高考数学复习-二项式定理及其应用

二项式定理及其应用
链教材 夯基固本
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激活思维
1．(人A 选必三P31T4)(x－1)10的展开式的第6项的系数是
A．－C610
B．C610
C．－C510
D．C510
( C)
【解析】由题得 Tr＋1＝C1r0x10-r(－1)r(r＝0，1，2，…，10)，令 r＝5，得 T6＝C510x5(－1)5 ＝－C510x5，所以(x－1)10 的展开式的第 6 项的系数是－C510.
总结 提炼
求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数 项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即 可.
研题型 能力养成 举题说法
变式
(2023·大庆一检)已知
x－2xn的展开式中第 4 项与第 5 项的二项式系数之比
是 2∶3，则 n＝__9___，展开式的常数项为__－__6_7_2___(用数字作答)．
目标 2 (a＋b)m(c＋d)n的展开式中的特定项
2 (2023·嘉兴期末)(1－x)4(1＋2y)3的展开式中xy2的系数为___－__4_8__(用数字作 答)． 【解析】(1－x)4(1＋2y)3 的展开式中 xy2 的系数是(1－x)4 的展开式中 x 的系数与(1＋ 2y)3 的展开式中 y2 的系数之积，即 C14·(－1)×C23·22＝－48.
3．(2023·湖北八市三月联考)已知二项式(2x－a)n的展开式中只有第4项的二项式系
数最大，且展开式中x3项的系数为20，则实数a的值为___－__12___． 【解析】因为二项式的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，所以 n＝6，二项式的 通项为 Tr＋1＝C6r(2x)6-r·(－a)r，令 6－r＝3，解得 r＝3，所以展开式中 x3 项为 C36·(2x)3(－ a)3＝－160a3x3，由－160a3＝20，解得 a＝－12.
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5．(人A选必三P31T5)在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系
数是___－__1_5__． 【解析】 在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中含x4的项即从5个因式中取4个 x，1个常数，所以含x4的项为－5x4－4x4－3x4－2x4－x4＝－15x4.所以展开式中，含x4 的项的系数是－15.
项为
( B)
A．60
B．80
C．100
D．120
【解析】令 x＝1，得 3n＝243，则 n＝5，则二项展开式的通项为 Tr＋1＝Cr5(x3)5-rx22r＝ C5r2rx15-5r，令 15－5r＝0，得 r＝3，故展开式中的常数项为 T4＝C3523＝80.
研题型 能力养成 举题说法
2．(2023·石家庄一模)若x－3xn的展开式中所有奇数项的二项式系数和为 32，则展开
【答案】BC
研题型 能力养成 举题说法
3 (2) (2023·唐山模拟)(多选)下列关于1x－2x6的展开式的说法正确的是 (
)
A．第 2 项的二项式系数与第 6 项的二项式系数相等
B．第 4 项的系数最大
C．第 4 项的二项式系数最大
D．所有项的系数和为 1
【解析】1x－2x6的展开式的通项为 Tk＋1＝Ck6·1x6－k·(－2x)k＝(－2)kCk6·x2k-6.对于 A，因 为 C16＝C56，故 A 正确；
Байду номын сангаас
研题型 能力养成
研题型 能力养成 举题说法
举题说法
目标 1 (a＋b)n的展开式中的特定项
1 (2023·无锡期末)若2x2－1xn的展开式中第 5 项为常数项，则该常数项为___6_0__ (用数字表示)． 【解析】2x2－1xn的展开式的通项为 Tr＋1＝Cnr(2x2)n－r－1xr＝Crn2n－rx2n-2r(－1)rx－r＝Cnr2n －r·(－1)rx2n-3r，第 5 项为常数项，即当 r＝4 时，2n－12＝0，所以 n＝6，T5＝C4622(－ 1)4＝15×4＝60.
n
n＋1
当 n 为偶数时，第2＋1 项的二项式系数最大，最大值为 ；当 n 为奇数时，第 2
n＋3 项和第 2 项的二项式系数最大，最大值为 和 .
(3) 各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝___2_n__，C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n ＋…＝____2_n_-1___．
研题型 能力养成 举题说法
目标 3 二项式系数的性质及系数和
3 (1) (多选)已知函数f(x)＝(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6(ai∈R，i＝0，1，
2，3，…，6)的定义域为R，则
()
A．a0＋a1＋a2＋…＋a6＝－1 B．a1＋a3＋a5＝－364 C．a1＋2a2＋3a3＋…＋6a6＝12 D．f(5)被8整除的余数为7
式中的常数项为___－__5_4_0__． 【解析】由题意及二项式系数的性质可得 2n-1＝32，解得 n＝6，所以其展开式的通项 为 Tr＋1＝C6rx6-r－3xr＝(－3)rCr6x6-2r.依题意，令 6－2r＝0，解得 r＝3，所以展开式中的 常数项为(－3)3C36＝－540.
研题型 能力养成 举题说法
总结 提炼
形如(ax＋b)n，(ax3＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常采 用赋值法，只需令x＝1即可；求常数项，令x＝0即可．有时也可令x＝－1，求a0－ a1＋a2－a3＋….
研题型 能力养成 举题说法
1．(2023·苏北苏中二模)已知x3＋x22n的展开式中各项系数和为 243，则展开式中常数
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4．(人A 选必三P38T9改)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的
项的系数是 A．74
B．121
( D)
C．－74
D．－121
【解析】因为在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8 中，含 x3 的项为(C35＋C36＋C37＋ C38)(－x)3，所以含 x3 的项的系数是－(C35＋C36＋C37＋C38)＝－(10＋20＋35＋56)＝－121.
二项式系数
展开式中各项的二项式系数为 Cnk(k∈{0，1，2，…，n})
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2．二项式系数的性质
(1) C0n＝1，Cnn＝1，Cmn＋1＝___C_mn_-_1＋__C__mn __，Cmn ＝__C_nn_－_m__(0≤m≤n). (2) 二项式系数先增后减中间项最大．
总结 提炼
对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结 合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
研题型 能力养成 举题说法
变式 已知二项式2－ax·(1－2x)4 的展开式中 x3 的系数是－70，则实数 a 的值为
( D)
A．－2
B．2
C．－4
D．4
研题型 能力养成 举题说法
4．(多选) 若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论正确的是
( ACD )
A．a0＝1 C．a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35
B．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2 D．a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝－1
【解析】 令x＝0，得a0＝15＝1，故A正确； 令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－a0＝－ 2，故B错误；
令x＝－1，得35＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，故C正确； 因为二项式(1－2x)5 的展开式的通项为 Tr＋1＝C5r(－2)rxr，所以当 r 为奇数时，Cr5(－2)r 为负数，即 ai＜0(其中 i 为奇数)，所以 a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋ a4＋a5＝－1，故 D 正确．
n！
【解析】由题意得CC3n4n＝23，即3！(nn！－3)！＝23，解得
n＝9.
x－2x9的展开式的通项为 Tr
4！(n－4)！
＋1＝Cr9·( x)9-r·－2xr＝Cr9·(－2)r·x9－23r，令9－23r＝0，解得 r＝3，故展开式中的常数项
为 C39×(－2)3＝－672.
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研题型 能力养成 随堂内化
随堂内化
1．(2023·阜阳一模) ( x－2)6 的展开式中 x2 的系数为
(C )
A．15 C．60
B．－15 D．－60
【解析】展开式的通项公式为 Tr＋1＝C6r( x)6-r·(－2)r，令 6－r＝4，得 r＝2，所以 T3＝ C26( x)4(－2)2＝4C26x2＝60x2，所以 x2 的系数为 60.
【解析】由题知2－ax(1－2x)4＝2×(1－2x)4－ax×(1－2x)4，(1－2x)4 的展开式的通项 为 Tk＋1＝Ck4(－2x)k＝(－2)kC4kxk，k＝0，1，2，3，4，所以 2×(1－2x)4 的展开式中 x3 的 系数是 2×(－2)3C34＝－64，ax×(1－2x)4 的展开式中 x3 的系数是1a×(－2)2C24＝2a4，所 以－64－2a4＝－70，解得 a＝4.
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聚焦知识
1．二项式定理
二项式定理
(a ＋ b)n ＝ ____C_0n_a_n＋__C__1na_n_-1_b_1_＋__…__＋__C_kn_a_n－_k_b_k＋__…__＋__C__nnb_n____ (n∈N*)
二项展开式的通项公式 Tk＋1＝____C_nk_a_n_－_kb_k____，它表示第___k_＋__1__项
研题型 能力养成 举题说法
【解析】当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋a6＝(1－2)6＝1①，故A错误； 当 x＝－1 时，a0－a1＋a2－…＋a6＝(1＋2)6＝36②，由①－②得 2(a1＋a3＋a5)＝1－36， 解得 a1＋a3＋a5＝1－236＝－364，故 B 正确； f′(x)＝－12(1－2x)5＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋6a6x5，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋6a6 ＝－12×(1－2)5＝12，故C正确； f(5)＝96＝(8＋1)6＝86＋C16·85＋C26·84＋…＋C56·8＋1，所以 f(5)被 8 整除的余数为 1， 故 D 错误．
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对于 B，由通项公式知，若要系数最大，k 所有可能的取值为 0，2，4，6，所以 T1＝ x-6，T3＝4C26x-2＝60x-2，T5＝(－2)4C46x2＝240x2，T7＝(－2)6x6＝64x6，所以展开式第 5 项的系数最大，B 错误； 对于C，展开式共有7项，故第4项的二项式系数最大，C正确； 对于D，令x＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D正确． 【答案】ACD
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2．(人A必选三P34T1(2))若二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2项的系数为15，则n
＝ A．4
B．5
( C)
C．6
D．7
【解析】二项式(x＋1)n 的展开式的通项是 Tr＋1＝Cnrxr，令 r＝2，得 x2 的系数是 C2n.因 为 x2 的系数为 15，所以 C2n＝15，即 n2－n－30＝0，解得 n＝6 或 n＝－5.因为 n∈N*， 所以 n＝6.
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3．(1－2x)(x＋2)3的各项系数和为
A．－27 C．16
B．27 D．－16
( A)
【解析】 (1－2x)(x＋2)3＝－2x4－11x3－18x2－4x＋8，各项系数和为－2－11－18－4 ＋8＝－27.
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2．(2023·长沙月考)1x－2(1－2x)4 的展开式中常数项为
( D)
A．－4
B．－6
C．－8
D．－10
【解析】(1－2x)4 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝C4r(－2x)r＝Cr4(－2)r·xr，所以1x－2(1－ 2x)4 的展开式中常数项为 C14×(－2)＋(－2)×C04＝－8－2＝－10.