【全国百强校】江西省吉安市第一中学2016-2017学年高二上学期第二次段考理数试题解析(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.经过两点()()4,212,3A y B +-的直线的倾斜角为34
π，则AB 等于（ ）
A ．8
B ．4
C ．
【答案】C
【解析】
试题分析：-⇒-=⇒-=+=)5,4(31242A y y k AB (4AB ==,故选C. 考点：1、直线的斜率和倾斜角；2、向量的模. 2.已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3
MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）
A B ．
32
C D ．2 【答案】A
【解析】
考点：双曲线及其性质.
3.设0,0a b >>，则“x a >，且y b >”是“x y a b +>+且xy ab >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：由不等式的基本性质可得：若“x a >，且y b >”则“x y a b +>+且xy ab >”是真命题，
反之，3,1,1====y x b a 可得其逆命题是假命题，因此正确答案是：充分不必要条件，故选A. 考点：1、充分必要条件；2、不等式基本性质.
4.设命题2:,2n p n N n ∃∈>，则p ⌝为（ ）
A ．2,2n n n ∀∈>
B ．2,2n n n ∃∈≤
C ．2,2n n n ∀∈≤
D ．2,2n n n ∃∈=
【答案】C
【解析】
试题分析：p ⌝:2,2n n n ∀∈≤ ,故选C.
考点：命题的否定.
5.设αβ、为不重合的平面，,m n 为不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A ．若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥
B ．若//,//,//m n n ααβ，则//m β
C ．若,,n m n αβα
β⊥=⊥，则m α⊥ D ．若,//,m//n m αβαβ=，则//n m
【答案】D
【解析】
考点：空间点线面的位置关系.
6.已知空间中四个不共面的点O A B C 、、、，若OB OC =，且cos ,cos ,OA OB OA OC =，则sin ,OA BC 的值为（ ）
A ．1
B ．
12 C ． D 【答案】A 【解析】 试题分析：由下图可得⇒⊥BC OA sin ,1OA BC =,故选A.
考点：空间向量及其运算. 7.已知命题:p 关于x 的函数234y x ax =-+在[)1,+∞上是增函数，命题:q 函数()21x
y a =-为减函数，若“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．12,,23⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭
B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D
．12,23⎛⎤ ⎥
⎝⎦
【答案】A
【解析】 考点：命题的真假.
8.已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的直径为2，则该几何体的表面积为（ ）
A ．46
B ．52π+
C ．523π+
D ．462π+
【答案】D
【解析】
C
试题分析：ππ2463122
132342422322+=⨯⨯⨯⨯+
⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，故选D. 考点：三视图. 【方法点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积，计算量较大，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称.此外本题应注意掌握组合体的表面积公式.
9.在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若1,6,8,3AB BC AB BC AA ⊥===，则V 的最大值是（ ）
A ．4π
B ．
92π C ．6π D ．323
π 【答案】B
【解析】
考点：球及其性质.
10.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足030PAB ∠=，则点P 的轨迹是（ ）
A ．圆
B ．抛物线
C ．椭圆
D ．双曲线的一支
【答案】C
【解析】
考点：1、空间向量；2、轨迹及其方程.
【方法点晴】本题考查空间向量、轨迹及其方程，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先建立空间直
角坐标系，设()()AP AB y x P A B ),3,1,0(0,,,3,0,0),0,1,0(-=⇒><⇒-=AP AB y x ,cos )3,
,( ⇒=-+⇒=+++=2
9)23(2323323
2222y x y x y 点P 的轨迹是椭圆． 11.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A B 、两点，交C 的标准线于,D E
两点．已知AB =
，DE =C 的焦点到准线的距离为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】B
【解析】
试题分析：建立坐标系如图，设圆的方程为222x y r +=，抛物线的方程
为
2224222
()5422((,12640442()8p r p y px A B p p p p r p
⎧-+=⎪⎪=⇒-⇒⇒--=⇒=⎨⎪+=⎪⎩，故选B.
,A B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）
A ．13
B ．12
C ．23
D ．34
【答案】A
【解析】
考点：1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.
【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 如图取P 与M
重合，则
x
由2(,0),(,)b A a M c a --⇒直线2
2:()(0,)b b a AM y x a E c a a c
=+⇒-+-同理由2(,0),(,)(0,b B a M c G a -⇒ 22221)33
b b b a
c e a c a c a c ⇒=⇒=⇒=+-+. 第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩
，则z x y =+的最大值为_____________． 【答案】32
【解析】
考点：线性规划.
【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤：（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为a z y x b b =-
+：（3）作平行线：将直线0ax by +=平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使z b
最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最大（小）值.
14.若数列{}n a 满足()*1511,3,2,23
n n n a a n N n a a a -=∈≥==-，则2016a 等于 _____________． x
【答案】23
【解析】
考点：1、递推公式；2、周期性.
【方法点晴】本题考查递推公式、周期性，涉及特殊与一般论思想、周期性思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题型. 1221321,22n n n a a a a a a a a --==⇒== 34452232111323a a a a a a a a ⇒==⇒===⇒=,123456731122,3,,,,,2,2233a a a a a a a ======= 83a =，2016633623
a a ⨯⇒==. 15.若曲线225x y +=与曲线()2222200x y mx m m R +-+-=∈相交于,A B 两点，且两曲线A 处的切线
互相垂直，则m 的值是_____________．
【答案】5±
【解析】
试题分析：由已知可得圆1C 的圆心1(0,0)C
，半径1r =，圆2C 的圆心2(,0)C m
，半径2r =，22221212||255C C r r m m =+⇒=⇒=±．
考点：1、圆与圆的位置关系；2、直线与圆的位置关系.
16.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ．则下列命题正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）．
（1）当102CQ <<
时，S 为四边形； （2）当12
CQ =时，S 为等腰梯形；
（3）当
3
4
CQ=时，S与
11
C D的交点R满足
1
1
3
C R=；
(4)当3
1
4
CQ
<<时，S为六边形；
(5)当1
CQ=时，S
【答案】（1）（2）（3）（5）
【解析】
（2）图如下，S等腰梯形，（2）正确；
（3）画图如下，（3）正确；
（4）如图S 是五边形，（4）不正确；
考点：正方体的性质.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知ABC ∆的三边所在直线方程分别为:43100,:20,:3450AB x y BC y CA x y -+=-=--=．
（1）求A ∠的正切值的大小； （2）求ABC ∆的重心坐标． 【答案】（1）7tan 24A =；（2）9522,6321G ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
． 【解析】
试题分析：（1）由13137
tan 124k k A k k -=
=
+；（2）由431005550(,)3450
77x y A x y -+=⎧⇒--⎨--=⎩,同理可得13(1,2),(,2)3B C -ABC ⇒∆的重心坐标是9522,6321G ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
．
考点：1、直线的方程；2、到角公式；3、三角形重心.
18.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E F 、分别在,AD CD 上，,AE CF EF =交BD 于点H ，将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆的位置．
（1）证明：AC HD '⊥； （2
）若5
5,6,,4
AB AC AE OD '===
=，求五棱锥D ABCEF '-体积． 【答案】（1）证明见解析；（2
）V =
．
【解析】
试题分析：（1）由已知得，,AC BD AD CD ⊥=，AE CF =⇒
AE CF
AD CD =
⇒//AC EF ⇒ ,EF HD EF HD '⊥⊥⇒AC HD '⊥；（2）由//EF AC ⇒1
4
OH AE DO AD ==，由5,6AB AC ==⇒
4DO BO ===⇒1,D H DH 3OH '===⇒(2
22219OD OH D H ''+=+==⇒
OD OH '⊥，可证OD '⊥平面ABC ．又由
EF DH AC DO =
得92EF =⇒五边形ABCFE 的面积1
682
S =⨯⨯
1969
3224
-⨯⨯=
⇒以五棱锥D ABCEF '-体积16934V =⨯⨯=
所以AC ⊥平面BHD '，于是AC OD '⊥， 又由,OD OH AC OH O '⊥=，所以，OD '⊥平面ABC ．
又由
EF DH AC DO =
得9
2
EF =． 五边形ABCFE 的面积11969
6832224
S =⨯⨯-⨯⨯=．
所以五棱锥D ABCEF '-体积16934V =
⨯⨯=
． 考点：1、线线垂直；2、锥体的体积.
19.设不等式组003x y y nx n <⎧⎪
<⎨⎪≥--⎩
所表示的平面区域为n D ，记n D 内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为()()
*f n n N ∈．
（1）求()()1,2f f 的值及()f n 的表达式；
（2）记数列(){}
f n 的前n 项和为n S ，若n S n λ>对任意正整数n 恒成立，求λ的取值范围． 【答案】（1）()()13,26f f ==，()23f n n n n =+=；（2）3λ<． 【解析】
试题分析：（1）易得()()13,26f f ==，当1x =-时，y 取值为1,2,3,
,2n ----，共有2n 个格点，当
2x =-时，y 取值为1,2,3,,n ----，共有n 个格点⇒()23f n n n n =+=；
（2）由（1）可得：()332n n n S +=
，原命题等价于()332n n n λ+>⇒332
n
λ+<⇒3λ
<．
（2）由（1）可得：()332
n n n S +=，
∵n S n λ>对任意正整数n 恒成立，
∴
()332n n n λ+>，化为332
n
λ+<， ∴3λ<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1、可行域；2、数列的通项公式；3、数列的前n 项和.
20.已知直线:20l y +=和圆2
2
:20C x y y +-=，动圆M 与l 相切，而且与C 内切．求当M 的圆心距直线:20g x y --=最近时，M 的方程．
【答案】()()22
219x y -+-=． 【解析】
()0212y +->-⇒2
004x y =⇒()00,M x y 到直线g
的距离
d 200124d x x ⎫
=
-+⎪⎭
⇒当且仅当02x =时，d 最小⇒023r y =+=⇒圆M 的方程为()()2
2
219x y -+-=．
当且仅当02x =时，d 最小，此时由02r y =+得3r =．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴所求圆M 的方程为()()2
2
219x y -+-=．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1、曲线的方程；2、点到线的距离.
21.在三棱柱111ABC A B C -中，已知14AB AC AA BC ====，点1A 在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O ．
（1）证明：在侧棱1AA 上存在一点E ，使得OE ⊥平面11BB C C ，并求出AE 的长；
（2）求：平面11A B C 与平面11BB C C 夹角的余弦值．
【答案】（1
）证明见解析；AE =（2
【解析】
试题分析：（1）证明：作1OE AA ⊥于点E ，由11//AA BB ⇒1OE BB ⊥，又1A O ⊥平面ABC ⇒1AO BC ⊥，易得AO BC ⊥⇒BC ⊥平面1
AAO ⇒BC OE ⊥⇒ OE ⊥平面11BB C C
，由1AO ==，
1AA =
⇒21AO AE AA ==
；（2）建立空间直角坐标系，求得平面11BB C C 的法向量是42,0,55OE ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 平面11A B C 的法向量()2,1,1n =-
⇒cos ,10
OEn
OE n OE
n
=
=
.
（2）如图，分别以1,,OA OB OA 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则
()()()()11,0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,2A B C A -．
由115AE AA =
得点E 的坐标是42055⎛⎫ ⎪⎝
⎭，，，
由（1）得平面11BB C C 的法向量是42,0,55OE ⎛⎫=
⎪⎝⎭
，
考点：1、线面垂直；2、二面角的平面角.
【方法点晴】本题考查线面垂直、二面角的平面角，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力、逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题型. 第一小题作
1OE AA ⊥于点E ，由11//AA BB ⇒1OE BB ⊥，再证BC ⊥平面1
AAO ⇒BC OE ⊥⇒OE ⊥平面11BB C C
，由1AO ==
，1AA =
⇒21AO AE AA ==
．第二小题建立空间直角坐标系，求得平面11BB C C 的法向量是42,0,55OE ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，
平面11A B C 的法向量()2,1,1n =-⇒cos ,OE n
=22.已知动圆过点()2,0M ，且被y 轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；
（2）问：x 轴上是否存在一定点P ，使得对于曲线C 上的任意两点A 和B ，当()AM MB R λλ=∈时，恒有PAM ∆与PBM ∆的面积之比等于
PA PB
？若存在，则求P 点的坐标，否则说明理由．
【答案】（1）2
4y x =；（2）存在，定点()2,0P -.
【解析】
试题分析：（1）设动圆圆心的坐标为(),C x y ，由题意可得()2
2
2222x x y +=-+⇒2
4y x =；（2）由
()AM MB R λλ=∈⇒,,M A B 三点共线⇒AB 的方程:2x my =+⇒2480y my --=⇒12y y +
124,8m y y ==-，由PAM ∆与PBM ∆的面积之比等于
PA PB
⇒PM 平分APB ∠⇒此直线,PA PB 的倾
斜角互补⇒0PA PB k k +=⇒
12120y y
x a x a
+=--⇒()16240m a m -+-⨯=⇒()20m a +=⇒2a =- ⇒存在定点()2,0-，满足条件．
∴0PA PB k k +=，∴
12120y y
x a x a
+=--， 把11222,2x my x my =+=+代入可得：
()()
()()
12121222022my y a y y my a my a +-+=+-+-，
∴()16240m a m -+-⨯=，化为：()20m a +=，由于对于任意m 都 成立，∴2a =-， 故存在定点()2,0-，满足条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1、曲线的方程；2、直线与抛物线；3、三角形的面积.
【方法点晴】本题考查曲线的方程、直线与抛物线、三角形的面积，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 第一小题由
题意可得()2
2
22
22x x y +=-+⇒2
4y x =.第二小题由()AM MB R λλ=∈⇒,,M A B 三点共线⇒
AB 的方程:2x my =+⇒2480y my --=⇒12y y + 124,8m y y ==-，
由PAM ∆与PBM ∆的面积之
比等于
PA PB
⇒PM 平分APB ∠⇒ ,PA PB 的倾斜角互补⇒0PA PB k k +=⇒()20m a +=⇒2a =-
⇒存在定点()2,0-．。