2019-2020学年内蒙古乌兰察布市集宁一中(西校区)高二上学期期末考试数学(文)试题(含答案解析)

2019-2020学年内蒙古乌兰察布市集宁一中（西校区）高二上
学期期末考试数学（文）试题
一、单选题
1．有下列四个命题：
（1）“若x 2+y 2=0，则xy=0”的否命题； （2）“若x ＞y ，则x 2＞y 2”的逆否命题； （3）“若x≤3，则x 2﹣x ﹣6＞0”的否命题； （4）“对顶角相等”的逆命题． 其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】A
【解析】试题分析：根据四种命题的真假关系进行判断即可．
解：（1）“若x 2+y 2=0，则xy=0”的否命题是若x 2+y 2≠0，则xy≠0”错误，如当x=0，y=1时，满足x 2+y 2≠0，但xy=0，故命题为假命题．
（2）“若x ＞y ，则x 2＞y 2”为假命题，如当x=1，y=﹣2，满足x ＞y ，但x 2＞y 2不成立，即原命题为假命题，则命题的逆否命题也为假命题．
（3）“若x≤3，则x 2﹣x ﹣6＞0”的否命题是若x ＞3，则x 2﹣x ﹣6≤0为假命题，如当x=4时，满足x ＞3，但x 2﹣x ﹣6≤0不成立，即命题为假命题． （4）“对顶角相等”的逆命题为相等的角是对顶角，为假命题． 故真命题的个数是0个 故选A ．
2．23520x x +->的一个充分但不必要的条件是( ) A ．1
32
x -
<< B ．1
02
x -
<< C ．16x -<< D ．132
x -<<
【答案】B
【解析】先求解不等式的解集，再根据集合的大小关系判定得到充分不必要条件，即可得到答案. 【详解】
由不等式23520x x +->，可得22530x x --<，解得1
32
x -
<<，
由此可得：选项A ，1
32
x -<<是不等式23520x x +->成立的一个充要条件； 选项B ，1
02
x -
<<是不等式23520x x +->成立的一个充分不必要条件； 选项C ，16x -<<是不等式23520x x +->成立的一个必要不充分条件； 选项D ，1
32
x -<<是不等式23520x x +->成立的一个既不充分也不必要条件， 故选B. 【点睛】
本题主要考查了充要条件的判定，以及不等式的求解，其中根据一元二次不等式的解法求解不等式的解集，再根据集合之间的关系判定充要条件是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
3．命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是 A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤ B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤ C ．存在x ∈R ，3210x x -+> D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+>
【答案】C 【解析】【详解】
注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．
“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是:存在x ∈R ，3210x x -+> 选C.
4．在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足7245S S -=，则5a ＝( ) A ．7 B ．9
C ．14
D ．18
【答案】B
【解析】法一：利用等差数列的下标和性质即可求出；法二：利用待定系数法设出公差，再利用等差数列的通项公式即可以求出． 【详解】
解法一：因为在等差数列{}n a 中，7245S S -=，
所以345675545a a a a a a ++++==，所以59a =，故选B.
解法二：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为在等差数列{}n a 中，7245S S -=， 所以1176
5)22
(74a d a d ⋅+⨯+－＝，整理得149a d +=，所以59a =，故选B. 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式的应用以及等差数列性质的应用． 5．已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等比数列，则21
2
a a
b -等于（ ） A ．
14
B ．
12
C ．12-
D ．
12
或12-
【答案】B
【解析】试题分析：因为122,,,8a a --成等差数列，所以()21822,3
a a ----=
=-因
为1232,,,,8b b b --成等比数列，所以()()2
22816b =--=，由2
1220b b =->得
24b =-，
21221
42
a a
b --==-，故选B. 【考点】1、等差数列的性质；2、等比数列的性质.
6．111112233499100++++=⨯⨯⨯⨯L （ ）． A ．99100- B ．99100 C ．10099
-
D ．
100
99
【答案】B
【解析】采用裂项相消法可直接求得结果. 【详解】 原式1111111199112233499100100100
=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=. 故选：B. 【点睛】
本题考查裂项相消法求和的问题，属于基础题.
7．曲线221259x y +=与曲线22
1(9)259x y k k k
+=<--的（ ）
A ．长轴长相等
B ．短轴长相等
C ．焦距相等
D ．离心率相等
【答案】C
【解析】试题分析：221259
x y +=，45,3,4,5a b c e ====．22
1(9)259x y k k k +=<--，
25,9,4,25a k b k c e k
=-=-==
-因此焦距相等，故选C ．
【考点】椭圆的定义
8．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若sin cos cos =+c C a B b A ，且2223b c a bc +-=，则角B 的大小（ ） A ．
6
π
B ．
3
π C ．
2
π D ．
23
π 【答案】B
【解析】利用正弦定理由sin cos cos =+c C a B b A 求出角C ，再利用余弦定理由
2223b c a bc +-=求出角A ，由三角形内角和为π即可求得角B .
【详解】
由正弦定理得()()2
sin sin cos cos sin sin sin sin =+=+=-=C A B A B A B C C π
得sin 1C =，所以2
C π
=
．
又2223
cos 2b c a A bc +-==
，得6A π=．所以3B π=． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属常规考题.
9．双曲线22
184
x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A ．4
B 45
C ．2
D 215
【答案】C
【解析】求得双曲线的a ，b ，c ，可设一个焦点和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值． 【详解】
双曲线22
184
x y -=的22a =2b =，23c =，
一个焦点设为30)，一条渐近线设为20x -=，
可得一个焦点到一条渐近线的距离为23
212
d ==+. 故选：C. 【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质、渐近线方程、点到直线的距离公式，考查化简运算能力，
属于基础题．
10．若直线(3)y k x =-与双曲线22
194
x y -=只有一个公共点，则满足条件的直线有
（ ） A ．1条 B ．2条
C ．3条
D ．4条
【答案】B
【解析】由题意可得直线经过点(3,0)，即为双曲线的右顶点，求得渐近线方程，考虑与渐近线平行的直线，即可得到所求条数． 【详解】
直线(3)y k x =-经过点(3,0)，即为双曲线的右顶点， 由于直线的斜率为k ，故直线3x =不成立，
而双曲线22
194
x y -=的渐近线方程为23y x =±，
可得经过点(3,0)与渐近线平行的直线，与双曲线只有一个公共点， 故满足条件的直线有两条． 故选：B. 【点睛】
本题考查直线和双曲线的位置关系、双曲线的性质、渐近线方程，考查分类讨论思想，属于基础题．
11．若椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的离心率为13，则双曲线22221x y a b
-=的渐近线方程
为（ ） A ．22
y x = B ．3y x = C ．22
y x =±
D ．y x =±
【答案】A
【解析】分析：根据题意，结合椭圆的性质，可得222
221
19
c b e a a ==-=，进而可得
228
9
b a =，再由双曲线的渐近线方程的定义可得答案． 详解：根据题意，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为13，
则有222
22119c b e a a ==-=，即228
9
b a =，
则双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，即2
3
y x =±，故选A ．
点睛：本题主要考查了椭圆的离心率以及双曲线的渐近线定义，解本题时，注意椭圆与双曲线的标准方程中，a 、b 的意义与相互间的关系.
12．O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则
POF V 的面积为
A ．2
B 3
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】由抛物线的标准方程2
4y x =可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)P x y ,由PF =4以及抛物线的定义列式可得(1)4x --=,即3x =,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式1
||2
S y OF =可得. 【详解】
由2
4y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为1x =-,
如图:过点P 作准线1x =- 的垂线,垂足为M ,根据抛物线的定义可知PM =PF =4,
设(,)P x y ,则(1)4x --=,解得3x =,将3x = 代入2
4y x =可得23y =±,
所以△POF 的面积为1||2y OF ⋅=1
23132
⨯=故选B .
【点睛】
本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P 点的坐标;②利用OF 为三角形的底,点P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.
二、填空题
13．在△ABC 中，∠A=
3
π
，AB=2，AC=1，则ABC S V =______． 【答案】
32
【解析】利用三角形的面积公式S=1
2
AB•ACsinA 即可求得答案． 【详解】
∵在△ABC 中，∠A=3
π
，AB=2，AC=1， ∴△ABC 的面积S=
1
2
AB•ACsinA =
12×2×1×33． 故答案为：
32
．
【点睛】
本题考查三角形的面积公式，属于基础题． 14．已知函数()4(0,0)a
f x x x a x
=+>>在3x =时取得最小值，则a =________． 【答案】36
【解析】试题分析：因为()4(0,0)a
f x x x a x
=+
>>，所以，当且仅当
即
，由题意
，
解得
【考点】基本不等式
15．已知双曲线22221(0,0)x y C a b a b -=>>：的一条渐近线方程为5
y x =,且与椭圆
22
1123
x y +=有公共焦点．则曲线C 的方程为______． 【答案】22
145
x y -=
【解析】由双曲线的渐近线方程可得
5
2
b a =
①,求得椭圆的焦点,可得229a b +=②,解方程可得a ,b ,进而得到双曲线的方程． 【详解】
解：双曲线22
221(0,0)x y C a b a b
-=>>：的渐近线方程为b y x a =±,
由一条渐近线方程为5y x =
,可得5
b a =
① 椭圆22
1123
x y +=的焦点为()3,0-,()3,0，
可得229a b +=② 由①②可得2a =,5b =
即双曲线的方程为22
145
x y -=,
故答案为:22
145
x y -=．
【点睛】
本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题．
16．斜率为2的直线l 经过抛物线2
8y x =的焦点F ,且与抛物线相交于,A B 两点,则线段
AB 的长为__________. 【答案】10
【解析】联立直线与抛物线方程，根据抛物线焦点弦的计算公式：A B x x p ++，即可求解出过焦点的弦长AB . 【详解】
因为焦点()2,0F ，所以():22l y x =-，
联立直线与抛物线可得：2824
y x y x ⎧=⎨=-⎩，所以2424160x x -+=即2640x x -+=，
所以6A B x x +=，所以6410A B AB x x p =++=+=. 故答案为：10. 【点睛】
本题考查抛物线焦点弦的弦长计算，难度较易.抛物线中计算焦点弦弦长的两种方法： (1)直接利用弦长公式：
()
()
2
2
2211414A B A B A B A B AB k x x x x y y y y k
=++-=+
+-
(2)利用焦半径公式简化计算：22
A B A B p p
AB x x x x p =+++=++.
三、解答题
17．已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+ （1）证明12n a ⎧
⎫
+
⎨⎬⎩⎭
是等比数列， （2）求数列{}n a 的前n 项和n S
【答案】（1）见解析；（2）1323
4
n n n s +--=
【解析】（1）利用定义法证明
11
212
n n a a ++
+
是一个与n 无关的非零常数，从而得出结论； （2）由（1）求出n a ，利用分组求和法求n S ． 【详解】
（1）由1 3 1n n a a +=+得111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以
11
2312
n n a a ++
=+， 所以12n a ⎧⎫+
⎨⎬⎩⎭是首项为11322
a +=，公比为3的等比数列,，所以1
13322n n a -+=⋅， （2）由（1）知{}n a 的通项公式为31
(*)2
n n a n N -=⋅∈；则
1233322
22n n n S ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭L L
所以13234
n n n S +--=
【点睛】
本题主要考查等比数列的证明以及分组求和法，属于基础题． 18．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设
()
2
2sin sin sin sin sin B C A B C -=-.
（1）求A ；
（2）当6a =时，求其面积的最大值，并判断此时ABC ∆的形状.
【答案】（1）60o ；（2）ABC ∆面积的最大值为93，此时ABC ∆为等边三角形. 【解析】（1）利用角化边的思想，由余弦定理可求出1
cos 2
A =，再结合角A 的取值范围可得出角A 的值；
（2）对a 利用余弦定理，利用基本不等式求出bc 的最大值，即可计算出该三角形面积的最大值，利用等号成立得出b c =，可判断出此时ABC ∆的形状. 【详解】
（1）()2
2sin sin sin sin sin B C A B C -=-Q ，()2
2b c a bc ∴-=-，
222b c a bc ∴+-=，
由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，0180A <<o o Q ，60A ∴=o ； （2）由余弦定理和基本不等式得
222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，
236bc a ∴≤=，当且仅当6b c a ===时，等号成立，
ABC ∆∴的面积113sin 369322ABC S bc A ∆=≤⨯⨯=. 此时，由于6b c ==，60A =o ，则ABC ∆是等边三角形.
【点睛】
本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了三角形面积最值的计算，一般利用基本不等式来求解，考查运算求解能力，属于中等题.
19．设椭圆()22
2210x y C a b a b
+=>>：过点(0,4)，离心率为35 . (1)求椭圆C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率45
k =的直线被椭圆C 所截线段的中点坐标． 【答案】（1）22
12516x y +=；（2）36(,)25
-． 【解析】（1）椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），可求b ，利用离心率为，求出a ，即可得到椭圆C 的方程；
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x ﹣3），代入椭圆C 方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．
【详解】
（1）将点（0，4）代入椭圆C 的方程得
=1，∴b=4，
由e==，得1﹣=，∴a=5， ∴椭圆C 的方程为+=1．
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x ﹣3），
设直线与椭圆C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
将直线方程y=（x ﹣3）代入椭圆C 方程，整理得x 2﹣3x ﹣8=0，
由韦达定理得x 1+x 2=3，
y 1+y 2=（x 1﹣3）+（x 2﹣3）=（x 1+x 2）﹣=﹣．
由中点坐标公式AB 中点横坐标为，纵坐标为﹣，
∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
20．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的虚轴长为63 (1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点,A B ，求||AB ．
【答案】(1) 22136x y -=；(2)1635
. 【解析】（1）由题意可得3=
=c e a 226b c a =-=a ，b ，c ，可得所求双曲线的方程；
（2）设经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3(3)y x =-，联立双曲线方程，可得x 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．
【详解】
（1）双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的虚轴长为263， ∴36c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得3a =6b =，3c =，
∴双曲线的方程为22
136
x y -=. （2）由（1）知双曲线22
136
x y -=的右焦点为2(3,0)F ，设经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为33)y x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，
由22
1363(3)3x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，得256270x x +-=，其中，1265x x +=-，12275x x =-， ∴22121627163||1|1+()4()355AB k x x =+-=--⨯-=. 【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4133n n S a =
-. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若1n b n =+，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .
【答案】（1）14n n a -=（2）322499
n n n T +=⨯- 【解析】（1）利用公式1n n n a S S -=-代入计算得到答案.
（2）先计算得到()114n n n
a b n -=+⨯，再利用错位相减法计算得到答案. 【详解】
（1）因为4133n n S a =-，所以()1141233
n n S a n --=-≥， 所以当2n ≥时，14433n n n a a a -=
-，即14n n a a -=， 当1n =时，114133S a =
-，所以11a =， 所以14
n n a -=. （2）()114n n n
a b n -=+⨯， 于是()01221243444414n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，①
()12314243444414n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，②
由①-②，得()121223244414433n n n n T n n -⎛⎫-=++++-+⨯=-+⨯ ⎪⎝⎭
L ，
所以322499n n n T +=⨯-. 【点睛】 本题考查了数列的通项公式，利用错位相减法计算数列的前n 项和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
22．已知直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，
且与抛物线相交于A 、B 两点.
（1）若4AF =，求点A 的坐标；
（2）若直线l 的倾斜角为45︒，求线段AB 的长.
【答案】(1) 点A 的坐标为(3,23)或(3,23)-. (2) 线段AB 的长是8
【解析】解：由24y x =，得2p =，其准线方程为1x =-，焦点(1,0)F . （
2分）
设11(,)A x y ，22(,)B x y .
（1）由抛物线的定义可知，12p
AF x =+，从而1413x =-=.
代入24y x =，解得123y =±∴ 点A 的坐标为24y x =或(3,23)-. （6分）
（2）直线l 的方程为0tan 45?(1)y x -=︒-，即1y x =-.
与抛物线方程联立，得21
{4y x y x =-=， （9分）
消y，整理得2610
x x
-+=，其两根为12,x x，且
123
y=±
由抛物线的定义可知，
12628
AB x x p
=++=+=. 所以，线段AB的长是8. （14分）。