2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1课时达标训练(八)

课时达标训练（八）
[即时达标对点练]
题组1 直线与椭圆的位置关系
1．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 29＋y 24
＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定
2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23
＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________． 题组2 直线与椭圆的相交弦问题
3．椭圆x 225＋y 24
＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．若|AB |＝8，则|AF 1|＋|BF 1|的值为( )
A ．10
B ．12
C ．16
D ．18
4．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12
x ＋1截得的弦长为________． 5．已知中心在原点，一个焦点为F (0，50)的椭圆被直线l ：y ＝3x －2截得的弦的中点
横坐标为12
，求此椭圆的方程． 题组3 与椭圆有关的最值问题
6．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，||＝1，且
＝0，则||的最小值是________． 7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3
＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为________．
8．如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，
(1)若点P 的坐标为(0，1)，求椭圆C 的标准方程；
(2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围．
[能力提升综合练]
1．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2
＝4没有交点，则过(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数( )
A ．至多一个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
2．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是( )
A ．[4－23，4＋2 3 ]
B ．[4－3，4＋ 3 ]
C ．[4－22，4＋2 2 ]
D ．[4－2，4＋ 2 ]
3．已知椭圆C ：x 22
＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若
＝( )
A. 2 B ．2 C. 3 D ．3
4．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．
5．已知椭圆G ：x 24
＋y 2＝1，过点(0，2)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点． (1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；
(2)O 为坐标原点，求△OAB 的面积．
6．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y ＝x ＋m 相交于不同的两点M ，N ，问是否存在实数m 使|AM |＝|AN |；若存在求出m 的值；若不存在说明理由．
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选A 因为直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆x 29＋y 24
＝1的内部，故直线y ＝kx ＋1与椭圆x 29＋y 24
＝1相交． 2. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2m ＋y 23＝1，
y ＝x ＋2，
得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0. 又∵直线与椭圆有两个公共点，
∴Δ＝(4m )2－4m (m ＋3)＝16 m 2－4m 2－12m
＝12m 2－12m >0，
解得m >1或m <0.
又∵m >0且m ≠3，
∴m >1且m ≠3.
答案：(1，3)∪(3，＋∞) 3. 解析：选B ∵|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝4a ，∴|AF 1|＋|BF 1|＝4×5－8＝12.
4. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，
消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.
设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.
∴弦长|MN |＝
1＋k 2|x 1－x 2| ＝ 54[]（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 54
（4＋24）＝35. 答案：35
5. 解：设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b
2＝1(a >b >0)． 弦两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
由y 2a 2＋x 2b
2＝1及y ＝3x －2得 (a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋b 2(4－a 2)＝0，
x 1＋x 2＝12b 2
a 2＋9
b 2，由已知x 1＋x 22＝12， 即12b 2
a 2＋9
b 2＝1，
所以a 2＝3b 2.又c 2＝a 2－b 2＝50，
所以得a 2＝75，b 2＝25，
所以椭圆的方程为y 275＋x 2
25
＝1. 6. 解析：易知点A (3，0)是椭圆的右焦点．
答案： 3 7. 解析：由x 24＋y 2
3
＝1可得F (－1，0)． 设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则
＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，
当且仅当x ＝2时，
取得最大值6.
答案：6
8. 解：∵直线AB 的斜率为1， ∴∠BAP ＝45°，
(1)∵P (0，1)，
即b ＝2，且B (3，1)．
∵B 在椭圆上，
∴9a 2＋14
＝1，得a 2＝12，
∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24
＝1. (2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)， ∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .
显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得，
9a 2＋t 2
（3－t ）2＝1，解得a 2＝3（3－t ）23－2t
. ∵a 2>b 2>0，
∴3（3－t ）2
3－2t
>(3－t )2>0. ∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t
>0， ∴所求t 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫0，32. 能力提升综合练
1. 解析：选B 因为直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点， 所以4
m 2＋n 2 >2，即m 2＋n 2<4，
所以n 2<4－m 2， 则m 29＋n 24<m 29＋4－m 2
4＝1－536
m 2<1. 所以点(m ，n )在椭圆x 29＋y 2
4
＝1内部， 故过点(m ，n )的直线与椭圆有2个交点．
2. 解析：选A 方程可化为x 23＋y 28
＝1，故椭圆焦点在y 轴上，又a ＝22，b ＝3，所以 －3≤m ≤3，
故4－23≤2m ＋4≤23＋4.
3. 解析：选A 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．
由椭圆C ：x 22
＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1， ∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1，0)．
∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.
∴x 0＝43，y 0＝13
n . 将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12
×⎝⎛⎭⎫432＋⎝⎛⎭⎫13n 2
＝1. 解得n 2＝1，
∴||＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.
4. 解析：直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.
在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c
＝3－1.
答案：3－1
5. 解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1，
所以c ＝a 2－b 2＝ 3.
所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，
离心率为e ＝c a ＝32
. (2)设l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0，
由l 与圆x 2＋y 2＝1相切得2
1＋k 2＝1，
解得k ＝±3.
将y ＝±3x ＋2代入x 2＋4y 2－4＝0，
得13x 2±163x ＋12＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝±16313，x 1x 2＝1213， |AB |＝2
（x 1－x 2）2＝2
（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2⎝⎛⎭⎫163132－4×1213＝2413. 又O 到AB 的距离d ＝1. ∴S △OAB ＝12×|AB |×1＝1213
. 6解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a
2＋y 2＝1， 则右焦点F (
a 2－1，0)．
由题设|a 2－1＋22|2＝3，
解得a 2＝3，
故所求椭圆的方程为x 23
＋y 2＝1. (2)设P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，
x 23＋y 2＝1，
得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0. 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即－2<m <2，
所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3m 4，从而y P ＝x P ＋m ＝m 4， 所以k AP ＝y P ＋1x P ＝m 4＋1
－3m 4， 又|AM |＝|AN |， 所以AP ⊥MN ，
所以m 4＋1－3m 4
＝－1，解得m ＝2， 所以不存在实数m 使|AM |＝|AN |.。