徐汇区2014学年第二学期学习能力诊断卷高三年级数学学科 省赛一等奖

徐汇区2014学年第二学期学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）
适用年级：高三建议时长：0分钟试卷总分：150.0分
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题。

1.已知集合，集合，则=____.（4.0分）
2.若复数z=1-2i(i为虚数单位)，则=____.（4.0分）
3.已知直线l的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为____.（
4.0分）
4.某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数．若从中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是____.（4.0分）
5.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则△ABC的面积为
____.（4.0分）
6.设函数，则不等式的解为____.（4.0分）
7.直线y=x与曲线(为参数，)的交点坐标是____.（4.0分）
8.甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为____.（4.0分）
9.矩阵中每一行都构成公比为2的等比数列，第i列各元素之和为，则=____.（4.0分）
10.如图所示：在直三棱柱中，，,则平面与平面所成的二面角的大小为____.（4.0分）
11.执行如图所示的程序框图，输出的结果为a，二项式的展开式中项的系数为，则常数m=____.（4.0分）
12.设f(x)是定义域为R的奇函数，g(x)是定义域为R的偶函数，若函数f(x)+g(x)的值域为[1,3)，则函数f(x)-g(x)的值域为____.（4.0分）
13.△ABC所在平面上一点P满足(m＞0，m为常数)，若△ABP的面积为6，则
△ABC的面积为____.（4.0分）
14.对于曲线C所在平面上的定点，若存在以点为顶点的角α，使得对于曲线C上的任意两个不同的点A,B恒成立，则称角α为曲线C相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C相对于点的“确界角”．曲线相对于坐标原点的“确界角”的大小是____.（4.0分）
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。

1.下列不等式中，与不等式同解的是（）（5.0分）(单选)
A.
B.
C.
D.
2.设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么（）（5.0分）(单选)
A. 是必然事件
B. 是必然事件
C. 与一定为互斥事件
D. 与一定不为互斥事件
3.在极坐标系中，与曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程是（）（5.0分）(单选)
A.
B.
C.
D.
4.已知函数，各项均不相等的数列满足．令
．给出下列三个命题：(1)存在不少于3项的数列，使得；
(2)若数列的通项公式为，则对恒成立；
(3)若数列是等差数列，则对恒成立．
其中真命题的序号是（）（5.0分）(单选)
A. (1)(2)
B. (1)(3)
C. (2)(3)
D. (1)(2)(3)
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题。

1.如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB的中点．现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且．
（1）求该圆锥的全面积；
（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）（12.0分）
2.一个随机变量的概率分布律如下：
P cos2A sin(B+C)
其中A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角．
（1）求A的值；
（2）若，，求数学期望的取值范围．（14.0分）
3.用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点A、B，抛物线与梯形下底的两个焊接点为C、D．已知梯形的高是40厘米，C、D两点间的距离为40厘米．
（1）求横梁AB的长度;
（2）求梯形外框的用料长度．
（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）（14.0分）
4.已知函数，．
（1）求函数的零点；
（2）若直线(a、b、c为常数)与f(x)的图像交于不同的两点A、B，与g(x)的图像交于不同的两点C、D，求证：|AC|=|BD|；
（3）求函数的最小值．（16.0分）
5.对于一组向量，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“h向量”．
（1）设，若是向量组的“h向量”，求实数x的取值范围；
（2）若，向量组是否存在“h向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知均是向量组的“h向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值．（18.0分）。