导函数章节复习提纲

导函数章节复习提纲
一、 切线问题
题型一：已知切点，求曲线的切线方程 例1
曲线
32
31y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ）
Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 例2 设曲线1
1
x y x +=
-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a= （ ） A ．2
B ．12
C ．―1
2
D ．―2
题型二：已知过曲线上一点，求切线方程 例1 求过曲线
3
2y x x =-上的点(11)-，的切线方程．
题型三：已知过曲线外一点，求切线方程
例1 求过点(20)，
且与曲线1
y x
=相切的直线方程．
题型四、曲线的切线与最值问题
例1.点p 0在曲线f (x )＝x 3＋x －2（2x ≥-）上，求p 0到直线y ＝4x －1的距离的最小值为 。

题型五、两条曲线的公切线问题
例.若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝_______
二、 单调性问题
题型一 不含参数的函数的单调性
例1 求函数f (x )＝ln x
x
的单调区间．
例2、已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32
，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线
垂直于直线y ＝1
2x .
(1)求a 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间
题型二 含参数的函数的单调性
例1、已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．
例2、已知函数f (x )＝e x
－ax ，讨论函数()f x 的单调性；
例3、 已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋
a ＋1
x
－1. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当－1
2≤a ≤0时，讨论f (x )的单调性．
例4、已知函数g (x )＝2a ln(x ＋1)＋x 2
－2x ，当a ≠0时，讨论函数g (x )的单调性
题型三 利用函数单调性求参数
例1 已知f (x )＝x 3
－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是________．
例2 设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2
＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.
1、求b ，c 的值；
2、若a >0，求函数f (x )的单调区间；
3、设函数g (x )＝f (x )＋2x ，
（1）g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．
（2）若g (x )在(－2，－1)内为减函数，如何求解？ （3）若g(x)的单调减区间为(－2，－1)，求a 的值． （4）若g(x)在(－2，－1)上不单调，求a 的取值范围．
补充：函数构造
几种导数的常见构造：
1．对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -= 若遇到()()0'≠>a a x f ，则可构()()ax x f x h -=
2．对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h += 3．对于'()()0f x f x +>，构造()()x f e x h x =
4．对于'()()f x f x > [或'()()0f x f x ->]，构造()
()x
f x h x e = 5．对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h = 6．对于()()0'>-x f x xf ，构造()()x
x f x h =
7. 对于()()'0xf x nf x +>，构造()()n h x x f x = 8. 对于()()'0xf x nf x ->，构造()()n
f x h x x =
9.对于()cos ()sin 0f x x f x x '+>，构造()()
cos f x h x x
=
10.对于()cos ()sin 0f x x f x x '->，构造()cos ()h x xf x =
一、构造函数法比较大小
例1．已知函数的图象关于y 轴对称,且当
成立，0.2
0.22
(2)a f =，log 3(log 3)b f ππ=，33log 9(log 9)c f =,则,,a b c 的大
小关系是 ( )
.A a b c >> .B a c b >> .C c b a >> .D b a c >>
二、构造函数法解恒成立问题
例、函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且2
2()()f x xf x x '+>，下面不等式恒成立的是
（ ）
A ．0)(>x f
B ．0)(<x f
C ．x x f >)(
D ．x x f <)(
三、构造函数法解不等式
例1.函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，()2f x '>，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )
A ．(－1,1)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－∞，＋∞)
例、设函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)(x f '，且有
2)()(2x x f x x f >'+，则不等式0)2(4)2014()2014(2>--++f x f x 的解集为（ ）
A.)2012
,(--∞ B.)0,2012(- C.)2016,(--∞ D.)0,2016(-
例、已知函数()f x 为定义在R 上的可导函数，且()'()f x f x <对于任意x R ∈恒成立，且
(1)f e =，则
()
1x
f x e <的解集为
四、构造函数法求值
已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足
()
()
x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <， (1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，若有穷数列*
()()()f n n N g n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭
的前n 项和等于3132，则n 等于 .
三、 极值最值问题
题型一、根据函数图象判断极值
例1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)
B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)
C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)
D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)
题型二 求函数的极值
例 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2
＋1－3a
(a ∈R 且a ≠0)，求函数f (x )的极大值与极小值．
题型三、已知极值求参数
例 已知f (x )＝x 3
＋3ax 2
＋bx ＋a 2
在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.
(2)若函数f (x )＝x 33－a
2x 2
＋x ＋1在区间(12，3)上有极值点，则实数a 的取值范围是( )
A ．(2，5
2)
B ．[2，5
2)
C ．(2，10
3
)
D ．[2，10
3
)
（3）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a
b
的值为( )
A ．－23
B ．－2
C ．－2或－2
3
D ．2或－2
3
（4）设函数f (x )＝ln x －1
2ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________．
题型四、函数的最值
例 已知a ∈R ，函数f (x )＝a
x
＋ln x －1.
(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值．
拔高题：极值点偏移
已知函数()2
11x
x f x e x
-=
+. (1)求()f x 的单调区间；
(2)证明:当()()()1212f x f x x x =≠时，120x x +<.
四、简单恒成立，存在性问题 常用方法
1构造函数（最值法） 2 分离参数 3 主参换位 4数形结合
一、给定自变量范围的恒成立问题
例1．设函数.0ln 22>+-=a ax x x a x f ，）（ (I)求)(x f 的单凋区间：
(Ⅱ)求所有实数a ，使e ，2)(1e x f ≤≤对[]e x ,1∈恒成立。

注；e 为自然对数的底数。

二、双变量问题
例、已知函数12)(2
+-=ax x x f ，x
a
x g =
)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；
2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；
例、已知函数)(11ln )(R a x
a
ax x x f ∈--+
-=
(I)当2
1
≤
a 时，讨论)(x f 的单调性 (II)设42)(2+-=bx x x g ．当4
1
=a 时，若对任意)2,0(1∈x ,存在]2,1[2∈x ,使
)()(21x g x f ≥,求实数b 取值范围．
三、双参数问题 例1已知函数() (0)a
f x x b x x =+
+≠，其中a ，b R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若对于任意的1[,2]2
a ∈，不等式()10f x ≤在1[,1]4
上恒成立，求b 的取值范围．
例2设函数432()216ln (f x x ax x x b a =---++，)b R ∈，若对于任意的[2,2]a ∈-，不等式4()f x x ≤-在(0,1]x ∈上恒成立，求实数b 的取值范围．。