内蒙古乌兰察布市集宁一中(西校区)2018_2019学年高二数学下学期期中试题理(含解析)

集宁一中2018---2019学年第二学期期中考试
高二年级数学理科试题
一、选择题(在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.已知集合{
}
2
|280A x x x =--≤，{
}
|28x
B x =≥，则A B ⋂=( ) A. [2,3]- B. [3,4]
C. [2,4]-
D. (2,3)-
【答案】B 【解析】 【
分析】
分别解出集合A ，B ，再求两个集合的交集。

【详解】由题(2)(4)x x +-≤解得{|24}A x x =-≤≤，{|3}B x x =≥，则
[3,4]A B ⋂=，故选B.
【点睛】本题考查集合的交集，属于基础题。

2.复数2
1i
- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i
B. 1−i
C. −1+i
D. −1−i
【答案】B 【解析】
分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得．
详解：化简可得z=
2
1i -()()()
21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选：B ． 点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．
3.如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是( )
A. 1
2
B.
2
3
C.
3
4
D.
4
5
【答案】C 【解析】
【详解】利用变量更新法有
1113
26124
n=++=循环结束，输出n=
3
4
.
故答案为：C
4.已知下表为x与y之间的一组数据，若y与x线性相关，则y与x的回归直线y bx a
=+必过点( )
A. (2,2)
B. (1.5,0)
C. (1,2)
D. (1.5,4)
【答案】D
【解析】
【分析】
根据表格先求出x 和y ，再由公式1
2
1()()
()ˆn
i
i
i n
i i x x y y b
x x ==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =-求得ˆb 和ˆa 即可得回归方程，再将4个点分别代回，可知必过点。

【详解】由题可得3
2
x =
，4y =， 22223333
(0)(14)(1)(34)(2)(54)(3)(74)
102222ˆ233335(0)(1)(2)(3)2222
b --+--+--+--===-+-+-+-，
3
ˆ4212
a
=-⨯=，则回归方程为ˆ21y x =+，将A ，B ，C ，D 四项分别代入方程，只有（1.5，4）这个点在直线上，故选D 。

【点睛】本题考查回归直线，属于基础题。

5.曲线3
4y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是( ) A. 74y x =+
B. 72y x =+
C. 4y x =-
D.
2y x =-
【答案】D 【解析】 试题分析：
2143|1x y x k y =-=-=''=，，则所求切线方程为2y x =-．
考点：利用导数求切线方程．
6.已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是( ) A. 15 B. 30
C. 31
D. 64
【答案】A 【解析】
由等差数列的性质得，79412794,16,1a a a a a a a +=++==，1279415a a a a ∴=+-=，
故选A.
7.函数2
1ln 2
y x x =
-的单调减区间是（ ） A. (1,)+∞ B. (,1)
(0,1)-∞- C. (0,1) D. (1,1)-
【答案】C 【解析】 【分析】 函数定义域
是
0x >，求导数，令'0y <即可求得。

【详解】由题1(1)(1)'x x y x x x
+-=-
=，又0x >，(0,1)x ∴∈时'0y <，∴(0,1)为函数单调减区间，故选C 。

【点睛】本题考查用导数求函数单调区间，属于基础题。

8.抛物线2
y 4x =上一点P 到焦点F 的距离是10,则P 点的坐标是（ ） A. （9, 6） B. （6, 9）
C. （±6, 9）
D. （9,
±6） 【答案】D 【解析】 【分析】
由抛物线的标准方程可知其图像开口向右，再根据对称性可判断选项。

【详解】由题得[0,)x ∈+∞，y R ∈，排除C ，点B 不在抛物线上，再根据抛物线关于x 轴对称，故选D 。

【点睛】本题考查抛物线的性质，属于基础题。

9.函数3
()31f x x x =-+在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( ) A. 1，－1 B. 3，-17
C. 1，－17
D. 9，－19
【答案】B 【解析】
试题分析：求导，用导研究函数f （x ）=x 3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的单调性，利用单调性求函数的最值．
解：f′（x ）=3x 2
﹣3=0，x=±1，
故函数f （x ）=x 3﹣3x+1[﹣3，﹣1]上是增函数，在[﹣1，0]上是减函数 又f （﹣3）=﹣17，f （0）=1，f （1）=﹣1，f （﹣1）=3． 故最大值、最小值分别为3，﹣17； 故选C ．
考点：函数的最值及其几何意义．
10.()f x 在定义域内可导，()y f x =的图像如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】 分析】
函数单调递增则'()0f x >，单调递减则'()0f x <，由此，根据原函数图像判断导函数图像。

【详解】由题当(,0)x ∈-∞时，原函数单调递增，则'()0f x >，排除A,C ，当(0,)x ∈+∞时，函数单调性为“增”，“减”，“增”，导数值为“正”，“负”，“正”，只有D
满足，故选D 。

【点睛】本题考查导数和函数单调性的关系，是基础题。

11.已知函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图像如
下图所示，且(2)1f -=，(3)1f =，则不等式()
2
61f x ->的解集为（ ）
A. (2,3)
B. (
C. (2,3)(3,2)⋃--
D. (,(2,)-∞+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
由图像'()0f x >原函数单调递增，'()0f x <原函数单调递减，可得不等式组，解不等式即得解集。

【详解】由题当(,0]x ∈-∞时，'()0f x >，∴()f x 为增函数，又
(2)1f -=，
∴262x ->-解得2x <-或2x >，同理当[0,)x ∈+∞时，'()0f x <，∴()f x 为减函数，
又
(3)1f =，∴263x -<，解得33x -<<，综上(3,2)(2,3)x ∈--⋃，故选C 。

【点睛】本题考查根据导数图像判断原函数单调性，求满足条件的自变量取值范围，属于基础题。

12.已知函数3217
()22
f x x x x =--，则2()f a -与(4)f 的大小关系为（ ） A. 2
()(4)f a f -< B. 2
()(4)f a f -≤
C. 2()(4)f a f -≥
D. 2()f a -与(4)f 的大小关系不确
定 【答案】B 【解析】 【分析】
先求函数导数，在定义域上判断函数单调性，可得当(0]x ∈-∞，
时，函数的最大值0()f x ，又因20a -≤，所以2
0()()f a f x -≤，再根据(4)2f =，可得两者的大小关系。

【详解】由题得223711
'()2(347)(37)(1)2222
f x x x x x x x =
--=--=-+，当221.53rm mr ωω<时，'()0f x >，()f x 单调递增，当7
(1,)3
x ∈-时，'()0f x <，()f x 单
调递减，当7
(,)3
x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增，又因(1)2f -=，所以当(0]x ∈-∞，
时，最大值为(1)
2f -=，因为20a -≤，则2
()2f a -≤且(4)2f =，所以有
2()(4)f a f -≤，故选B 。

【点睛】本题考查用导数判断函数单调性，求某一区间上的最大值和某定值的大小关系。

二、填空题(将答案填在题中横线上) 13.把1234化为七进制数为___________。

【答案】3412(7) 【解析】 【分析】
根据除k 取余法可得。

【详解】3210123437471727=⨯+⨯+⨯+⨯，所以(7)12343412=. 【点睛】本题考查十进制化为七进制，属于基础题。

14.若
20
9T
x dx =⎰
，则常数T 的值为_______．
【答案】3 【解析】 【分析】
利用微积分基本定理即可求得．
【详解】2
300
1|3T
T x dx x =
⎰
=3
13
T =9，解得T=3， 故答案为：3．
【点睛】用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加
15.方程22
131
x y m m +=--表示双曲线，则m 的取值范围_____
【答案】()(),13,-∞⋃+∞ 【解析】 【分析】
题干中方程是双曲线，则(3)m -和(1)m -异号，可解得m 范围。

【详解】由题得(3)(1)0m m --<，解得：3m >或1m <.故m 的取值范围是
()(),13,-∞⋃+∞.
【点睛】考查双曲线的定义，属于基础题.
16.下列说法：①线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+必经过(),x y ；②相关系数r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；③标准差越大，表明样本数据越稳定；④相关系数0r >，表明两个变量正相关，0r <，表明两个变量负相关。

其中正确的说法是_______。

【答案】①②④ 【解析】
【分析】
①由线性回归方程的性质可判断；②由系数r 的意义可判断；③由标准差意义可得；④由两个变量的相关关系可判断。

【详解】（1）
线性回归方程必过样本点的中心(),x y ，∴①正确；（2）线性相关系数r
的绝对值越接近1时，两个随机变量线性相关性越强，因此②正确；（3）标准差越大，数据的离散程度越大，越不稳定，故③错误；（4）相关系数0r >，表明两个变量正相关，0r <，表明两个变量负相关，故④正确，综上，正确的说法是①②④ 【点睛】本题考查变量间的相关关系。

三.解答题.
17.设复数2
2
23(32)z m m m m i =--+++，求满足下列条件的实数m 的值：
（1）z 为实数； （2）z 为纯虚数；
（3）z 在复平面内对应的点位于第二象限。

【答案】(1) 01x ≠或2m =- (2) 3m = (3) 13m -<< 【解析】 【分析】
（1）若z 为实数，虚部为0，可得m ；（2）若z 为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，可得m ；（3）复平面第二象限内的复数满足实部小于0，虚部大于0，可得。

【详解】解：（1）由题得2320m m ++=，解得01x ≠或2m =-。

（2）由题得22230320m m m m ⎧--=⎨++≠⎩，解得3m =。

（3）由22230
320
m m m m ⎧--<⎨++>⎩，得13m -<<
【点睛】本题考查复数的基本性质，是基础题。

18.已知函数3
2
y ax bx =+，当1x =时，有极大值3； （1）求a,b 的值；
（2）求函数y 的极值. 【答案】（1）6,9a b =-= （2）0 【解析】
试题分析：（1）由函数的
定义得(1)3f =,导数的几何意义得'(1)0f =，然后解出a,b.
（2）由（1）知;32()69f x x x =-+2
'()1818f x x x ∴=-+'()001f x x x ∴=⇒==或,
然后找出极值点，求出极小值. （1）由(1)36
{
{'(1)09
f a f b ==-⇒==经检验知，满足题意。

（2）3
2
()69f x x x =-+
2'()1818f x x x ∴=-+
令'()001f x x x ∴=⇒==或
因为,当01,'()0,0'()0x f x x f x <<<当时，
)0()(=(0)0
x x f x f f 极小值是的极小值点
∴=∴=
考点：导数的几何意义;利用导数求极值.
19.某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下：
(1)请先求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；
(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试．(3)根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数；
【答案】(1)见解析；(2) 3组应抽取3人，4组应抽取2人，5组应抽取1人。

(3) 平均数172.25；中位数为170.1
【解析】
【分析】
（1）根据频率和为1，可得①；（2）求出第3,4,5组共有60学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名，得到第3,4,5组分别抽取的人数；（3）平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边终点的横坐标之和，频率分布直方图，中位数左边和右边的直方图的面积相等，可得。

【详解】解：（1）由1(0.050.350.20.1)0.3-+++=，
（2）第3组的人数为0.310030⨯=，第4组人数为0.210020⨯=，第5组人数为
0.110010⨯=，共计60 人，用分层抽样抽取6人。

则第3组应抽取人数为
30
6360
⨯=，第4组应抽取人数为
，第5组应抽取人数为
10
6160
⨯=。

（3）平均数0.05162.50.35167.50.3172.50.2177.50.1182.5172.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，由图，第1，2两组的频率和为0.4，第3组的频率为0.3，所以中位数落在第3组，设中位数距离170为x ，则
0.10.35x =，解得53
x =，故笔试成绩的中位数为2
1713x =。

【点睛】本题考查分层抽样，频率分布直方图，中位数，平均数等统计知识。

20.设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =. (1)求B 的大小．
(2)若a =5c =，求b .
【答案】(1) 6
B π
= (2) b =【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理
sin sin a b
A B
=可解得角B ；（2）由余弦定理，将已知代入，可得b 。

【详解】解：（1）由2sin a b A =，得sin 2sin sin A B A =，又因B 为锐角，解得6
B π
=。

(2)
由题得2222cos 272525524572
b a
c ac B =+-=+-⨯⨯
=-=
，解得b =
【点睛】本题考查正，余弦定理解三角形，属于基础题。

21.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，
5313a b +=.
(1)求{}n a 、{}n b 的通项公式；
(2)求数列n n a b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S .
【答案】（1）a n ="2n-1, " b n =2n-1
（2）1
23
62
n n -+-
【解析】
本试题主要是考查了等差数列和等比数列的通项公式以及前n 项和的求解的综合运用，以及数列求和的综合问题。

（1）设出数列的
公差和公比，然后联立方程组，求解得到d,q 的值，然后得到通项公式。

（2）在第一问的基础上，
121
2
n n n a n b --=，那么选用错位相减法得到数列的求和问题。

（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且
解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，11
2n n n b q --==．
（Ⅱ）1212n n n a n b --=．12
21352321
12222
n n n n n S ----=++++
+，① 3252321
2232
22n n n n n S ----=++
++
+，② ②－①得22122221
222222n n n n S ---=+++++-，
22111
12122122
22n n n ---⎛⎫=+⨯+++
+- ⎪⎝⎭111
1212221212
n n n ---
-=+⨯--
12362n n -+=-．
22.已知函数()ln x
g x x
=
，()()f x g x
ax =-.
(1)求函数()
g x 的单调区间
;
(2)若函数()f x 在(1,)+∞上是减函数,求实数a 的最小值. 【答案】（I ）当
时,， 所以函数的增区间是
，当
且
时,，所以函数
的单调减区间是
;（II ）
1
4
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由函数g′（x ）=()
2
1
ln lnx x -，得当时，；当时，
且
，从而得单调性；
（2）由()()
2
ln 1
0ln x f x a x '-=
-≤在()1,+∞上恒成立，得()max
0f x '≤，从而
()2
111 ln 24
f x a x ⎛⎫'==--+- ⎪⎝⎭，
故当11ln 2x =，即2e x =时，()max 14f x a '=-，10,4a -≤即可求解. 试题解析： （I ）由已知得函数
的定义域为
,
函数,
当时,
， 所以函数的增区间是;
当
且
时,
，所以函数的单调减区间是
, .....6分
（II ）因f(x)在()1,+∞上为减函数，且
.
故()()
2
ln 1
0ln x f x a x '-=
-≤在()1,+∞上恒成立． 所以当()1,x ∈+∞时，()max
0f x '≤．
又()()
2
2
ln 1
11ln ln ln x f x a a x x x -⎛⎫=
-='-+
- ⎪⎝⎭ 2
111ln 24
a x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭， 故当11ln 2x =，即2e x =时，()max 1
4f x a '=-． 所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14
．。