江苏省丹阳市2020届高三数学下学期期初三校联考试题(实验班)

江苏省丹阳中学2020届高三数学下学期期初三校联考试题
数学 Ⅰ
一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知复数2
(12)z i =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ． 2．集合2
{|
0}1
x A x x -=-≥，{|}B x x t =>，若A B R =U ，则实数t 的取值范围是 ▲ ． 3．若圆锥侧面积为6π，高为5，则其底面半径为 ▲ ．
4．设R a ∈，则命题p ：1a ≤， 命题q ：21a ≤，则非p 是非q 的 ▲ 条件． (填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)． 5．如图伪代码的输出结果为 ▲ ．
6. 以下茎叶图（如图）记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为8.16,则,x y 的值分别为 ▲ ．
7. 如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6
π
θ=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概
率是 ▲ ．
8．已知等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，若12310S S S ++=，23415S S S ++=， 则公比q =__________．
9.当
满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≤-≤+27422y x x y y x 时,22≤-≤-y kx 恒成立,则实数k 的取值范围是
▲ ．
10.在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对边的长分别为a ，b ，c ．已知a ＋ 2c ＝2b ，sin B ＝
2sin C ，则sin
2
C ＝ ▲ ．
0S ←
For I From 1 To 9 Step 2
S S I ←+
End For
Print S
第5题图
第6题图
0 1 2 甲 乙 9 5y 8 9 4
74 x 2 第7题图
11．已知动圆C 与直线20x y ++=相切于点()02A -，，圆C 被x 轴所截得的弦长为2，则满足条件的所有圆C 的半径之积是 ▲ ．
12．已知实数,x y 满足223x y +=，x y ≠，则2214
(2)(2)x y x y +
+-的最小值为 ▲ ．
13．已知m R ∈，函数()()221,1
log 1,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩，()2221g x x x m =-+-，若函数()y f g x m =-⎡⎤⎣⎦有
6个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．
14. ABC ∆中，AB AC ⊥，2AB AC +=uu u r uuu r ，
点M 是线段BC （含端点）上的一点，且()
1AM AB AC ⋅+=uuu r uu u r uuu r
，则AM uuu r
的取值范围是 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）
已知向量2(cos ,sin )a αα=r ，(sin ,)b t α=r
，(0,)απ∈.
(1)若1
(,0)5a b -=r r ，求t 的值；
(2)若1t =，1a b =r r g
，求tan(2)4π
α+的值.
16. （本小题满分14分）
如图,在四棱锥P ABCD -中,O 为AC 与BD 的交点, AB ⊥平面PAD , PAD ∆是正三角形,
//DC AB ,2DA DC AB ==.
(1)若点E 为棱PA 上靠A 近的三等分点,证明：直线//OE 平面PBC ； (2)求证:平面PBC ⊥平面PDC.
B A
P
D
C
E
O
第16题图
17. （本小题满分14分）
2020年6月以来，某地区再度爆发“流感”疫情，引起某种消毒液热销．消毒液原来每瓶的成本为8元，售价为10元，月销售量为6万瓶．
（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，则月销售量相应减少0.4万瓶，要使提价后月 利润不低于原来的月利润，则消毒液每瓶售价最高为多少元？
（2）为了提高月总利润，厂家决定下月投入部分资金进行广告促销，计划每瓶的售价
为(12)x x ≥ 元，并投入34
(12)5
x -万元作为广告费用．据市场调查，售价每瓶每提高 0.5元，月销售量将相应减少21.8
(10)x -万瓶．当售价x 为多少元时，下月利润最大，并
求出最大利润．
18. （本小题满分16分）
如图1，已知椭圆22
22:1x y E a b +=（0a b >>）的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆E
上一点与椭圆E 的长轴的两个端点构成的三角形的最大面积为2，且椭圆E
的离心率e =
. （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）设P 是椭圆E 上异于A 、B 的任意一点，连接AP 并延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点.
①试判断直线PN 与椭圆E 的位置关系，并证明你的结论.
②若点F 为椭圆左焦点，F 关于直线PN 的对称点为Q ，求证：当点P 在椭圆E 上运动时，直线PQ 恒过定点，并求出此定点的坐标．
19. （本小题满分16分）
设函数3
()(,,0)3
a f x x cx a c a =
+∈≠R ． （1）若3a =-，函数()y f x =在[2,2]-的值域为[2,2]-，求函数()y f x =的零点； （2）若2a =，(1)3f '=
，)
()1g x x m =-+．
① 对任意的[]1,1-∈x
()g x ≤恒成立, 求实数m 的最小值；
②令(
)
x ϕ=
,若存在[]1,0,21∈x x 使得()()()m g x x ≥-21ϕϕ,求
实数m 的取值范围.
20. （本小题满分16分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，把满足条件a n ＋1≤S n (n ∈N *
)的所有数列{a n }构成的集合记为M ． （1）若数列{a n }通项为a n ＝1
2
n ，求证：{a n }∈M ；
（2）若数列{a n }是等差数列，且{a n ＋n }∈M ，求2a 5－a 1的取值范围；
（3）若数列{a n }的各项均为正数，且{a n }∈M ，数列{4
n
a n
}中是否存在无穷多项依次成等差数列，若
存在，给出一个数列{a n }的通项；若不存在，说明理由．
第18题图
2020届高三三校联考试卷
数学Ⅱ(附加题)
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，点A ，B ，D ，E 在圆O 上，ED ，AB 的延长线交于点C ，AD ，BE 交于点F ，且
AE EB BC ==．若2DE =，4AD =，求DF 的长．
B ．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
α．矩阵1
10B -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a b ，求1()-AB ．
C ．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆A 极坐标方程为6cos =ρθ，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的直角坐标方程．
D ．[选修45：不等式选讲]（本小题满分10分）
B
A
F D
O
E
C
(第21(A)题)
E
A
E
D
C
B A
已知x ，y ，z ∈R ，且2380x y z +++=．求证：222(1)(2)(3)14x y z -+++-≥．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.
22．（本小题满分10分）如图1，在直角梯形ABCD 中，1AD =，6=
CD ，AD //BC ，
AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点, 将△ABD 沿BD 折起，
使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ,AC ,DE , 得到如图2所示的几何体.
（1）求异面直线,AD BC 所成角的余弦值.
（2）求二面角B AD E --的平面角的大小.
图1 图2
23. （本小题满分10分） 求证：（1）*1!()(2,)2
+<≥∈n
n n n n N ；（2
）*!()<∈n n n N
数学Ⅰ(160分)
一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．
1．5； 2．(,1)-∞； 3．2； 4．充分不必要； 5．25； 6．5,8； 7.；
8．1； 9.1,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 10.24； ；11．10； 12．35； 13．30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭； 14.1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）
已知向量2(cos ,sin )a αα=r ，(sin ,)b t α=r
，(0,)απ∈.
(1)若1
(,0)5a b -=r r ，求t 的值；
(2)若1t =，1a b =r r g
，求tan(2)4
π
α+的值. 解：（1）因为向量2(cos ,sin )a αα=r ，(sin ,)b t α=r ，1
(,0)5a b -=r r ，
所以1
cos sin 5
αα-=
，………………2分 2sin t α=.由1cos sin 5αα-=
，两边平方得242sin cos 25αα=且(0,)2
πα∈， 所以249
(sin cos )12sin cos 25
αααα+=+=
.………………4分 因为(0,)2πα∈，所以7sin cos 5αα+=，所以3sin 5α=，29
sin 25
t α==.………………6分
（1） 因为1t =，1a b =r r
g
， 所以2sin cos sin 1ααα+=，即2sin cos cos ααα=，……………8分 当cos 0α=，(0,)απ∈，所以2π
α=
，则tan(2)14
π
α+=，.………………10分
当cos 0α≠，tan 1α=，(0,)απ∈，所以4π
α=
，则tan(2)14
π
α+=-，.………………12分
综上，tan(2)4π
α+的值为1或-1..………………14分
16、（本小题满分14分）
如图,在四棱锥P ABCD -中,O 为AC 与BD 的交点, AB ⊥平面PAD , PAD ∆是正三角形,
//DC AB ,2DA DC AB ==.
(1)若点E 为棱PA 上靠A 近的三等分点,证明：直线//OE 平面PBC ； (2)求证:平面PBC ⊥平面PDC. 证: (1)因为//DC AB ,2DC AB =, 所以::1:2AO OC AB DC ==.……………2分
点E 为棱PA 上靠A 近的三等分点, 即:1:2:AE EP AO OC ==， 所以//OE PC ，.………………4分 又因为OE ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， 所以//OE 平面PBC ..………………6分 (2) 取PC 的中点F,连结FB,FD.
因为PAD ∆是正三角形, DA DC =,所以DP DC =.. 因为F 为PC 的中点,所以DF PC ⊥.
因为AB ⊥平面PAD ,所以AB PA ⊥,AB AD ⊥,AB PD ⊥. 因为//DC AB ,所以DC PD ⊥DC DA ⊥..………………8分
设AB a =,在等腰直角三角形PCD 中, 2DF PF a ==.在Rt PAB ∆中, 5BP a =. 在直角梯形ABCD 中, 5BD BC a ==.
因为5BC BP a ==,点F 为PC 的中点,所以PC FB ⊥. 在Rt PFB ∆中, 3FB a =.
在FDB ∆中,由2DF a =,3FB a =,5BD a =,可以知道,
所以FB DF ⊥..………………12分
由DF PC ⊥,DF FB ⊥,PC FB F ⋂=,PC 、FB ⊂平面PBC ,所以DF ⊥平面PBC . 又DF ⊂平面PCD ,所以平面PBC ⊥平面PDC ..………………14分 17、（本小题满分14分）
2020年6月以来，某地区再度爆发“流感”疫情，引起某种消毒液热销．消毒液原来每瓶的成本为8元，售价为10元，月销售量为6万瓶．
（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，则月销售量相应减少0.4万瓶，要使提价后 月利润不低于原来的月利润，则消毒液每瓶售价最高为多少元？
（2）为了提高月总利润，厂家决定下月投入部分资金进行广告促销，计划每瓶的售价
B A
P
D
C
E
O
第16题图
为(12)x x ≥ 元，并投入34
(12)5
x -万元作为广告费用．据市场调查，售价每瓶每提高0.5元，月销售量将相应减少
2
1.8
(10)
x -万瓶．当售价x 为多少元时，下月利润最大，并求出最大利润． 解: (1)设每瓶售价提高a 个0.5元，由题意得，
(80.56)(60.4)(108)6a a +--≥-⨯，
解得011a ≤≤，.………………2分 所以=11a 时，最高售价10+110.5=15.5⨯元，.………………4分 所以最高售价为15.5元．.………………5分
（2）由题意，下月利润为210 1.834
(8)[6](12)0.5(10)5
x y x x x -=--⨯--- 1834
(8)[6](12)5(10)5
x x x =--
---.………………8分
2222
14-190+15364-20+914(7)(13)
-'--5105(10)5(10)x x x x x x y y x x x --=⨯=⨯=⨯
---，.………………10分 令'=0y ，=7x (舍)或=13x ，则 13x <<12时'0y > ，13x >时'0y < 所以x=13时，y 取最大值，此时y=17.2.………………12分
答：当每瓶售价13元时，月销售利润最大，最大值为17.2万元．.………………14分 18、（本小题满分16分）
如图1，已知椭圆22
22:1x y E a b +=（0a b >>）的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆E
上一点与椭圆E 的长轴的两个端点构成的三角形的最大面积为2，且椭圆E
的离心率e =
. （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）设P 是椭圆E 上异于A 、B 的任意一点，连接AP 并延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点.
①试判断直线PN 与椭圆E 的位置关系，并证明你的结论.
②若点F 为椭圆左焦点，F 关于直线PN 的对称点为Q ，求证：当点P 在椭圆E 上运动时，直线PQ 恒过定点，并求出此定点的坐标．
解 （Ⅰ）依题设条件可得：2ab =
，c a =
.又
222a c b -=，
解得24a =，21b =，所以椭圆E 的标准方程为
2
214
x y +=..………………2分 （Ⅱ）①直线PN 与椭圆E 相切于点P .证明如下：
设00(,)P x y ，又(2,0)A -，所以直线AP 的方程为00(2)2y y x x =⋅++，令2x =，得0
042y y x =
+，即0
04(2,
)2
y M x +..………………4分
又(2,0)B ，N 为MB 的中点，所以002(2,)2y N x +于是直线PN 的方程为0
0000
22
()2y y x y y x x x -+-=⋅--，
即00
0020()4
x y y x x y x =
-+-.………………6分
因为2
20014
x y +=，
所以220044x y -=-，所以000020()4x y y x x y y =-+-，整理得0044x x y y -=.………………8分
由22
001444x y y x x y y ⎧+=⎪⎪=⎨-⎪=⎪⎩
消去y 并整理得22220000(4)816160x y x x x y +-+-=，即220020x x x x -+=，此方
程的根的判别式2200(2)40x x ∆=--=，所以直线PN 与椭圆E 相切 于点P .………………10分
②由①可得直线PN 的方程为00
44x x
y y -=
，设左焦点F （）关于直线PN 的对称点为
11(,)Q x y
，则000110041242y x x y x y y =⎪=-⋅+⎪⎩
，解得10001204)163x y y x ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩
即00Q ，.………………12分 直线PQ
的直线方程为00)y y x x -=
-.
令0y =
，即000)y x x -=
-
，解得x =
所以直线PQ
过椭圆右焦点..………………16分 19、（本小题满分16分）
第18题图
设函数3
()(,,0)3
a f x x cx a c a =
+∈≠R ． （1）若3a =-，函数()y f x =在[2,2]-的值域为[2,2]-，求函数()y f x =的零点； （2）若2a =，(1)3f '=
，)
()1g x x m =-+．
①对任意的[]1,1-∈x
()g x ≤恒成立, 求实数m 的最小值；
②令
()
x ϕ=
,若存在[]1,0,21∈x x 使得()()()m g x x ≥-21ϕϕ,求
实数m 的取值范围.
【解析】（1）当3a =-时，32(),()3f x x cx f x x c '=-+=-+
① 若0c ≤，则()0f x '≤恒成立，函数()y f x =单调递减，
又函数()y f x =在[2,2]-的值域为[2,2]-，(2)2(2)2f f -=⎧∴⎨=-⎩
，此方程无解．……2分
② 若0
c >，则()0,f x x '=∴=
（i 2，即12c >时，(2)2(2)2f f =⎧⎨-=-⎩
，此方程组无解；
（
ii
2≤≤312c
≤≤
时，2(2f f ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，所以c =3；
（
iii ）2<，即3c <时，(2)2(2)2f f -=⎧⎨=-⎩
，此方程无解．
由①、②可得，c =3．
3()3f x x x ∴
=-+
的零点为：1230,x x x === ……6分
（2）由2a =，(1)3f '=得：()3
23
f x x x =
+，()221f x x '=+
， 又
)
()1g x x m
=
+，对任意的
[]1,1-∈
x ,
()
g x ≤恒成立
⇔m x x +-≤+)13(122．
当0=x 时，1≥m ， ……8分 又1=m 时,对任意的[]1,1-∈x ,
))
2
2
21)12
12
1x x x ⎡⎤-+=-⎣⎦
)
()2
110x x =-≤，
即1=m 时，1)13(122
+-≤+x x ，
∴实数m 的最小值是1，即min 1m =． ……10分
(3) 法1：由题意可知()()m x x 3max 21≥-ϕϕ，
()()22
22121121033
x x x +-
+=-≥Q 在[]1,0∈x 上恒成立， ∴()13
6
122+≥
+x x 在[]1,0∈x 上恒成立； ……12分 由(Ⅱ)得：1)13(122+-≤+x x 在[]1,0∈x 上恒成立， ……13分
∴
()
11)13
x x +≤≤+．
又因为当[]1,0∈x 时,[]1,01∈-x ，
∴)
111)(1)1x x -+≤
-+．
∴
()()()()11)13(1)13(113
6136
+--++-≤≤+-++x x x x x ϕ， 即()136+≤
≤x ϕ，621min
=⎪⎭⎫
⎝⎛ϕ，()()1310max max +==ϕϕ，……15分
∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥, ∴23
3
1-+
≤m . ……16分 法2：]21)1(21[21)1(212)(2222+-++=+-++=x x x x x ϕ，……12分
设)2
2
,1(),22,
0(),0,(-B A x P ，则()PB PA x +=2)(ϕ，由下图得： ()
,3min
==+AB PB PA ()2
6
22max +=
+=+OB OA PB PA ， ∴31)(,6)(max min +==x x ϕϕ，
∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥，
13
m ∴≤+
- ……16分 20、（本小题满分16分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，把满足条件a n ＋1≤S n (n ∈N *
)的所有数列{a n }构成的集合记为M ． （1）若数列{a n }通项为a n ＝1
2
n ，求证：{a n }∈M ；
（2）若数列{a n }是等差数列，且{a n ＋n }∈M ，求2a 5－a 1的取值范围；
（3）若数列{a n }的各项均为正数，且{a n }∈M ，数列{4
n
a n
}中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存
在，给出一个数列{a n }的通项；若不存在，说明理由． 解:（1）因为a n ＝12n ，所以S n ＝12×1－(12)
n
1－12
＝1－(12
)n
，
所以a n ＋1－S n ＝(12)n ＋1－1＋(12)n ＝32(12)n －1≤32×12－1＝－1
4
＜0，
所以a n ＋1＜S n ，即{a n }∈M ． ………………4分 （2）设{a n }的公差为d ，因为{a n ＋n }∈M ，
所以a n ＋1＋n ＋1≤(a 1＋1)＋(a 2＋2)＋…＋(a n ＋n ) （*） 特别的当n ＝1时，a 2＋2≤a 1＋1，即d ≤－1， 由（*）得a 1＋nd ＋n ＋1≤na 1＋n (n －1)2
d ＋n (n ＋1)
2
，
整理得
d ＋12
n 2＋(a 1－32
d －1
2
)n －a 1－1≥0，
因为上述不等式对一切n ∈N *
恒成立，所以必有d ＋1
2
≥0，解得d ≥－1，
又d ≤－1，所以d ＝－1，
于是(a 1＋1)n －a 1－1≥0，即(a 1＋1)(n －1)≥0，所以a 1＋1≥0，即a 1≥－1， 所以2a 5－a 1＝2(a 5－a 1)＋a 1＝8d ＋a 1＝－8＋a 1≥－9，
因此2a 5－a 1的取值范围是[－9，＋∞)． ………………10分 （3）由a n ＋1≤S n 得S n ＋1－S n ≤S n ，所以S n ＋1≤2S n ，即
S n ＋1
S n
≤2， 所以
S n ＋1S 1＝S 2S 1×S 3S 2×…×S n ＋1S n
≤2n ，从而有S n ＋1≤S 1×2n ＝a 1×2n
， 又a n ＋1≤S n ，所以a n ＋2≤S n ＋1≤a 1×2n
，即a n ≤a 1×2n －2
(n ≥3)，
又a 2≤S 1＝a 1×2
2－2
，a 1＜a 1×2
1－2
，所以有a n ≤a 1×2
n －2
(n ∈N *
)，所以4n
a n ≥4a 1
×2n
，
假设数列{4
n
a n
}中存在无穷多项依次成等差数列，
不妨设该等差数列的第n 项为dn ＋b (b 为常数)，
则存在m ∈N ，m ≥n ，使得dn ＋b ＝4m
a m ≥4a 1×2m ≥4a 1
×2n ，即da 1n ＋ba 1≥2n ＋2
，
设f (n )＝n 2
2n ＋2，n ∈N *
，n ≥3， 则f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋1)22n ＋3－n 22n ＋2＝2－(n －1)
2
2
n ＋3
＜0， 即f (n ＋1)＜f (n )≤f (3)＝9
32＜1，
于是当n ≥3时，2
n ＋2
＞n 2，从而有：当n ≥3时da 1n ＋ba 1＞n 2，即n 2
－da 1n －ba 1＜0，
于是当n ≥3时，关于n 的不等式n 2
－da 1n －ba 1＜0有无穷多个解，显然不成立， 因此数列{4
n
a n
}中是不存在无穷多项依次成等差数列． ………………16分
数学Ⅱ参考答案与评分标准
21．A ．因为EB BC =，所以C
BEC ??．
因为BED BAD ??，所以C
BED BAD ???．
因为2EBA C
BEC
C ????，AE EB =，
所以2EAB EBA C ???，又C
BAD ??．
所以EAD C ??，故BAD EAD ??．……………………………………………5分
所以EAD
C
FED ???，又因为EDA FDE ??，
所以EAD △∽FED △，则
DE AD
DF ED
=
． 又因为2DE =，4AD =，所以1DF =．…………………………………………10分
B ．解：（1）由条件知，2=A αα，即1222111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2422a b +⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦
， 所以24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩ 解得2,4.a b =⎧⎨=⎩
所以1214⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦A ． ………………………………4分 1
2
1331166A -⎡⎤
-⎢⎥
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
…………………………………………………………………………6分 1112
1101233
2204113366()AB B A ---⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
…………………………………10分 C ．解：设弦OM 中点为(,)N ρθ，则(2,)M ρθ，
因为点M 在圆A 上，由圆A 的极坐标方程为6cos =ρθ，所以26cos =ρθ， 即3cos =ρθ， ……………………………4分 又点M 异于极点O ，所以0ρ≠，
所以弦OM 中点的轨迹的极坐标方程为3cos (0)=≠ρθρ．…………………………6分
即直角坐标方程为22
30(0)+-=≠x y x x ……………………………………………10分
D ． 因为2222222[(1)(2)(3)](123)[(1)2(2)3(3)]x y z x y z -+++-++-+++-≥
22(236)14x y z =++-=，………8分
当且仅当
123
123
x y z -+-==
，即0,4x z y ===-时，取等， 所以222(1)(2)(3)14x y z -+++-≥． …………………10分 22. 解：（1）过A 作⊥AH BD ，垂足为H ，过H 作⊥HI BD ，HI 与BC 交于I .
由平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面=BCD BD ，
⊂AH 平面ABD ，⊥AH BD ，所以⊥AH 平面BCD ..………………2分
以H 为原点O ，HB 为x 轴，HI 为y 轴，HA 为z 轴，建立空间直角坐标系-H xyz 因为1AD =， 6=
CD .
设()0AB x x =>，则12+=
x BD .
依题意△ABD ～△BDC ，所以
AB CD
AD BD
=，即1
612
+=
x x .
解得x =
3AB BD BC ===.
ABD ∆
中，1===AB AD ,BD
=
==
AH ,HD （H 为BD 三等分点）.………………4分 （1）易得)0,0,3
1(-
D ，)0,0,3
2(
B ，
⎛ ⎝A
，⎛⎫
⎪⎝⎭C ，
(=u u u r AD ，
(=u u u r BC 则，设=<⋅>u u u r u u u r AD BC θ，则
1
cos 3⋅==
=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r AD BC
AD BC
θ， 所以异面直线,AD BC 所成角的余弦值为1
3
..………………6分
（2）易得)0,0,3
1(-
D ，)0,0,3
2(
B ，
⎛ ⎝A
，⎛⎫⎪⎪⎭
E ，
所以22DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r
，,0,33DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r .
易得平面BAD 的法向量)0,1,0(= 设平面ADE 的法向量),,(z y x =
由0,0,m DE m DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
u r u u u r
u r u u u r
得0,22
0.33
x y x z +=⎪⎪
⎪+=⎪⎩
令6=
x
，得y z ==所以)3,3,6(--=m . 所以21
|
|||,cos -=⋅>=
<m n m n .
由图可知二面角B AD E --的平面角为锐角， 所以二面角B AD E --的平面角为
3
π
. （第二问也可以以D 为原点建系）.………………10分
23. 证明：（1）①当2=n 时，2!2=，2219
(
)224
+=>，不等式成立..………………1分 ②假设当*
(2,)=≥∈n k k k N 时不等式成立，即*1!()(2,)2
+<≥∈k k k k k N ， 则当1=+n k 时，欲证1
2(1)!()2
+++<k k k ，由归纳假设， 只要证1
12(1)()()22++++<k k k k k ， 只要证112(1)(2)+++<+k k k k 只要证11
212(
)(1)11
+++<=+++k k k k k 由二项式定理可得112
211
111(1)1()112111
++++=+++⋅⋅⋅>+=+++k k k C C k k k 即1=+n k 时，不等式也成立.
综上所述，由①②可得命题成立………………4分
（2）①当1=n
时，不等式1
1!<，显然成立.………………5分 ②假设当*()=∈n k k N
时不等式成立，即*!()<∈k
k k N ， 则当1=+n k 时，
(1)!(+<+k k k
，下证：1
(++<k k k ，
只要证1(1)(2)(3)++++k k k k k
113212
(
)(1)2121
+++++⋅=+⋅
++++k k k k k k k k k 由二项式定理可得：12
11(1)1(1)1(1)()2222
+++=++⋅+⋅+⋅⋅⋅+++k k k k k k k
2
1(1)11(1)()222
+>++⋅+⋅++k k k k k ，
故11221(1)122112(2)12(2)++++
⋅>++=++
++++++k k k k k
k k k k k k ，
注意到
5
2
>，只要证：
1112(2)2+>++k k k ， 只要证：
121
12(2)2
>=
+++k k k .显然成立. 即则当1=+n k 时，不等式也成立.
综上所述，由①②可得命题成立………………10分。