问题解决模式下高中数学复习课教学——以“直线与方程”复习课为例

问题解决模式下高中数学复习课教学
以 直线与方程 复习课为例
王智星
(南京师范大学灌云附属中学ꎬ江苏连云港２２２２００)
摘㊀要:在高中数学复习课教学中ꎬ引入问题解决理念ꎬ尝试搭建开放式问题学习和探究情境ꎬ从问题启思㊁合作讨论㊁追问溯源㊁回问总结中ꎬ可更好地帮助学生全面掌握数学知识点.
关键词:高中数学ꎻ问题解决模式ꎻ复习课教学
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)１２－００３５－０３
收稿日期:２０２４－０１－２５
作者简介:王智星(１９９０.２ )ꎬ男ꎬ江苏省灌云人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事中学数学教学研究.
㊀㊀复习课ꎬ顾名思义是对所学章节知识点的再现
与回顾ꎬ也是高中数学重要课型之一.对于复习课的设计ꎬ总体上聚焦章节内知识点的逻辑关系ꎬ帮助学生认识㊁理解数学思想和解题方法ꎬ升华学生数学学习能力[１].问题解决模式ꎬ最显著特点是将 问题 作为课堂教学的主线ꎬ引领学生去发现问题㊁思考问题㊁探索问题㊁解决问题.依托问题解决模式教学ꎬ可以强化学生对数学问题的学习力㊁思维力和解题力.
１问题的提出
问题解决模式是数学学科素养落地的有效途径ꎬ能够让学生从问题解决中获得必备品格和关键能力.高中数学学科ꎬ数学抽象㊁逻辑推理㊁数学建模㊁数学运算㊁数据分析㊁直观想象等都是必备素养ꎬ而这些素养的获得ꎬ可以通过问题解决教学模式来实现.
本节课程的教学设计以 直线与方程 复习课为例ꎬ引入问题解决模式.问题的选择由学生提ꎬ解决思路的确定由学生想ꎬ解题方法由学生说.课堂由 四问 构成ꎬ即启问㊁探问㊁追问㊁回问ꎬ依托问题情境ꎬ激活数学课堂.考虑到一节课课程容量的有限性ꎬ本节复习重点渗透 大单元 理念ꎬ从 直线 学习入手ꎬ探究与 直线 相关的解题方法ꎬ再
延伸到对一般 曲线 的解题路径.让学生体认 坐标法 在解决几何问题中的重要价值ꎬ感悟数形结合思想的运用.
２案例呈现与教学过程分析
在对 直线与方程 章节复习课设计上ꎬ按照循序渐进的认知规律ꎬ将整个课程分为浅度开放㊁中度开放㊁深度开放三个环节ꎬ每一环节均由问题展开.通过问题来解释本章节知识点ꎬ在问题解决中探究数学解题思路和方法ꎬ让学生认识㊁掌握 坐标法 ꎬ并抓住高中数学解析几何问题的解题精髓.２.１浅度开放设计环节
在课堂伊始ꎬ引出问题:对本节所学的直线ꎬ请
回忆并思考ꎬ采用的是什么方法?在直角坐标系中ꎬ对于直线ꎬ需要通过两个坐标点来确定.如图１所示ꎬ点Ｐ的坐标为(１ꎬ２)ꎬ有直线ｌ经过点Ｐꎬ请思考ꎬ再增加一个条件ꎬ来确定并求出该直线ｌ所对应的方程.显然ꎬ复习课设计ꎬ教师所设定的问题ꎬ要指向本节主要知识点.对于 直线 的学习ꎬ认识直线的构成要素ꎬ了解直线方程及表示方法ꎬ分析直线与直线之间的关系ꎬ等等.
在本例中ꎬ有学生想到ꎬ可以增加 斜率 条件来确定直线ｌ所对应的方程ꎻ有学生想到ꎬ可以增加
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图１㊀直线ｌ示意图
某一个点 的坐标ꎬ来确定直线ｌ所对应的方程ꎻ还有学生想到ꎬ可以增加 截距 来确定直线ｌ所对应的方程.斜率㊁点㊁截距ꎬ都是本节所涉及直线方程所要考虑的知识点.在课堂上ꎬ为了便于学生对相关问题完成解答ꎬ结合学生的回答分别给出相应条件ꎬ让学生对照条件ꎬ来推导出直线ｌ所对应的方法.
问题１:当增加的斜率为 ２ 时ꎬ则该直线方程如何表达?
问题２:当直线ｌ同时经过点Ｐ(１ꎬ２)㊁点Ｑ(３ꎬ０)时ꎬ直线方程如何表达?问题３:当直线ｌ在ｘ轴㊁ｙ轴上的截距相等时ꎬ
直线方程如何表达?
问题１的解题思路:已知条件有点Ｐ坐标ꎬ还有斜率ｋꎬ则根据直线方程表达式ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ代入方程求出ｂ的值ꎬ则推导出该直线ｌ所对应的方程ꎻ对于问题２:根据点Ｐ㊁点Ｑ两个点所对应的坐标ꎬ可以分别代入直线方程ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ求出ｋ㊁ｂ的值ꎬ即得到直线方程ꎻ对于问题３:给出的条件是经过点Ｐ的坐标ꎬ还有与ｘ轴㊁ｙ轴截距相等.在两轴上ꎬ截距相等ꎬ可以有多种情形ꎬ而不同情形所对应的直线方程也不同.比如ꎬ当直线ｌ过点Ｐꎬ并在第二象限与ｘ轴㊁ｙ轴截距相等时ꎬ可以计算出直线的斜率为 １ ꎬ还可以在第一象限㊁第四象限共计三种情形.可见ꎬ截距相等关系具有开放性ꎬ需要学生能够打开思维ꎬ考虑多种情况下的直线方程.
最后ꎬ引出 回问 ꎬ从上述直线方程的求解中ꎬ请学生思考:表示直线方程有哪几种形式?这些形式能否表示平面内的所有直线?直线方程之间能互化吗?在组织学生对直线方程表达形式的讨论后ꎬ对所复习的知识点进行综合ꎬ借助思维导图来厘清知识点之间的逻辑关系如图２所示.对直线方程的表达方式主要有三种ꎬ即点斜式
㊁图２㊀ 直线的方程 思维导图
两点式㊁一般式.考虑到特殊情况ꎬ对垂直于坐标轴的情形除外.点斜式中ꎬ还存在斜截式情形ꎻ两点式中ꎬ还存在截距式.对于一般式ꎬ则可以表示平面内的所有直线.
２.２中度开放设计环节
复习课上ꎬ对问题解决模式的应用ꎬ所设置的问题
还要强调对学生问题意识㊁质疑精神的激发ꎬ让学生能够从问题解决中积累数学知识经验.关于 直线与方程 章节的复习ꎬ引入变式问题ꎬ如图３所示
.
图３㊀变式问题
某直线ｌ过点Ｐ(１ꎬ２)ꎬ与ｘ轴㊁ｙ轴相交于Ａ㊁Ｂ两点.请思考ꎬ增加某一条件ꎬ来确定直线并求出直线ｌ所对应的方程.问题的引出ꎬ要给予学生思考的时间.教师要适当启发学生ꎬ联系本章所学的知识点ꎬ翻阅教材ꎬ拓宽思路.对该问题的设计ꎬ意图在于让学生选择恰当的方式来求解直线方程.题意中ꎬ直线的位置具有开放性ꎬ为学生讨论㊁探究搭建了空间.对相关题型的回忆ꎬ有学生想到了 待定系数法 .将学习主动权交给学生ꎬ鼓励学生展开交流㊁碰撞思维ꎬ突出 学中做 做中学 .对方程思想的学习ꎬ有助于学生主动去发现㊁分析和解决问题.有学生根据题设已知条件ꎬ想到了三角形的周长㊁面
积㊁线段ＰＡ＝２ＰＢ㊁向量ＰＡң ＰＢң
等条件ꎬ让一道题目变成了多道题目.
比如ꎬ结合图３ꎬ当ＳәＡＯＢ＝３时ꎬ求直线ｌ所对应
的方程.在解析中发现ꎬ当әＡＯＢ的面积为３ꎬ所得结果无解.有学生对 无解 感到疑惑ꎬ怀疑自己是不是解错了.通过检验ꎬ之所以出现 无解 情形ꎬ主
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要是因为三角形的面积ꎬ与边长有一定范围有关.如
果改变面积值ꎬ再对比有解的条件下ꎬ求出直线ｌ所
对应的方程.在这个过程中ꎬ对于三角形的面积ꎬ又
适度延伸新的数学问题 最值问题 .
再如ꎬ某例题中ꎬ过点Ｐ(１ꎬ２)的直线ｌ与ｘ轴㊁ｙ轴交于Ａ㊁Ｂ两点ꎬ当әＡＯＢ面积最小时ꎬ直线ｌ所对应的方程是什么?针对条件әＡＯＢ面积最小ꎬ学
生需要运用不等式来求解ꎬ最终得出直线方程为２ｘ＋ｙ－４＝０.对该题进行变式训练ꎬ同样过点Ｐ(１ꎬ２)的直线ｌꎬ再给出ｌᶄ所对应的方程为ｘ＋ｙ－５＝０.请
思考ꎬ对这两条直线ꎬ可以提出哪些问题?这一设计
旨在转变教学重点.前面所讲内容ꎬ侧重于对直线方
程的求解方法ꎬ接下来ꎬ通过两条直线方程ꎬ让学生
思考直线与直线之间的位置关系.在平面坐标系中
有两条直线ꎬ以提问的方式ꎬ带领学生复习两条直线
的位置关系问题ꎬ进而渗透数形结合思想㊁方程思
想ꎬ夯实学生的 四能 .
学生通过回顾ꎬ同一平面内ꎬ两条直线的位置关
系有三种ꎬ即平行㊁垂直㊁相交.对已知直线ｌ与直线ｌᶄꎬ前者的条件有过点Ｐ的坐标ꎬ后者有具体的直线方程.由此ꎬ学生对这两条直线编写问题如下:当直线ｌ与ｌᶄ平行时ꎬ直线ｌ所对应的方程是什么?在解法上ꎬ两条直线平行ꎬ则具有相同的 斜率 ꎬ可以根据ｌᶄ的斜率ꎬ点Ｐ(１ꎬ２)的坐标ꎬ得到直线ｌ方程.还可以编写问题如下:当直线ｌ与ｌᶄ垂直时ꎬ直线ｌ所对应的方程是什么?在解法上ꎬ两条直线垂直ꎬ根据两个斜率乘积之值为 －１ ꎬ可以据直线ｌᶄ的斜率ꎬ得出直线ｌ的斜率ꎬ进而求解出直线ｌ的方程.还可以编写问题如下:当直线ｌ与ｌᶄ相交时ꎬ求解直线ｌ的斜率ｋ的取值范围.这一问题的设计具有开放性ꎬ两直线相交ꎬ交点的位置有几种情况?如果两条直线的交点在第一象限ꎬ则直线ｌ的斜率ｋ取值范围是多少?２.３深度开放设计环节
前面两个环节所设计的问题ꎬ利用变式训练为
学生创设多种可能的解题空间.接下来ꎬ走向深度的
开放题设计:某题中ꎬ已知点Ｐ(１ꎬ２)ꎬ直线ｌᶄ对应的
方程为ｘ＋ｔｙ－５＝０.据此ꎬ可以提出哪些问题?该
题题设条件ｙ项系数由 １ 变成了 ｔ ꎬ将固定的直
线变成了可动的直线.再对照点Ｐ的左边ꎬ一个点与一条可变的直线之间ꎬ有学生想到了利用点到直
线的距离来设置问题ꎬ也有学生想到了定点问题.这
些问题ꎬ其设计较为简单.比如ꎬ某直线ｌᶄꎬ恒过某定
点ꎻ或者ꎬ某直线ｌᶄꎬ求点Ｐ到该直线的距离最大值.
教师通过启发ꎬ让学生从 代数 视角ꎬ再延伸
新的问题.比如ꎬ在坐标系中ꎬ有直线ｌᶄꎬ对应方程为ｘ＋ｔｙ－５＝０ꎬ直线ｌꎬ对应方程为ｔｘ－ｙ－ｔ＋２＝０.当这两条直线相交于点Ｑꎬ可以提出哪些问题?直线ｌᶄ和直线ｌ都变成了动线ꎬ由前面的 一动 过渡到 两动 ꎬ让学生运用直线的性质ꎬ来分析两条可动直线之间的关系.显然ꎬ对该题提出问题ꎬ难度较大ꎬ
对两条动态直线的讨论ꎬ进一步提升学生的 四能
能力.如图４中ꎬ直线ｌᶄ与直线ｌ相较于点Ｑꎬ求әＱＡＰ的面积最大值.
图４㊀深度开放问题示意图
据直线ｌᶄ方程可知ꎬ该直线交ｘ轴于点Ａ(５ꎬ０)该点为恒定点.据直线ｌ方程可知ꎬ该直线恒过定点Ｐ(１ꎬ２).再对照图形可知ꎬ两直线始终处于垂直状态.由此可得ꎬ两直线垂直ꎬ则可以根据线段ＱＡ与ＱＰ的长度ꎬ得到әＱＡＰ的面积.再对该题进行变式训练ꎬ当直线ｌᶄ与直线ｌ相交于点Ｑꎬ求点Ｑ的轨迹图形是什么?
３结束语
问题解决模式下的复习课教学ꎬ教师要对接 四基 和 四能 .借助章节主要知识点ꎬ通过问题变式设计ꎬ指导学生分析㊁思考㊁解决数学问题.
参考文献:
[１]孙丙虎ꎬ葛勇.高中数学中 智慧课堂ꎬ问题解决 复习课教学模式探究[Ｊ].读写算ꎬ２０２０ꎬ１１８１(３４):１１１－１１２.
[责任编辑:李㊀璟]
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