第二章流束理论(1)【VIP专享】
液体运动的流束理论
液体运动的流束理论本章先建立液体运动的基本概念,然后依据流束理论,从质量守恒定律出发建立水流的连续性方程、从能量方程出发建立水流的能量方程，以及从动量定理出发建立水流的动量方程。
1、描述液体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法。
拉格朗日法，以研究个别液体质点的运动为基础，通过对每个液体质点运动规律的研究来获得整个液体运动的规律性，所以这种方法又称为“质点系法”。
欧拉法，以考察不同液体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流动空间的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场，所以这种方法又叫做“流场法”。
2、恒定流与非恒定流恒定流：在流场中，任何空间点上所有的运动要素都不随时间而改变，即“运动要素仅仅是空间坐标的连续函数，而与时间无关”。
非恒定流：流场中任何点上有任何一个运动要素是随时间而变化的。
3、迹线与流线迹线，拉格朗日法研究个别液体质点在不同时刻的运动情况而引出的，是指某一液体质点在运动过程中不同时刻所流经的空间点所连成的线，即液体质点运动时所走过的轨迹线。
流线，欧拉法考察同一时刻液体质点在不同空间位置的运动情况引出的，是指某一瞬时在流场中绘出的一条曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。
流线具有瞬时性（对于非恒定流来说，其图形会随时间变化），迹线没有瞬时性；流线与迹线都具有族线。
流线的基本特性：1恒定流时，流线的形状和位置不随时间而改变；2恒定流时液体质点运动的流线与迹线相重合；3流线不能相交。
4、流管、微小流束、总流，过水断面、流量与断面平均流速流管：在水流中任意一微分面积dA ，通过该面积的周界上的每一个点均可作一根流线，这样就构成一个封闭的管状曲面，称为流管。
微小流束：充满以流管为边界的一束液流，称为微小流束。
微小流束性质：1微小流束内外液体不会发生交换；2恒定流微小流束的形状和位置不会随时间而改变，非恒定流时将会随时间而改变；3横断面上各点的流速和压强可看作是相等的。
总流：任何一个实际水流都具有一定规模的边界，这种有一定大小尺寸的实际水流称为总流。
水力学课件液体运动的流束理论考研
渠道和管道是液体运动的常见载体，它们有着不同的特点和适用范围，在工程设计中需要予 以考虑。
流束理论基础
1 流束的概念和特性
流束是流体流动的基本特 征之一，通过研究流束的 性质和行为，我们可以深 入理解流体运动的规律。
2 流速、流量、截面积
的关系
流速、流量和截面积之间 存在着密切的关系，它们 相互影响并呈现特定的数 学关系，这对水力学计算 至关重要。
3
Hagen-Poiseuille定律和管道摩阻系数的计算
Hagen-Poiseuille定律和管道摩阻系数的计算为导管流动的分析和设计提供了重要 的工具和方法。
开水沟道流动
1
开水沟道的基本形状和特点
了解开水沟道的基本形状和特点有助于我们理解沟道流动的规律，并进行相关工 程设计和优化。
2
定常流和非定常流的概念和区别
水力学课件液体运动的流 束理论考研
本课件将带你深入学习水力学中液体运动的流束理论，揭开水的奥秘并探讨 其实际应用。让我们开始这段令人着迷的旅程吧！
水力学概述
水力学的定义与基本概念
水力学研究水在不同条件下的运动规律，涵盖了许多基本概念和理论，是水利工程中不可或 缺的一部分。
液体运动的基本特征和分类
了解液体运动的特征和分类有助于我们理解水的行为和应用在实际工程中的限制。
数值模拟和试验研究的比 较与分析
比较数值模拟和试验研究的优缺 点，选择合适的方法对特定问题 进行研究和解决，以提高水力学 分析的准确性和效率。
水利工程中的实际应用和 发展趋势
水利工程是计算水力学的重要应 用领域之一，了解实际应用和发 展趋势有助于我们把理论知识转 化为实际工程实践的能力。
3 连续方程和能量方程
液体运动的流束理论(土木)讲解
y
空间坐标
x x(a,b,c,t) y y(a,b,c,t) z z(a,b,c,t)
（a,b,c）为t=t0起始时刻质点
所在的空间位置坐标，称为拉
格朗日数。所以，任何质点在
空间的位置（x,y,z）都可看作 是（a,b,c）和时间t的函数
(1)(a,b,c)=const，t为变数，可以得出某个指定
流体力学最常用的解析方法
3.2 液体运动的基本概念
一、 恒定流与非恒定流
1、恒定流（steady flow）定义
指流场中的流体流动，空间点上各运动要素均
不随时间而变化。
即： u 0，u ux, y, z
t
p 0, p px, y, z
t
ux 0 t u y 0 t uz 0 t
注意：这里要满足两个条件，即流线既要相互平行， 又必须是直线，其中有一个条件不能满足，这个流 动就是非均匀流。均匀流的概念也可以表述为液体 的流速大小和方向沿空间流程不变。
均匀流特性： 流线是相互平行的直线，过水断面是平面，沿程 各过水断面的形状和大小都保持一样。 过水断面上的流速分布沿程不变，断面平均流速 沿程不变。 过水断面上的动水压强分布规律与静水压强分布 规律相同。
流场运动要素是时空(x,y,z,t)的连续函数：
速度
ux ux x, y, z,t uy uy x, y, z,t
（x,y,z,t）—欧拉变量
uz
u z
x,
y, z,t
因欧拉法较简便，是常用的方法。
由于研究对象为某一流体质点通过某一空间 点的速度随时间的变化，在微小时段dt内，这一 流体质点将运动到新的位置，即运动着的流体质 点本身的坐标又是时间t的函数，所以不能将 x,y,z视为常数，因此不能只取速度对时间的偏 导数，要取全导数。
(完整版)第二章液体运动的流束理论
pdA p dpdA dG cos dm a
其中， dm dAds
cos dz
ds
a du du ds du u dt ds dt ds
z p u2 C
2g
28
z p u2 C
2g
或
z1
p1
u12 2g
z2
p2 u22
2g
理想液体恒定元流的能量方程
29
二、实际液体恒定元流的能量方程
恒定流的运动要素仅随空间位置变化，不随时间 变化。 例子：库水位不变时，引水隧洞中的水流。
5
2、非恒定流 流场中空间点的运动要素随时间变化的水流。 非恒定流的运动要素是时间和空间的函数。 实际水流严格上讲均为非恒定流。
6
二、流线、迹线 1、迹线 单个液体质点在空间的运动轨迹。 2、流线 某时刻在流场中绘制的一条光滑曲线。曲线上各 点切线的方向代表了同一时刻处于该点处的液体 质点的运动方向。
1、均匀流
流速的大小、方向沿流动方向（空间）都不变 的流动。
明渠均匀流
管道均匀流
31
均匀流特性 ①所有流线为相互平行的直线。
推论：过水断面为平面。 ②同一流线上各点流速相同。
推论：过水断面平均流速沿程不变。 注：不同流线上流速不一定相同。
7
3、流线的基本特性 对恒定流，流线形状不随时间变化，流线与 迹线重合；对非恒定流，流线只具有瞬时性， 流线与迹线不重合。 同一时刻，流场中的各条流线不相交。 流线为光滑的曲线。
8
流线分布的疏密程度反映流速的大小。流线 密的地方则流速大，流线疏的地方流速小。
1
2
9
溢流坝流线
10
三、 微小流束、总流 1、流管 在流场中，通过一个封闭线的周边上所有流线 围成的一个管状曲面。
流体运动的流束理论
ux
x t
x(a,b, c,t) t
uy
y t
y(a,b, c,t) t
uz
z t
z(a,b, c,t) t
(2.2)
第二章 液体运动的流束理论
一 拉格朗日法
同理对 (2.2)式求时间的偏导数，可得质点的加速度分量
ax
ux t
2x(a,b, c,t) t 2
ax
u y t
2 y(a,b, c,t) t 2
水水
水水 水水水水
第二章 液体运动图的流2束.1理论
§2.2 基本概念
恒定流所有的运动要素对时间的导数为零。
u v w 0 t t t p 0 t 0 t T 0 t
(2.6)
速度分量表示为
ux ux (x, y, z) uy uy (x, y, z) uz uz (x, y, z)
§2 液体运动的流束理论 内容提要: §2 .1描述液体运动的两种方法 §2 .2液体运动的一些基本概念 §2 .3恒定总流的连续性方程 §2 .4恒定总流的能量方程 §2 .5恒定总流的动量方程
第二章 液体运动的流束理论
概述
流体最基本的特征就是其流动性（运动性），而静止 只是运动的特例，对流体运动的研究将具有更加现实的意 义，本章将讨论流体的运动学和动力学规律。
第二章 液体运动的流束理论
§2.1 描述液体运动的两种方法
描述流体运动的方法有两种: 拉格朗日（grange）法和欧拉（L.Euler）法。
拉格朗日法:着眼于流场中流体质点，通过研究流场 中单个流体质点的运动规律归纳出整个流场的运动规 律；
欧拉法:以流场空间点为研究对象，通过描述流体质 点流经空间某一点的运动情况从而总结出整个流场的 运动规律。
液体运动的流束理论
第二章液体运动的流束理论一、判断题1、渐变流与急变流均属非均匀流。
( )2、急变流不可能是恒定流。
( )3、总水头线沿流向可以上升，也可以下降。
( )4、水力坡度就是单位长度流程上的水头损失。
( )5、扩散管道中的水流一定是非恒定流。
( )6、恒定流一定是均匀流，非恒定流一定是非均匀流。
( )7、均匀流流场内的压强分布规律与静水压强分布规律相同。
( )8、测管水头线沿程可以上升、可以下降也可不变。
( )9、总流连续方程v1A1 = v2A2对恒定流和非恒定流均适用。
( )10、渐变流过水断面上动水压强随水深的变化呈线性关系。
( )11、水流总是从单位机械能大的断面流向单位机械能小的断面。
( )12、恒定流中总水头线总是沿流程下降的，测压管水头线沿流程则可以上升、下降或水平。
( )13、液流流线和迹线总是重合的。
( )14、用毕托管测得的点流速是时均流速。
( )15、测压管水头线可高于总水头线。
( )16、管轴高程沿流向增大的等直径管道中的有压管流，其管轴压强沿流向增大。
( )17、理想液体动中，任意点处各个方向的动水压强相等。
( )二、选择题1、恒定总流的能量方程z1+ p1／g +v12／2g = z2+p2／g + v22／2g+h w1- 2 ，式中各项代表( )(1) 单位体积液体所具有的能量；(2) 单位质量液体所具有的能量；(3) 单位重量液体所具有的能量；(4) 以上答案都不对。
2、图示抽水机吸水管断面A─A动水压强随抽水机安装高度h的增大而( )(1) 增大(4) 不定3h1与h2的关系为( )(1) h1＞h2(2) h1＜h(3) h = h(4) 无法确定4、对管径沿程变化的管道( ) (1) 测压管水头线可以上升也可以下降(2) 测压管水头线总是与总水头线相平行(3) 测压管水头线沿程永远不会上升(4) 测压管水头线不可能低于管轴线5、图示水流通过渐缩管流出，若容器水位保持不变，则管内水流属( )(1) 恒定均匀流(2) 非恒定均匀流(3) 恒定非均匀流(4) 非恒定非均匀流6、管轴线水平，( ) (1) 逐渐升高(2) 逐渐降低(3) 与管轴线平行(4) 无法确定7、均匀流的总水头线与测压管水头线的关系是( )(1) 互相平行的直线；(2) 互相平行的曲线；(3) 互不平行的直线；(4) 互不平行的曲线。
2第二章液体运动的流束理论
各段的流速水头为： 7.932 3.21m; 2g 2 9.8 9 .9 2 5m 2g 2 9.8 (3)总水头线和测压管水头 线如图所示
总水头线 3.21 8.88 5
v2 1
v2 3
测压管水头线
2-11 图示一水电站压力水管的渐变段，直径D1为 1.5m，D2为1m，渐变段起点压强p1为400kPa（相对 压强），流量Q为1.8m3/s，若不计水头损失，求渐 变段镇墩上所受的轴向推力为多少？
2 液体运动的流束理论
思考题与习题
2-2 图a表示一水闸正在提升闸门放水，图b表示一水管正
在打开阀门放水，若它们的上游水位均保持不变，问此
时的水流是否符合A1V1=A2V2的连续方程？为什么？
答：否，因水流均属非恒定流
2.4 关于水流去向问题，曾有以下一些说法：“
水一定是从高处往低处流”，“水是从压力大的
地方向压力小的地方流”，“水是由流速大的地
方向流速小的地方流”，这些说法对吗？试用基 本方程式论证说明。 答：都不对。由能量方程知：水流总是从总机 械能大的1-1断面流向总机械能小的2-2断面。
2-6 总流的动量方程式为 p Q(2 v2 1v1 ) ，
试问：1）Σp中包括哪些力？ 2）由动量方程式求得的力为负值说明什么问题。 答：1) 包括动水压力、粘滞力、固体边壁的反 作用力、重力及惯性力。
点处管径dA为0.25m，B点处管径dB为0.5m，A点压强pA为
80kPa,B点压强pB为50kPa，B点断面平均流速vB为1.2m/s， 试判断A和B两点间水流方向，并求出其间水头损失hw。
解： 1 ） vb AB vB 4.8m / s AA
断面A的总能量为： pA vA HA z 9.33m g 2g 断面B的总能量为： HB z pB vB 6.17m g 2g
流体力学第二章
欧拉（Euler, L. 1707-1783）法：
每时刻各空间点都有确定的运动参数，空间区域即流场
u x u x x, y , z , t u z u z x, y , z , t
u y u y x, y , z , t
欧拉变数：x, y, z, t
流场及其数学表达
在直角坐标系中加速度场的分量式为
u u u u ax u v w t x y z
v v v v ay u v w t x y z
w w w w az u v w t x y z
解:
Du u u u u ax u v w Dt t x y z
流体运动的描述方法
拉格郎日（Lagrange, J. 1736-1813）法：
质点用起始时刻的坐标（a, b, c）进行识别，其位移为
x xa, b, c, t z z a, b, c, t
y y a, b, c, t
拉格郎日变数：a, b, c, t
x xa, b, c, t u x t t y y a, b, c, t u y t t z z a, b, c, t uz t t
速度场定义为在任一瞬时由空间点上速度矢 量构成的场，又称速度分布。 在直角坐标系中速度分布的分量式为
u u( x , y , z ,t ) v v( x , y , z ,t ) w w( x , y , z ,t )
用速度廓线可形象地表示速度的空间分布。
迹线和流线（Trajectory and Streamlines）
DN u N N Dt t
DN u gradN N Dt t
随体导数与梯度（Substantial derivative and Gradient ）
流变学第二章 (1)
③关于参考位形的选择，必须指出固体和液体的差 别。
对固体而言，它有原始形状，一般取原始位形 作为参考位形。
而液体无原始形状，因此人们只能根据现在时 刻其占据的位形加以区别，故一般选现在时（t） 的位形为参考位形，反回去讨论以往时刻（t’） 的形变情形。
（三）形变梯度张量
设在时刻t1， t2物体分别占有 空间位形1、位形2;在t1时刻 物体内的任一线元d X,在t2时 刻占据的空间位置变为d x,则 定义t1-t2 时刻间，物体内发生 的形变梯度为：
1 0 0 1 tgr 0 1 tgr 0
C F T • F tgr 1 0 0 1 0 tgr 1 tgr 2 0
0 0 1 0 0 1 0
0 1
1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 0
(FT , E) tgr 1 0 0 1 0 r2 r1 tgr 0 1 0 tgr 1 0
0 0 1 0 0 1 0
0 1
可以看出，F确实为非对称张量，而C和C-1 均为对称张 量，后者具有无形变时度量不变的性质。
例2 均匀拉伸形变中形变张量
均匀拉伸形变：x1=1X1, x2=2X2,x3=3X3 根据定义
1 0 0
得到：
F
0
2
0
0 0 3
1
1
(F
,
E)
0
0
0 2 0
需要定义两个方向的拉伸速率
0 1
f (x1)
1
x1
2
f
(x2 )
2
x2
3
由此得到速度梯度张量和形变率张量为：
•
e1
0
0
Ld 0
•
e2
2 液体运动的流束理论
u1 同一时刻，沿射流抛射轨迹， 不同位置处的流速不同，因此，沿 抛射轨迹，有位变加速度 u2
对于一维流动，加速度可简化
u (s,t) s
dus ( s, t ) us u us s dt t s
as
返回
拉格朗日法
欧拉法
(a, b, c) t (x, y, z)
不同时刻液体质点通过给定空间点的流速变化
用欧拉法研究液体运动的例子：
地面卫星观测站
河流上的水文站
流场中任一物理量, 如压强、密度，用欧拉法表示为
p p( x , y , z , t )
( x, y, z, t )
一维流动， 则
u u( s , t ) p p( s , t )
（a，b，c，t）= 拉格朗日变数
x
图2.1 拉格朗日法 给定（a，b，c），
（a，b，c） 对应液体微团或液体质点
x x ( a , b, c , t ) 该质点的轨迹方程。 y y ( a , b, c , t ) 不同（a，b，c）， 不同质点的轨迹方程。 z z ( a , b, c , t )
u2
时刻t A点流速为 ux 时刻t+dt
ux Aˊ点的流速为 ux dx x
u x dt A点的流速为 t ux ux Aˊ点的流速为 (ux dx) (ux dx)dt x t x u x ux ux dx dt x t ux
该液体质点通过A点时的加速度为
2 液 体 运 动 的 流 束 理 论
2.1
2.2 2.3 2.4 2.5
描述液体运动的两种方法
液体运动的一些基本概念 恒定总流的连续性方程 恒定总流的能量方程式 恒定总流的动量方程式
水力学2 液体运动的流束理论
2 液体运动的流束理论2.1 描述液体运动的两种方法拉格朗日法，以研究个别液体质点的运动为基础，来研究获得整个液体运动的规律性，又叫做质点法。
欧拉法，是以考察不同液体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流动空间内的流动情况，又叫作流场法。
2.2 液体运动的一些基本概念2.2.1 恒定流与非恒定流如果在流场中任何空间点上所有的运动要素都不随时间而变化，这种水流称为恒定流。
如果在流场中任何空间点上有任何一个运动要素随时间而变化，这种水流称为非恒定流。
2.2.2 流线与迹线迹线是指某一液体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点所连成的线。
由拉格朗日法引出。
流线是指某一瞬时在流场中绘出的一条曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。
所以流线表示出了瞬间的流动方向。
流线一般不相交，是光滑曲线或直线，流线的形状与固体边界的形状有关。
2.2.3 微小流速与总流（1）过水断面是指与微小流束或总流的流线成正交的横断面。
（2）流量是指单位时间内通过某一过水断面的液体体积。
常用Q表示，单位：m3/s （3）断面平均流速：如果过水断面A上各点的流速都相等并等于v，此时所通过的流量与实际上流速为不均匀分布时所通过的流量相等，则流速v就称为断面A的平均流速。
总流过水断面上的平均流速，是一个想象的流速。
2.3 恒定总流的连续性方程（水力学三大基本方程之一）★式中v1及v2分别为总流过水断面A1及A2的断面平均流速。
2.4 恒定总流的能量方程（1）理想恒定流微小束的能量方程上式是计算不可压缩理想液体恒定流微小流束的能量方程。
是单位重量液体具有的动能，。
液体中某一点的几何高度z代表单位重量液体的未能，代表单位重量液体的压能。
（2）实际液体恒定总流的能量方程（水力学三大基本方程之一）：★式中为动能修正系数，与过水断面上的流速分布情况有关，流速分布越均匀其值越接近1。
而则代表总流单位重量的液体由一个断面流至另一断面的平均能量损失。
水力学讲义第二章液体运动的流束理论
水 力 学 讲 义
2.1 概述
本章内容将作为解决工程实际问题的 基础。由于实际液体具有粘滞性，必然导 致能量的损耗，这就是水头损失。关于水 头损失放在下一章专门学习。本章内容较 多而且很重要。
水 力 学 讲 义
2.2 描述液体运动的拉格朗日法和欧拉法 （1）拉格朗日方法也称为质点系法， 它是跟踪并研究每一个液体质点的运动情 况，把它们综合起来就能掌握整个液体运 动的规律。这种方法形象直观，物理概念 清晰，但是对于易流动（易变形）的液体， 需要无穷多个方程才能描述由无穷多个质 点组成的液体的运动状态，这在数学上难 以做到，而且也没有必要。
水 力 学 讲 义
水 力 学 讲 义
（2）欧拉法：液体流动所占据的空 间称为流场。在水力学中，我们只关心 不同的液体质点在通过流场中固定位置 时的运动状态。把某瞬时通过流场各个 固定点的液体质点运动状态综合起来， 就能反映液体在某个时刻流场内的运动 状况。这种描述方法称为欧拉法，也称 流场法。
2.3 液体运动分类和基本概念
（3）元流、总流和过水断面
元流是横断面积无限小的流束，它的表面 是由流线组成的流管。由无数个元流组成的 宏观水流称为总流。与元流或总流的所有流 线正交的横断面称为过水断面。过水断面的 形状可以是平面（当流线是平行的直线时） 或曲面（流线为其它形状）。单位时间内流 过某一过水断面的液体体积称为流量，流量 用Q表示，单位为（m3/s）。
或表示为
水 力 学 讲 义
水 力 学 讲 义
流线有两个重要的性质，即流线不能相 交，也不能转折，否则交点（或转折）处 的质点就有两个流速方向，这与流线的定 义相矛盾。某瞬时通过流场中的任一点只 能画一条流线。流线的形状和疏密反映了 某瞬时流场内液体的流速大小和方向，流 线密的地方表示流速大，流线疏处表示流 速小。
流体力学知识点总结66703
流体力学知识点总结 第一章 绪论1 液体和气体统称为流体.流体的基本特性是具有流动性.只要剪应力存在流动就持续进行.流体在静止时不能承受剪应力。
2 流体连续介质假设：把流体当做是由密集质点构成的.内部无空隙的连续体来研究。
3 流体力学的研究方法：理论、数值、实验。
4 作用于流体上面的力（1）表面力：通过直接接触.作用于所取流体表面的力。
作用于A 上的平均压应力作用于A 上的平均剪应力应力法向应力 切向应力（2）质量力：作用在所取流体体积内每个质点上的力.力的大小与流体的质量成比例。
（常见的质量力：重力、惯性力、非惯性力、离心力）单位为5 流体的主要物理性质（1） 惯性：物体保持原有运动状态的性质。
质量越大.惯性越大.运动状态越难改变。
常见的密度（在一个标准大气压下）： 4℃时的水20℃时的空气（2） 粘性ΔFΔPΔTAΔAVτ法向应力周围流体作用的表面力切向应力A P p ∆∆=A T ∆∆=τAF A ∆∆=→∆lim 0δAPp A A ∆∆=→∆lim 0为A 点压应力，即A 点的压强 ATA ∆∆=→∆lim 0τ 为A 点的剪应力应力的单位是帕斯卡（pa ），1pa=1N/㎡，表面力具有传递性。
B Ff m =2m s 3/1000mkg =ρ3/2.1mkg =ρ牛顿内摩擦定律： 流体运动时.相邻流层间所产生的切应力与剪切变形的速率成正比。
即以应力表示τ—粘性切应力.是单位面积上的内摩擦力。
由图可知—— 速度梯度.剪切应变率（剪切变形速度） 粘度μ是比例系数.称为动力黏度.单位“pa ·s ”。
动力黏度是流体黏性大小的度量.μ值越大.流体越粘.流动性越差。
运动粘度 单位：m2/s 同加速度的单位说明：1）气体的粘度不受压强影响.液体的粘度受压强影响也很小。
2）液体 T ↑ μ↓ 气体 T ↑ μ↑ 无黏性流体无粘性流体.是指无粘性即μ=0的液体。
无粘性液体实际上是不存在的.它只是一种对物性简化的力学模型。
水力学 第二章液体运动的流束理论
第二章习题解答
1.8 解： V1 Q Q A D 2 3.14 1.52 1 4 4 1.02m / s
V2
Q Q 1.8 A2 2 3.14 2 D2 1 4 4 2.29m / s
以管轴中心线为基准面，对1-1，2-2 断面取能量方程
z1 p1
2 1v1
2-3 在一管路上测得过水断面1-1的测压管高度为1.5m， 过水面积A1为0.05m2，2-2断面的过水断面积A2为0.02 m2，两断面间水头损失hw为0.5，管中流量Q为20 ls， 试求2-2断面的测压管高度，已知z1为2.5m，z2为1.6m。
2－3 解：由连续原理求得
Q 0.02 v1 0.4m / s A1 0.05
2g
z2
p2
2 v2
2g
hw
p2 2.292 400 0 0 0 9.8 2 9.8 2 9.8
p2
1.022
40.8 0.053 0.268 40.585
p2 40.585 9.8 398KN / m 2
总压力P 1 p1 A 1 4001.765 706KN P2 p2 A2 398 0.785 312KN
Q VA 3.19m / s AA Q VB 5.66m / s AB
液体运动的流束理论
是t1时刻通过空间点A1的一条流线.
14
流线的绘制方法 15
性质3 流线不能相交，不能转折
原因：相交后，流线可能有两个方向
y
M
u1
u2
O
x
图 流线相交
16
性质4 流线上任一点的切线方向代表该点 的流速矢量方向。
性质5 流线分布的疏密程度反映流速的大小 ，密则大，疏则小。
18
二、微小流束
充满以流管为边界的一束液流，称为微小流束。
注意
1 流管中液体不会穿过管壁（流管）向外流动，流 管外的液体不会穿过流管管壁（流管）向内流动。
第一项：当地加速度（时变加速度） 第二项：迁移加速度（位变加速度）
9
2-2 恒定流与非恒定流
水位不变
恒定流：在流场中，任何空间点上所有的运动要素都不随 时间而改变。 运动要素仅仅是空间坐标的连续函数，而 与时间无关。恒定流 也称定常流 、稳定流。
10
恒定流时，所有的运动要素对于时间的偏导数 应等于零：
当其中的液体处于相对平衡——恒定流。但当 容器的旋转角速度突然改变，容器中的液体运动— —非恒定流 5 大海中潮起潮落现象——非恒定流
12
2-3 迹线与流线
拉格朗日法研究个别液体质点在不同时刻的运动情况， 引出了迹线的概念；
欧拉法考察同一时刻液体质点在不同空间位置的运动情 况引出了流线的概念。
一、迹线与流线的概念
5
对上式求导，可得到液体质点的速度
u
x
x(a, b, c, t ) t
u
y
y(a, b, c, t ) t
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一. 恒定流、非恒定流
• 若流场中各空间点上的
任何运动要素均不随时间 变化，称流动为恒定流。 否则，为非恒定流。
• 恒定流中，所有物
理量的欧拉表达式中 将不显含时间，它们 只是空间位置坐标的 函数，时变导数为零。
例如，恒定流的
流速场： u u(x, y, z)
u 0 t
• 恒定流的时变加速
度为零，但位变加速
度可以不为零。
•流动是
否恒定与所 选取的参考 坐标系有关, 因此是相对 的概念。
二. 迹线和流线
• 迹线是流体
质点运动的轨 迹，是与拉格 朗日观点相对 应的概念。
• 拉格朗日法中位移
表达式
r r(a,b,c,t)
即为迹线的参数方 程。
t 是变数，a,b,c 是
参数。
• 在欧拉观点下求迹线，因须跟定流体质点，此时欧拉变数
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
az
duz dt
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
• 时间因素与空间因素对加速度贡献的分解
t
z
M0
y
t+Δt
z
M M0’
y
x
x
a d u lim uM uM0 lim (uM0 uM0 ) (uM uM0 )
d t t0 t
三. 欧拉法
• 欧拉法是流场法，
它定义流体质点的速
度矢量场为： u u(x, y, z,t)
(x,y,z) 是 空 间 点 （ 场 点）。流速 u 是在 t 时 刻占据(x,y,z) 的那个流
体质点的速度矢量。
• 流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间
域上的场的形式表达。如加速度场、压力场等：
分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条 件。
• 欧拉法是描述流体运
动常用的一种方法。
四. 流体质点的加速度、质点导数
• 速度是同一流体质点的位
移对时间的变化率，加速度 则是同一流体质点的速度对 时间的变化率。
• 通过位移求速度或通过速
度求加速度，必须跟定流体 质点，应该在拉格朗日观点 下进行。
位置坐标（x, y, zห้องสมุดไป่ตู้，它是 t 的函数。给定初始时刻质点的位
置坐标，就可以积分得到迹线。
• 流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲
线，该瞬时位于流线上的流体质点之速度矢量都和流线相切。 流线是与欧拉观点相对应的概念。有了流线，流场的空间分布 情况就得到了形象化的描绘。
• 根据定义，流线的微分方程为
t 0
t
u
(u )u
t
举例
A A’ B B’
uAdt
uBdt
算子
全质 导点 数导
数
d dt
=
t
+ (u )
时变导数 当地导数 局部导数
位变导数 迁移导数 对流导数
例如 d (u )
d t t
d
dt
t
ux
x
uy
y
uz
z
不可压
d 0
dt
const 是其特例
§2—2 有关流场的几个基本概念
c,
t)
2 r(a, b,
t2
c,t)
u u(x, y, z,t)
• 若流场是用欧拉法
• 跟定流体质点
描述的，流体质点
加速度的求法必须
• 特别注意。
用欧拉法描述，处
理拉格朗日观点的
后，x,y,z 均随 t
变，而且
d(x, y, dt
z)
(ux
,uy
,uz
)
问题。
a du u u d x u d y u d z dt t x dt y dt z dt
a a(x,y,z,t)
p p(x,y,z,t)
拉格朗日法
着眼于流体质点，跟踪
跟踪 质点描述其运动历程
欧拉法
布哨
着眼于空间点，研究 质点流经空间各固定 点的运动特性
• 如果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不显
含时间 t ，这样的流场称为恒定流。否则称为非恒定流。
• 欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在
• 若流动是用拉格朗日法描述
的，求速度和加速度只须将位移 矢量直接对时间求一、二阶导数 即可。
• 求导时 a,b,c
作为参数不 变，意即跟定 流体质点。
u(a,b,c,t) d r(a,b,c,t) r(a,b,c,t)
dt
t
a(a, b,
c,t)
d
u(a, b, dt
c,
t)
u(a,b,
t
u t
ux
u x
uy
u y
uz
u z
( t
u )u
du dt
=
u t
+ (u )u
质
点
时变加速度
位变 加速度
加 速 度
由流速 不恒定 性引起
由流速不均 匀性引起
a du u (u )u d t t
分量 形式
ax
dux dt
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
duy dt
第二章 液体运动的流束理论
❖ 在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方 法，根据运动要素的特性对流动进行分类。
❖连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个 具体约束。
❖能量方程是能量守恒定律在水力学中的具体 体现。
❖动量方程是动量守恒定律在水力学中的具体 体现。
第二章 液体运动的流束理论
§2—1 描述流动的方法 §2—2 有关流场的几个基本概念 §2—3 恒定总流的连续性方程 §2—4 恒定总流的能量方程 §2—5 恒定总流的动量方程
(a,b,c) 是拉格朗日变数，即
t=t0 时刻质点的空间位置，用
来对连续介质中无穷多个质点 进行编号，作为质点标签。
易知 (a,b, c) r(a,b, c,t0)
• 流体在运动过程中其它运动要
素和物理量的时间历程也可用拉 格朗日法描述，如速度、密度等：
u u(a,b,c,t)
(a,b,c,t)
x,y,z 成为 t 的函数，所以迹线的微分方程为
dr u[x(t), y(t), z(t),t]dt
dx
dy
dz
dt
ux[x(t), y(t),z(t),t] uy[x(t), y(t),z(t),t] uz[x(t), y(t),z(t),t]
这是由三个一阶常微分方程组成的方程组，未知变量为质点
§2—1 描述流动的方法
一. 描述流体运动的困难
离散 质点系
流体
质点间 的约束
质点数
无 N个
弱 无穷
刚体
强 无穷
离散 质点系
流体
刚体
离散 质点系
流体
刚体
❖ 编号，逐点 描述
❖ 3N个自由度
困难： ❖ 无穷多质点 ❖ 有变形 ❖ 不易显示
六个自由 度运动
二. 拉格朗日法
• 拉格朗日法是质点系
法，它定义流体质点的 位移矢量为：r r(a,b,c,t)
udl 0
其中 dl d xi d yj d zk
i jk dx dy dz 0 ux uy uz