎬ当建立不等式模型时ꎬ教师需要指导学生合理设未知
数ꎬ根据已知或隐含的不等关系ꎬ列出含有未知数的不等式或不等式组ꎬ然后解不等式或不等式组ꎬ最后验证解的合理性ꎬ从而让学生准确㊁快速地解答应用题[３].
例３㊀某家公司经营甲㊁乙两种商品ꎬ其中甲种商品的进价是１２万元ꎬ售价是１４.５万元ꎬ乙种商品的进价是８万元ꎬ售价是１０万元ꎬ且甲㊁乙两种商品的进价与售价均保持不变ꎬ现在计划一共购进甲㊁乙两种商品２０件ꎬ总价控制在１９０万元至２００万元之间.
(１)一共有多少种进货方案?
(２)该公司使用哪种进货方案可获得最大利润?并求出最大利润.
分析㊀通过阅读题目内容ꎬ学生发现有对进货总价范围的控制ꎬ明显涉及到不等关系ꎬ故可以通过建立不等式模型进行解题ꎬ学生只要准确找出题目中的不等关系即可轻松求解.
解㊀(１)设购进甲种商品ｘ件ꎬ则购进乙种商品(２０－ｘ)件.根据题意ꎬ得１９０ɤ１２ｘ＋８(２０－ｘ)ɤ２００ꎬ解得７.５ɤｘɤ１０.考虑到实际情况ꎬｘ只能取正整数ꎬ即甲商品是８ꎬ９ꎬ１０件ꎬ所以一共有三种进货方案ꎬ对应的乙商品分别是１２ꎬ１１ꎬ１０件.
(２)甲㊁乙两种商品各购进１０件或获得最大利
润ꎬ最大利润为１０(１４.５－１２)＋１０(１０－２)＝２５＋２０＝４５(万元).
４建立几何模型解答数学应用题
在初中数学应用题解题教学中ꎬ除了以上几种代数方面的数学模型ꎬ还可以构建几何方面的数学模型ꎬ主要用来解决一些特殊的应用题.此类应用题中文字叙述繁琐ꎬ字母符号较多ꎬ概念也不少ꎬ难度相当较大.建立几何模型ꎬ通过直观的图像把题目中的复杂关系清晰地呈现出来ꎬ有助于应用题的顺利解答.对此ꎬ初中数学教师可指引学生认真分析题意ꎬ将实际问题抽象转化成几何图形ꎬ通过建立几何模型的方式解答应用题[４].
例４㊀因为过渡砍伐森林导致沙尘暴频发.今日ꎬＡ市气象部门测得沙尘暴中心在Ａ市正西３００千米的Ｂ处ꎬ以１０７千米/小时的速度往南偏东６０ʎ方向移动ꎬ且距离沙尘暴中心２００千米范围内均会
１
５
受到影响ꎬ那么Ａ市是否会受到该次沙尘暴的影响?如果会ꎬ则时间是多久?
分析㊀本题是一道有关位置与方向类的试题ꎬ涉及到三角形与圆的相关知识ꎬ较为复杂ꎬ教师可以指导学生根据题意建立几何模型ꎬ画出如图１所示的几何图形ꎬ通过观察发现ꎬＡ市会受到本次沙尘暴的影响ꎬ影响时间是沙尘暴从Ｃ移动到Ｄ处所用的时间ꎬ利用勾股定理和垂径定理即可求解.
解㊀如图１ꎬ过点Ａ作ＡＥʅＢＦꎬ垂足为Ｅ.因为øＡＢＣ＝３０ʎꎬＡＢ＝３００ｋｍꎬ所以ＡＥ＝
１
２
ＡＢ＝１５０ｋｍ.因１５０ｋｍ小于２００ｋｍꎬ故Ａ市会受到此次沙尘暴的影响.又ＡＣ＝ＡＤ＝２００ｋｍꎬ所以ＣＥ＝ＥＤ＝
２００２－１５０２＝
５０７ｋｍꎬ则ＣＤ＝１００７
ｋｍꎬ故Ａ市受到本次沙尘暴影响的时间为ｔ＝１００７ː１０７＝１０(小时).
图１㊀位置与方向示意图
５建立一次函数模型解答应用题
函数是学生进入初中阶段以后接触与系统学习的数学知识ꎬ同其他内容相比ꎬ函数知识难度较大ꎬ其中一次函数作为最简单的函数ꎬ与实际生活联系的较为密切ꎬ不少数学应用题中蕴涵一次函数关系ꎬ学生需建立一次函数模型进行解答.在初中数学应用题解题训练中ꎬ教师应引导学生观察题目中的数据ꎬ使其根据已知数据构建具体的一次函数模型ꎬ促使学生应用模型解答应用题[５].
例５㊀张华同学参加１００米短跑训练ꎬ２０２２年１至４月的训练成绩如下表所示ꎬ体育老师称他为百米短跑天才ꎬ请你预测张华同学５年(６０个月)后１００米的短跑成绩是(㊀㊀)(温馨提示:当前世界１００米短跑记录是９.５８ｓ)
表１㊀短跑训练成绩表
时间(月)１２３４成绩(ｓ)
１５.６
１５.４
１５.２
１５
㊀㊀Ａ.１４.８ｓ㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.３.８ｓ
Ｃ.３ｓ
Ｄ.预测结果不可靠
分析㊀通过观察表中数据可以发现ꎬ每训练一个月ꎬ张华的１００米短跑成绩提升０.２ｓꎬ设他的成绩是ｙｓꎬ时间是ｘ月ꎬｙ与ｘ之间是一次函数关系ꎬ可设为ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ然后代入相关数据求出一次函数关系ꎬ当ｘ＝６０时即可求得６０个月后的成绩.
解㊀设张华同学的１００米短跑成绩是ｙꎬ月份是ｘꎬ根据题意可得ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ代入前两个月的数据分别得到１５.６＝ｋ＋ｂꎬ１５.４＝２ｋ＋ｂꎬ联立方程组ꎬ解之得ｋ＝－０.２ꎬｂ＝１５.８ꎬ即为ｙ＝－０.２ｘ＋１５.８.当ｘ＝６０时ꎬｙ＝－０.２ˑ６０＋１５.８＝－１２＋１５.８＝
３.８ꎬ因为当前世界１００米短跑记录是９.５８ｓꎬ显然这一结果并不符合实际意义ꎬ故正确答案是选项Ｄ.
综上所述ꎬ在初中数学应用题教学实践中ꎬ教师应谨慎对待这种以文字描述为主的特殊试题ꎬ要求学生认真阅读题目内容㊁仔细审题ꎬ并以此为前提ꎬ理清题干中的数量关系ꎬ根据题意建立方程㊁统计㊁不等式㊁几何㊁一次函数㊁二次函数㊁三角函数等数学模型ꎬ使其找到更为简便的应用题解题方法与技巧ꎬ促使学生切实感受到数学建模的实用性与价值ꎬ从而提高学生的数学核心素养.
参考文献:
[１]高廷学.初中数学应用题教学中数学建模思想
的应用探究[Ｊ].试题与研究ꎬ２０２２(２８):１３６－１３８.
[２]刘于标.以数学建模思想为基础对初中数学应
用题教学展开探究[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０２２(２１):３８－４０.
[３]摆晓娟.浅谈建模思想在初中数学应用题教学
中的应用策略[Ｊ].新课程ꎬ２０２１(５０):２２.[４]叶丽平ꎬ梁卫超.基于数学建模思想的初中数学
应用题的教学策略研究[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(３２):５４－５５.[５]张荣.
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[责任编辑:李㊀璟]
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