(浙江专版)高考数学一轮复习 专题4.6 正弦定理和余弦定理(练)

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第06节 正弦定理和余弦定理
A 基础巩固训练
1.【2018年理数全国卷II 】在中，，
，
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】A
2.【2018年全国卷Ⅲ文】
的内角
的对边分别为，，，若
的面积为
，则
A. B. C. D. 【答案】C
3.【2017课标II ，文16】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos bc B a C c A =+,则
B =
【答案】
3
π 【解析】由正弦定理可得
1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23
B B A
C C A A C B B B =+=+=⇒=
⇒= 4.【2018年北京卷理】在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．
【答案】(1) ∠A = (2) AC 边上的高为
（Ⅱ）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A ==
． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =
，∴h =
=
，∴AC 边上的高为
．
5. 【2017课标3，理17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin 0A A = ，a ,b =2. （1）求c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.
【答案】(1)4c = ； 【解析】
试题分析：(1)由题意首先求得23
A π
=
，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得4c = ；
(2)利用题意首先求得△ABD 面积与△ACD 面积的比值，然后结合△ABC 的面积可求得△ABD .
试题解析：（1）由已知得 tan A = ，所以23
A π
= . 在 △ABC 中，由余弦定理得 222844cos
3
c c π
=+- ，即22240c c +-= .
解得：6c =- (舍去)，4c = .
B 能力提升训练
1. 提出了已知三角形三边
求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并
大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”
若把以上这段文字写成公式，即
.现有周长为的满足
，则用以上给出的公式求得
的面积为
A. 12
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题意结合正弦定理可得：，
∵△ABC 周长为,即a+b+c=
，
∴a=4,b=6,c=
，
所以
，
本题选择D 选项.
2.【2017课标1，文11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，
a =2，c ，则C =
A ．
π
12
B ．
π6
C ．
π4
D ．
π3
【答案】B 【解析】
3.【2017浙江，13】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．
【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，
△ABE 中，1
cos 4
BE ABC AB ∠=
=，1cos ,sin 4DBC DBC ∴∠=-∠==
BC 1sin 2D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=
△．
又21cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-
∴∠=
，
cos sin BDC DBF ∴∠=∠=
综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=． 4.【2017浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，=6S ．
5.【2017北京，理15】在△ABC 中，A =60°，c =3
7
a . （Ⅰ）求sin C 的值；
（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.
【答案】【解析】
C 思维扩展训练
1.【2018届河南省南阳市第一中学第十九次考】已知
的内角，，的对边分别为，，，且
，
，点是
的重心，且
，则
的外接圆的半径为__________．
【答案】1
【解析】分析：如图，延长AD 交BC 于E ，易得
由条件
结合正弦定理及内角和
定理可得A=，再利用余弦定理解得a ，c ，再结合正弦定理易得结果. 详解：如图，延长AD 交BC 于E ，则
由正弦定理及得
，
因
故，
∴
∵
∴
∴
又，∴
即，∵
∴A=
在中，由余弦定理有
，
在中，由余弦定理有
，
又
故
∴
即①
又在
中，由余弦定理得
②
由①②解得
由正弦定理有
解得
，即
故答案为：1
2.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝8，c ＝6，A ＝3
π，∠BAC 的角平分线交边BC 于点
D ，则|AD |＝___________.
法二：在AC 上取|AE |＝|AB |＝6，连结BE ，则△ABE 为等边三角形
记AD 与BE 的交点为F
在△BEC 中，由余弦定理可得|BC |＝ 再由正弦定理：sin sin EC BC EBC BEC =
∠∠
可得sin ∠EBC tan ∠EBC
所以，在Rt△BFD中，|FD|＝3
又|AF|＝|AD|＝
3.【2018届浙江省金丽衢十二校第二次联考】已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，f（A）=，△ABC的面积为，AB=，求BC的长．
【答案】（1）（2）2或
【解析】分析：（1）先根据两角和与差正弦公式展开，再根据配角公式得基本三角函数形式，最后根据正弦函数周期公式求结果，（2）先求A,再根据面积公式求不，最后根据余弦定理求a.
详解：
解：函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．
化简可得：f（x）=2sinxcos+cosx=sinx+cosx=2sin（x+）
（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=；
（Ⅱ）由f（A）=，即2sin（A+）=，
∴sin（A+）=，
∵0＜A＜π，
∴＜（A+）．
可得：（A+）=或
则A=或A=．
当则A=时，△ABC的面积为=bcsinA，AB=c=，
∴b=AC=2
余弦定理：BC2=22+（2）2﹣2××cos，
解得：BC=2
当A=时，△ABC的面积为=bc，AB=c=，
∴b=AC=1
直角三角形性质可得：BC2=22+（2）2，
解得：BC=．
4. 【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】在中，角
的对边分别为
，且
．
（1）求角； （2）若，求
的面积最大值． 【答案】（1）
（2）
（Ⅱ）由余弦定理得：，
即， 整理得：
．
（当且仅当取等号），
，即
，
，
故
面积的最大值为
．
5.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2a =，2
4
2cos sin 25
B C A ++=. （1）若满足条件的ABC ∆有且只有一个，求b 的取值范围； （2）当ABC ∆的周长取最大值时，求b 的值.
【答案】（1）10
(0,2]{}3
；（2【解析】
试题分析：（1）首先利用三角恒等变形求出A 的三角函数值，再利用正弦定理即可求解；（2）利用正弦定理将周长的表达式转化为以B 为变量的函数，利用三角函数的性质即可求解. 试题解析：（1）2
442cos
sin 1cos()sin 255B C A B C A ++=⇒+++=，即1
sin cos 5
A A -=-， 又∵0A π<<，且22
sin cos 1A A +=，有3sin 54cos 5A A ⎧
=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
，若满足条件的ABC ∆有且只有一个，则有
sin a b A =或a b ≥，则b 的取值范围为10
(0,2]{}3；（2）设ABC ∆的周长为l ，由正弦定理得
10
(sin sin )2[sin sin()]sin 3
a l a
b
c a B C B A B A =++=+
+=++
+ 10
2(sin sin cos cos sin )22(3sin cos )2)3
B A B A B B B B θ=+
++=++=++， 其中θ
为锐角，且sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
max 2l =
+cos B =
，sin B =时取到，
此时sin sin a
b B A
==。