方程的解及应用(讲义)-2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义(通用版,教师版)

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在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题：“今有牛五、羊二，
值金三十两，牛一，值金五两五，羊值金几何？”题目大意是：五头牛、2只羊共价值30两“金”。

一头牛，值5.5两“金”。

每只羊值多少“金”？如果设每只羊值x “金”，则可列方程为( )。

（金：古代货币单位） 答案：5.5×5＋2x ＝30
小升初数学
通用版
《方程的解及应用》精准讲练
解析：根据题意可知，5只牛和2只羊的总价是30两金，设每只羊值x 金，则据此列出方程解答即可。

如果设每只羊值x “金”，则可列方程为5.55230x ⨯+=。

（方程不唯一）
买一个羽毛球要2.5元，买a 个羽毛球要a ＋2.5元。

( )
答案：×
解析：根据总价＝单价×数量，代入数据解答即可。

a ×2.5＝2.5a （元）
则买a 个羽毛球要2.5a 元。

故原题说法错误。

故答案为：×。

数a 和数b 在直线上的对应点的位置如下图，数b 可以用下列算式（ ）表示。

A ．3
1+a B ．1
3a -
C ．13
a ⨯
D ．13
a ÷
答案：D
解析：观察图形可知，把0到点b 之间的线段长度看作单位“1”，平均分成3份，0到点a 之间的距离占了其中1份，点a 对应的分率是13
；那么点b 就是13
a ÷。

根据分析可知，
数a 和数b 在直线上的对应点的位置如下图，数b 可以用下列算式“1
3
a ÷”表示。

故答案为：D
为节约用水，安安爸爸将家里的2个普通水龙头换成了节水龙头。

经测试，普通龙
头每分钟流水量为9升，节水龙头每分钟的流水量比普通龙头少16。

（1）按照每个龙头每天平均使用10分钟计算，每个月（按30天计算）安安家里可以节约用水多少升？
（2）安安发现节水龙头的节水效果还是很明显的，于是他对单元楼的56户居民进行了统计，
发现已使用节水龙头的用户是未使用节水龙头的5
3。

已使用节水龙头的用户有多少户？（用方
程解答）
答案：（1）9×1
6
×10×2×30
＝1.5×10×2×30
＝15×2×30
＝30×30
＝900（升）
答：每个月安安家可以节约用水900升。

（2）解：设未使用的户数为x户，则使用的户数为5
3
x户。

x＋5
3
x＝56
8
3
x＝56
8 3x×3
8
＝56×3
8
x＝21
56－21＝35（户）
答：已使用节水龙头的用户有35户。

解析：（1）根据题意，把普通水龙头每分钟的流水量看再单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出节水龙头比普通水龙头每分钟流水节约水多少升，然后根据整数乘法的意义，用乘法解答。

（2）根据调查结果，已使用节水龙头的用户是未使用节水龙头的5
3。

由此可知，未使用的户
数＋使用的户数＝56户，设未使用的户数为x户，则使用的户数为5
3
x户，据此列方程解答。

一、填空题
1．幼儿园老师给小朋友分糖果，如果每人4颗就多11颗，如果每人5颗则少9颗。

设这些小朋友人数为x，那么糖果总数可以表示为( )，也可以表示为( )。

答案： 4x＋11 5x－9
解析：依据题意，有两个数量关系：小朋友的人数×4＋11＝糖果的总数；或者小朋友的人×5－9＝糖果的总数；再把未知数代入到数量关系中，即可用字母表示出糖果总数。

根据分析得，设小朋友人数为x，
x×4＋11＝（4x＋11）颗
x×5－9＝（5x－9）颗
2．王伯伯种植a公顷青椒，每公顷大约能收获青椒15吨，已经采收b天，每天采收10吨，还未采摘的青椒吨数大约有( )吨。

答案：15a－10b
解析：用每公顷收获青椒的吨数乘种植青椒的面积，即（15×a）吨，表示出一共能收获青椒的吨数，每天采收的吨数乘采收的天数，即（10×b）吨，表示还未采摘的青椒吨数，用一共能收获青椒的吨数减去已经采收的青椒的吨数，得出还未采摘的青椒的吨数。

据此解答。

15×a－10×b
＝（15a－10b）吨
3．学校买了a个冰墩墩和b个雪容融送给运动会上成绩优异的同学，每个冰墩墩是48元，每个雪容融也是48元，学校一共花了( )元。

答案：48（a＋b）
解析：根据“总价＝单价×数量”分别表示出a个冰墩墩和b个雪容融的总价，然后加起来。

48×a＋48×b
＝48×（a＋b）
＝48（a＋b）
4．红红家6月份用电a度，用水b吨。

每度电的费用是0.56元，每吨水为2.8元。

红红家6月份共需付水电费( )元。

答案：0.56a＋2.8b
解析：根据总价＝单价×数量，分别求出水费和电费的钱数，再相加即可。

0.56×a＋2.8×b
＝（0.56a＋2.8b）元
5．1瓶水倒满7个大杯和6个小杯后，还余30克的水，或倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水，这瓶水可以倒满( )个大杯和( )个小杯后，没有剩余。

答案： 10 3
解析：把第二次倒的方法乘3，也就是说看成3瓶水，3瓶可以倒27个大杯和12个小杯还剩30克，减去第一次倒的除以2后可得： 2瓶水可以倒20个大杯和6个小杯，所以1瓶可以倒10个大杯和3个小杯。

倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水，所以当为3瓶水时，可以倒27个大杯和12个小杯还剩30克，
减去第一次倒的除以2后可得： 2瓶水可以倒20个大杯和6个小杯，
所以1瓶水可以倒10个大杯和3个小杯。

6．把105根木材按6层堆积起来，堆积的时候，若每次上层木材比下层木材少一根，则最下层应放( )根。

答案：20
解析：假设从下往上分别为第一层、第二层、第三层、第四层、第五层、第六层；如果第一层有a根、第二层有（a－1）根、第三层有（a－2）根、第四层有（a－3）根、第五层有（a－4）根、第六层有（a－5）根；再根据总数是105根，列式计算即可。

解：设最下层有a根，从下往上依次有（a－1）根、（a－2）根、（a－3）根、（a－4）根、（a －5）根，可得：
a＋（a－1）＋（a－2）＋（a－3）＋（a－4）＋（a－5）＝105
（a＋a＋a＋a＋a＋a）－（1＋2＋3＋4＋5）＝105
6a－15＝105
6a－15＋15＝105＋15
6a＝120
a＝20
所以，最下层放20根。

二、判断题
1．若x＝y，则3
2
x－1.6＝
3
2
y－16。

( )
答案：×
解析：根据等式的两边同时乘或除以同一个数不为0的数，等式仍然成立；等式的两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；判断即可。

若x＝y，则3
2
x＝
3
2
y，式子
3
2
x－1.6与式子
3
2
y－16减去的数不相等，所以结果不相等；
故答案为：×
2．小芳今年a岁，妈妈今年b岁，5年后妈妈比小芳大（b－a＋5）岁。

( )
答案：×
解析：因为年龄差始终不变，所以今年的年龄差就是5年后的年龄差，用减法求出两人今年的年龄差即可。

两人的年龄差不变，都是：（b−a）岁
故答案为：×
3．a是一个偶数，b是一个奇数，2a－3b的值一定是奇数。

( )
答案：√
解析：根据：偶数－奇数＝奇数；据此解答。

a是偶数，2a是偶数；
b是奇数，3b是奇数；
2a－3b就是一个偶数减去一个奇数，差一定是奇数。

原题干说法正确。

故答案为：√
4．x＝0.8是方程3x－1.6＝0.8的解。

( )
答案：√
解析：把x＝0.8代入方程，看左边和右边是否相等，如果相等则x＝0.8是方程的解，不相等就不是方程的解。

检验：
把x＝0.8代入方程，
左边＝3×0.8－1.6＝0.8
右边＝0.8
左边＝右边
所以x＝0.8是方程3x－1.6＝0.8的解。

故答案为：√
5．等式两边同时加上、减去，乘或除以相同的数（0除外），等式仍然成立。

( ) 答案：√
解析：根据等式的性质：等式两边同时加上、减去，乘或除以相同的数（0除外），等式仍然成立，原题说法正确。

故答案为：√
三、选择题
1．下面叙述错误的是（ ）。

A ．2a ，2a ，a a +可能相等 B ．无论a 等于几，都有32a a a >> C ．无论a 等于几，都有2a a a =+ D ．无论a 等于几，都有a 2a 3a +=
答案：B
解析：各选项里都是用字母表示数，可以采用赋值法，假设a 等于一个具体的数值，分别代入到四个选项中去，逐一验证选项的正确性。

A ．当a ＝2时，2a 4=，2a ＝4，a ＋a ＝4，原题叙述正确；
B ．当a ＝1时，3a 1=，21a =，a ＝1，32a a a >>不成立，原题叙述错误；
C ．根据乘法的意义可知，a ＋a ＝2a ，原题叙述正确；
D ．根据乘法分配律可知，a 2a 1a 2a (12)a=3a +=⨯+⨯=+⨯，原题叙述正确； 故答案为：B
2．冷饮店周末售出a 杯柠檬茶，售出的百香果茶杯数是柠檬茶的2倍，以下选项中（ ）可以表示这两种饮料售出的总杯数。

A ．a ＋a B ．2a
C ．a ＋2a
D ．2（a ＋a ）
答案：C
解析：求这两种饮料售出的总杯数，用加法计算即可。

冷饮店周末售出a 杯柠檬茶，售出的百香果茶杯数是柠檬茶的2倍，即2a ， 所以两种饮料售出的总杯数为a ＋2a 。

故答案为：C
3．A 、B 、C 各代表一个数，已知A －B ＝8，A ＋B ＝14，C ＝A ＋A ＋B ，则A 、B 、C 分别等于（ ）。

A ．10、2、22
B ．11、3、25
C ．11、8、30
D ．12、2、26
答案：B
解析：根据A－B＝8，可得A＝B＋8，将其代入A＋B＝14中，可得到B的值，进而求出A和C 的值。

根据分析得，把A＝B＋8代入A＋B＝14中
可得：B＋8＋B＝14
2B＝14－8
2B＝6
B＝3
A＝8＋3＝11；
C＝11＋11＋3＝25。

故答案为：B
4．
如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（）。

A．1.5x＋2＝20 B．20－1.5x＝2 C．1.5x＝20＋2 D．1.5x＝20－2
答案：C
解析：根据题目中的数量关系：这周产生的可回收垃圾的质量×1.5＋2＝上一周产生的可回收垃圾的质量，假设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克，上一周产生的可回收垃圾的质量是20千克，代入列出方程，求解即可。

解：设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克。

x×1.5＋2＝20
1.5x＋2＝20
1.5x＝20－2
1.5x＝18
x＝18÷1.5
x＝12
即这周产生的可回收垃圾的质量是12千克。

方程1.5x＋2＝20可变换成：20－1.5x＝2和1.5x＝20－2。

故答案为：C
5．如果m表示任意一个自然数，那么下列说法错误的是（）。

A．2m是偶数B．2m＋1是奇数C．3m＝m3D．2m可能等于m2
答案：C
解析：2乘任何一个数的得数都是偶数，2乘任何一个数再加1的得数都是奇数，据此作答。

A．根据2乘任何一个数的得数都是偶数，2m是偶数，说法正确；
B．根据2乘任何一个数再加1的得数都是奇数，2m＋1是奇数，说法正确；
C．当m等于1时，3m＝3×1＝3，m3＝1×1×1＝1，则3m≠m3，说法错误；
D．当m等于2时，2×2＝22，2m可能等于m2，说法正确。

故答案为：C
6．张杨已经进行了20场比赛，并且赢了95%的比赛，如果他以后每一场都获胜，要赢得96%的比赛，他至少还要赢（）场。

A．2 B．3 C．4 D．5
答案：D
解析：已经进行的场次×已经赢的对应百分率＝已经赢的场次，设他至少还要赢x场，根据（已经进行的场次＋还要赢的场次）×96%＝已经赢的场次＋还要赢的场次，列出方程求出x的值即可。

20×95%＝19（场）
解：设他至少还要赢x场。

（x＋20）×96%＝19＋x
0.96x＋19.2＝19＋x
x－0.96x＝19.2－19
0.04x÷0.04＝0.2÷0.04
x＝5
故答案为：D
四、解方程。

3 8∶x＝5%∶0.1 （1
2
x－1.25）÷4＝0.85×4
答案：（1）3
8
∶x＝5%∶0.1
解：0.05x＝3
8
×0.1
0.05x＝0.0375
0.05x÷0.05＝0.0375÷0.05
x＝0.75
（2）（1
2
x－1.25）÷4＝0.85×4
解：（1
2
x－1.25）÷4＝3.4
（1
2
x－1.25）÷4×4＝3.4×4
1
2
x－1.25＝13.6
1
2
x－1.25＋1.25＝13.6＋1.25
1
2
x＝14.85
1 2x÷1
2
＝14.85÷1
2
x＝29.7
解析：（1）在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，再利用等式的性质2，方程两边同时除以0.05；
（2）先计算方程右边小数乘法的积，再把括号看作一个整体，利用等式的性质2，方程两边同时乘4，再利用等式的性质1，方程两边同时加上1.25，最后利用等式的性质2，方程两边同时除以1
2。

五、看图列算式或者方程解决问题
1．
答案：解：设这本书有x页。

x－3
5
x＝100
2
5
x＝100 x＝250
解析：观察图可知：把这本书看作单位“1”，设这本书有x页，已知看了3
5
，根据分数乘法的
意义可知看了3
5
x页，根据已知条件可列等量关系式：这本书的页数－看了的页数＝还剩的页
数，据此解答。

2．
答案：3x＋480＝1200
解：3x＝1200－480
3x＝720
x＝720÷3
x＝240
解析：根据图形可知，3份x的和加上480等于1200；由此列方程：3x＋480＝1200，解方程，即可解答。

六、解答题
1．四根钢管一样长，现在从每根钢管上截下4米，剩下的钢管的总长度刚好是原来3根钢管的总长度，求原来每根钢管的长度。

答案：解：设原来每根钢管的长度是x米。

（x－4）×4＝3x
4x－16＝3x
4x－3x＝16
x＝16
答：原来每根钢管的长度是16米。

解析：根据题意得出等量关系：（原来每根钢管的长度－4）×4＝原来每根钢管的长度×3，据此列出方程，并求解。

2．兰州拉面有着悠久的历史，传说起源于唐代。

制作流程分为：选面、和面、醒面、溜条、拉面五步。

在溜条环节马师傅将大团软面反复捣、揉、抻、摔后，搓成2厘米粗、15厘米长的一条条面棍，然后拿一条面棍开始拉面，弹、甩、拉、折……不一会儿就拉出一把粗细均匀的面条，如果每根面条的粗细为2毫米，拉出的面条一共多少米？
答案：2厘米＝20毫米，15厘米＝150毫米
解：设拉出的面条一共长x毫米。

22
（）（）
⨯÷⨯=⨯÷⨯
x
3.1422 3.14202150
x=⨯⨯
3.14 3.14100150
x÷=÷
3.14 3.1447100 3.14
15000
x=
15000毫米＝15米
答：拉出的面条一共15米。

解析：把搓成的面棍近似看作是圆柱体，搓成面棍的体积与拉成面条后的总体积相等，根据前、后体积不变，结合圆柱体的体积计算公式，据此解答。

3．开学季，学校门口商店卖出白色和蓝色两种书皮共750个，共卖得495元，每个白色书皮0.8元，每个蓝色书皮0.5元，卖出白色书皮和蓝色书皮各多少个？
答案：解：设卖出白色书皮x个，则卖出蓝色书皮（750－x）个。

0.8x＋0.5×（750－x）＝495
0.8x＋375－0.5x＝495
0.3x＝120
x＝400
750－400＝350（本）
答：卖出白色书皮400个，卖出蓝色书皮350个。

解析：设卖出白色书皮x个，则卖出蓝色书皮（750－x）个，根据白色书皮的总价＋蓝色书皮的总价＝495，据此列方程解答即可。

4．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，请问合伙人数是多少，羊价是多少？
答案：解：设有x人合伙。

5x＋45＝7x＋3
45－3＝7x－5x
2x＝42
x＝42÷2
x＝21
购买羊的钱数：5×21＋45
＝105＋45
＝150（钱）
答：有21人合伙，羊价是150钱。

解析：由题意可知，购买羊的总钱数不变，把合伙人数设为未知数，等量关系式：合伙人数×5＋45钱＝合伙人数×7＋3钱，最后根据合伙人数求出购买羊的钱数，据此解答。

5．某疫苗接种点6月5日的接种人数为1524人，是6月4日接种人数的4倍，该接种点6月4日的接种人数是多少人？
答案：解：设该接种点6月4日的接种人数是x人。

4x＝1524
x＝1524÷4
x＝381
答：该接种点6月4日的接种人数是381人。

解析：把6月4日接种疫苗的人数设为未知数，等量关系式：6月4日接种疫苗的人数×4＝6月5日接种疫苗的人数，据此解答。

6．随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场，一水果经销商购进了A，B 两种台湾水果各10箱，分配给他的甲，乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表：
A种水果/箱B种水果/箱
甲店11元17元
乙店9元13元
有两种配货方案（整箱配货）：
方案一：甲，乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱；
方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店几箱，乙店几箱？B种水果甲店几箱，乙店几箱？
（1）如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元；
（2）请你将方案二补充完整，写出所有结果，并将你填写的方案二与方案一做比较，得出哪一种方案盈利较多。

答案：（1）5×11＋5×9＋5×17＋5×13
＝5×（11＋9＋17＋13）
＝5×50
＝250（元）
答：经销商能盈利250元。

（2）解：设甲店A种水果x箱，B种水果y箱；则则乙店A种水果有（10－x）箱，B种水果有（10－y）箱。

11x＋17y＝9（10－x）＋13（10－y）
11x＋17y＝90－9x＋130－13y
11x＋9x＋17y＋13y＝90＋130
20x＋30y＝220
2x＋3y＝22
因为整箱配货可得三种方案：①x＝8，y＝2；②x＝5，y＝4；③x＝2，y＝6；
三种方案盈利分别为：
①当x＝8，y＝2时，两店盈利为：
（11×8＋17×2）×2
＝122×2
＝244（元）
②当x＝5，y＝4时，两店盈利为：
（11×5＋17×4）×2
＝123×2
＝246（元）
③当x＝2，y＝6时，两店盈利为：
（11×2＋17×6）×2
＝124×2
＝248（元）
250元＞248元＞246元＞244元。

答：方案一盈利较多。

解析：（1）根据：总利润＝单利润×数量，先计算出甲店A，B两种水果的总利润，再计算出乙店A，B两种水果的总利润，最后把两店的利润加起来即可；
（2）根据题意， A，B两种台湾水果各10箱，设甲店A种水果有x箱，则乙店A种水果有（10－x）箱；设甲店B种水果有y箱，那么乙店B种水果有（10－y）箱，根据：甲店盈利钱数＝乙店盈利钱数，列出方程，找出符合题目要求的数量，即可解答。

7．妈妈带的钱，如果买3件甲种商品还缺6元；如果买4件乙种商品还缺30元。

已知乙种商品的单价是甲种商品的7
8。

问甲种商品的单价是多少元？
答案：解：设甲种商品的单价x元，则乙种商品的单价为7
8
x元
3x－6＝4x×7
8
－30
3x－6＝7
2
x－30
1
x
2
＝24
x＝48
答：甲种商品的单价是48元。

解析：设甲种商品的单价x元，则乙种商品的单价为7
8
x元，根据等量关系式：3件甲种商品的钱数－6＝4件乙种商品的钱数－30，据此列方程解答即可。