浙江省杭州市2019届高三高考数学仿真押题卷(一)(含答案)

2019年浙江省杭州市高考仿真押题卷(一)
数学试题
考生须知：
1．全卷分试卷和答题卷，考试结束后，将答题卷上交。

2．试卷共5页，有3大题，22小题。

满分150分，考试时间120分钟。

3．答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

4．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效。

作图时先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.设集合{}
220P x x x =-<，{}11Q x x =-<<，则P Q =I A ．()1,2-
B ．()1,0-
C ．()1,2
D ．()0,1
2. 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查. 根据调查结果知道，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率是25
P ＝.现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，则期望()E X 和方差()D X 分别是（ ）.
A.
25，1825 B. 65，1825 C. 65，1625 D. 65，1225
3.已知A ，B ，C 是球O 的球面上三点，且333AB AC BC D ＝＝，＝，为该球面上的动点，球心O 到平面ABC
的距离为球半径的一半，则三棱锥D ­ABC 体积的最大值为（ ）．
A.
32 B. 23934 D. 27
4
4. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若755,55a S ==-，则n nS 的最小值为（ ）
A ．-343
B ．-324
C ．-320
D ．-243
5．已知π()sin(2)3f x x =+，π()cos(2)3
g x x =+，则下列说法中，正确的是 A.x ∀∈R ，π()()2f x g x =- B.x ∀∈R ，π()()4f x g x =+ C.x ∀∈R ，π()()2
g x f x =- D.x ∀∈R ，π()()4
g x f x =+ 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，
则该几何体的表面积为
A.(425)π+
B.(55)π+
C.(525)π+
D.(535)π+
7．已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且23PA PB PC ++=0u u u r u u u r u u u r
，如果E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下
列结论中：
①向量PA u u u r
与PC u u u r 可能平行； ②向量PA u u u r
与PC u u u r 可能垂直；
③点P 在线段EF 上； ④::21PE PF =． 正确的个数为 A.1
B.2
C.3
D.4
8．设函数12
1()1,0,
2(),0.
x
x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪⎩≥则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为
A.[1,1]-
B.[1,0)[1,)-+∞U
C.(,1](0,1]-∞-U
D.(,1][1,)-∞-+∞U
9．《九章算术》是中国古典数学最重要的著作．《九章算术》的“商功”一章中给出了很多几何体的体积计算公式．如图所示的几何体，上底面1111A B C D 与下底面ABCD 相互平行，且ABCD 与1111A B C D 均为长方形．《九章算术》中，称如图所示的图形为“刍童”．如果AB a =，BC b =，11A B c =，11B C d =，且两底面之间的距离为h ，记“刍童”的体积为V ，则 A.
[(2)(2)]6
h
V c a d a c b =+++
B.[(2)(2)]3
h
V c a d a c b =
+++ C.
[(2)(2)]6h V c a d a c b =+++ D.[(2)(2)]3h
V c a d a c b =+++
10．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且11a =-，22a =，37a =．又已知当2n >时，
112332n n n n S S S S +--=-++恒成立．则使得1211172
2(
)11155
k k a a a -+++≥+++L 成立的正整数k 的取值集合为
（A ）{|9,}k k k ≥∈N （B ）{|10,}k k k ≥∈N （C ）{|11,}k k k ≥∈N
（D ）{|12,}k k k ≥∈N
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11.若非零向量a ，b 满足()2⊥+a a b ，则
+=a b b
__________．
12.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．则该小组人数的最小值为__________． 13.已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，则使不
等式1
2019113
n T ->成立的正整数n 的最大值为_______．
14.设x ，y 满足约束条件302600
x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数z ax by =+ ()0,0a b >>的最大值为12，则11
3a b +的
最小值为_________________． 15.若3sin 6x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭，则sin 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
. 16.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b >>)的左、右焦点分别为12F F ，，P 为椭圆C 上一点，且123
F PF π
∠=，若1
F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为 .
17. 若不等式log 40a x x +->（0a >且1a ≠）在区间(0,2)内有解，则实数a 的取值范围是 .
F
E
D C
S
三、解答题:本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.在ABC △2sin cos sin c A B a C =． （1）求B ∠的大小；
（2）若ABC △的面积为2a ，求cos A 的值．
19.已知{}n a 是公差不为0的等差数列，且满足12a =，137,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设2n a
n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
20.已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，
5,7SA SD SB ===E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且SF SC λ=u u u r u u u r
，SA //平面BEF ．
（Ⅰ）求实数λ的值；
（Ⅱ）求二面角S BE F --的余弦值．
21.已知点00(,)M x y 为椭圆22
:12
x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B 两
点，点F 为椭圆C 的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；
（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．
22.设函数)2)(()(,24)(2
-==+=x f te x g x x x f x
.其中R t ∈，函数)(x f 的图表在点A ))8
17(,817(--f 处的切线与函数)(x g 的图象在点B （)0(,0g 处的切线互相垂直。

(1)求t 的值；
(2)若)(2)(x f x kg ≥在),2[+∞-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围。

数学参考答案
1-5 DBDAD 6-10 DADAB
11. 1 12. 12； 70 13. 6 14.
2512
15.1
33(0,1)2)U
18.（1）在ABC △中，由正弦定理可得sin sin c A a C =，∴2
cos 22sin B c A
=
， 又0πB <∠<，∴π
4
B ∠=．
（2）∵ABC △的面积为21π
sin 24
a ac =，∴22c a =，
由余弦定理得2
2
2
2
8222b a a a a =+-⋅⋅5b a =．∴222310cos 2522A a a
==⋅⋅．
19.解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为137,,a a a 成等比数列， 所以2
317a a a =.
所以2
111(2)(6)a d a a d +=+.
所以2
1420d a d -=.
由0d ≠，12a =得1d =， 所以 1n a n =+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，12
12n
a n n n
b a n +=+=++，
所以 2
3
4
1
[234(1)](2222
)n n S n +=++++++++++L L
(3)4(12)212n n n +-=+
- 22
382
2
n n n ++-=+.
20.（Ⅰ）连接AC ，设AC BE G =I ，
z y
x F
E D C
B A
S
G
则平面SAC I 平面EFB FG =，
//SA Q 平面EFB ，//SA FG ∴，
GEA GBC ∆∆Q :，1
2
AG AE GC BC ∴
==， 1123SF AG SF SC FC GC ∴==⇒=，13
λ∴=； （Ⅱ）5,,2SA SD SE AD SE ==
∴⊥=Q ，
又2,60AB AD BAD ==∠=︒Q ，3BE ∴=222SE BE SB ∴+=，SE BE ∴⊥，SE ∴⊥平面ABCD ，
以,,EA EB ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0),3,0),(0,0,2)A B S ，
平面SEB 的法向量(1,0,0)m EA ==u r u u u r
， 设平面EFB 的法向量(,,)n x y z =r
，
则(,,)3,0)00n EB x y z y ⊥⇒⋅=⇒=r
，
(,,)(1,0,2)02n GF n AS x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=r u u u r r u u u r
，
令1z =，得(2,0,1)n =r ，25cos ,||||
m n m n m n ⋅∴<>==⋅u r r
u r r u r r 25
．
21.（Ⅰ）由题意2a 1b =，221c a b =-=
所以离心率2
c e a =
=
，左焦点(1,0)F -． （Ⅱ）由题知，2
2
0012
x y +=，即220
022x y +=. 当00y =时直线l 方程为2x 2x =-l 与椭圆C 相切． 当00y ≠时，由2
20
01,222
x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得2222
000(2)4440y x x x x y +-+-=， 即22
00
2220x x x y -+-= 所以 2200
(2)4(22)x y ∆=---22
004+880x y =-= 故直线l 与椭圆C 相切．
（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
当00y =时，12x x =，12y y =-，12x =±，
2211(1)FA FB x y ⋅=+-u u u r u u u r 2211(1)6(1)x x =+-+-21240x =-=，
所以FA FB ⊥u u u r u u u r
，即90AFB ∠=o ．
当00y ≠时，由22
00(1)6,22x y x x y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 得2222
000(1)2(2)2100y x y x x y +-++-=， 则20012202(2)1y x x x y ++=+，2
122
2101y x x y -=+， 2001212122220001
()42x x y y x x x x y y y =-++2
002
54422x x y --+=+． 因为1122(1,)(1,)FA FB x y x y ⋅=+⋅+u u u r u u u r
1212121x x x x y y =++++
2222
00000022
004208422544
2222y y x y x x y y -++++--+=+++ 22
002
5(2)10
022x y y -++==+． 所以FA FB ⊥u u u r u u u r
，即90AFB ∠=o ．
故AFB ∠为定值90o ．
22.解析：（Ⅰ）由2
()42f x x x =++得， ()24f x x '=+.
于是)1(2)2)(()(g +=-'=x te x f te x x x ，所以)2(2)(g +='x te x x
因为函数()f x 的图象在点))8
17
(,817(--f A 处的切线与函数)(g x 的图象在点))0(,0(g B 处的切线互相垂直，所以-1(0)g )8
17
(='⋅-
'f ， 即-1,44
1
=⋅-
t 1.=t （Ⅱ）2
()42f x x x =++，()2(1)x
g x e x =+.
设函数()F x =482)1(2)(2)(g 2
---+=-x x x ke x f x k x
（2x ≥-），
则()F x '=)2(2(2842)1(2)(2)(g -+=--++='-'x
x x ke x x ke x ke x f x k ）
. 由题设可知(0)F ≥0，即2≥k .令()F x '=0得，1x =02
ln
≤k
，2x =－2. （1）若－2＜1x ≤0，则222e k <≤，此时1(2,)x x ∈-，()F x '＜0，1(,)x x ∈+∞，
()F x '＞0，即()F x 在1(2,)x -单调递减，在1(,)x +∞单调递增，所以()F x 在x =1x 取
最小值1()F x .
而=)(1x F 0)2(248244482)1(21112
1112
111≥+-=---+=---+x x x x x x x x ke x
∴当x ≥－2时，()F x ≥0)(1≥x F ，即)(2)(g x f x k ≥恒成立.
②若,21-=x 则22e k =，此时0)22(2(2)(2
≥-+='+x e x x F ）
∴()F x 在(－2,+∞)单调递增，而(2)F -=0，∴当x ≥－2时，()F x ≥0， 即)(2)(g x f x k ≥恒成立.
③若,21-<x 则22e k >，此时(2)F -=0)2(2422
2
2
<--=+---e k e ke . ∴当x ≥－2时， )(2)(g x f x k ≥不能恒成立.
综上所述，k 的取值范围是[
]
.2,22
e。